Ecuaciones en Diferencias Finitas: Estabilidad

Hemos dicho que nos interesa estudiar el comportamiento de la solución de una Ecuación en Diferencias Finitas alrededor de un punto particular, y este punto es el punto de equilibrio, así que una vez que sabemos como calcularlo. Veamos qué tipos de comportamiento podemos identificar.

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Punto estable

Al considerar una Ecuación en Diferencias Finitas con un valor inicial fijo, si a partir de un entorno sobre el punto de equilibrio de esta ecuación, podemos definir un nuevo entorno sobre el punto de equilibrio que contiene al valor inicial, y así, asegurar que todos los elementos de la sucesión que define la solución están dentro del entorno original, entonces decimos que punto de equilibrio es estable.

Formalmente, si y_{t+1} = p \cdot y_{t} + q es una ecuación en diferencias finitas con condición inicial y_0, cuyo punto de equilibrio es P_e, diremos que este es un punto estable si dado \varepsilon > 0, existe un número real \delta > 0 tal que si

|y_0 - P_e| < \delta, entonces |y_{t} - P_e| < \varepsilon para todo t

Gráficamente, lo que ocurre es que si y_0 está entre las líneas punteadas azules, entonces podemos garantizar que todos los puntos de la sucesión se mantienen en entre las líneas punteadas rojas.

fluctuaciones de amplitud decreciente | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como fluctuaciones de amplitud decreciente.


oscilaciones amortiguadas | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como oscilaciones amortiguadas.


Punto inestable

Si al considerar una Ecuación en Diferencias Finitas con un valor inicial fijo existirá un entorno del punto de equilibrio tal que por más cercano que el valor inicial esté del punto de equilibrio, hay un elemento de la sucesión que define la solución por fuera del entorno dicho entorno. En este caso, decimos que es el punto de equilibrio inestable.

Formalmente, si y_{t+1} = p \cdot y_{t} + q es una ecuación en diferencias finitas con condición inicial y_0, cuyo punto de equilibrio es P_e, diremos que este es un punto inestable si existe un número real \varepsilon > 0 y un número real \delta > 0 tal que

|y_0 - P_e| < \delta pero |y_{k} - P_e| > \varepsilon para algún k

Gráficamente, lo que ocurre es que si y_0 está entre las líneas punteadas azules, pero no podemos garantizar que todos los puntos de la sucesión se mantienen en entre las líneas punteadas rojas.

fluctuaciones de amplitud creciente | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como fluctuaciones de amplitud creciente.
oscilaciones explosivas | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como oscilaciones explosivas.


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Punto atractor

Al considerar una Ecuación en Diferencias Finitas con un valor inicial fijo, si existe un entorno sobre el punto de equilibrio de esta ecuación que contiene al valor inicial, a partir del cual podemos asegurar que los elementos de la sucesión que define la solución se acercan cada vez más al punto de equilibrio, entonces decimos que el punto de equilibrio es un atractor.

Formalmente, si y_{t+1} = p \cdot y_{t} + q es una ecuación en diferencias finitas con condición inicial y_0, cuyo punto de equilibrio es P_e, diremos que este es un punto atractor si existe un número real \eta > 0 tal que si

|y_0 - P_e| < \eta, entonces \lim_{t \to \infty} y_{t} = P_e

Gráficamente, lo que ocurre es que si y_0 está entre las líneas punteadas azules, los puntos de la sucesión se acercan cada vez más a la línea negra.

oscilaciones amortiguadas | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como oscilaciones amortiguadas.


Más aún, si esto se cumple para cualquier número real \eta, decimos que el punto de equilibrio es un punto atractor global. Gráficamente, lo que ocurre es que independientemente de sea cual sea el valor de y_0, los puntos de la sucesión se acercan cada vez más a la línea negra.

fluctuaciones de amplitud decreciente | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como fluctuaciones de amplitud decreciente.


Asintóticamente estable

Al considerar una Ecuación en Diferencias Finitas con un valor inicial fijo, si el punto de equilibrio es estable y atractor, entonces decimos que es un punto de equilibrio asintóticamente estable.

Más aún, si el punto de equilibrio es estable y atractor global, entonces decimos que es un punto de equilibrio globalmente asintóticamente estable.

Veamos en los siguientes ejemplos, como determinar la estabilidad del punto de equilibrio.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden y_{t+1} = 2y_{t} + 5 con condición inicial y_0 = 10, hemos determinado que la solución y su punto de equilibrio son, respectivamente:

y_{t} = 2^t \cdot 15 - 5 \text{ y } P_e= \frac{5}{1-2} = -5

Si calculamos el límite de la sucesión y_{t}, podemos notar que tiene a +\infty, esto se debe a que la base de la potencia es un número positivo mayor que uno: 2; es decir,

\lim_{t \to \infty} 2^t \cdot 15 - 5 = +\infty

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio es un punto inestable y más aún, al estudiar el comportamiento de esta sucesión, decimos que esta describe fluctuaciones de amplitud creciente:

fluctuaciones de amplitud creciente | totumat.com

Ejemplo 2

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden y_{t+1} = -3y_{t} + 7 con condición inicial y_0 = \frac{2}{3}, hemos determinado que la solución y su punto de equilibrio son, respectivamente:

y_{t} = (-3)^t \cdot \frac{2}{3} + \left( 1-(-3)^t \right) \left( \frac{7}{4} \right) \text{ y } P_e= \frac{7}{4}

Si intentamos calcular el límite de la sucesión y_{t}, podemos notar que tiene a +\infty para los valores pares de t y tiende a -\infty para los valores impares de t, esto se debe a que la base de la potencia es un número negativo menor que menos uno: -3; de esta forma, el límite no existe y concluimos que esta sucesión diverge.

