Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Optimización (en varias variables)

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Calcule los puntos críticos de las siguientes funciones y determine si estos representan máximos, mínimos o puntos de silla. Utilice el Criterio de la Segunda Derivada, recordando que debe usar la función auxiliar

D(x,y) = f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - [f_{xy}(x,y)]^2

  1. f(x,y) = 0.04x^2 + 63x + 73y + 950
  2. f(x,y) = 2x^2 - 15x + 10y + 4.5xy
  3. f(x,y) = 0.8x^2 + 5x - 7y + 10xy+898
  4. f(x,y) = 20x - 2y^2 + 30y - 32xy-575

  1. f(x,y) = 0.3x^2 + 3.5y^2 + 455
  2. f(x,y) = 1.8x^2 - 0.8y^2 + 2.34xy
  3. f(x,y) = -5x^2 + 9y^2 + 18.1xy+21
  4. f(x,y) = -2x^2 - 2.7y^2 - 3.7xy-525

  1. f(x,y) = 0.2x^2 + 22x + 35y^2 + 763
  2. f(x,y) = 16x^2 - 10x + 5y^2 + 6xy
  3. f(x,y) = 5x^2 + 9y^2 + 10y + 0.11xy+724
  4. f(x,y) = 2x^2 + 20x + 30y^2 - 3.22xy-815

  1. f(x,y) = 0.1x^2 + 5x + 0.2y^2 + 3y + 57
  2. f(x,y) = -0.5x^2 + 22x + 0.65y^2 + 30y + 6.1xy
  3. f(x,y) = x^2 + 10x - 1.5y^2 + 12y + 7xy+619
  4. f(x,y) = -x^2 + 5x - 5y^2 + 2.5y - 0.97xy-313
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Solución

Ejercicio 8

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Optimización de funciones de ingreso, costo y utilidad

Uno de los propósitos de estudiar funciones de ingreso, costo y utilidad es de obtener los mejores resultados posibles, a esto se le conoce como optimización, sin embargo, debemos primero aclarar a qué nos referimos con los mejores resultados posibles.

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Al definir funciones de Ingreso I(q), Costo C(q) y Utilidad U(q); definamos cuales son los valores de q para los cuales estas funciones alcanzan su valor óptimo:

  • I(q) alcanza su valor óptimo en q_0 si el valor I(q_0) es un máximo absoluto de la función, esto se debe a que nos interesa calcular los ingresos más altos.
  • C(q) alcanza su valor óptimo en q_0 si el valor C(q_0) es un mínimo absoluto de la función, esto se debe a que nos interesa calcular los costos más bajos.
  • U(q) alcanza su valor óptimo en q_0 si el valor U(q_0) es un máximo absoluto de la función, esto se debe a que nos interesa calcular las utilidades más altas.

De esta forma, es posible optimizar usando las herramientas que nos proveen las derivadas para calcular máximos y mínimos. Veamos en los siguientes ejemplos como optimizar funciones de ingreso, costo y utilidad.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando las funciones que miden el costo e ingreso por la producción venta de q lavadoras, definidas de la siguiente forma:

C(q) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot q^3

I(q) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot q^2

U(q) = I(q) - C(q)

Suponiendo que la producción tiene un tope de 20 lavadoras. Determine los ingresos óptimos, los costos óptimos y las utilidades óptimas.

Tomando en cuenta que la producción tiene un tope de 20 lavadoras, dichas funciones están definidas en el intervalo [0,20]. Entonces, debemos calcular los extremos relativos y los valores de la función en los extremos del intervalo [0,20], para comparar y determinar los extremos absolutos.

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Empezando por la función de costos, calculamos puntos críticos de esta función usando la primera derivada:

C'(q) = \frac{6900}{5833} \cdot q^2

La derivada de la función de costos C'(q) es igual a cero cuando q=0, por lo tanto, este será nuestro punto crítico. Para determinar si es un máximo o mínimo, debemos usar el criterio de la segunda derivada, entonces calculamos segunda derivada de esta función:

C''(q) = \frac{13800}{5833} \cdot q

Evaluamos la segunda derivada de la función de costos C''(q) en q=0 y obtenemos que

C''(0) = \frac{13800}{5833} \cdot (0) = 0

A partir de este resultado concluimos que la función no alcanza ni un máximo ni un mínimo relativo en q=0. Continuamos evaluando la función en los extremos del intervalo [0,20]. Esto es,

C(0) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (0)^3 \approx 0.4626

C(20) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (20)^3 \approx 3154.92

En vista de que C(0) es el menor de ambos valores, concluimos que la función de costos alcanza un mínimo absoluto en q=0, es decir, los costos más bajos son de C(0) = 0.4626 que es precisamente cuando no hay producción.

