Elasticidad de Demanda

Al estudiar la demanda de un artículo respecto a su precio, es posible cuantificar la relación entre estos dos elementos definiendo la ecuación de demanda, tomando en cuenta que a menor precio mayor será la demanda y viceversa, sin embargo, es importante estudiar qué tan sensible es la demanda respecto a un cambio en el precio.

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Partiendo de los cambios porcentuales en el precio y la demanda, podemos estudiar la sensibilidad de la demanda respecto un cambio en el precio tal como lo veremos en los siguientes ejemplos:

Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que la demanda de Coca-Cola ha decrecido en un 5\% después de que el precio de esta aumentó en un 3\%. En términos absolutos, notamos que el cambio en la demanda es mayor que el cambio en el precio, en este caso decimos que la demanda es elástica, pues un cambio en el precio ha tenido una alta incidencia en la demanda.

Ejemplo 2

Suponga que la demanda de Zanahoria ha decrecido en un 10\% después de que el precio de esta aumentó en un 10\%. En términos absolutos, notamos el cambio en la demanda igual que el cambio en el precio, en este caso decimos que la demanda tiene elasticidad unitaria, pues el cambio en el precio y en la demanda tienen la misma magnitud.

Ejemplo 3

Suponga que la demanda de Gas Doméstico, usado para cocinar, ha decrecido en un 2\% después de que el precio de esta aumentó en un 7\%. En términos absolutos, notamos que el cambio en la demanda es menor que el cambio en el precio, en este caso decimos que la demanda es inelástica, pues un cambio en el precio ha tenido una baja incidencia en la demanda.


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Tomando en cuenta estos ejemplos, definimos un indicador que llamaremos Elasticidad de Demanda, que se calcula dividiendo el cambio porcentual en la demanda entre el cambio porcentual en el precio y podemos categorizar el valor de dicho indicador de la siguiente forma:

  • Si el cambio porcentual en la demanda es mayor que el cambio porcentual en el precio, entonces

\left| \frac{\text{Cambio porcentual en la demanda}}{\text{Cambio porcentual en el precio}} \right| > 1 \Longrightarrow La demanda es elástica

Elasticidad de Demanda, Demanda Elástica | totumat.com
  • Si el cambio porcentual en la demanda es igual que el cambio porcentual en el precio, entonces, el siguiente cociente

\left| \frac{\text{Cambio porcentual en la demanda}}{\text{Cambio porcentual en el precio}} \right| = 1 \Longrightarrow La demanda tiene elasticidad unitaria

Elasticidad de Demanda, Elasticidad Unitaria | totumat.com
  • Si el cambio porcentual en la demanda es menor que el cambio porcentual en el precio, entonces, el siguiente cociente

\left| \frac{\text{Cambio porcentual en la demanda}}{\text{Cambio porcentual en el precio}} \right| < 1 \Longrightarrow La demanda es inelástica

Elasticidad de Demanda, Demanda Inelástica | totumat.com

La elasticidad de demanda también se puede calcular en el estudio de las ecuaciones de demanda, particularmente, cuando definimos funciones de demanda. Supongamos que definimos el precio p de un determinado artículo en función de las cantidades demandadas q para determinar una función de demanda, es decir,

p=f(q)

De esta forma, los consumidores demandarán q unidades de dicho artículo si el precio es fijado en f(q), por otra parte, los consumidores demandarán q+h unidades de dicho artículo si el precio es fijado en f(q+h). Considerando estos valores, podemos calcular en cuanto se han incrementado la cantidad demandada y el precio.

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La diferencia (q+h) - q = h determina el incremento que hubo en la cantidad demandada y más aún, el cambio porcentual en la cantidad demandada es calculado de la siguiente forma:

\frac{h}{q} \cdot 100

La diferencia f(q+h) - f(q) determina el incremento que hubo en el precio y más aún, el cambio porcentual en el precio es calculado de la siguiente forma:

\frac{f(q+h) - f(q)}{f(q)} \cdot 100

Considerando estos cambios porcentuales, calculamos el cociente entre estos dos cambios para determinar la elasticidad de demanda de las siguiente forma:

\dfrac{\frac{h}{q} \cdot 100}{\frac{f(q+h) - f(q)}{f(q)} \cdot 100} = \dfrac{\frac{h}{q}}{\frac{f(q+h) - f(q)}{f(q)}}

Considerando esta última división de fracciones, podemos notar que esta es equivalente a la siguiente división de fracciones

