Así como hemos definido las ecuaciones cuadráticas mediante una igualdad, es posible definir las inecuaciones cuadráticas mediante una desigualdad. A continuación veremos el segundo caso, que es cuando la desigualdad involucrada en la inecuación es «menor que» o «menor o igual que».

Entonces, considerando tres números reales $a$ , $b$ y $c$ , expresamos una inecuación cuadrática de la siguiente forma;

$ax^2 + bx + c < 0$

Tomando en cuenta que si conocemos las raíces del polinomio $ax^2 + bx + c$ , éste se puede reescribir como el producto de dos factores y de esta forma, desarrollamos una técnica para calcular la solución de las inecuaciones cuadráticas partiendo de la Ley de los Signos para la Multiplicación y planteando la siguiente pregunta:

¿Cuándo el producto de dos números es negativo?

Sean $p$ y $q$ dos números reales. Si consideremos el producto $p \cdot q$ , ¿cuándo este producto es negativo? Para responder a esta pregunta, nos fijamos en la ley de los signos, pues recordando que más por menos es menos y menos por más es menos, podemos concluir que las condiciones que deben cumplir $p$ y $q$ para que se satisfaga la desigualdad $p \cdot q < 0$ , son las siguientes:

$\left\{ {\begin{array}{lcr} p > 0 & \text{y} & q < 0\\ \text{\'o} & & \\ p < 0 & \text{y} & q > 0 \end{array} } \right.$

Es decir, los $p$ y $q$ deben ser el primero positivo y el segundo negativo o el primero negativo y el segundo positivo.

Este caso también aplica cuando consideramos la desigualdad «menor o igual» ( $\leq$ ). Veamos entonces en los siguientes ejemplos cómo calcular la solución de este tipo de ecuaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1, «menor que»

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad:

$(x+4) \cdot (x-1) < 0$

Esta es una inecuación cuadrática donde el polinomio cuadrático ya está factorizado. Considerando los dos factores $(x+4)$ y $(x-1)$ , deben ser el primero positivo y el segundo negativo o el primero negativo y el segundo positivo, así

$\left\{ {\begin{array}{lcrr} x+4 > 0 & \text{y} & x-1 < 0 & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x+4 < 0 & \text{y} & x-1 > 0 & (2) \end{array} } \right.$

Notamos entonces, que quedan planteadas cuatro inecuaciones lineales de las cuales se puede despejar la variable x con facilidad, de la siguiente forma:

$\left\{ {\begin{array}{lcrr} x > -4 & \text{y} & x < 1 & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x < -4 & \text{y} & x > 1 & (2) \end{array} } \right.$

La solución general de la inecuación cuadrática viene dada por todos los números que satisfacen las ecuaciones la línea (1) junto con todos los números que satisfacen las ecuaciones la línea (2).

Analíticamente representaremos la solución como la unión de los dos conjuntos que generados al calcular la solución de cada línea. Veamos entonces cómo calcular la solución de ambas líneas:

Solución 1:

Considerando que la línea (1) representa a todos los números que son mayores que -4 y menores que 1 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos $(-4,+\infty)$ y $(-\infty,1)$ así

$(-4,+\infty) \cap (-\infty,1) = (-4,1)$

Interpretación gráfica de la intersección de dos intervalos. | totumat.com

Solución 2:

Considerando que la línea (2) representa a todos los números que son menores que -4 y mayores que 1 al mismo tiempo, sin embargo, no existe ningún número que cumpla con esta condición. Entonces al considerar la intersección de los intervalos $(-\infty,-4)$ y $(1,+\infty)$ esta se representará con el conjunto vacío, así, tenemos que

$(-\infty,-4) \cap (1,+\infty) = \emptyset$

Interpretación gráfica de la intersección de dos intervalos igual al conjunto vacío. | totumat.com

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con la solución (1) o todos los elementos que cumplen con la solución (2). Por lo tanto, consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución General:
$(-4,1) \cup \emptyset = (-4,1)$

Interpretación gráfica de la unión de dos intervalos. | totumat.com

Nota: el «ó» que se expresa en nuestra solución tiene un carácter lógico proposicional, esto quiere decir que es un «ó» inclusivo. Es decir, ambas opciones pueden presentar una solución para nuestra solución.

Imagínese que en una reunión con sus amigos, acuerdan llevar empanadas o pastelitos para comer, es decir, si alguien lleva una u otra cosa o ambas cosas, igual van a comer.

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Consideremos ahora un ejemplo donde el polinomio cuadrático no está factorizado.

