Sucesiones Acotadas

Otro aspecto importante en el estudio de las sucesiones es saber cuales son los elementos que las encajonan, ya que de esta forma, podemos establecer con más claridad el espacio donde estas se desarrollan.

Cotas Superiores

Una cota superior (o elemento mayorante) de una sucesión es un número real que es mayor o igual que cualquier elemento de la sucesión. Formalmente, C es una cota superior de una sucesión a_n si a_n \leq C para todo número natural n. Si una sucesión tiene una cota superior, diremos que la sucesión está \textbf{acotada superiormente}.

Veamos algunos ejemplos de este tipo de sucesiones:

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la sucesión \{ -1, -2, -3, -4, -5, -6, \ldots \}, esta sucesión está acotada superiormente, pues si consideramos 1, 0, 9 o 3572; estos valores serán cotas superiores pues son mayores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número mayor o igual que -1 es una cota superior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

Ejemplo 2

Si consideramos la sucesión \{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots \}, esta sucesión está acotada superiormente, pues si consideramos 3, 2, 14 o 1000; estos valores serán cotas superiores pues son mayores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número mayor o igual que 1 es una cota superior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

Ejemplo 3

Si consideramos la sucesión \left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots \right\}, esta sucesión está acotada superiormente, pues si consideramos 2, 33, 97 o 751; estos valores serán cotas superiores pues son mayores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número mayor o igual que 1 es una cota superior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

Cotas Inferiores

Una cota inferior (o elemento minorante) de una sucesión es un número real que es menor o igual que cualquier elemento de la sucesión. Formalmente, c es una cota superior de una sucesión a_n si a_n \geq c para todo número natural n. Si una sucesión tiene una cota inferior, diremos que la sucesión está \textbf{acotada inferiormente}.

Veamos algunos ejemplos de este tipo de sucesiones:

Ejemplos

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots \}, esta sucesión está acotada inferiormente, pues si consideramos -1, 0, -34 o 0.5; estos valores serán cotas inferiores pues son menores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número menor o igual que 1 es una cota inferior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

Ejemplo 5

Si consideramos la sucesión \{ 3, 3, 3, 3, 3, 3, \ldots \}, esta sucesión está acotada inferiormente, pues si consideramos 2, -839, 1.5 o -55; estos valores serán cotas inferiores pues son menores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número menor o igual que 3 es una cota inferior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

Ejemplo 6

Si consideramos la sucesión \left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \ldots \right\}, esta sucesión está acotada inferiormente, pues si consideramos -2, -10, -7.98 o -457; estos valores serán cotas inferiores pues son menores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número menor o igual que 0 es una cota inferior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

Sucesiones Acotadas

De forma general, diremos que una sucesión está acotada si está acotada tanto superior como inferiormente. Formalmente, diremos que una sucesión a_n está acotada si existe un par de números reales r y R tales que r \leq a_n \leq R para todo número natural n. Por ejemplo, si consideramos la sucesión \{ 1, -1, 1, -1, 1, -1,  \ldots \} y vemos su comportamiento de forma gráfica:

Podemos notar que esta sucesión está acotada superiormente por cualquier número mayor que 1 y está acotada inferiormente por cualquier número menor que -1.

También hay sucesiones que no están acotadas (ni superior ni inferiormente), por ejemplo, si consideramos la sucesión \{ 1, -2, 3, -4, 5, -6, \ldots\} y viendo su comportamiento de forma gráfica:

Es fácil notar que esta sucesión no está acotada.

Intervalos

¡Acotemos conjuntos numéricos!

Al considerar la solución de una inecuación, tenemos conjuntos numéricos muy particulares. Al expresar estos de forma gráfica sobre la recta real, vemos que tienen una estructura parecida, es por esto que podemos clasificar las distintas formas en que podemos expresar estas soluciones. Para esto definimos los intervalos.

Sea a un numero real, entonces podemos definir cuatro tipo de intervalos no acotados de la siguiente forma:

Intervalo abierto en a

\{ x \in R : x > a \} = (a,+\infty)

Intervalo cerrado en a

\{ x \in R : x > a \} = [a,+\infty)

Intervalo abierto en a

\{ x \in R : x < a \} = (-\infty,a)

Intervalo cerrado en a

\{ x \in R : x < a \} = (-\infty,a]

Sentando base en estos intervalos, es posible definir otro tipo de intervalos a partir de la intersección de estos. Es decir, definimos un intervalo como el conjunto de todos los números que se encuentran entre dos números dados. Consideremos dos números reales a y b tal que a < b, entonces podemos definir cuatro tipo de intervalos acotados de la siguiente forma:

Intervalo abierto

(a,+\infty) \cap  (-\infty,b) = (a,b)

Intervalo semicerrado o semiabierto

[a,+\infty) \cap  (-\infty,b) = [a,b)

Intervalo semicerrado o semiabierto

(a,+\infty) \cap  (-\infty,b] = (a,b]

Intervalo cerrado

(a,+\infty) \cap  (-\infty,b)= [a,b]

De esta forma, si consideramos una inecuación, podemos expresar su solución en términos de intervalos para facilitar su ilustración de una forma mas intuitiva, veamos con un ejemplo como usar intervalos al resolver inecuaciones.

Ejemplo -1 \leq 10-4x < 22

Ecuación 1

-1 \leq 10-4x

-1 -10 \leq -4x

-11 \leq -4x

\frac{-11}{-4} \geq x

\frac{11}{4} \geq x

x \leq \frac{11}{4}

Solución 1:

\left(-\infty,\frac{11}{4} \right]

Ecuación 2

10-4x < 22

-4x < 22-10

-4x < 12

-4x < 12

x > \frac{12}{-4}

x > -3

Solución 2:

(-3,+\infty)

Por lo tanto, la solución de la inecuación -1 \leq 10-4x < 22 viene dada por la intersección de la solución 1 con la solución 2, es decir,

\left(-\infty,\frac{11}{4} \right]  \cap (-3,+\infty) = \left( -3,\frac{11}{4} \right]