Criterio de la Primera Derivada

Uno de los propósitos de estudiar funciones de ingreso, costo y utilidad es de obtener los mejores resultados posibles, a esto se le conoce como optimización, sin embargo, debemos primero aclarar a qué nos referimos con los mejores resultados posibles.

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Al definir funciones de Ingreso $I(q)$ , Costo $C(q)$ y Utilidad $U(q)$ ; definamos cuales son los valores de $q$ para los cuales estas funciones alcanzan su valor óptimo:

$I(q)$ alcanza su valor óptimo en $q_0$ si el valor $I(q_0)$ es un máximo absoluto de la función, esto se debe a que nos interesa calcular los ingresos más altos.
$C(q)$ alcanza su valor óptimo en $q_0$ si el valor $C(q_0)$ es un mínimo absoluto de la función, esto se debe a que nos interesa calcular los costos más bajos.
$U(q)$ alcanza su valor óptimo en $q_0$ si el valor $U(q_0)$ es un máximo absoluto de la función, esto se debe a que nos interesa calcular las utilidades más altas.

De esta forma, es posible optimizar usando las herramientas que nos proveen las derivadas para calcular máximos y mínimos. Veamos en los siguientes ejemplos como optimizar funciones de ingreso, costo y utilidad.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando las funciones que miden el costo e ingreso por la producción venta de $q$ lavadoras, definidas de la siguiente forma:

$C(q) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot q^3$

$I(q) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot q^2$

$U(q) = I(q) - C(q)$

Suponiendo que la producción tiene un tope de 20 lavadoras. Determine los ingresos óptimos, los costos óptimos y las utilidades óptimas.

Tomando en cuenta que la producción tiene un tope de 20 lavadoras, dichas funciones están definidas en el intervalo $[0,20]$ . Entonces, debemos calcular los extremos relativos y los valores de la función en los extremos del intervalo $[0,20]$ , para comparar y determinar los extremos absolutos.

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Empezando por la función de costos, calculamos puntos críticos de esta función usando la primera derivada:

$C'(q) = \frac{6900}{5833} \cdot q^2$

La derivada de la función de costos $C'(q)$ es igual a cero cuando $q=0$ , por lo tanto, este será nuestro punto crítico. Para determinar si es un máximo o mínimo, debemos usar el criterio de la segunda derivada, entonces calculamos segunda derivada de esta función:

$C''(q) = \frac{13800}{5833} \cdot q$

Evaluamos la segunda derivada de la función de costos $C''(q)$ en $q=0$ y obtenemos que

$C''(0) = \frac{13800}{5833} \cdot (0) = 0$

A partir de este resultado concluimos que la función no alcanza ni un máximo ni un mínimo relativo en $q=0$ . Continuamos evaluando la función en los extremos del intervalo $[0,20]$ . Esto es,

$C(0) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (0)^3 \approx 0.4626$

$C(20) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (20)^3 \approx 3154.92$

En vista de que $C(0)$ es el menor de ambos valores, concluimos que la función de costos alcanza un mínimo absoluto en $q=0$ , es decir, los costos más bajos son de $C(0) = 0.4626$ que es precisamente cuando no hay producción.

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Continuamos con la función de ingresos, calculamos puntos críticos de esta función usando la primera derivada:

$I'(q) = \frac{72}{13} \cdot q$

La derivada de la función de ingresos $I'(q)$ es igual a cero cuando $q=0$ , por lo tanto, este será nuestro punto crítico. Para determinar si es un máximo o mínimo, debemos usar el criterio de la segunda derivada, entonces calculamos segunda derivada de esta función:

$I''(q) = \frac{72}{13}$

Evaluamos la segunda derivada de la función de ingresos $I''(q)$ en $q=0$ y obtenemos que

$I''(0) = \frac{72}{13}$

Al ser $\frac{72}{13}$ un valor positivo, concluimos que la función alcanza un mínimo relativo en $q=0$ . Continuamos evaluando la función en los extremos del intervalo $[0,20]$ . Esto es,

$I(0) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (0)^2 \approx 4.82$

$I(20) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (20)^2 \approx 1112.52$

En vista de que $I(20)$ es el mayor de ambos valores, concluimos que la función de ingresos alcanza un máximo absoluto en $q=20$ , es decir, los ingresos más altos son de $I(20) = 1112.52$ que es precisamente cuando se llega al tope de la producción.