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio es un punto inestable y más aún, al estudiar el comportamiento de esta sucesión, decimos que esta describe oscilaciones explosivas:

oscilaciones explosivas | totumat.com

Ejemplo 3

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden 10y_{t+1} = 5y_{t} + 4 con condición inicial y_0 = 20, hemos determinado que la solución y su punto de equilibrio son, respectivamente:

y_{t} = \left( \frac{1}{2} \right)^t \cdot 20 + \left( 1-\left( \frac{1}{2} \right)^t \right) \left( \frac{4}{5} \right) \text{ y } P_e= \frac{4}{5}

Si calculamos el límite de la sucesión y_{t}, podemos notar que tiene a \frac{4}{5}, esto se debe a que la base de la potencia es un número positivo menor que uno: \frac{1}{2}; es decir,

\lim_{t \to \infty} \left( \frac{1}{2} \right)^t \cdot 20 + \left( 1-\left( \frac{1}{2} \right)^t \right) \cdot \left( \frac{4}{5} \right) = 0 \cdot 20 + (1 - 0) \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{5}

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio es un punto asintóticamente estable y más aún, al estudiar el comportamiento de esta sucesión, decimos que esta describe fluctuaciones de amplitud decreciente:

fluctuaciones de amplitud decreciente | totumat.com

Ecuaciones en Diferencias Finitas: Estado de equilibrio

Las soluciones de una Ecuación en Diferencias Finitas están definidas por sucesiones, y una vez que hemos aprendido a calcular estas soluciones, resultará de vital interés estudiar el comportamiento las mismas y más aún, nos interesará su comportamiento respecto a un punto muy particular.

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Punto Fijo

Un punto fijo de una función es un punto en el que un elemento del dominio coincide con él mismo en el rango. Formalmente, si consideramos una función real f : A \longrightarrow B, definimos un punto fijo de esta función como un punto x_0 perteneciente al dominio de f tal que

f(x_0) = x_0

Gráficamente, diremos que un punto fijo de una función es donde esta coincide con la función identidad, es decir, donde coincide con la función f(x)=x.

Punto de Equilibrio | totumat.com

Ejemplos

Ejemplo 1

La función f(x)=-x+1 tiene un punto fijo en x_0 = \frac{1}{2}, pues f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}.

Ejemplo 2

La función f(x)=x^2 tiene dos puntos fijos: x_0 = 0 y x_1 = 1, pues f(0)=0 y f(1)=1, respectivamente.

Ejemplo 3

La función f(x)=\frac{x^3}{8} tiene tres puntos fijos: x_0 = -2, x_1 = 0 y x_2 = 2, pues f(-2)=-2, f(0) = 0 y f(2)=2, respectivamente.


Estado de Equilibrio

Al definir la solución de una Ecuación en Diferencias Finitas, nos interesará estudiar el comportamiento de esta alrededor de un punto en particular. Considerando una ecuación en diferencias finitas definida de la forma y_{t+1} = f(y_{t}), diremos que P_e es un punto de equilibrio de esta ecuación si P_e es un punto fijo de f, esto es,

f(P_e) = P_e

Es decir, P_e representa una solución que permanece constante a partir de algún valor de t. Particularmente, si consideremos la condición inicial y_0=P_e, entonces, al estar la ecuación definida de la forma y_{t+1} = f(y_{t}), tenemos que

y_{1} = f(y_0) = f(P_e) = P_e

Y procediendo de forma recursiva, podemos concluir que y_t = P_e. Al estado en que una sucesión permanece constante de esta forma se le conoce como Estado de Equilibrio o Estado Estacionario.

Veamos en el siguiente ejemplo, como calcular el punto de equilibrio de una sucesión de la forma y_{t+1} = py_{t} + q.

Ejemplo 3

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden expresada de la siguiente forma:

y_{t+1} = 2y_{t} + 5

Podemos calcular el punto de equilibrio tomando en cuenta que si y_{k} = P_e para cualquier valor de k, entonces y_{t+1} = y_{t} = P_e, por lo tanto, se debe cumplir que

P_e = 2 \cdot P_e+5

Así, despejando P_e de esta ecuación, determinamos el punto de equilibrio:

P_e= \frac{5}{1-2} = -5

De esta forma, si fijamos la condición inicial y_0 = -5, y_{1} = 2(-5) + 5 = -10 + 5 = -5 y procediendo así de forma recursiva, podemos concluir que y_t = -5.