\dfrac{\frac{f(q)}{q}}{\frac{f(q+h) - f(q)}{h}}

Esta última expresión resulta de vital importancia para estudiar la elasticidad de demanda al considerar el menor incremento posible, es decir, cuando h \to 0 entonces podemos definir la siguiente expresión

\lim_{h \to 0} \dfrac{\frac{f(q)}{q}}{\frac{f(q+h) - f(q)}{h}}

De existir este límite, debemos notar que la fracción que se encuentra en el denominador es justamente la derivada de la función f(q) respecto a la variable q. Entonces, considerando que la función f(q) determina el precio p, definimos la Elasticidad Puntual de la Demanda de la siguiente forma:

\eta(q) = \dfrac{ \ \ \dfrac{p}{q} \ \ }{\dfrac{dp}{dq}}

Sin embargo, debemos tomar en cuenta que si se está estudiando como la variación del precio afecta a la demanda, conviene expresar la demanda en función del precio y en consecuencia. Entonces, partiendo del hecho de que la derivada de p respecto a q se puede expresar en función de la derivada de la función inversa de p, es decir,

\dfrac{dp}{dq} = \dfrac{1}{\dfrac{dq}{dp}}

Podemos concluir que si la función de demanda está expresada como q en función de p, entonces definimos la Elasticidad Puntual de la Demanda de la siguiente forma:

\eta(p) = \dfrac{ \ \ \dfrac{p}{q} \ \ }{\dfrac{1}{\frac{dp}{dq}}} = \dfrac{p}{q} \cdot \dfrac{dq}{dp}

Una vez que hemos calculado la elasticidad puntual de demanda usando esta definición, podemos categorizar este valor para indicar cual es el impacto que tiene el precio sobre la demanda de la siguiente manera:

  • Si \left| \eta \right| > 1, entonces la demanda es elástica.
  • Si \left| \eta \right| = 1, entonces la demanda tiene elasticidad unitaria.
  • Si \left| \eta \right| < 1, entonces la demanda es inelástica.

Veamos en los siguientes ejemplos como calcular la elasticidad puntual a partir de una función de demanda.

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Ejemplos

Ejemplo 4

Suponga que la demanda semanal de kilos de zanahoria en una pequeña tienda de verduras de la ciudad está definida por la siguiente función:

q = -\frac{9}{5} \cdot p + 43

¿Cuál es la elasticidad puntual de demanda si se fija el precio del kilo de zanahoria en 17.5?

Para usar la fórmula de la elasticidad puntual de demanda debemos calcular la derivada de la función de demanda, de esta forma, tenemos que

\dfrac{dq}{dp} = -\frac{9}{5}

Una vez calculada la derivada de la función de demanda, sustituimos la derivada y la función en nuestra fórmula:

\eta(p) = \frac{p}{q} \cdot \frac{dq}{dp} = \frac{p}{-\frac{9}{5} \cdot p + 43} \cdot \left( -\frac{9}{5} \right)

Teniendo planteada la fórmula de la elasticidad puntual de demanda para la función q(p), evaluamos en p=17.5,

\eta(17.5) = \frac{17.5}{-\frac{9}{5} \cdot 17.5 + 43} \cdot \left( -\frac{9}{5} \right) = -2.7391

De esta forma, al ser |-2.7391| > 1, concluimos que la demanda puntual es elástica cuando se fija el precio en p=17.5, es decir, este precio tiene alta incidencia en la demanda del kilo de zanahoria.


Derivada de la función inversa

Al estudiar el comportamiento gráfico de una función y de su inversa, podemos notar que estas están reflejadas a través de la recta identidad, tomando esto en cuenta, pudiéramos determinar la derivada de la inversa de una función a partir de la derivada de la función original, pero, ¿de qué forma?

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Si estudiamos gráficamente la derivada de la función cuadrática, f(x)=x^2, en el punto x=1, sabemos que esta define la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (1,1). Esta pendiente es igual a 2.

Derivada de la función inversa | totumat.com

Por otra parte, si estudiamos gráficamente la derivada de la función raíz cuadrada, f^{-1}(x)=\sqrt{x}, en el punto x=1, esta define la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (1,1). Esta pendiente es igual a \frac{1}{2}.