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Finalizamos con la función de utilidades, calculamos puntos críticos de esta función usando la primera derivada:

$U'(q) = \frac{72}{13} \cdot q - \frac{6900}{5833} \cdot q^2$

La derivada de la función de utilidades $U'(q)$ es igual a cero cuando $q=0$ o cuando $q=4.68$ , por lo tanto, este será nuestro punto crítico. Para determinar si es un máximo o mínimo, debemos usar el criterio de la segunda derivada, entonces calculamos segunda derivada de esta función:

$U''(q) = \frac{72}{13} - \frac{13800}{5833} \cdot q$

Evaluamos la segunda derivada de la función de utilidades $U''(q)$ en $q=0$ y en $q=4.68$ , obtenemos que

$U''(0) = \frac{72}{13} - \frac{13800}{5833} \cdot (0) = \frac{72}{13}$

Al ser $\frac{72}{13}$ un valor positivo, concluimos que la función alcanza un mínimo relativo en $q=0$ .

$U''(4.68) = \frac{72}{13} - \frac{13800}{5833} \cdot (4.68) \approx -5.5337$

Al ser $-5.5337$ un valor negativo, concluimos que la función alcanza un máximo relativo en $q=4.68$ . Evaluamos la función de utilidades en este valor pues es de nuestro interés:

$U(4.68) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (4.68)^2 - \left( \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (4.68)^3 \right) \approx 24.60$

Continuamos evaluando la función en los extremos del intervalo $[0,20]$ . Esto es,

$U(0) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (0)^2 - \left( \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (0)^3 \right) \approx 4.3574$

$U(20) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (20)^2 - \left( \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (20)^3 \right) \approx -2042.4$

En vista de que $U(4.68)$ es el mayor de ambos valores, concluimos que la función de utilidades alcanza un máximo absoluto en $q=4.68$ , es decir, las utilidades más altas son de $U(4.68) = 24.60$ que es cuando se producen y se venden aproximadamente 5 lavadoras.

Al estudiar el comportamiento de las funciones, hemos visto que una función tiene tendencias crecientes y tendencias decrecientes, pero, ¿qué ocurre con aquellos puntos en los que la función deja decrecer para empezar a decrecer o vice versa? ¿Qué ocurre con aquellos puntos donde la función no crece más o no decrece más?

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Extremos locales

Diremos que una función alcanza un máximo local (o máximo relativo) en un punto $x_0$ , si existe un intervalo $(a,b)$ tal que $x_0$ está contenido en dicho intervalo y demás $f(x) \leq f(x_0)$ para todo $x \in (a,b)$ . Gráficamente, las imágenes de todos los puntos del intervalo $(a,b)$ están por debajo de la imagen de $x_0$ pero además, podemos notar que la recta tangente a la curva en el punto $(x_0,f(x_0))$ es horizontal,

Por otra parte, diremos que una función alcanza un mínimo local (o mínimo relativo) en un punto $x_0$ , si existe un intervalo $(a,b)$ tal que $x_0$ está contenido en dicho intervalo y demás $f(x) \geq f(x_0)$ para todo $x \in (a,b)$ . Gráficamente, las imágenes de todos los puntos del intervalo $(a,b)$ están por encima de la imagen de $x_0$ pero además, podemos notar que la recta tangente a la curva en el punto $(x_0,f(x_0))$ es horizontal,

Los máximos locales y mínimos locales de una función, serán llamados extremos locales (o extremos relativos), y estarán íntimamente relacionados con la derivada de la función pues al estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función, encontramos puntos en los que esta deja de crecer para empezar a decrecer o; deja de decrecer para empezar a crecer, entonces nos preguntamos, ¿qué ocurre en estos puntos?

