Intervalos

¡Acotemos conjuntos numéricos!

Al considerar la solución de una inecuación, tenemos conjuntos numéricos muy particulares. Al expresar estos de forma gráfica sobre la recta real, vemos que tienen una estructura parecida, es por esto que podemos clasificar las distintas formas en que podemos expresar estas soluciones. Para esto definimos los intervalos.

Sea a un numero real, entonces podemos definir cuatro tipo de intervalos no acotados de la siguiente forma:

Intervalo abierto en a

\{ x \in R : x > a \} = (a,+\infty)

Intervalo cerrado en a

\{ x \in R : x > a \} = [a,+\infty)

Intervalo abierto en a

\{ x \in R : x < a \} = (-\infty,a)

Intervalo cerrado en a

\{ x \in R : x < a \} = (-\infty,a]

Sentando base en estos intervalos, es posible definir otro tipo de intervalos a partir de la intersección de estos. Es decir, definimos un intervalo como el conjunto de todos los números que se encuentran entre dos números dados. Consideremos dos números reales a y b tal que a < b, entonces podemos definir cuatro tipo de intervalos acotados de la siguiente forma:

Intervalo abierto

(a,+\infty) \cap  (-\infty,b) = (a,b)

Intervalo semicerrado o semiabierto

[a,+\infty) \cap  (-\infty,b) = [a,b)

Intervalo semicerrado o semiabierto

(a,+\infty) \cap  (-\infty,b] = (a,b]

Intervalo cerrado

(a,+\infty) \cap  (-\infty,b)= [a,b]

De esta forma, si consideramos una inecuación, podemos expresar su solución en términos de intervalos para facilitar su ilustración de una forma mas intuitiva, veamos con un ejemplo como usar intervalos al resolver inecuaciones.

Ejemplo -1 \leq 10-4x < 22

Ecuación 1

-1 \leq 10-4x

-1 -10 \leq -4x

-11 \leq -4x

\frac{-11}{-4} \geq x

\frac{11}{4} \geq x

x \leq \frac{11}{4}

Solución 1:

\left(-\infty,\frac{11}{4} \right]

Ecuación 2

10-4x < 22

-4x < 22-10

-4x < 12

-4x < 12

x > \frac{12}{-4}

x > -3

Solución 2:

(-3,+\infty)

Por lo tanto, la solución de la inecuación -1 \leq 10-4x < 22 viene dada por la intersección de la solución 1 con la solución 2, es decir,

\left(-\infty,\frac{11}{4} \right]  \cap (-3,+\infty) = \left( -3,\frac{11}{4} \right]