Derivada de la función inversa | totumat.com

Debemos notar que la función cuadrática y la función raíz cuadrada son funciones inversas, y el resultado de cada una de sus derivadas, 2 y \frac{1}{2}, son inversamente proporcionales. Más aún, las rectas tangentes a ambas funciones en el punto (1,1) parecieran ser una reflexión de la otra a través de la recta identidad, esto se puede apreciar mejor en el siguiente gráfico:

Derivada de la función inversa | totumat.com

Esto sugiere que sus derivadas son inversamente proporcionales, para ser más precisos, la derivada de la función inversa de f evaluada en y_0 es inversamente proporcional a la derivada de la función f en la preimagen de y_0. Esta idea se presenta formalmente con el siguiente teorema:

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Teorema (La derivada de la función inversa)

Sea f : (a,b) \longrightarrow \mathbb{R} una función inyectiva, derivable en un punto x_0=f^{-1}(y_0) del intervalo (a,b), tal que f'(f^{-1}(y_0)) \neq 0. Entonces, f^{-1} es derivable en y_0 y además,

(f^{-1})'(y_0) = \dfrac{1}{f'\big( f^{-1}(y_0) \big)}

Podemos presentar esta última expresión de una forma más amigable, y es que si consideramos una variable x=f^{-1}(y), podemos reescribir la derivada de la variable x respecto a la variable y como un cociente de diferenciales de la siguiente forma:

(f^{-1})'(y) = \frac{d}{dy} \left( f^{-1}(y) \right) = \frac{dx}{dy}

Por otra parte, también podemos reescribir la derivada f'\left( f^{-1}(y) \right) como un cociente de diferenciales, tomando en cuenta que f y f^{-1} son funciones inversas, de la siguiente forma:

f'\left( f^{-1}(y) \right) = \frac{d}{dx} \left( f\left( f^{-1}(y) \right) \right) = \frac{dy}{dx}

Entonces, aplicando el teorema para calcular la derivada de la función inversa, tenemos que

\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{ \ \ 1 \ \ }{\dfrac{dy}{dx}}

Notemos que esta última expresión es equivalente a \frac{dy}{dx} = \frac{ \ \ 1 \ \ }{\frac{dx}{dy}} y aunque este teorema es potente para el desarrollo de las matemáticas, existen algunos casos en la práctica donde resulta útil. Veamos en los siguientes ejemplos, algunas funciones para entender como calcular la función inversa usando este el teorema.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la función f(x)=x^2, calcule la derivada de su función inversa f^{-1}(x)=\sqrt{x}.

Debemos tomar en cuenta que la derivada de la función f(x) es igual a f'(x)=2x. Al evaluar la derivada en f^{-1}(x), obtenemos la expresión

f' \left( f^{-1}(x) \right) = 2 \cdot f^{-1}(x)

Entonces, procedemos a calcular la derivada de la función inversa aplicando el teorema de la siguiente forma:

(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}

= \dfrac{1}{2f^{-1}(x)}

= \dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Ejemplo 2

Considerando la función f(x)=(x+1)^3, calcule la derivada de su función inversa f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}-1.

Debemos tomar en cuenta que la derivada de la función f(x) es igual a f'(x)=3(x+1)^2. Al evaluar la derivada en f^{-1}(x), obtenemos la expresión

f' \left( f^{-1}(x) \right) = 3\left( f^{-1}(x) + 1 \right)^2

Entonces, procedemos a calcular la derivada de la función inversa aplicando el teorema de la siguiente forma:

(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}

= \dfrac{1}{3\left( f^{-1}(x) + 1 \right)^2}

= \dfrac{1}{3\left( \sqrt[3]{x}-1 + 1 \right)^2}

= \dfrac{1}{3\left( \sqrt[3]{x} \right)^2}

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Ejemplo 3

Expresando la derivada como un cociente de diferenciales también podemos llevar a cabo el procedimiento al estudiar variables dependientes, considerando la variable y=-2x+5, calcule la derivada de su función inversa x=-\frac{1}{2}y + \frac{5}{2}.

Debemos tomar en cuenta que la derivada de y respecto a la variable x es igual a \frac{dy}{dx}=-2, de esta forma, procedemos a calcular la derivada de la función inversa aplicando el teorema de la siguiente forma:

\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\frac{dy}{dx}}

= \dfrac{1}{-2}

= -\dfrac{1}{2}

Ejemplo 4

Expresando la derivada como un cociente de diferenciales también podemos llevar a cabo el procedimiento al estudiar variables dependientes, considerando la variable y=\textit{\Large e}^{x+1} + 7, calcule la derivada de su función inversa x= \ln(y-7) - 1.