Ejemplo 2, «menor o igual que»

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad:

$x^2 + x - \dfrac{3}{4} \leq 0$

Notando que el polinomio no está factorizado, así que utilizamos el método del discriminante para factorizarlo. Entonces, considerando que sus coeficientes son $a=1$ , $b=1$ y $c=-\frac{3}{4}$ , planteamos la fórmula cuadrática de la siguiente forma:

$\displaystyle \begin{array}{rl} x \ = & \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \\ \\ = & \dfrac{ -1 \pm \sqrt{( 1 )^2 - 4 \cdot ( 1 ) \cdot ( -\frac{3}{4} )}}{2 \cdot ( 1 )} \\ \\ = & \dfrac{ 1 \pm 2 }{ 2 } \end{array}$

Así, las raíces del polinomio cuadrático x^2 + x – \dfrac{3}{4} son $x_1 = -\frac{ 1 }{ 2 }$ y $x_2 = \frac{ 3 }{ 2 }$ , por lo tanto, podemos factorizarlo como $(x - ( -\frac{ 1 }{ 2 } )) \cdot (x - \frac{ 3 }{ 2 } )$ y en consecuencia, reescribimos la inecuación cuadrática original como sigue:

$\left( x + \dfrac{ 1 }{ 2 } \right) \cdot \left( x - \dfrac{ 3 }{ 2 } \right) \leq 0$

Al ser esta es una inecuación cuadrática donde el polinomio cuadrático ya está factorizado. Considerando los dos factores $(x + \frac{ 1 }{ 2 } ) \cdot (x - \frac{ 3 }{ 2 } )$ , deben ser el primero positivo y el segundo negativo o el primero negativo y el segundo positivo, así

$\left\{ {\begin{array}{lcrr} x+\frac{ 1 }{ 2 } > 0 & \text{y} & x-\frac{ 3 }{ 2 } < 0 & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x+\frac{ 1 }{ 2 } < 0 & \text{y} & x-\frac{ 3 }{ 2 } > 0 & (2) \end{array} } \right.$

Notamos entonces, que quedan planteadas cuatro inecuaciones lineales de las cuales se puede despejar la variable x con facilidad, de la siguiente forma:

$\left\{ {\begin{array}{lcrr} x > -\frac{ 1 }{ 2 } & \text{y} & x < \frac{ 3 }{ 2 } & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x < -\frac{ 1 }{ 2 } & \text{y} & x > \frac{ 3 }{ 2 } & (2) \end{array} } \right.$

Solución 1:

Considerando que la línea (1) representa a todos los números que son mayores que $-\frac{1}{2}$ y menores que $\frac{3}{2}$ al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos $(-\frac{1}{2},+\infty)$ y $(-\infty,\frac{3}{2})$ así

$\left[ - \dfrac{ 1 }{ 2 },+\infty \right) \cap \left( -\infty,\dfrac{ 3 }{ 2 } \right] = \left[ - \dfrac{ 1 }{ 2 },\dfrac{ 3 }{ 2 } \right]$

Solución 2:

Considerando que la línea (2) representa a todos los números que son menores que $-\frac{1}{2}$ y mayores que $\frac{3}{2}$ al mismo tiempo, sin embargo, no existe ningún número que cumpla con esta condición. Entonces al considerar la intersección de los intervalos $(-\infty,-\frac{1}{2})$ y $(\frac{3}{2},+\infty)$ esta se representará con el conjunto vacío, así, tenemos que

$\left( -\infty, - \frac{ 1 }{ 2 } \right] \cap \left[\frac{ 3 }{ 2 },+\infty \right) = \emptyset$

Solución General:
$\left[ - \frac{ 1 }{ 2 } , \frac{ 3 }{ 2 } \right] \cup \emptyset = \left[ - \frac{ 1 }{ 2 } , \frac{ 3 }{ 2 } \right]$

Inecuaciones Cuadráticas, caso «mayor que»

25.11.201906.01.2023 Anthonny Arias-García3 comentarios

¿Cuándo el producto de dos números es positivo?
1. Ejemplos
  1. Ejemplo 1, «mayor que»:
  2. Ejemplo 2, «mayor o igual que»:

Así como hemos definido las ecuaciones cuadráticas mediante una igualdad, es posible definir las inecuaciones cuadráticas mediante una desigualdad. A continuación veremos el primero caso, que es cuando la desigualdad involucrada en la inecuación es «mayor que» o «mayor o igual que».

Entonces, considerando tres números reales $a$ , $b$ y $c$ , expresamos una inecuación cuadrática de la siguiente forma;

$ax^2 + bx + c > 0$

¿Cuándo el producto de dos números es positivo?