Considerando este último ejemplo, de forma general, podemos plantear una fórmula general para la solución de este tipo de ecuaciones, pues al considerar una ecuación de la forma:

y_{t+1} = p \cdot y_{t} + q

Podemos calcular el punto de equilibrio tomando en cuenta que si y_{k} = P_e para cualquier valor de k, entonces y_{t+1} = y_{t} = P_e, por lo tanto, se debe cumplir que

P_e = p \cdot P_e+q

Así, despejando P_e de esta ecuación, determinamos el punto de equilibrio aplicando al siguiente fórmula:

P_e= \dfrac{q}{1-p}

Ejemplos

Ejemplo 4

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden expresada de la siguiente forma:

y_{t+1} = -3y_{t} + 7

Entonces, identificamos los valores p=-3 y q=7 y; aplicamos la fórmula para calcular el punto de equilibrio, de la siguiente forma:

P_e= \frac{7}{1-(-3)} = -\frac{7}{4}

Ejemplo 5

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden expresada de la siguiente forma:

10y_{t+1} = 5y_{t} + 4

Notemos que y_{t+1} está multiplicado por el coeficiente 10, entonces, debemos estandarizar la ecuación dividiendo cada uno de los términos por este coeficiente 10 para obtener:

y_{t+1} = \frac{1}{2}y_{t} + \frac{2}{5}

Entonces, identificamos los valores p=\frac{1}{2} y q=\frac{2}{5} y; aplicamos la fórmula para calcular el punto de equilibrio, de la siguiente forma:

P_e= \dfrac{\frac{2}{5}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{4}{5}


Excedente de los Consumidores y de los Productores – Caso no lineal

Al estudiar el mercado, es notorio que los productores siempre querrán vender a un precio elevado y los consumidores siempre querrán comprar a un precio bajo. El punto de equilibrio del mercado permite establecer un consenso entre las dos partes, sin embargo, ¿qué tanto beneficia este consenso a las partes?

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Excedente de los Consumidores

Suponga que usted va al supermercado con el objetivo de comprar un producto y que cuando lo va a pagar, recibe la grata sorpresa de que está más barato de lo que usted pensaba, esta situación tiene una interpretación formal. Si observamos la función de demanda de un determinado artículo, podemos notar que si se fija el precio de cada unidad en p_1 Perolitos (Ps.), los consumidores estarán dispuestos a comprar q_1 unidades de dicho artículo.

Excedente de los Consumidores | totumat.com

Sin embargo, una vez que se ha fijado el punto de equilibrio (q_0,p_0) Ps., podemos notar que aquellos consumidores que están dispuestos a comprar q_1 unidades cuando el precio se había fijado en p_1 Ps., ahora comprarán las mismas q_1 unidades pagando cada unidad en un menor precio de p_0 Ps.

Excedente de los Consumidores | totumat.com

De esta forma, si un consumidor pensaba gastar p_1 \cdot q_1 Ps. (precio por unidad multiplicado por la cantidad adquirida), una vez que se ha fijado el precio de equilibrio, gastará p_0 \cdot q_1 Ps. Esto genera un beneficio para los consumidores, y a partir de este hecho surge la siguiente pregunta: ¿es posible cuantificar este beneficio?

Para responder a esta pregunta, supongamos que la cantidad de unidades que los consumidores piensan comprar no es fija sino que es una gama representada por un rango de unidades comprendidas entre ninguna unidad y la cantidad q_0, fijada por el punto de equilibrio. El gasto que pagarían originalmente, está representado por el área que está debajo de la función de demanda de la siguiente forma,

Excedente de los Consumidores | totumat.com

Pero como al final los consumidores están pagando un precio de p_0 Ps. por cada unidad, el beneficio generado al fijar el equilibrio, está representado por el área que está debajo de la función de demanda y por encima del precio de equilibrio de la siguiente forma,

Excedente de los Consumidores | totumat.com

El área que representa el beneficio para los consumidores una vez que se ha fijado el precio de equilibrio se llama Excedente de los Consumidores o Superávit de los Consumidores, y lo podemos medir calculando el área que se encuentra entre la función de demanda, la recta que define del precio de equilibrio y el Eje P.

Excedente de los Consumidores | totumat.com

Por lo tanto, si la función de demanda está denotada de la forma D(q), determinamos el excedente de los consumidores calculando la siguiente integral definida:

E.C. \ = \ \int_{0}^{q_0} \left( D(q) - p_0 \right) \ dq

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

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Excedente de los Productores

Suponga que usted es productor de un artículo pero luego de estudiar los costos y un posible precio de venta para recibir unos ingresos aceptables, recibe la grata sorpresa de que puede fijar un precio por encima de lo que usted pensaba, esta situación tiene una interpretación formal. Si observamos la función de oferta de un determinado artículo, podemos notar que los productores estarán dispuestos a ofertar q_1 unidades de dicho artículo si se fija el precio de cada unidad en p_1 Perolitos (Ps.),

Excedente de los Productores | totumat.com

Sin embargo, una vez que se ha fijado el punto de equilibrio (q_0,p_0) Ps., podemos notar que aquellos productores que están dispuestos a ofertar q_1 unidades cuando el precio se había fijado en p_1 Ps., ahora ofertarán las mismas q_1 unidades vendiendo cada unidad en un mayor precio de p_0 Ps.