Debemos tomar en cuenta que la derivada de y respecto a la variable x es igual a \frac{dy}{dx}=\textit{\Large e}^{x+1}, de esta forma, procedemos a calcular la derivada de la función inversa aplicando el teorema de la siguiente forma:

\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\frac{dy}{dx}}

= \dfrac{1}{\textit{\Large e}^{x+1}}

Finalmente, sustituyendo la variable x = \ln(y-7) - 1 en este último resultado, obtenemos lo siguiente:

\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\textit{\Large e}^{\ln(y-7) - 1+1}}

= \dfrac{1}{\textit{\Large e}^{\ln(y-7)}}

= \dfrac{1}{y-7}

Nota: Se mantiene que \textit{\Large e}^{\ln(y-7)} = y-7 pues la función exponencial y la función logaritmo neperiano son funciones inversas.


Derivadas Parciales

Es posible hacer un análisis marginal de este tipo de funciones usando derivadas pero estas funciones definen superficies en el espacio, así que en un punto de ellas existen infinitas rectas tangentes. Entonces, ¿cuál de todas las rectas tangentes será la que define la derivada?

Para hacer este estudio será necesario fijar una variable y variar la otra. Gráficamente lo que ocurre es al fijar una de las variables, estaremos cortando nuestra superficie con un plano y sobre este plano se proyectará una curva sobre la cual sí podremos hacer un estudio tal como lo hemos hecho antes.

Para entender lo que ocurre veamos un caso particular, consideremos nuevamente la función f(x,y)=x^2+y^2. Si fijamos la variable y, digamos que y=1, entonces la función se expresará de la forma

f(x,1) = f(x) = x^2 + 1

Notando que depende de sólo una variable, esta función estará definida en un plano paralelo al plano XZ que pasa por el punto (0,1,0) y corta a la superficie como se ve a continuación:

Tomando en cuenta esto, definimos de forma general la Derivada Parcial de una función f(x,y) respecto a la variable x como la derivada de la función f(x,y) una vez que se ha fijado la variable y y la denotamos con

De igual forma, definimos de forma general la derivada parcial de una función f(x,y) respecto a la variable y como la derivada de la función f(x,y) una vez que se ha fijado la variable x y la denotamos con

Definiendo las derivadas parciales de esta forma, podemos usar todas las reglas de derivación que se han establecido para el cálculo de derivadas de funciones de una variable. Veamos con algunos ejemplos como calcular este tipo de derivadas.

Ejemplos

Ejemplo 1

Sea f(x,y)=x^2+y^2 una función definida en varias variables, calcule la derivada parcial respecto la variable x, es decir, \frac{\partial f}{\partial x}.

Primero debemos tomar en cuenta que si estamos derivando respecto a x, entonces estamos fijando la variable y, por lo tanto esta se comportará como una constante. Así,

\frac{\partial f}{\partial x} \; = \; \frac{\partial (x^2 + y^2)}{\partial x}
= \; \frac{\partial (x^2)}{\partial x} + \frac{\partial (y^2)}{\partial x}
= \; 2x + 0
= \; 2x

Si queremos calcular la derivada parcial respecto la variable y, es decir, \frac{\partial f}{\partial y}. Debemos notar que en este caso es la variable x la que estamos fijando y en consecuencia será ésta la que se comporte como una constante.

\frac{\partial f}{\partial y} \; = \; \frac{\partial (x^2)}{\partial y} + \frac{\partial (y^2)}{\partial y}
= \; 0 + 2y
= \; 2y

Ejemplo 2

Sea f(x,y)= 5x^8-2y^4 + 6xy. Calcule \frac{\partial f}{\partial x} y \frac{\partial f}{\partial y}.

\frac{\partial f}{\partial x} \; = \; \frac{\partial (5x^8-2y^4 + 6xy)}{\partial x}
= \; \frac{\partial (5x^8)}{\partial x} - \frac{\partial (2y^4)}{\partial x} + \frac{\partial (6xy)}{\partial x}
= \; 40x^7 - 0 + 6y
= \; 40x^7 + 6y

Recordemos que la derivada de c\cdot x es igual a c, donde c es una constante. De esta forma, al comportarse y como una constante, entonces la derivada del producto 6xy será 6y.