Sean $p$ y $q$ dos números reales. Si consideremos el producto $p \cdot q$ , ¿cuándo este producto es positivo? Para responder a esta pregunta, nos fijamos en la ley de los signos, pues recordando que más por más es más y menos por menos es más, podemos concluir que las condiciones que deben cumplir $p$ y $q$ para que se satisfaga la desigualdad $p \cdot q > 0$ , son las siguientes:

$\left\{ {\begin{array}{lcr} p > 0 & \text{y} & q > 0 \\ \text{\'o} & & \\ p < 0 & \text{y} & q < 0 \end{array} } \right.$

Es decir, los números $p$ y $q$ deben ser ambos positivos al mismo tiempo o ambos negativos al mismo tiempo.

Este caso también aplica cuando consideramos la desigualdad «mayor o igual» ( $\geq$ ). Veamos entonces en los siguientes ejemplos cómo calcular la solución de este tipo de ecuaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1, «mayor que»:

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad:

$(x-2) \cdot (x+3) > 0$

Esta es una inecuación cuadrática donde el polinomio cuadrático ya está factorizado. Considerando los dos factores $(x-2)$ y $(x+3)$ , ambos deben ser positivos o ambos deben ser negativos, así

$\left\{ {\begin{array}{lcrr} x-2 > 0 & \text{y} & x+3 > 0 & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x-2 < 0 & \text{y} & x+3 < 0 & (2) \end{array} } \right.$

Notamos entonces, que quedan planteadas cuatro inecuaciones lineales de las cuales se puede despejar la variable x con facilidad, de la siguiente forma:

$\left\{ {\begin{array}{lcrr} x > 2 & \text{y} & x > -3 & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x < 2 & \text{y} & x < -3 & (2) \end{array} } \right.$

Solución (1):

Considerando que la línea (1) representa a todos los números que son mayores que 2 y mayores que -3 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos $(2,+\infty)$ y $(-3,+\infty)$ así

$(2,+\infty) \cap (-3,+\infty) = (2,+\infty)$

Solución (2):

Considerando que la línea (2) representa a todos los números que son menores que 2 y menores que -3 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos $(-\infty,2)$ y $(-\infty,-3)$ así

$(-\infty,2) \cap (-\infty,-3) = (-\infty,-3)$

Solución General:
$(2,+\infty) \cup (-\infty,-3)$

Imagínese que en una reunión con sus amigos, acuerdan llevar empanadas o pastelitos para comer, es decir, si sólo hay empanadas, solo hay pastelitos o hay ambas cosas, igual van a comer.

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Consideremos ahora un ejemplo donde el polinomio cuadrático no está factorizado.

Ejemplo 2, «mayor o igual que»:

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad:

$x^2 + 6x + 8 \geq 0$

Notando que el polinomio no está factorizado, así que utilizamos el método del discriminante para factorizarlo. Entonces, considerando que sus coeficientes son $a=1$ , $b=6$ y $c=8$ , planteamos la fórmula cuadrática de la siguiente forma:

$\displaystyle \begin{array}{rl} x \ = & \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \\ \\ = & \dfrac{ -6 \pm \sqrt{( 6 )^2-4 \cdot ( 1 ) \cdot ( 8 )}}{2 \cdot ( 1 )} \\ \\ = & \dfrac{ -6 \pm 2 }{ 2 } \end{array}$

Así, las raíces del polinomio cuadrático $x^2 + 6x + 8$ son $x_1 = -2$ y $x_2 = -4$ , por lo tanto, podemos factorizarlo como $(x - ( -2 )) \cdot (x - ( -4 ))$ y en consecuencia, reescribimos la inecuación cuadrática original como sigue:

$(x +2) \cdot (x +4) \geq 0$

Al ser esta es una inecuación cuadrática donde el polinomio cuadrático ya está factorizado. Considerando los dos factores $(x+2)$ y $(x+4)$ , ambos deben ser positivos o ambos deben ser negativos, así

$\left\{ {\begin{array}{lcrr} x+2 > 0 & \text{y} & x+4 > 0 & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x+2 < 0 & \text{y} & x+4 < 0 & (2) \end{array} } \right.$

Notamos entonces, que quedan planteadas cuatro inecuaciones lineales de las cuales se puede despejar la variable x con facilidad, de la siguiente forma:

$\left\{ {\begin{array}{lcrr} x > -2 & \text{y} & x > -4 & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x < -2 & \text{y} & x < -4 & (2) \end{array} } \right.$

Solución (1):

Considerando que la línea (1) representa a todos los números que son mayores que -2 y mayores que -4 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos $[-2,+\infty)$ y $[-4,+\infty)$ así

$[-2,+\infty) \cap [-4,+\infty) = [-2,+\infty)$

Solución (2):

Considerando que la línea (2) representa a todos los números que son menores que -2 y menores que -4 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos $(-\infty,-2)$ y $(-\infty,-4)$ así

$(-\infty,-2] \cap (-\infty,-4] = (-\infty,-4]$

Solución General:
$[-2,+\infty) \cup (-\infty,-4]$

Aunque se pueden considerar más ejemplos, estos son los ejemplos más básicos de las situaciones que se pueden presentar al calcular la solución de una inecuación cuadrática.