Excedente de los Productores | totumat.com

De esta forma, si un productor pensaba recibir p_1 \cdot q_1 Ps. (precio por unidad multiplicado por la cantidad adquirida), una vez que se ha fijado el precio de equilibrio, recibir p_0 \cdot q_1 Ps. Esto genera un beneficio para los productores, y a partir de este hecho surge la siguiente pregunta: ¿es posible cuantificar este beneficio?

Para responder a esta pregunta, supongamos que la cantidad de unidades que los productores piensan ofertar no es fija sino que es una gama representada por un rango de unidades comprendidas entre ninguna unidad y la cantidad q_0, fijada por el punto de equilibrio. Los ingresos que recibirían originalmente, están representado por el área que está debajo de la función de oferta de la siguiente forma,

Excedente de los Productores | totumat.com

Pero como al final los productores están vendiendo a un precio de p_0 Ps. por cada unidad, el beneficio generado al fijar el equilibrio, está representado por el área que está debajo del precio de equilibrio y por encima de la función de oferta de la siguiente forma,

Excedente de los Productores | totumat.com

El área que representa el beneficio para los productores una vez que se ha fijado el precio de equilibrio se llama Excedente de los Productores o Superávit de los Productores, y lo podemos medir calculando el área del triángulo que genera la función de oferta, la función del precio de equilibrio y el Eje P.

Excedente de los Productores | totumat.com

Por lo tanto, si la función de oferta está denotada de la forma O(q), determinamos el excedente de los productores calculando la siguiente integral definida:

E.P. \ = \ \int_{0}^{q_0} \big( p_0 - O(q) \big) \ dq

Consideremos en los siguientes ejemplos cómo calcular el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes considerando la curva de demanda y la curva de oferta del mercado.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la ecuación de demanda p = -\frac{67}{100}q +126 y la ecuación de oferta p = \frac{13}{25}q^2 +36, calcule el punto de equilibrio del mercado; posteriormente calcule el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes.

Para calcular el punto de equilibrio del mercado debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego planteamos una ecuación cuadrática para calcular q.

-\frac{67}{100}q +126 = \frac{13}{25}q^2+36

\Rightarrow \ -\frac{67}{100}q +126 - \frac{13}{25}q^2 - 36 = 0

\Rightarrow \ - \frac{13}{25}q^2 -\frac{67}{100}q + 90 = 0

\Rightarrow \ \frac{13}{25}q^2 + \frac{67}{100}q - 90 = 0

Para calcular la solución de esta ecuación cuadrática utilizamos el método de discriminante:

q \ = \ \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

\ = \ \dfrac{- \frac{67}{100} \pm \sqrt{\left( \frac{67}{100} \right)^2-4 \cdot \left( \frac{13}{25} \right) \cdot \left( - 90 \right)}}{2 \cdot \left( \frac{13}{25} \right)}

De donde concluimos que q \approx -13.84163 ó q \approx 12.50163, pero al ser q una variable que representa cantidades, consideramos únicamente su valor positivo.

Una vez calculado el valor de q, lo sustituimos en la función de nuestra preferencia y calculamos el valor de p. Sustituyamos en este caso el valor de q \approx 12.50163 en la ecuación de demanda.

p = \ -\frac{67}{100} \cdot \left( 12.50 \right) + 126 \ \approx \ 117.6239

Por lo tanto, el punto de equilibrio del mercado \left( 12.50163 ; 117.6239 \right). Grafiquemos ahora el punto de equilibrio del mercado e identifiquemos las áreas que definen los excedentes.

Excedente de los Productores y de los Consumidores, ejemplo. | totumat.com

Calculamos el Excedente de los Consumidores:

E.C. \ = \ \int_{0}^{q_0} \left( D(q) - p_0 \right) \ dq

\ = \ \int_{0}^{12.05} \left( -\frac{67}{100}q +126 - 117.62 \right) \ dq

\ = \ \int_{0}^{12.05} \left( -\frac{67}{100}q + 8.38 \right) \ dq

\ = \ \left. \left( -\frac{67}{100} \frac{q^2}{2} + 8.38q \right) \right|_{0}^{12.05}

\ = \ \left( -\frac{67}{100} \frac{(12.05)^2}{2} + 8.38(12.05) \right) - \left( -\frac{67}{100} \frac{(0)^2}{2} + 8.38(0) \right)

\ = \ 52.41

Calculamos el Excedente de los Productores:

E.P. \ = \ \int_{0}^{q_0} \left( p_0 - O(q) \right) \ dq

\ = \ \int_{0}^{12.05} \left( 117.62 - \frac{13}{25}q^2 - 36 \right) \ dq

\ = \ \int_{0}^{12.05} \left( 81.62 - \frac{13}{25}q^2 \right) \ dq

\ = \ \left. \left( 81.62q - \frac{13}{25} \frac{q^3}{3} \right) \right|_{0}^{12.05}

\ = \ \left( 81.62 (12.05) - \frac{13}{25} \frac{(12.05)^3}{3} \right) - \left( 81.62(0) - \frac{13}{25} \frac{(0)^3}{3} \right)

\ = \ 680.24

Ejemplo 2

Considerando la ecuación de demanda p = -\frac{1}{10}q^2 +115 y la ecuación de oferta p = \frac{87}{100}q +11, calcule el punto de equilibrio del mercado; posteriormente calcule el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes.