\frac{\partial f}{\partial y} \; = \; \frac{\partial (5x^8-2y^4 + 6xy)}{\partial y}
= \; \frac{\partial (5x^8)}{\partial y} - \frac{\partial (2y^4)}{\partial y} + \frac{\partial (6xy)}{\partial y}
= \; 0 - 8y^3 + 6x
= \; - 8y^3 + 6x

En este caso x se comporta como una constante, entonces la derivada del producto 6xy será 6x.

Ejemplo 3

Sea f(x,y)= \ln(5x+7y) + 10x^3y^5. Calcule \frac{\partial f}{\partial x} y \frac{\partial f}{\partial y}.

\frac{\partial f}{\partial x} \; = \; \frac{\partial (\ln(5x+7y) + 10x^3y^5)}{\partial x}
= \; \frac{\partial (\ln(5x+7y))}{\partial x} + \frac{\partial (10x^3y^5)}{\partial x}
= \; \frac{1}{5x+7y} \cdot 5 + 30x^2y^5
= \; \frac{5}{5x+7y} + 30x^2y^5

Por otra parte,

\frac{\partial f}{\partial y} \; = \; \frac{\partial (\ln(5x+7y) + 10x^3y^5)}{\partial y}
= \; \frac{\partial (\ln(5x+7y))}{\partial y} + \frac{\partial (10x^3y^5)}{\partial y}
= \; \frac{1}{5x+7y} \cdot 7 + 50x^3y^4
= \; \frac{7}{5x+7y} + 50x^3y^4


Derivación Implícita

Al considerar una función de la forma y=f(x), estamos definiendo a la función $f$ de forma explícita, recurriendo a y como una variable que depende enteramente de la variable x, sin embargo, este no siempre es el caso.

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Definimos una función implícita como una relación entre dos variables a través de una igualdad. Si consideramos la ecuación general de la recta ax + by + c = 0, esta define una función implícita, aunque hay casos más interesantes pues al considerar la ecuación x^2+y^2=1 esta es la función implícita que define una circunferencia en el plano cartesiano centrada en el origen y de radio igual a 1.

Pudiéramos intentar definir esta circunferencia usando funciones explícitas como lo hemos hecho anteriormente pero no tendríamos éxito, a lo sumo pudiéramos definir semi-circunferencias con las expresiones

f(x) = \sqrt{1-x^2} ó f(x) = -\sqrt{1-x^2}

Es posible hacer un análisis marginal de este tipo de funciones usando derivadas, sin embargo, al no poder estudiar la función como un todo, es necesario considerar una variable como independiente y estudiar el comportamiento de la otra como si fuera una variable dependiente.

Para esto debemos adoptar la notación de la derivada como un cociente de diferenciales \frac{dy}{dx} ó \frac{dx}{dy} pues de esta forma podremos identificar las variables que estamos estudiando de forma clara. Veamos con algunas ejemplos como calcular este tipo de derivadas.

Ejemplos

Ejemplo 1

Sea x^2+y^2=1 una función implícita. Calcule al derivada de la variable y respecto a la variable x, es decir, calcule \frac{dy}{dx}.

Empezaremos derivando respecto a la variable x en ambos lados de la ecuación x^2+y^2=1 para obtener

\frac{d(x^2+y^2)}{dx} = \frac{d(1)}{dx}

Notamos que al derivar una suma, podemos separar cada uno de los sumandos para calcular la deriva de cada uno

\frac{d(x^2)}{dx} + \frac{d(y^2)}{dx}= \frac{d(1)}{dx}

Derivamos la función x^2 respecto a x usando la regla del exponente tal como la hemos aprendido, sin embargo, al derivar y^2 debemos tomar en cuenta que la variable y se está comportando como una variable dependiente, de esta forma, debemos aplicar la regla de la cadena tal como si estuviéramos derivando una función. Por último, la derivada de 1 es igual a 0 por ser esta una constante.

2x + 2y \dfrac{dy}{dx}= 0

Finalmente, despejamos \dfrac{dy}{dx} para expresar esta derivada de forma explícita.

2x + 2y \dfrac{dy}{dx} = 0

\Rightarrow \; 2y \dfrac{dy}{dx} = -2x

\Rightarrow \; \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-2x}{2y }

\Rightarrow \; \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y }

Nota: La regla de la cadena indica que si tenemos una función compuesta de la forma f^n, entonces la derivada de esta viene dada por n \cdot f^{n-1} \cdot f'.