Intervalos

24.11.201923.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

¡Acotemos conjuntos numéricos!

Al considerar la solución de una inecuación, tenemos conjuntos numéricos muy particulares pues al expresar estos de forma gráfica sobre la recta real, vemos que tienen una estructura parecida, es por esto que podemos clasificar las distintas formas en que podemos expresar estas soluciones. Para esto definimos los intervalos.

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Intervalos no acotados

Definimos los intervalos no acotados, como aquellos intervalos que contienen a todos los números mayores que un número fijo. Formalmente, sea $a$ un numero real, entonces podemos definir cuatro tipo de intervalos no acotados de la siguiente forma:

Intervalo abierto en a, hasta más infinito

$\{ x \in R : x > a \} = (a,+\infty)$
el intervalo que va desde a (excluyendo a), hasta más infinito

Notemos que este conjunto contiene a todos los números mayores que $a$ , pero no contiene a $a$ . Además, no existe un número dentro del intervalo, que sea mayor que todos los demás números del intervalo. Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

Intervalo cerrado en a, hasta más infinito

$\{ x \in R : x > a \} = [a,+\infty)$
el intervalo que va desde a (incluyendo a), hasta más infinito

Notemos que este conjunto contiene a todos los números mayores que $a$ , y sí contiene a $a$ . Además, no existe un número dentro del intervalo, que sea mayor que todos los demás números del intervalo. Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

Intervalo abierto en a, desde menos infinito

$\{ x \in R : x < a \} = (-\infty,a)$
el intervalo que va desde menos infinito, hasta a (excluyendo a)

Notemos que este conjunto contiene a todos los números menores que $a$ , pero no contiene a $a$ . Además, no existe un número dentro del intervalo, que sea menor que todos los demás números del intervalo. Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

Intervalo cerrado en a, desde menos infinito

$\{ x \in R : x < a \} = (-\infty,a]$
el intervalo que va desde menos infinito, hasta a (incluyendo a)

Notemos que este conjunto contiene a todos los números menores que $a$ , y sí contiene a $a$ . Además, no existe un número dentro del intervalo, que sea menor que todos los demás números del intervalo. Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

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Intervalos acotados

Sentando base en los intervalos que van hasta o desde el infinito, es posible definir otro tipo de intervalos a partir de la intersección de estos. Es decir, definimos un intervalo como el conjunto de todos los números que se encuentran entre dos números dados. Consideremos dos números reales $a$ y $b$ tal que $a < b$ , entonces podemos definir cuatro tipo de intervalos acotados de la siguiente forma:

Intervalo abierto

$(a,+\infty) \cap (-\infty,b) = (a,b)$
el intervalo que va desde a (excluyendo a), hasta b (excluyendo b)

Notemos que este conjunto contiene a todos los números mayores que $a$ y menores que $b$ al mismo tiempo. Además, no contiene a $a$ y no contiene a $b$ . Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

Intervalo semicerrado o semiabierto

$[a,+\infty) \cap (-\infty,b) = [a,b)$
el intervalo que va desde a (incluyendo a), hasta b (excluyendo b)

Notemos que este conjunto contiene a todos los números mayores que $a$ y menores que $b$ al mismo tiempo. Además, sí contiene a $a$ y no contiene $b$ . Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

Intervalo semicerrado o semiabierto

$(a,+\infty) \cap (-\infty,b] = (a,b]$
el intervalo que va desde a (excluyendo a), hasta b (incluyendo b)

Notemos que este conjunto contiene a todos los números mayores que $a$ y menores que $b$ al mismo tiempo. Además, no contiene a $a$ y sí contiene $b$ . Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

Intervalo cerrado

$(a,+\infty) \cap (-\infty,b)= [a,b]$
el intervalo que va desde a (incluyendo a), hasta b (incluyendo b)

Notemos que este conjunto contiene a todos los números mayores que $a$ y menores que $b$ al mismo tiempo. Además, sí contiene a $a$ y sí contiene $b$ . Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

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De esta forma, si consideramos una inecuación, podemos expresar su solución en términos de intervalos y así, facilitar su ilustración de una forma más intuitiva. Veamos con un ejemplo como usar intervalos al resolver inecuaciones.