Para calcular el punto de equilibrio del mercado debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego planteamos una ecuación cuadrática para calcular q.

-\frac{1}{10}q^2 +115 = \frac{87}{100}q +11

\Rightarrow \ -\frac{1}{10}q^2 +115 - \frac{87}{100}q - 11 = 0

\Rightarrow \ -\frac{1}{10}q^2 - \frac{87}{100}q + 104 = 0

\Rightarrow \ \frac{1}{10}q^2 + \frac{87}{100}q - 104 = 0

Para calcular la solución de esta ecuación cuadrática utilizamos el método de discriminante:

q \ = \ \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

\ = \ \dfrac{- \frac{87}{100} \pm \sqrt{\left( \frac{87}{100} \right)^2-4 \cdot \left( \frac{1}{10} \right) \cdot \left( - 104 \right)}}{2 \cdot \left( \frac{1}{10} \right)}

De donde concluimos que q \approx -33.41109 ó q \approx 31.67109, pero al ser q una variable que representa cantidades, consideramos únicamente su valor positivo.

Una vez calculado el valor de q, lo sustituimos en la función de nuestra preferencia y calculamos el valor de p. Sustituyamos en este caso el valor de q \approx 31.67 en la ecuación de oferta.

p = \ \frac{87}{100} (31.67) +11 \ \approx \ 38.55385

Por lo tanto, el punto de equilibrio del mercado \left( 31.67 ; 38.55 \right). Grafiquemos ahora el punto de equilibrio del mercado e identifiquemos las áreas que definen los excedentes.

Excedente de los Productores y de los Consumidores, ejemplo. | totumat.com

Calculamos el Excedente de los Consumidores:

E.C. \ = \ \int_{0}^{q_0} \left( D(q) - p_0 \right) \ dq

\ = \ \int_{0}^{31.67} \left( -\frac{1}{10}q^2 +115 - 38.55 \right) \ dq

\ = \ \int_{0}^{31.67} \left( -\frac{1}{10}q^2 + 76.45 \right) \ dq

\ = \ \left. \left( -\frac{1}{10} \frac{q^3}{3} + 76.45q \right) \right|_{0}^{31.67}

\ = \ \left( -\frac{1}{10} \frac{(31.67)^3}{3} + 76.45(31.67) \right) - \left( -\frac{1}{10} \frac{(0)^3}{3} +76.45(0) \right)

\ = \ 1362.35

Calculamos el Excedente de los Productores:

E.P. \ = \ \int_{0}^{q_0} \left( p_0 - O(q) \right) \ dq

\ = \ \int_{0}^{31.67} \left( 38.55 - \frac{87}{100}q - 11 \right) \ dq

\ = \ \int_{0}^{31.67} \left( 27.55 - \frac{87}{100}q \right) \ dq

\ = \ \left. \left( 27.55 q - \frac{87}{100} \frac{q^2}{2} \right) \right|_{0}^{31.67}

\ = \ \left( 27.55 (31.67) - \frac{87}{100} \frac{(31.67)^2}{2} \right) - \left( 27.55 (0) - \frac{87}{100} \frac{(0)^2}{2} \right)

\ = \ 436.20


Análisis de Equilibrio de la Utilidad

Suponga que usted inició un negocio fabricando y vendiendo tapabocas. Habiendo estudiando los costos y los ingresos generados, ¿qué tanto ha valido la pena este negocio? Es decir, una vez que ha hecho una inversión, ¿ha generado dinero adicional o tiene menos dinero del que tenía antes de iniciar el negocio?

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Una vez que se ha vendido una unidad de un artículo, debemos estudiar la cantidad de dinero que se ha ganado una vez que hemos descontado los costos de producción, a esta ganancia se le conoce como utilidad y de forma general, la ganancia generada por la producción y venta de todas las unidades de un artículo se conoce como utilidad total, esta se calcula restando los costos totales de los ingresos totales. Formalmente, si identificamos los ingresos totales con la variable I, los costos totales con la variable C y la utilidad total con la variable I, entonces podemos definir la siguiente ecuación:

U = I - C

A partir de la Ley de Tricotomía de los números reales, podemos estudiando esta ecuación para analizar el equilibrio entre los ingresos y los costos estableciendo tres casos:

  • Si U < 0, esto quiere decir que los costos totales de producción exceden los ingresos totales obtenidos por las ventas, en este caso decimos que existe una pérdida.
  • Si U > 0, esto quiere decir que los ingresos totales obtenidos por las ventas exceden los costos totales de producción, en este caso decimos que existe una ganancia, aunque también podemos decir que existe una utilidad.
  • Si U = 0, esto quiere decir que los ingresos totales obtenidos por las ventas son iguales a los costos totales de producción, en este caso decimos que existe un equilibrio.

Si consideramos el plano cartesiano, ubicando la cantidad de unidades del artículo (q) en el eje horizontal y la cantidad de dinero (p) en el eje vertical; establecemos una interpretación gráfica de estos casos señalando que existe una pérdida cuando la curva de costos está por encima de la curva de ingresos, existe una ganancia cuando la curva de ingresos están por encima de la curva de costos y particularmente al punto donde ambas curvas se cortan, lo llamamos punto de equilibrio de la utilidad.