Ejemplo 2

Sea 3x-2y+5xy=6 una función implícita. Calcule al derivada de la variable x respecto a la variable y, es decir, calcule \frac{dx}{dy}.

3x-2y+5xy=6

\Rightarrow \; \dfrac{d(3x-2y+5xy)}{dy} = \dfrac{d(6)}{dy}

\Rightarrow \; \dfrac{d(3x)}{dy} - \dfrac{d(2y)}{dy} + \dfrac{d(5xy)}{dy} = \dfrac{d(6)}{dy}

\Rightarrow \; 3\dfrac{dx}{dy} - 2 + 5\dfrac{dx}{dy}y + 5x = 0

\Rightarrow \; 3\dfrac{dx}{dy} + 5\dfrac{dx}{dy}y = 2 - 5x

\Rightarrow \; \dfrac{dx}{dy}(3+5y) = 2 - 5x

\Rightarrow \; \dfrac{dx}{dy} = \dfrac{2 - 5x}{3+5y}

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Ejemplo 3

Sea \ln(9x-4y) + 3x^6 = 3y^3 una función implícita. Calcule al derivada de la variable y respecto a la variable x, es decir, calcule \frac{dy}{dx}.

\ln(9x-4y) + 3x^6 = 3y^3

\Rightarrow \; \dfrac{d(\ln(9x-4y) + 3x^6)}{dx} = \dfrac{d(3y^3)}{dx}

\Rightarrow \; \dfrac{d(\ln(9x-4y))}{dy} + \dfrac{d(3x^6)}{dx} = \dfrac{d(3y^3)}{dx}

\Rightarrow \; \dfrac{1}{9x-4y}\dfrac{d(9x-4y)}{dx} + \dfrac{d(3x^6)}{dx} = \dfrac{d(3y^3)}{dx}

\Rightarrow \; \dfrac{1}{9x-4y}\left( 9-4\dfrac{dy}{dx} \right) + 18x^5 = 9y^2\dfrac{dy}{dx}

\Rightarrow \; \dfrac{9}{9x-4y} - \dfrac{4}{9x-4y} \dfrac{dy}{dx} + 18x^5 = 9y^2\dfrac{dy}{dx}

\Rightarrow \; \dfrac{dy}{dx} \left( - \dfrac{4}{9x-4y} - 9y^2 \right) = - \dfrac{9}{9x-4y} - 18x^5

\Rightarrow \; \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{- \frac{9}{9x-4y} - 18x^5 }{- \frac{4}{9x-4y} - 9y^2 }

\Rightarrow \; \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{ \frac{9}{9x-4y} + 18x^5 }{ \frac{4}{9x-4y} + 9y^2 }

Para simplificar la escritura de este tipo de ejercicios, podemos usar la notación y' para denotar \dfrac{dy}{dx} y la notación x' para denotar \dfrac{dx}{dy}. De esta forma se pueden ilustrar este tipo de ejercicios con mayor claridad, siempre que se tenga claro el papel que juega cada una de las variables. Veamos como usar esta notación en los ejemplos siguientes.

Ejemplo 4

Sea 9y^4 - 2x^7 = 10 + 4\sqrt{xy} una función implícita. Calcule al derivada de la variable y respecto a la variable x, es decir, calcule \frac{dy}{dx}.

9y^4 - 2x^7 = 10 + 4\sqrt{xy}

\Rightarrow \; (9y^4 - 2x^7)' = (10 + 4\sqrt{xy})'

\Rightarrow \; (9y^4)' - (2x^7)' = (10)' + (4\sqrt{xy})'

\Rightarrow \; 36y^3\cdot y' - 14x^6 = 0 + \dfrac{4}{\sqrt{xy}}(xy)'

\Rightarrow \; 36y^3\cdot y' - 14x^6 = \dfrac{4}{\sqrt{xy}}(1 \cdot y + x \cdot y')

\Rightarrow \; 36y^3\cdot y' - 14x^6 = \dfrac{4}{\sqrt{xy}} y + \dfrac{4}{\sqrt{xy}} x \cdot y'

\Rightarrow \; 36y^3\cdot y' - \dfrac{4x}{\sqrt{xy}} \cdot y' = \dfrac{4y}{\sqrt{xy}} + 14x^6

\Rightarrow \; \left( 36y^3 - \dfrac{4x}{\sqrt{xy}} \right) y' = \dfrac{4y}{\sqrt{xy}} + 14x^6

\Rightarrow \; y' = \dfrac{\frac{4y}{\sqrt{xy}} + 14x^6}{36y^3 - \frac{4x}{\sqrt{xy}}}

También se puede recurrir a una variable auxiliar cuando nos topamos con una expresión engorrosa de escribir reiteradas veces.