Ejemplo

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad:

$-1 \leq 10-4x < 22$

Ecuación 1

$-1 \leq 10-4x$

$-1 -10 \leq -4x$

$-11 \leq -4x$

$\frac{-11}{-4} \geq x$

$\frac{11}{4} \geq x$

$x \leq \frac{11}{4}$

Solución 1:

$\left(-\infty,\frac{11}{4} \right]$

Ecuación 2

$10-4x < 22$

$-4x < 22-10$

$-4x < 12$

$x > \frac{12}{-4}$

$x > -3$

Solución 2:

$(-3,+\infty)$

Por lo tanto, la solución de la inecuación $-1 \leq 10-4x < 22$ viene dada por la intersección de la solución 1 con la solución 2, es decir,

$\left(-\infty,\frac{11}{4} \right] \cap (-3,+\infty) = \left( -3,\frac{11}{4} \right]$

Inecuaciones Lineales con dos desigualdades

22.11.201923.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Acotando variables

Suponga que usted debe llenar una pequeña piscina inflable con agua, ésta tiene actualmente treinta litros de agua, pero no puede cargar menos de cuarenta litros porque se desinfla y no debe cargar más de ochenta porque se derrama, ¿cuánta agua puede verter en esta piscina? Éste tipo de situaciones la podemos expresar con una inecuación en la que acotamos un número desconocido por otros dos de la siguiente forma:

$40 < 30 + x < 80$

Al introducir las inecuaciones lineales, las hemos definido usando sólo una desigualdad y calculamos la solución de estas usando técnicas de despeje muy similares a las usadas al calcular la solución de ecuaciones, que también contaban con sólo una igualdad.

En este caso notamos que la inecuación que se presenta cuenta con dos desigualdades, así que surge la siguiente pregunta: ¿de qué forma podemos aplicar las técnicas de despeje cuando hay dos desigualdades en la inecuación?

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Cómo calcular la solución

La técnica para calcular la solución de una inecuación lineal con dos desigualdades consiste en fraccionarlas en dos inecuaciones lineales y esta forma, poder aplicar las técnicas de despeje en cada una.

Formalmente, si consideramos $a$ , $b$ , $c$ y $d$ números reales, podemos expresar una inecuación lineal con dos desigualdades de la siguiente forma:

$a < bx + c < d$

Los valores de $x$ que satisfacen las inecuación $a < bx + c < d$ son exactamente los mismos que satisfacen las siguientes dos inecuaciones al mismo tiempo:

$\huge \left\{ {\begin{array}{l} a < bx + c \\ \text{y} \\ bx + c < d \\ \end{array} } \right.$

Ejemplos

Ejemplo 1

Para calcular los valores de $x$ que satisfacen la inecuación que hemos planteado al inicio de esta sección, debemos calcular la solución de cada una de estas inecuaciones por separado. Entonces, considerando la inecuación original $40 < 30 + x < 80$ , tenemos dos inecuaciones

Inecuación 1

$40 < 30 + x$

$\Rightarrow 40 - 30 < x$

$\Rightarrow 10 < x$

$\Rightarrow x > 10$

Inecuación 2

$30 + x < 80$

$\Rightarrow x < 80 - 30$

$\Rightarrow x < 50$

A partir de estas dos inecuaciones, definimos dos conjuntos de soluciones expresados de forma comprensiva y de forma gráfica sobre la recta real:

Solución 1:

$\{ x \in \mathbb{R} : x > 10 \}$

Solución 2:

$\{ x \in \mathbb{R} : x < 50 \}$

Al considerar estas dos soluciones, debemos tomar en cuenta que los valores de $x$ que satisfacen la inecuación $40 < 30 + x < 80$ son los que se encuentran en estos dos conjuntos al mismo tiempo, es decir, se encuentra en la intersección de estos dos conjuntos. Por lo tanto $x$ se encuentra en el siguiente conjunto

$\{ x \in \mathbb{R} : x > 10 \} \cap \{ x \in \mathbb{R} : x < 50 \}$

Notemos que gráficamente, los elementos de nuestra solución se encuentran en el área donde se cruzan las líneas, es decir, entre 10 y 50. Así, concluimos que se pueden verter entre diez y cincuenta litros de agua a la piscina inflable para que ésta se pueda usar con tranquilidad.

Nota: Si consideramos a menor que b, es lo mismo que considerar b mayor que a. Es decir, $a < b$ y $b > a$ son expresiones equivalentes.

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Ejemplo 2

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad, escriba el conjunto solución de forma comprensiva y dibuje una representación gráfica de la solución en la recta real.