Análisis de Equilibrio de la Utilidad | totumat.com

El área roja representa la región de pérdida, es decir, cuando la utilidad es negativa y el área azul representa la región de ganancia, es decir, cuando la utilidad es positiva.

Veamos en los siguientes ejemplos, cómo analizar el equilibrio de las utilidades calculando el punto de equilibrio una vez que ya contamos con las ecuaciones lineales de costos totales e ingresos totales.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la ecuación lineal de costos totales p = \frac{3}{10}q +40 y la ecuación lineal de ingresos totales p = \frac{6}{5}q, calcule el punto de equilibrio de la utilidad e indique cual es la cantidad mínima de unidades que debe ser vendida para obtener una ganancia.

Para calcular el punto de equilibrio de la utilidad debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable q.

\frac{3}{10}q +40 = \frac{6}{5}q
\Rightarrow \ \frac{3}{10}q -\frac{6}{5}q = 0-40
\Rightarrow \ -\frac{9}{10}q = -40
\Rightarrow \ q = \frac{400}{9}

Una vez calculado el valor de q, lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de p. Sustituyamos entonces el valor q=\frac{400}{9} en la ecuación de demanda.

p = \ \frac{3}{10} \cdot \left( \frac{400}{9} \right) + 40
= \ \frac{40}{3} + 40
= \ \frac{160}{3}

Por lo tanto, el punto de equilibrio de la utilidad es \left( \frac{400}{9} , \frac{160}{3} \right). Grafiquemos ahora este punto de equilibrio identifiquemos las áreas que definen las pérdidas y las ganancias.

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Ejemplo 2

Considerando la ecuación lineal de costos totales p = 6q +60 y la ecuación lineal de ingresos totales p = 11q, calcule el punto de equilibrio de la utilidad e indique cual es la cantidad mínima de unidades que debe ser vendida para obtener una ganancia.

Para calcular el punto de equilibrio de la utilidad debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable q.

6q +60 = 11q+0
\Rightarrow \ 6q -11q = 0-60
\Rightarrow \ -5q = -60
\Rightarrow \ q = 12

Una vez calculado el valor de q, lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de p. Sustituyamos entonces el valor q=12 en la ecuación de demanda.

p = \ 6 \cdot \left( 12 \right) + 60
= \ 72 + 60
= \ 132

Por lo tanto, el punto de equilibrio de la utilidad es \left( 12 , 132 \right). Grafiquemos ahora este punto de equilibrio identifiquemos las áreas que definen las pérdidas y las ganancias.

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Ejemplo 3

Considerando la ecuación lineal de costos totales p = 20q +50 y la ecuación lineal de ingresos totales p = 26q, calcule el punto de equilibrio de la utilidad e indique cual es la cantidad mínima de unidades que debe ser vendida para obtener una ganancia.

Para calcular el punto de equilibrio de la utilidad debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable q.

20q +50 = 26q
\Rightarrow \ 20q -26q = 0-50
\Rightarrow \ -6q = -50
\Rightarrow \ q = \frac{25}{3}

Una vez calculado el valor de q, lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de p. Sustituyamos entonces el valor q=\frac{25}{3} en la ecuación de demanda.

p = \ 20 \cdot \left( \frac{25}{3} \right) + 50
= \ \frac{500}{3} + 50
= \ \frac{650}{3}

Por lo tanto, el punto de equilibrio de la utilidad es \left( \frac{25}{3} , \frac{650}{3} \right). Grafiquemos ahora este punto de equilibrio identifiquemos las áreas que definen las pérdidas y las ganancias.

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Excedente de los Consumidores y de los Productores

Excedente de los Consumidores y de los Productores – Caso lineal

Al estudiar el mercado, es notorio que los productores siempre querrán vender a un precio elevado y los consumidores siempre querrán comprar a un precio bajo. El punto de equilibrio del mercado permite establecer un consenso entre las dos partes, sin embargo, ¿qué tanto beneficia este consenso a las partes?

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Excedente de los Consumidores

Suponga que usted va al supermercado con el objetivo de comprar un producto y que cuando lo va a pagar, recibe la grata sorpresa de que está más barato de lo que usted pensaba, esta situación tiene una interpretación formal. Si observamos la recta de demanda de un determinado artículo, podemos notar que si se fija el precio de cada unidad en p_1 Perolitos (Ps.), los consumidores estarán dispuestos a comprar q_1 unidades de dicho artículo.

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Sin embargo, una vez que se ha fijado el punto de equilibrio (q_0,p_0) Ps., podemos notar que aquellos consumidores que están dispuestos a comprar q_1 unidades cuando el precio se había fijado en p_1 Ps., ahora comprarán las mismas q_1 unidades pagando cada unidad en un menor precio de p_0 Ps.

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De esta forma, si un consumidor pensaba gastar p_1 \cdot q_1 Ps. (precio por unidad multiplicado por la cantidad adquirida), una vez que se ha fijado el precio de equilibrio, gastará p_0 \cdot q_1 Ps. Esto genera un beneficio para los consumidores, y a partir de este hecho surge la siguiente pregunta: ¿es posible cuantificar este beneficio?