Ejemplo 5

Sea \text{\Large e}^{10x^5+8y^2+20} - 8 = 10 + 6y^{11} una función implícita. Calcule al derivada de la variable y respecto a la variable x, es decir, calcule \frac{dx}{dy}.

\underbrace{\text{\Large e}^{10x^5+8y^2+20}}_\text{a} - 8 = 10 + 6y^{11}

\Rightarrow \; (a-8)' = (10 + 6y^{11})'

\Rightarrow \; (a)' - (8)' = (10)' + (6y^11)'

\Rightarrow \; a(50x^4 \cdot x'+16y + 0) - 0 = 0 + 66y^{10}

\Rightarrow \; a50x^4 \cdot x'+a16y = 66y^{10}

\Rightarrow \; 50x^4 a \cdot x' = 66y^{10} - 16y a

\Rightarrow \; x' = \dfrac{66y^{10} - 16ya}{50x^4 a }

\Rightarrow \; x' = \dfrac{66y^{10} - 16y \text{\Large e}^{10x^5+8y^2+20}}{50x^4 \text{\Large e}^{10x^5+8y^2+20}}


Finalmente, siempre recordemos que al calcular derivadas implícitas de funciones tendremos una variable dependiente y una independiente. La nota siguiente nos ayudará a recordar:

Note que en el numerador siempre tendremos la variable dependiente y en el denominador la variable independiente.

Bosquejo de Polinomios

Si se sabe interpretar de forma correcta la información que se obtiene de las derivadas de una función se puede hacer bosquejo de un polinomio sin necesidad de extenderse mucho en los cálculos, sin embargo, definamos una serie de pasos que facilite el flujo de la información que vamos obteniendo del polinomio para poder apreciar su comportamiento general. Si P(x) un polinomio, entonces

  1. Calculamos los puntos de corte con los ejes y estudiamos su positividad (intervalos en los que es positiva o negativa).
  2. Calculamos los puntos críticos y determinamos su monotonía (intervalos en los que crece o decrece).
  3. Calculamos los puntos de inflexión y determinamos su concavidad (intervalos en los que es convexa o cóncava).
  4. Calculamos las imágenes de los puntos de los puntos críticos y de inflexión.
  5. Esbozar la gráfica.

De esta forma, aunque es un proceso extenso, se observa con claridad el comportamiento de la función en cada intervalo de la recta real estudiando la función, su primera derivada y su segunda derivada. Veamos con algunos ejemplos como hacer estos bosquejos.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Haga un bosquejo del polinomio P(x) = x^2 + 5x +6

Primer Paso: Puntos de Corte y Positividad.

Para determinar el punto de corte del polinomio con el Eje Y, calculamos el valor del polinomio cuando x=0, esto es

P(0) = (0)^2 + 5(0) +6 = 6

Para determinar los puntos de corte del polinomio con el Eje X, calculamos el valor de la variable x cuando P(x)=0, esto es,

x^2 + 5x +6 = 0 \Longrightarrow (x+2)(x+3)=0

Entonces, los puntos de corte del polinomio con el Eje X son x=-2 y x=-3. Así, podemos estudiar la positividad del polinomio haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Está por encima del Eje X en los intervalos (-\infty,-3) y (-2,+\infty).
  • Está por debajo del Eje X en el intervalo (-3,-2).

Segundo Paso: Puntos Críticos y Monotonía.

Para determinar los puntos críticos del polinomio P(x) calculamos su primera derivada y obtenemos P'(x) = 2x+5. Calculamos los valores para los cuales P'(x)=0, esto es,

2x+5 = 0 \Longrightarrow x = -\frac{5}{2}

Entonces, el punto crítico del polinomio es x=-\frac{5}{2}. Así, podemos estudiar la monotonía del polinomio haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Es decreciente en el intervalo (-\infty,-\frac{5}{2}),
  • Es creciente en el intervalo (-\frac{5}{2},+\infty).
  • Alcanza un mínimo local en x=-\frac{5}{2}.
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Tercer Paso: Puntos de Inflexión y Concavidad.