$1 \leq x + 3 \leq 5$

Inecuación 1

$1 \leq x + 3$

$\Rightarrow 1 -3 \leq x$

$\Rightarrow -2 \leq x$

$\Rightarrow x \geq -2$

Inecuación 2

$x + 3 \leq 5$

$\Rightarrow x \leq 5 - 3$

$\Rightarrow x \leq 2$

A partir de estas dos inecuaciones, definimos dos conjuntos de soluciones expresados de forma comprensiva y de forma gráfica sobre la recta real:

Solución 1:

$\{ x \in \mathbb{R} : x \geq -2 \}$

*todos los números mayores o iguales que menos dos*

Solución 2:

$\{ x \in \mathbb{R} : x \leq 2 \}$

*todos los números menores o iguales que menos dos*

Al considerar estas dos soluciones, debemos tomar en cuenta que los valores de $x$ que satisfacen la inecuación $1 \leq x + 3 \leq 5$ son los que se encuentran en estos dos conjuntos al mismo tiempo, es decir, se encuentra en la intersección de estos dos conjuntos. Por lo tanto $x$ se encuentra en el siguiente conjunto

$\{ x \in \mathbb{R} : x \geq -2 \} \cap \{ x \in \mathbb{R} : x \leq 2 \}$

Gráficamente, los elementos de nuestra solución se encuentran en el área donde se cruzan las líneas, es decir, entre $-2$ y $2$ .

Ejemplo 3

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad, escriba el conjunto solución de forma comprensiva y haga una representación gráfica de la solución en la recta real.

$4 \geq 2x + 5 > -2$

Inecuación 1

$4 \geq 2x + 5$

$\Rightarrow 4 - 5 \geq 2x$

$\Rightarrow -1 \geq 2x$

$\Rightarrow -\frac{1} {2}\geq x$

$\Rightarrow x \leq -\frac{1} {2} x$

Inecuación 2

$2x + 5 > -2$

$\Rightarrow 2x > -2 -5$

$\Rightarrow 2x > -7$

$\Rightarrow x > -\frac{7}{2}$

A partir de estas dos inecuaciones, definimos dos conjuntos de soluciones expresados de forma comprensiva y de forma gráfica sobre la recta real:

Solución 1:

$\left\{ x \in \mathbb{R} : x \leq -\frac{1}{2} \right\}$

Solución 2:

$\left\{ x \in \mathbb{R} : x > -\frac{7}{2} \right\}$

Al considerar estas dos soluciones, debemos tomar en cuenta que los valores de $x$ que satisfacen la inecuación $4 \geq 2x + 5 > -2$ son los que se encuentran en estos dos conjuntos al mismo tiempo, es decir, se encuentra en la intersección de estos dos conjuntos. Por lo tanto $x$ se encuentra en el siguiente conjunto

$\{ x \in \mathbb{R} : x \leq -\frac{1}{2} \} \cap \{ x \in \mathbb{R} : x > -\frac{7}{2} \}$

Gráficamente, los elementos de nuestra solución se encuentran en el área donde se cruzan las líneas, es decir, entre $-\frac{7}{2}$ y $-\frac{1}{2}$ .

Introducción a las Inecuaciones Lineales

20.11.201922.12.2022 Anthonny Arias-García4 comentarios

¿Qué es una inecuación?

Suponga que usted va al supermercado a comprar queso pero debe comprar menos de un kilo porque el dinero no le alcanza, la persona que vende el queso le corta un trozo que pesa un tercio de kilo pero a usted le gustaría un poco más. ¿Cuánto más queso debería cortar de modo que sea menos de un kilo?

Recordemos que las desigualdades nos permiten comparar números reales, por lo tanto, esta situación se puede plantear como una relación a través de una desigualdad, de la siguiente manera:

$\displaystyle \frac{1}{3} + x < 1$

Es decir, el valor de $x$ representa una porción adicional sobre un tercio de kilo de queso, que representa un rango de valores, pues, pudiéramos añadir un poco o mucho, con tal y no nos excedamos de un kilo de queso.

Podemos tantear la situación para determinar cuáles son los valores de $x$ que satisfacen esta desigualdad, sin embargo, nuestro objetivo será el de desarrollar un método para determinar este valor mediante las operaciones entre números reales tal como lo hicimos cuando calculamos la solución de ecuaciones.

Formalmente, definimos una inecuación como una relación entre números conocidos y números desconocidos a través de una desigualdad. Generalmente, denotamos dichos números desconocidos con las letras $x$ , $y$ o $z$ ; a estos valores desconocidos también se les conoce como incógnitas. Esta definición es muy parecida a la de una ecuación, sin embargo, la solución estará representada por un conjunto infinito de números reales.

