Tabla de Análisis de Signo

Si se sabe interpretar de forma correcta la información que se obtiene de las derivadas de una función se puede hacer bosquejo de un polinomio sin necesidad de extenderse mucho en los cálculos, sin embargo, definamos una serie de pasos que facilite el flujo de la información que vamos obteniendo del polinomio para poder apreciar su comportamiento general. Si $P(x)$ un polinomio, entonces

Calculamos los puntos de corte con los ejes y estudiamos su positividad (intervalos en los que es positiva o negativa).
Calculamos los puntos críticos y determinamos su monotonía (intervalos en los que crece o decrece).
Calculamos los puntos de inflexión y determinamos su concavidad (intervalos en los que es convexa o cóncava).
Calculamos las imágenes de los puntos de los puntos críticos y de inflexión.
Esbozar la gráfica.

De esta forma, aunque es un proceso extenso, se observa con claridad el comportamiento de la función en cada intervalo de la recta real estudiando la función, su primera derivada y su segunda derivada. Veamos con algunos ejemplos como hacer estos bosquejos.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Haga un bosquejo del polinomio $P(x) = x^2 + 5x +6$

Primer Paso: Puntos de Corte y Positividad.

Para determinar el punto de corte del polinomio con el Eje Y, calculamos el valor del polinomio cuando $x=0$ , esto es

$P(0) = (0)^2 + 5(0) +6 = 6$

Para determinar los puntos de corte del polinomio con el Eje X, calculamos el valor de la variable $x$ cuando $P(x)=0$ , esto es,

$x^2 + 5x +6 = 0 \Longrightarrow (x+2)(x+3)=0$

Entonces, los puntos de corte del polinomio con el Eje X son $x=-2$ y $x=-3$ . Así, podemos estudiar la positividad del polinomio haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio $P(x)$

Está por encima del Eje X en los intervalos $(-\infty,-3)$ y $(-2,+\infty)$ .
Está por debajo del Eje X en el intervalo $(-3,-2)$ .

Segundo Paso: Puntos Críticos y Monotonía.

Para determinar los puntos críticos del polinomio $P(x)$ calculamos su primera derivada y obtenemos $P'(x) = 2x+5$ . Calculamos los valores para los cuales $P'(x)=0$ , esto es,

$2x+5 = 0 \Longrightarrow x = -\frac{5}{2}$

Entonces, el punto crítico del polinomio es $x=-\frac{5}{2}$ . Así, podemos estudiar la monotonía del polinomio haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio $P(x)$

Es decreciente en el intervalo $(-\infty,-\frac{5}{2})$ ,
Es creciente en el intervalo $(-\frac{5}{2},+\infty)$ .
Alcanza un mínimo local en $x=-\frac{5}{2}$ .

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Tercer Paso: Puntos de Inflexión y Concavidad.

Para determinar los puntos de inflexión del polinomio $P(x)$ calculamos su segunda derivada y obtenemos $P''(x) = 2$ . Concluyendo inmediatamente que nunca es igual a cero, entonces no tiene puntos de inflexión. Aunque la conclusión es clara, haremos una tabla de análisis de signo para ilustrar lo que ocurre.

De esta forma, concluimos que el polinomio $P(x)$

Es convexo en todo su dominio.

Cuarto Paso: Imágenes.

$P(-\frac{5}{2}) =\left( -\frac{5}{2} \right)^2 + 5 \left( -\frac{5}{2} \right) + 6 = -\frac{1}{4} = -0.25$

Quinto Paso: Graficar.

Puntos de Corte.

Puntos Críticos.

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Ejemplo 2

Haga un bosquejo del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 -x +2$

Primer Paso: Puntos de Corte y Positividad.

Para determinar el punto de corte del polinomio con el Eje Y, calculamos el valor del polinomio cuando $x=0$ , esto es

$P(0) = (0)^3 - 2(0)^2 -(0) +2 = 2$

Para determinar los puntos de corte del polinomio con el Eje X, calculamos el valor de la variable $x$ cuando $P(x)=0$ , esto es,

$x^3 - 2x^2 -x +2 = 0$

Considerando que este polinomio es de grado tres, el método que usaremos para calcular sus raíces será el Método de Ruffini. Entonces, consideramos sus coeficientes de la siguiente manera

Entonces, los puntos de corte del polinomio con el Eje X son $x=1$ , $x=-1$ y $x=2$ . Así, podemos factorizar el polinomio como $P(x)=(x-1)(x+1)(x-2)$ y estudiar su positividad haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio $P(x)$

Está por encima del Eje X en los intervalos $(-1,1)$ y $(2,+\infty)$
Está por debajo del Eje X en los intervalos $(-\infty,-1)$ y $(1,2)$ .

Segundo Paso: Puntos Críticos y Monotonía.