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Continuamos con la función de ingresos, calculamos puntos críticos de esta función usando la primera derivada:

I'(q) = \frac{72}{13} \cdot q

La derivada de la función de ingresos I'(q) es igual a cero cuando q=0, por lo tanto, este será nuestro punto crítico. Para determinar si es un máximo o mínimo, debemos usar el criterio de la segunda derivada, entonces calculamos segunda derivada de esta función:

I''(q) = \frac{72}{13}

Evaluamos la segunda derivada de la función de ingresos I''(q) en q=0 y obtenemos que

I''(0) = \frac{72}{13}

Al ser \frac{72}{13} un valor positivo, concluimos que la función alcanza un mínimo relativo en q=0. Continuamos evaluando la función en los extremos del intervalo [0,20]. Esto es,

I(0) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (0)^2 \approx 4.82

I(20) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (20)^2 \approx 1112.52

En vista de que I(20) es el mayor de ambos valores, concluimos que la función de ingresos alcanza un máximo absoluto en q=20, es decir, los ingresos más altos son de I(20) = 1112.52 que es precisamente cuando se llega al tope de la producción.

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Finalizamos con la función de utilidades, calculamos puntos críticos de esta función usando la primera derivada:

U'(q) = \frac{72}{13} \cdot q - \frac{6900}{5833} \cdot q^2

La derivada de la función de utilidades U'(q) es igual a cero cuando q=0 o cuando q=4.68, por lo tanto, este será nuestro punto crítico. Para determinar si es un máximo o mínimo, debemos usar el criterio de la segunda derivada, entonces calculamos segunda derivada de esta función:

U''(q) = \frac{72}{13} - \frac{13800}{5833} \cdot q

Evaluamos la segunda derivada de la función de utilidades U''(q) en q=0 y en q=4.68, obtenemos que

U''(0) = \frac{72}{13} - \frac{13800}{5833} \cdot (0) = \frac{72}{13}

Al ser \frac{72}{13} un valor positivo, concluimos que la función alcanza un mínimo relativo en q=0.

U''(4.68) = \frac{72}{13} - \frac{13800}{5833} \cdot (4.68) \approx -5.5337

Al ser -5.5337 un valor negativo, concluimos que la función alcanza un máximo relativo en q=4.68. Evaluamos la función de utilidades en este valor pues es de nuestro interés:

U(4.68) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (4.68)^2 - \left( \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (4.68)^3 \right) \approx 24.60

Continuamos evaluando la función en los extremos del intervalo [0,20]. Esto es,

U(0) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (0)^2 - \left( \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (0)^3 \right) \approx 4.3574

U(20) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (20)^2 - \left( \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (20)^3 \right) \approx -2042.4

En vista de que U(4.68) es el mayor de ambos valores, concluimos que la función de utilidades alcanza un máximo absoluto en q=4.68, es decir, las utilidades más altas son de U(4.68) = 24.60 que es cuando se producen y se venden aproximadamente 5 lavadoras.


Optimización con restricciones – Multiplicadores de Lagrange

En el estudio de máximos y mínimos de funciones en varias variables, comúnmente se encuentran restricciones sobre las variables involucradas, por ejemplo, al considerar una función de costos conjuntos de una empresa que produce dos artículos A y B tal que la cantidad total de unidades producidas debe ser igual a 200, en este caso tendríamos que

x+y=200

suponiendo que x es la cantidad de unidades producidas del artículo A y y la cantidad de unidades producidas del artículo B.