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Sumamos o restamos en ambos lados de la desigualdad

Usaremos técnicas de despeje de la incógnita para calcular la solución de inecuaciones. Entonces, continuando con nuestro ejemplo:

$\displaystyle \frac{1}{3} + x < 1$

El primer paso es conmutar la suma que está en el lado izquierdo de la desigualdad, de forma que obtenemos la siguiente inecuación:

$\displaystyle x + \frac{1}{3} < 1$

El siguiente paso para despejar es restar un tercio en ambos lados de la inecuación, pero, ¿se mantiene la desigualdad si restamos un número real en ambos lados la ecuación?

La respuesta es sí. Veámoslo de la siguiente forma: si usted tiene un tercio de kilo de queso (333,33 miligramos) en un plato y un kilo de queso (1000 miligramos) en un una nevera, hay menos queso en el plato que en la nevera.

Si de ambos toma un tercio, el plato quedará nacío y en la nevera quedarán dos tercios de kilo de queso (666.66 miligramos), es decir, en el plato habrá menos queso que en la nevera. Por lo tanto, se mantiene la desigualdad.

Por lo tanto, si restamos un tercio en ambos lados de la inecuación, podemos concluir lo siguiente:

$\displaystyle x + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} < 1 - \frac{1}{3}$

$\displaystyle \Rightarrow x + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} < 1 - \frac{1}{3}$

$\displaystyle \Rightarrow x < \frac{2}{3}$

Finalmente, concluimos que la persona que vende el queso debe cortar a lo sumo, dos tercios de kilo para que su pedido no se pase de un kilo.

Nos damos cuenta que no es un único el número que satisface esta condición, pues de forma general todos los números que son menores que dos tercios son aquellos que se encuentran en el conjunto $\{ x \in \mathbb{R} : x < \frac{2}{3} \}$ .

Este conjunto se puede apreciar mucho mejor con una representación gráfica, así que lo representaremos gráficamente en la recta real de la siguiente manera:

Dibujo de la recta real, donde todos los números menores que un medio están representados con rayas cruzadas. Sobre el número un medio hay escrito un paréntesis. | totumat.com

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Dividimos o multiplicamos en ambos lados de la desigualdad

Notemos que para calcular el valor de $x$ hicimos un procedimiento muy parecido al que usamos para calcular la solución de una ecuación y en general el procedimiento será el mismo pues al sumar o restar números en ambos lados de la desigualdad, esta permanece inalterada.

Al multiplicar en ambos lados de una inecuación por un número positivo, ésta permanece inalterada. Sin embargo, cuando multiplicamos en ambos lados de una inecuación por un número real negativo, cambiará el sentido de la desigualdad.

Suponga que usted y un compañero de clases van a desayunar en un cafetín, cada empanada cuesta 10 Ps pero ese día ninguno de los dos llevó dinero, así que la señora que atiende les fía porque ustedes clientes regulares. Su compañero pide 4 empanadas y usted pide 2 empanadas. ¿Cuál de los dos tiene más empanadas?

Su compañero tiene más empanadas que usted y esta situación se representa de la siguiente manera:

$4 > 2$

Entonces, tomando en cuenta que si cada empanada cuesta 20 Ps. ¿Cuál de los dos debe más dinero?

Debemos multiplicar la cantidad de empanadas por el precio de cada empanada, y así, su compañero debe $(-10) \cdot 4$ y usted debe $(-10) \cdot 2$ Cuando comparamos estos dos valores, obtenemos la siguiente desigualdad:

$\displaystyle (-10) \cdot 4 < (-10) \cdot 2 \Longleftrightarrow -40 < -20$

Lo que ocurre es que su deuda es más pequeña que la de su compañero, es decir, su deuda está más cercana al cero que la deuda de su compañero.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

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Lo que debemos notar es que si multiplicamos por un número negativo en ambos lados de una inecuación, cambia el sentido de la desigualdad. Formalmente, si consideramos $a$ , $b$ y $-c$ números reales, donde $-c$ es un número negativo, entonces:

$a > b \Longleftrightarrow a \cdot (-c) < b \cdot (-c)$

$a \geq b \Longleftrightarrow a \cdot (-c) \leq b \cdot (-c)$

$a < b \Longleftrightarrow a \cdot (-c) > b \cdot (-c)$

$a \leq b \Longleftrightarrow a \cdot (-c) \geq b \cdot (-c)$

A continuación veremos algunos ejemplos de inecuaciones en las cuales debemos hallar el valor de $x$ y también veremos que la solución se puede representar como un conjunto de forma comprensiva y de forma gráfica en la recta real.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente inecuación: $2 + 8x < 6$ , escriba el conjunto solución de forma comprensiva y haga una representación gráfica de la solución en la recta real.