Para determinar los puntos críticos del polinomio $P(x)$ calculamos su primera derivada y obtenemos $P'(x) = 3x^2 - 4x -1$ . Calculamos los valores para los cuales $P'(x)=0$ . Considerando que este polinomio es de segundo grado, el método que usaremos para calcular sus raíces será el Método del Discriminante.

Identificamos los coeficientes del polinomio como $a=3$ , $b=-4$ y $c=-1$ y aplicamos la fórmula del discriminante

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3}$

$= \dfrac{4 \pm \sqrt{16+12}}{6}$

$= \dfrac{4 \pm \sqrt{28}}{6}$

$= \dfrac{2 \pm \sqrt{7}}{3}$

$x_1 = \dfrac{2 + \sqrt{7}}{3} \approx 1.54858$

$x_2 = \dfrac{2 - \sqrt{7}}{3} \approx -0.21525$

Entonces, los puntos críticos del polinomio son $x=\dfrac{2 + \sqrt{7}}{3}$ y $x=\dfrac{2 - \sqrt{7}}{3}$ . Así, podemos factorizar la primera derivada del polinomio como $P'(x)=3\left( x - \frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right)\left( x + \frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right)$ y estudiar la monotonía del polinomio haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio $P(x)$

Es creciente en los intervalos $\left(-\infty,\frac{2 - \sqrt{7}}{3}\right)$ y $\left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3},+\infty\right)$ .
Es decreciente en el intervalo $\left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3},\frac{2 + \sqrt{7}}{3}\right)$ .
Alcanza un máximo local en $x=\frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ .
Alcanza un mínimo local en $x=\frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ .

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Tercer Paso: Puntos de Inflexión y Concavidad.

Para determinar los puntos de inflexión del polinomio $P(x)$ calculamos su segunda derivada y obtenemos $P''(x) = 6x-4$ . Calculamos los valores para los cuales $P''(x)=0$ . Considerando que este polinomio lineal, el método que usaremos para calcular sus raíces será un simple despeje de la siguiente manera

$6x-4 = 0 \Longrightarrow 6x = 4 \Longrightarrow x = \frac{4}{6} \Longrightarrow x = \frac{2}{3}$

Entonces nuestro posible punto de inflexión es $x=\frac{2}{3}$ , y estudiamos la concavidad del polinomio haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio $P(x)$

Es cóncavo en el intervalo $(-\infty,\frac{2}{3})$ .
Es convexo en el intervalo $(\frac{2}{3},+\infty)$ .
Alcanza un punto de inflexión en $x=\frac{2}{3}$ .

Cuarto Paso: Imágenes.

$P\left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right) = \left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right)^3 - 2\left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right)^2 -\left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right) +2 \approx -0.63113$
$P\left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3} \right) = \left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3} \right)^3 - 2\left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3} \right)^2 -\left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3} \right) +2 \approx 2.11261$
$P\left(\frac{2}{3} \right) = \left(\frac{2}{3} \right)^3 - 2\left(\frac{2}{3} \right)^2 -\left(\frac{2}{3} \right) +2 \approx 0.740741$

Quinto Paso: Graficar.

Puntos de Corte.

Puntos Críticos.

Puntos de Inflexión.

¿Qué es una inecuación polinómica?

Una inecuación polinómica, es una inecuación que involucra a una una potencia de la variable $x$ . Formalmente, si consideramos un conjunto de $n$ números reales $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_2, a_1, a_0$ , definimos una inecuación polinómica como una inecuación que se puede expresar de la siguiente forma:

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 > 0$

Donde « $>$ » representa cualquier desigualdad $>$ , $\geq$ , $<$ ó $\leq$ .

Si definimos $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ , entonces podemos expresar una inecuación polinómica de la siguiente forma:

$P(x) > 0$

La Tabla de Análisis de Signos

La técnica que usaremos para calcular la solución de este tipo de inecuaciones, consiste en calcular las raíces del polinomio $P(x)$ , factorizarlo a partir de sus raíces y posteriormente, analizar el signo de cada factor a lo largo de cada número real, es decir, para qué valores de $x$ cada factor es positivo o negativo.

En los siguientes ejemplos explicaremos cómo usar una Tabla de Análisis de Signos o simplemente Tabla de Signos (coloquialmente conocida como el método del cementerio o método de las cruces) para calcular la solución de inecuaciones polinómicas.

La tabla de análisis de signos está basada en el Teorema de Sturm, que en términos llanos, permite determinar la cantidad de raíces de un polinomio en un intervalo a partir de la cantidad de veces que varía el signo de dicho polinomio en dicho intervalo.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad:

$x^3 + 2x^2 - x - 2 > 0$

El primero paso será calcular las raíces del polinomio $P(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2$ , Esto lo haremos usando el Método de Ruffini de la siguiente forma:

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio $P(x)$ son $x_1=1$ , $x_2=-1$ y $x_3=-2$ .