Para responder a esta pregunta, supongamos que la cantidad de unidades que los consumidores piensan comprar no es fija sino que es una gama representada por un rango de unidades comprendidas entre ninguna unidad y la cantidad q_0, fijada por el punto de equilibrio. El gasto que pagarían originalmente, está representado por el área que está debajo de la recta de demanda de la siguiente forma,

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Pero como al final los consumidores están pagando un precio de p_0 Ps. por cada unidad, el beneficio generado al fijar el equilibrio, está representado por el área que está debajo de la recta de demanda y por encima del precio de equilibrio de la siguiente forma,

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El área que representa el beneficio para los consumidores una vez que se ha fijado el precio de equilibrio se llama Excedente de los Consumidores o Superávit de los Consumidores, y lo podemos medir calculando el área del triángulo que genera la recta de demanda, la recta del precio de equilibrio y el Eje P.

Recordemos que el área de un triángulo se calcula multiplicando la longitud de la base por la longitud de la altura, dividido entre dos. La longitud de la base está dada por q_0 y si llamamos D al punto de intersección de la recta de demanda con el Eje P, su altura está dada por D - p_0.

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Por lo tanto calculamos el excedente de los consumidores planteando la siguiente fórmula:

E.C. \ = \ \frac{q_0 \cdot (D - p_0)}{2}

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Excedente de los Productores

Suponga que usted es productor de un artículo pero luego de estudiar los costos y un posible precio de venta para recibir unos ingresos aceptables, recibe la grata sorpresa de que puede fijar un precio por encima de lo que usted pensaba, esta situación tiene una interpretación formal. Si observamos la recta de oferta de un determinado artículo, podemos notar que los productores estarán dispuestos a ofertar q_1 unidades de dicho artículo si se fija el precio de cada unidad en p_1 Perolitos (Ps.),

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Sin embargo, una vez que se ha fijado el punto de equilibrio (q_0,p_0) Ps., podemos notar que aquellos productores que están dispuestos a ofertar q_1 unidades cuando el precio se había fijado en p_1 Ps., ahora ofertarán las mismas q_1 unidades vendiendo cada unidad en un mayor precio de p_0 Ps.

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De esta forma, si un productor pensaba recibir p_1 \cdot q_1 Ps. (precio por unidad multiplicado por la cantidad adquirida), una vez que se ha fijado el precio de equilibrio, recibir p_0 \cdot q_1 Ps. Esto genera un beneficio para los productores, y a partir de este hecho surge la siguiente pregunta: ¿es posible cuantificar este beneficio?

Para responder a esta pregunta, supongamos que la cantidad de unidades que los productores piensan ofertar no es fija sino que es una gama representada por un rango de unidades comprendidas entre ninguna unidad y la cantidad q_0, fijada por el punto de equilibrio. Los ingresos que recibirían originalmente, están representado por el área que está debajo de la recta de oferta de la siguiente forma,

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Pero como al final los productores están vendiendo a un precio de p_0 Ps. por cada unidad, el beneficio generado al fijar el equilibrio, está representado por el área que está debajo del precio de equilibrio y por encima de la recta de oferta de la siguiente forma,

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El área que representa el beneficio para los productores una vez que se ha fijado el precio de equilibrio se llama Excedente de los Productores o Superávit de los Productores, y lo podemos medir calculando el área del triángulo que genera la recta de oferta, la recta del precio de equilibrio y el Eje P.

Recordemos que el área de un triángulo se calcula multiplicando la longitud de la base por la longitud de la altura, dividido entre dos. La longitud de la base está dada por q_0 y si llamamos O al punto de intersección de la recta de demanda con el Eje P, su altura está dada por p_0 - O.

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Por lo tanto calculamos el excedente de los productores planteando la siguiente fórmula:

E.P. \ = \ \frac{q_0 \cdot (p_0 - O)}{2}

Consideremos en los siguientes ejemplos cómo calcular el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes considerando la curva de demanda y la curva de oferta del mercado.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la ecuación de demanda p = -\frac{67}{100}q +126 y la ecuación de oferta p = \frac{13}{25}q +36, calcule el punto de equilibrio del mercado; posteriormente calcule el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes.

Para calcular el punto de equilibrio del mercado debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable q.

-\frac{67}{100}q +126 = \frac{13}{25}q+36

\Rightarrow \ -\frac{67}{100}q - \frac{13}{25}q = 36-126

\Rightarrow \ -\frac{119}{100}q = -90

\Rightarrow \ q = \frac{9000}{119}

Una vez calculado el valor de q, lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de p. Sustituyamos entonces el valor q=\frac{9000}{119} en la ecuación de demanda.

p = \ -\frac{67}{100} \cdot \left( \frac{9000}{119} \right) + 126

= \ -\frac{6030}{119} + 126

= \ \frac{8964}{119}

Por lo tanto, el punto de equilibrio del mercado \left( \frac{9000}{119} , \frac{8964}{119} \right). Grafiquemos ahora el punto de equilibrio del mercado e identifiquemos las áreas que definen los excedentes.