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Al encontrar restricciones sobre las variables, debemos ser cautelosos en el cálculo de los extremos relativos ya que debemos tomar consideraciones adicionales. Debemos entonces establecer un nuevo método que nos permita calcular estos extremos relativos. De esta forma definimos el Método de los Multiplicadores de Lagrange de la siguiente forma:

Sea f(x,y) una función en varias variables y sea g(x,y)=0 una restricción sobre estas variables. Para calcular los puntos críticos de esta función. consideramos una variable auxiliar \lambda y definimos una función auxiliar F como sigue

F(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda \cdot g(x,y)

Nuestro propósito será el de calcular los puntos críticos de esta función auxiliar F, pues si (x_0,y_0,\lambda_0) es un punto crítico de F, entonces (x_0,y_0) es punto crítico de f sujeta a la restricción indicada. Para esto debemos calcular la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Finalmente, evaluamos la función f(x,y) en los puntos que satisfacen el sistema de ecuaciones y a partir de los valores resultantes concluimos lo siguiente:

Veamos con algunos ejemplos como calcular los extremos relativos de funciones con restricción sobre sus variables.

Ejemplo

Sea f(x,y) = 3x^2 + 2y^2 + 80 una función, cuyas variables están restringidas a x+y=30. Determine los extremos relativos de esta función considerando la restricción indicada.

Para empezar, debemos reescribir la restricción como una función g(x,y) de la siguiente forma g(x,y)=x+y-30=0

Obteniendo la función g(x,y), definimos nuestra función auxiliar F(x,y,\lambda) como

F(x,y,\lambda)

\; = \; f(x,y)-\lambda \cdot g(x,y)

\; = \; 3x^2 + 2y^2 + 80-\lambda \cdot (x+y-30)

Y planteamos el sistema de ecuaciones siguiente para calcular los puntos críticos de esta función:

Sustituimos x = \dfrac{\lambda}{6} y y = \dfrac{\lambda}{4} en la última ecuación para hallar el valor de \lambda

x+y = 30

\Rightarrow \; \dfrac{\lambda}{6} + \dfrac{\lambda}{4} = 30

\Rightarrow \; \dfrac{10}{24} \lambda = 30

\Rightarrow \; \lambda = 30 \dfrac{24}{10}

\Rightarrow \; \lambda = 72

Ahora sustituimos \lambda = 72 en x  =  \frac{\lambda}{6} y y = \frac{\lambda}{4}:

Concluimos entonces que el punto (12,18,72) es el punto crítico de la función F(x,y,\lambda) y en consecuencia, el punto (12,18) es un punto crítico de la función f(x,y). Calculamos ahora las derivadas de orden superior de la función f(x,y) para definir D(x,y).

f_x(x,y) = 6x \Rightarrow f_{xx}(x,y)= 6

f_y(x,y) = 4y \Rightarrow f_{xx}(x,y)= 4

f_{xy}(x,y) = 0

D(x,y)= f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - \big( f_{xy}(x,y) \big)^2 = 6 \cdot 4 - 0 = 24

Finalmente, como D(12,18) = 24 > 0 y f_{xx}(12,18) = 6 > 0 entonces por el criterio de la segunda derivada concluimos que la función f alcanza un mínimo relativo en el punto (2,3).


Optimización (en varias variables)

Al estudiar funciones de una sola variable pudimos determinar los puntos en los cuales estas alcanzaban sus extremos locales, y también podremos encontrar extremos locales para funciones de varias variables generalizando el método que usamos para una variable tomando en cuenta que ya no trabajaremos con intervalos si no con regiones muy particulares en el plano XY.

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Diremos que una función alcanza un máximo local en un punto (x_0,y_0, si f(x,y) \leq f(x_0,y_0) para todos los puntos (x,y) cercanos a (x_0,y_0). Gráficamente, las imágenes de todos los puntos cercanos a (x_0,y_0) están por debajo de la imagen de (x_0,y_0).

Diremos que una función alcanza un mínimo local en un punto (x_0,y_0, si f(x,y) \geq f(x_0,y_0) para todos los puntos (x,y) cercanos a (x_0,y_0). Gráficamente, las imágenes de todos los puntos cercanos a (x_0,y_0) están por encima de la imagen de (x_0,y_0).