$\displaystyle 2 + 8x < 6$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 8x + 2 - 2 < 6 - 2$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 8x + 2 - 2 < 4$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 8x + 0 < 4$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 8x < 4$

$\displaystyle \Longleftrightarrow \frac{8}{8}x < \frac{4}{8}$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 1 \cdot x < \frac{1}{2}$

$\displaystyle \Longleftrightarrow x < \frac{1}{2}$

Solución: $\{ x \in \mathbb{R} : x < \frac{1}{2} \}$

Note que en la representación gráfica de esta solución hemos usado un paréntesis ), esto es para denotar que el número un medio no está incluido en nuestra solución pues ésta viene dada por todos los números menores o iguales que un medio.

Ejemplo 2

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente inecuación: $1 + 3x \leq 7$ , escriba el conjunto solución de forma comprensiva y haga una representación gráfica de la solución en la recta real.

$\displaystyle 1 + 3x \leq 7$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 3x \leq 7 - 1$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 3x \leq 6$

$\displaystyle \Longleftrightarrow x \leq \frac{6}{3}$

$\displaystyle \Longleftrightarrow x \leq 2$

Solución: $\{ x \in \mathbb{R} : x \leq 2 \}$

Dibujo de la recta real, donde todos los números menores o iguales que dos están representados con rayas cruzadas. Sobre el número dos hay escrito un paréntesis. | totumat.com — *todos los números menores o iguales que dos*

Note que en la representación gráfica de esta solución hemos usado un corchete ] en vez de un paréntesis, esto es para denotar que el número dos sí está incluido en nuestra solución pues ésta viene dada por todos los números menores o iguales que dos.

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Ejemplo 3

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente inecuación: $\frac{5}{3} - 5x > \frac{2}{3}$ , escriba el conjunto solución de forma comprensiva y haga una representación gráfica de la solución en la recta real.

$\displaystyle \frac{5}{3} - 5x > \frac{2}{3}$

$\displaystyle \Longleftrightarrow - 5x > \frac{2}{3} - \frac{5}{3}$

$\displaystyle \Longleftrightarrow - 5x > - \frac{3}{3}$

$\displaystyle \Longleftrightarrow - 5x > -1$

$\displaystyle \Longleftrightarrow \frac{-5}{-5}x < \frac{-1}{-5}$

(Cambia el sentido de la desigualdad al dividir entre -5 en ambos lados)

$\displaystyle \Longleftrightarrow x < \frac{1}{5}$

Solución: $\{ x \in \mathbb{R} : x < \frac{1}{5} \}$

Dibujo de la recta real, donde todos los números menores que un quinto están representados con rayas cruzadas. Sobre el número un quinto hay escrito un paréntesis. | totumat.com — *todos los números menores que un quinto*

Note que cuando se multiplicó por $-\frac{1}{5}$ (o que es lo mismo, se dividió por $-5$ ) en ambos lados de la desigualdad, cambió el sentido de la desigualdad.

Ejemplo 4

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente inecuación: $5x - 3 \geq 12$ , escriba el conjunto solución de forma comprensiva y haga una representación gráfica de la solución en la recta real.

$\displaystyle 5x - 3 \geq 12$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 5x \geq 12 + 3$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 5x \geq 15$

$\displaystyle \Longleftrightarrow x \geq \frac{15}{5}$

$\displaystyle \Longleftrightarrow x \geq 3$

Solución: $\{ x \in \mathbb{R} : x \geq 3 \}$

Dibujo de la recta real, donde todos los números mayores que tres están representados con rayas cruzadas. Sobre el número tres hay escrito un corchete. | totumat.com — *todos los números mayores o iguales que tres*

Note que en la representación gráfica de esta solución hemos usado un corchete [ en vez de un paréntesis, esto es para denotar que el número tres sí está incluido en nuestra solución pues ésta viene dada por todos los números mayores o iguales que tres.

¿Cuándo el producto de dos números es negativo?

Ejemplos

Ejemplo 1, «menor que»

Ejemplo 2, «menor o igual que»

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¿Cuándo el producto de dos números es positivo?

Ejemplos

Ejemplo 1, «mayor que»:

Ejemplo 2, «mayor o igual que»:

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¡Acotemos conjuntos numéricos!

Intervalos no acotados

Intervalo abierto en a, hasta más infinito

Intervalo cerrado en a, hasta más infinito

Intervalo abierto en a, desde menos infinito

Intervalo cerrado en a, desde menos infinito

Intervalos acotados

Intervalo abierto

Intervalo semicerrado o semiabierto

Intervalo semicerrado o semiabierto

Intervalo cerrado

Ejemplo

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Acotando variables

Cómo calcular la solución

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

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¿Qué es una inecuación?

Sumamos o restamos en ambos lados de la desigualdad

Dividimos o multiplicamos en ambos lados de la desigualdad

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

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