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Calculamos el Excedente de los Consumidores:

\frac{q_0 \cdot (D - p_0)}{2} = \frac{ \frac{9000}{119} \cdot \left( 126 - \frac{8964}{119} \right)}{2} = \frac{27135000}{14161} \approx 1916.18

Calculamos el Excedente de los Fabricantes:

\frac{q_0 \cdot (p_0 - O)}{2} = \frac{ \frac{9000}{119} \cdot \left( \frac{8964}{119} - 36 \right)}{2} = \frac{21060000}{14161} \approx 1487.18

Ejemplo 2

Considerando la ecuación de demanda p = -\frac{9}{10}q +104 y la ecuación de oferta p = \frac{27}{100}q +46, calcule el punto de equilibrio del mercado; posteriormente calcule el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes.

Para calcular el punto de equilibrio del mercado debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable q.

-\frac{9}{10}q +104 = \frac{27}{100}q+46

\Rightarrow \ -\frac{9}{10}q -\frac{27}{100}q = 46-104

\Rightarrow \ -\frac{117}{100}q = -58

\Rightarrow \ q = \frac{5800}{117}

Una vez calculado el valor de q, lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de p. Sustituyamos entonces el valor q=\frac{5800}{117} en la ecuación de demanda.

p = \ -\frac{9}{10} \cdot \left( \frac{5800}{117} \right) + 104

= \ -\frac{580}{13} + 104

= \ \frac{772}{13}

Por lo tanto, el punto de equilibrio del mercado \left( \frac{5800}{117} , \frac{772}{13} \right). Grafiquemos ahora el punto de equilibrio del mercado e identifiquemos las áreas que definen los excedentes.

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Calculamos el Excedente de los Consumidores:

\frac{q_0 \cdot (D - p_0)}{2} = \frac{ \frac{5800}{117} \cdot \left( 104 - \frac{772}{13} \right)}{2} = \frac{1682000}{1521} \approx 1105.85

Calculamos el Excedente de los Fabricantes:

\frac{q_0 \cdot (p_0 - O)}{2} = \frac{ \frac{5800}{117} \cdot \left( \frac{772}{13} - 46 \right)}{2} = \frac{168200}{507} \approx 331.76

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Ejemplo 3

Considerando la ecuación de demanda p = -\frac{12}{25}q +171 y la ecuación de oferta p = \frac{3}{50}q +36, calcule el punto de equilibrio del mercado; posteriormente calcule el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes.

Para calcular el punto de equilibrio del mercado debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable q.

-\frac{12}{25}q +171 = \frac{3}{50}q+36

\Rightarrow \ -\frac{12}{25}q -\frac{3}{50}q = 36-171

\Rightarrow \ -\frac{27}{50}q = -135

\Rightarrow \ q = 250

Una vez calculado el valor de q, lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de p. Sustituyamos entonces el valor q=250 en la ecuación de demanda.

p = \ -\frac{12}{25} \cdot \left( 250 \right) + 171

= \ -120 + 171

= \ 51

Por lo tanto, el punto de equilibrio del mercado \left( 250 , 51 \right). Grafiquemos ahora el punto de equilibrio del mercado e identifiquemos las áreas que definen los excedentes.

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Calculamos el Excedente de los Consumidores:

\frac{q_0 \cdot (D - p_0)}{2} = \frac{ 250 \cdot \left( 171 - 51 \right)}{2} = 15000

Calculamos el Excedente de los Fabricantes:

\frac{q_0 \cdot (p_0 - O)}{2} = \frac{ 250 \cdot \left( 51 - 36 \right)}{2} = 1875

Ejemplo 4

Considerando la ecuación de demanda p = -\frac{1}{10}q +115 y la ecuación de oferta p = \frac{87}{100}q +11, calcule el punto de equilibrio del mercado; posteriormente calcule el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes.

Para calcular el punto de equilibrio del mercado debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable q.

-\frac{1}{10}q +115 = \frac{87}{100}q+11

\Rightarrow \ -\frac{1}{10}q -\frac{87}{100}q = 11-115

\Rightarrow \ -\frac{97}{100}q = -104

\Rightarrow \ q = \frac{10400}{97}

Una vez calculado el valor de q, lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de p. Sustituyamos entonces el valor q=\frac{10400}{97} en la ecuación de demanda.

p = \ -\frac{1}{10} \cdot \left( \frac{10400}{97} \right) + 115

= \ -\frac{1040}{97} + 115

= \ \frac{10115}{97}

Por lo tanto, el punto de equilibrio del mercado \left( \frac{10400}{97} , \frac{10115}{97} \right). Grafiquemos ahora el punto de equilibrio del mercado e identifiquemos las áreas que definen los excedentes.

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Calculamos el Excedente de los Consumidores:

\frac{q_0 \cdot (D - p_0)}{2} = \frac{ \frac{10400}{97} \cdot \left( 115 - \frac{10115}{97} \right)}{2} = \frac{5408000}{9409} \approx 574.77

Calculamos el Excedente de los Fabricantes:

\frac{q_0 \cdot (p_0 - O)}{2} = \frac{ \frac{10400}{97} \cdot \left( \frac{10115}{97} - 11 \right)}{2} = \frac{47049600}{9409} \approx 5000.49