En estos puntos, la recta tangente a la curva será horizontal, es decir, su pendiente es igual a cero. Así, definimos un Punto Crítico de una función, como un punto en el que la derivada se anula (o donde no existe su derivada). Formalmente, decimos que $x_0$ es un punto crítico de $f(x)$ si

La importancia de los puntos críticos radica en que, debido a su naturaleza, son los perfectos candidatos para ser extremos locales de una función. Debemos tomar en cuenta, son tan solo candidatos pues no podemos asegurar su papel hasta no determinarlo de forma precisa. Para esto, debemos estudiar el comportamiento de la función en los lados del punto crítico.

Criterio de la Primera Derivada

Sea $f(x)$ una función definida en un intervalo $(a,b)$ , $x_0 \in (a,b)$ un punto crítico de esta, $x \in (a,b)$ distinto de $x_0$ ,

Si $f'(x) > 0$ cuando $x < x_0$ y $f'(x) < 0$ cuando $x > x_0$ ,
entonces $f(x)$ alcanza un máximo local en $x_0$ .
Si $f'(x) < 0$ cuando $x < x_0$ y $f'(x) > 0$ cuando $x > x_0$ ,
entonces $f(x)$ alcanza un mínimo local en $x_0$

Básicamente, si la función crece del lado izquierdo de $x_0$ y decrece del lado derecho de $x_0$ , entonces esta alcanza un máximo en $x_0$ . Si la función decrece del lado izquierdo de $x_0$ y crece del lado derecho de $x_0$ , entonces esta alcanza un mínimo en $x_0$ A este criterio se le conoce como el Criterio de la Primera Derivada para extremos locales.

Para determinar los extremos locales de una función usando el Criterio de la Primera Derivada recurriremos a las tablas de análisis de signo, pues de esta forma se puede estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función con mayor facilidad. Veamos entonces algunos ejemplos.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Determine los extremos locales de la función $f(x)=x^2$ .

El primer paso es calcular la primera derivada y calcular los puntos en los que esta se anula. Entonces, $f'(x)=2x$ y esta función se anula cuando $2x=0 \Rightarrow x=0$ . Así, que $x=0$ es el único punto crítico de esta función.

El segundo paso es estudiar el signo de la derivada para determinar monotonía de la función, para esto usamos una tabla de análisis de signo.

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De esta forma, concluimos que la función $f(x)=x^2$ es decreciente en el intervalo $(-\infty,0)$ y es creciente en el intervalo $(0,+\infty)$ , por lo tanto $f(x)$ alcanza un mínimo local en el punto $x_0=0$ .

Ejemplo 2

Determine los extremos locales de la función $f(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2} + 6x$ .

El primer paso es calcular la primera derivada y calcular los puntos en los que esta se anula. Entonces, $f'(x)=x^2 + 5x + 6$ y esta función se anula cuando $x^2 + 5x + 6=0 \Rightarrow (x+2)(x+3)=0$ . Así, que $x=-2$ y $x=-3$ son los puntos críticos de esta función.

El segundo paso es estudiar el signo de la derivada para determinar monotonía de la función, para esto usamos una tabla de análisis de signo.

De esta forma, concluimos que la función $f(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2} + 6x$ es creciente en los intervalos $(-\infty,-3)$ y $(-2,+\infty)$ ; y es decreciente en el intervalo $(-3,-2)$ , por lo tanto $f(x)$ alcanza un máximo local en el punto $x_1=-3$ y un mínimo local en el punto $x_2=-2$ .

Ejemplo 3

Determine los extremos locales de la función $f(x)=\frac{x^3}{6}$ .

El primer paso es calcular la primera derivada y calcular los puntos en los que esta se anula. Entonces, $f'(x)=\frac{x^2}{2}$ y esta función se anula cuando $\frac{x^2}{2} \Rightarrow x=0$ . Así, que $x=0$ es el único punto crítico de esta función.