A partir de dichas raíces, podemos factorizar el polinomio como sigue:

$P(x) = (x-1)(x-(-1))(x-(-2)) = (x-1)(x+1)(x+2)$

Nuestro propósito será el de determinar el signo de cada uno de los factores involucrados entre los intervalos $(-\infty,-2)$ , $(-2,-1)$ , $(-1,1)$ y $(1,+\infty)$ . Para esto disponemos en la recta real cada una de las raíces del polinomio, $-\infty$ y $+\infty$ de forma ordenada:

Construcción de una Tabla de Signos | totumat.com

Debajo de cada una de las raíces del polinomio, $-\infty$ y $+\infty$ se trazan rectas verticales; y además se trazan cuatro renglones, siendo uno para cada factor y uno adicional para el polinomio $P(x)$ :

En estos renglones se disponen los factores $(x-1)$ , $(x+1)$ , $(x+2)$ y el polinomio $P(x)$ , de la siguiente forma:

Ubicamos en la tabla valor de $x$ para el cual se anula el primer factor, es decir, el valor de $x$ para el cual $x-1 = 0$ . Este valor es $1$ y concluimos lo siguiente:

Para los valores de $x$ menores que $1$ , el factor $(x-1)$ es negativo.
Para los valores de $x$ mayores que $1$ , el factor $(x-1)$ es positivo.

Ubicamos en la tabla valor de $x$ para el cual se anula el segundo factor, es decir, el valor de $x$ para el cual $x+1 = 0$ . Este valor es $-1$ y concluimos lo siguiente:

Para los valores de $x$ menores que $-1$ , el factor $(x-1)$ es negativo.
Para los valores de $x$ mayores que $-1$ , el factor $(x-1)$ es positivo.

Ubicamos en la tabla valor de $x$ para el cual se anula el tercer factor, es decir, el valor de $x$ para el cual $x+2 = 0$ . Este valor es $-2$ y concluimos lo siguiente:

Para los valores de $x$ menores que $-2$ , el factor $(x-1)$ es negativo.
Para los valores de $x$ mayores que $-2$ , el factor $(x-1)$ es positivo.

Para cada intervalo $(-\infty,-2)$ , $(-2,-1)$ , $(-1,1)$ y $(1,+\infty)$ el signo de $P(X)$ está definido por el producto de los factores $(x-1)$ , $(x+1)$ y $(x+2)$ . De esta forma, multiplicamos los signos de los factores de cada columna:

En la primera columna $(-) \cdot (-) \cdot (-) = -$
En la segunda columna $(-) \cdot (-) \cdot (+) = +$
En la tercera columna $(-) \cdot (+) \cdot (+) = -$
En la cuarta columna $(+) \cdot (+) \cdot (+) = +$

Por lo tanto, nuestra Tabla de Análisis de Signos queda expresada de la siguiente forma:

Finalmente, concluimos que la desigualdad planteada en $x^3 + 2x^2 - x - 2 > 0$ se satisface para los valores de $x$ que pertenecen al intervalo $(-2,-1)$ o al intervalo $(1,+\infty)$ , entonces la solución general de la inecuación está definida por la siguiente unión de intervalo:

$(-2,-1) \cup (1,+\infty)$

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Ejemplo 2

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad:

$-2x^3 - 10x^2 + 4x + 48 \leq 0$

Lo primero que debemos notar es que podemos sacar $-2$ como un factor en el polinomio $P(x) = -2x^3 - 10x^2 + 4x + 48$ . De esta forma, obtenemos la siguiente expresión:

$-2 \cdot (x^3 + 5x^2 - 2x - 24) \leq 0$

El siguiente paso será calcular las raíces del polinomio $x^3 + 5x^2 - 2x - 24$ , Esto lo haremos usando el Método de Ruffini, como sigue:

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio $P(x)$ son $x_1=2$ , $x_2=-3$ y $x_3=-4$ .

A partir de dichas raíces, podemos factorizar el polinomio como sigue:

$P(x) = -2(x-2)(x-(-3))(x-(-4)) = -2(x-2)(x+3)(x+4)$

Nuestro propósito será el de determinar el signo de cada uno de los factores involucrados entre los intervalos $(-\infty,-4]$ , $[-4,-3]$ , $[-3,2]$ y $[2,+\infty]$ . Para esto disponemos en la recta real cada una de las raíces del polinomio, $-\infty$ y $+\infty$ de forma ordenada.

Es importante tomar en cuenta que $-2$ es un factor negativo constante, así, nuestra tabla de análisis de signo quedará expresada de la siguiente forma:

Finalmente, concluimos que la desigualdad planteada en la inecuación $-2x^3 - 10x^2 + 4x + 48 \leq 0$ se satisface para los valores de $x$ que pertenecen al intervalo $[-4,-3]$ o al intervalo $[2,+\infty)$ , entonces la solución general de la ecuación es:

$[-4,-3] \cup [2,+\infty)$

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Etiqueta: Tabla de Análisis de Signo

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