Los máximos y mínimos de una función, serán llamados extremos locales, y estarán íntimamente relacionados con la primera derivada parcial de la función. En estos puntos, las rectas tangentes a la curvas que se definen al fijar las variables son horizontales, es decir, su pendiente es igual a cero. Así, definimos un Punto Crítico de una función, como un punto en el que las derivadas parciales se anulan al mismo tiempo (o donde no existe su derivada). Formalmente, decimos que (x_0,y_0) es un punto crítico de f(x,y) si

Optimización (en varias variables) | totumat.com

La importancia de los puntos críticos radica en que, debido a su naturaleza, son los perfectos candidatos para ser extremos locales de una función. Debemos tomar en cuenta que son tan solo candidatos pues no podemos asegurar su papel hasta no determinarlo de forma precisa.

Para determinar si un punto crítico (x_0,y_0) es un máximo o mínimo relativo debemos calcular las derivadas de orden superior de la función f(x,y) para definir una función auxiliar D(x,y) de la siguiente forma

D(x,y) = f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - \big( f_{xy}(x,y) \big)^2

en todos los puntos cercanos al punto (x_0,y_0) y posteriormente considerar los siguientes criterios:

  • Si D(x_0,y_0)>0 y f_{xx}<0, entonces f alcanza un máximo relativo en el punto (x_0,y_0).
  • Si D(x_0,y_0)>0 y f_{xx}>0, entonces f alcanza un mínimo relativo en el punto (x_0,y_0).
  • Si D(x_0,y_0)<0, entonces f alcanza un punto de silla en el punto (x_0,y_0).
  • Si D(x_0,y_0)=0, no hay información suficiente para concluir el comportamiento de f en el punto (x_0,y_0).

A este criterio lo llamamos Criterio de la Segunda Derivada para funciones de dos variables. Veamos con algunos ejemplos como calcular los extremos relativos de una función en varias variables.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Sea f(x,y)=3x^2+5y^2-12x-30y+200, determine los extremos relativos de esta función.

Para empezar calculamos las derivadas parciales de primer orden y planteamos un sistema de ecuaciones de la siguiente manera:

f_x(x,y) = 0

f_y(x,y) = 0

6x - 12 = 0

10y - 30 = 0

x = 2

y = 3

Así el punto crítico de esta función es (2,3). Para verificar si este punto crítico es un extremo relativo, debemos calcular las derivadas de orden superior:

f_{xx}(x,y)=6, \, f_{yy}(x,y)=10, \, f_{xy}(x,y)=0

Una vez calculadas las derivadas de orden superior, recurrimos a la función auxiliar D(x,y) que estará definida como

D(x,y) = f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - \big( f_{xy}(x,y) \big)^2 = 6 \cdot 10 - 0 = 60

Evaluamos esta función en el punto crítico (2,3) para obtener

D(2,3) = 60

Finalmente, como D(2,3)>0 y f_{xx}(2,3)>0 entonces por el criterio de la segunda derivada concluimos que la función f alcanza un mínimo relativo en el punto (2,3).

Ejemplo 2

Sea f(x,y)=y^2-x^2, determine los extremos relativos de esta función.

Para empezar calculamos las derivadas parciales de primer orden y planteamos un sistema de ecuaciones de la siguiente manera:

f_x(x,y) = 0

f_y(x,y) = 0

-2x = 0

2y = 0

x = 0

y = 0

Así el punto crítico de esta función es (0,0). Para verificar si este punto crítico es un extremo relativo, debemos calcular las derivadas de orden superior:

f_{xx}(x,y)=-2, \, f_{yy}(x,y)=2, \, f_{xy}(x,y)=0

Una vez calculadas las derivadas de orden superior, recurrimos a la función auxiliar D(x,y) que estará definida como

D(x,y) = f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - \big( f_{xy}(x,y) \big)^2 = -2 \cdot 2 - 0 = -4

Evaluamos esta función en el punto crítico (2,3) para obtener

D(2,3) =-4

Finalmente, como D(2,3)<0 entonces por el criterio de la segunda derivada concluimos que la función f alcanza un punto de silla en el punto (0,0). Para entender exactamente por qué se llama punto de silla, observemos el gráfico de esta función y veamos su comportamiento en los puntos cercanos a (0,0):