El segundo paso es estudiar el signo de la derivada para determinar monotonía de la función, para esto usamos una tabla de análisis de signo.

De esta forma, concluimos que la función $f(x)=\frac{x^3}{6}$ siempre es creciente, por lo tanto $f(x)$ no tiene extremos relativos.

Este último ejemplo, nos sirve para indicar que el hecho de que una función tenga un punto crítico, no implica que este sea un extremo relativo.

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Extremos Absolutos

Los extremos locales, tal como su nombre lo indica, hacen referencia a un conjunto de valores confinados en un intervalo, sin embargo, estos pudieran cumplir condiciones de forma global.

Diremos que una función alcanza el máximo absoluto en un punto $x_0$ , si $f(x) \leq f(x_0)$ para todo $x$ en el dominio de la función. Gráficamente, las imágenes de todos los puntos del dominio están por debajo de la imagen de $x_0$ .

Diremos que una función alcanza el mínimo absoluto en un punto $x_0$ , si $f(x) \geq f(x_0)$ para todo $x$ en el dominio de la función. Gráficamente, las imágenes de todos los puntos del dominio están por encima de la imagen de $x_0$ .

El máximo absoluto y mínimo absoluto de una función, serán llamados extremos absolutos de la función, y si bien el dominio que se menciona puede ser todo el conjunto de los números reales, también pudiera ser un intervalo cerrado. El siguiente teorema, provee un criterio que permite determinar los extremos absolutos en un intervalo cerrado.

Teorema (del Valor Extremo)

Si $f$ es una función continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ , entonces $f$ alcanza un máximo absoluto $f(x_1)$ y un mínimo absoluto $f(x_2)$ para algunos puntos $x_1$ y $x_2$ contenidos en el intervalo $[a,b]$ .

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Ejemplos

Ejemplo 1

Determine los extremos absolutos de la función $f(x)=x^2$ en el intervalo $[-2,2]$ .

Para calcular los extremos absolutos, debemos calcular los extremos locales y posteriormente compararlos con los valores de la función en los extremos del intervalo.

El segundo paso es estudiar el signo de la derivada para determinar monotonía de la función, para esto usamos una tabla de análisis de signo.

$f(0)=0$

Al calcular la función en los extremos del intervalo, tenemos que

$f(-2) = f(2) = 4$

Al ser $f(0)=0$ el menor valor, diremos que este es el mínimo absoluto y al ser $f(-2) = f(2) = 4$ el mayor valor, diremos que este es el máximo absoluto.

Ejemplo 2

Determine los extremos locales de la función $f(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2} + 6x$ en el intervalo $[-5,0]$ .

El segundo paso es estudiar el signo de la derivada para determinar monotonía de la función, para esto usamos una tabla de análisis de signo.

$f(-3)=36$ y $f(-2)=\frac{32}{3}$

Al calcular la función en los extremos del intervalo, tenemos que

$f(-5) = \frac{410}{3}$ y $f(0) = 0$

Al ser $f(0)=0$ el menor valor, diremos que este es el mínimo absoluto y al ser $f(-5) = \frac{410}{3}$ el mayor valor, diremos que este es el máximo absoluto.

Ejemplo 3

Determine los extremos locales de la función $f(x)=\frac{x^3}{6}$ en el intervalo $[3,10]$

El segundo paso es estudiar el signo de la derivada para determinar monotonía de la función, para esto usamos una tabla de análisis de signo.

De esta forma, concluimos que la función $f(x)=\frac{x^3}{6}$ siempre es creciente, por lo tanto $f(x)$ no tiene extremos relativos.

Al calcular la función en los extremos del intervalo, tenemos que

$f(3) = \frac{9}{2}$ y $f(10) = \frac{500}{3}$

Al ser $f(3) = \frac{9}{2}$ el menor valor, diremos que este es el mínimo absoluto y al ser $f(10) = \frac{500}{3}$ el mayor valor, diremos que este es el máximo absoluto.

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Etiqueta: Criterio de la Primera Derivada

Optimización de funciones de ingreso, costo y utilidad

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