Para determinar los puntos de inflexión del polinomio P(x) calculamos su segunda derivada y obtenemos P''(x) = 2. Concluyendo inmediatamente que nunca es igual a cero, entonces no tiene puntos de inflexión. Aunque la conclusión es clara, haremos una tabla de análisis de signo para ilustrar lo que ocurre.

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Es convexo en todo su dominio.

Cuarto Paso: Imágenes.

  • P(-\frac{5}{2}) =\left( -\frac{5}{2} \right)^2 + 5 \left( -\frac{5}{2} \right) + 6 = -\frac{1}{4} = -0.25

Quinto Paso: Graficar.

Puntos de Corte.

Puntos Críticos.

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Ejemplo 2

Haga un bosquejo del polinomio P(x) = x^3 - 2x^2 -x +2

Primer Paso: Puntos de Corte y Positividad.

Para determinar el punto de corte del polinomio con el Eje Y, calculamos el valor del polinomio cuando x=0, esto es

P(0) = (0)^3 - 2(0)^2 -(0) +2 = 2

Para determinar los puntos de corte del polinomio con el Eje X, calculamos el valor de la variable x cuando P(x)=0, esto es,

x^3 - 2x^2 -x +2 = 0

Considerando que este polinomio es de grado tres, el método que usaremos para calcular sus raíces será el Método de Ruffini. Entonces, consideramos sus coeficientes de la siguiente manera

Entonces, los puntos de corte del polinomio con el Eje X son x=1, x=-1 y x=2. Así, podemos factorizar el polinomio como P(x)=(x-1)(x+1)(x-2) y estudiar su positividad haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Está por encima del Eje X en los intervalos (-1,1) y (2,+\infty)
  • Está por debajo del Eje X en los intervalos (-\infty,-1) y (1,2).

Segundo Paso: Puntos Críticos y Monotonía.

Para determinar los puntos críticos del polinomio P(x) calculamos su primera derivada y obtenemos P'(x) = 3x^2 - 4x -1. Calculamos los valores para los cuales P'(x)=0. Considerando que este polinomio es de segundo grado, el método que usaremos para calcular sus raíces será el Método del Discriminante.

Identificamos los coeficientes del polinomio como a=3, b=-4 y c=-1 y aplicamos la fórmula del discriminante

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3}

= \dfrac{4 \pm \sqrt{16+12}}{6}

= \dfrac{4 \pm \sqrt{28}}{6}

= \dfrac{2 \pm \sqrt{7}}{3}

x_1 = \dfrac{2 + \sqrt{7}}{3} \approx 1.54858

x_2 = \dfrac{2 - \sqrt{7}}{3} \approx -0.21525

Entonces, los puntos críticos del polinomio son x=\dfrac{2 + \sqrt{7}}{3} y x=\dfrac{2 - \sqrt{7}}{3}. Así, podemos factorizar la primera derivada del polinomio como P'(x)=3\left( x - \frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right)\left( x + \frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right) y estudiar la monotonía del polinomio haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Es creciente en los intervalos \left(-\infty,\frac{2 - \sqrt{7}}{3}\right) y \left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3},+\infty\right).
  • Es decreciente en el intervalo \left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3},\frac{2 + \sqrt{7}}{3}\right).
  • Alcanza un máximo local en x=\frac{2 - \sqrt{7}}{3}.
  • Alcanza un mínimo local en x=\frac{2 + \sqrt{7}}{3}.
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Tercer Paso: Puntos de Inflexión y Concavidad.

Para determinar los puntos de inflexión del polinomio P(x) calculamos su segunda derivada y obtenemos P''(x) = 6x-4. Calculamos los valores para los cuales P''(x)=0. Considerando que este polinomio lineal, el método que usaremos para calcular sus raíces será un simple despeje de la siguiente manera

6x-4 = 0 \Longrightarrow 6x = 4 \Longrightarrow x = \frac{4}{6} \Longrightarrow x = \frac{2}{3}

Entonces nuestro posible punto de inflexión es x=\frac{2}{3}, y estudiamos la concavidad del polinomio haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Es cóncavo en el intervalo (-\infty,\frac{2}{3}).
  • Es convexo en el intervalo (\frac{2}{3},+\infty).
  • Alcanza un punto de inflexión en x=\frac{2}{3}.

Cuarto Paso: Imágenes.

  • P\left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right) = \left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right)^3 - 2\left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right)^2 -\left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right) +2 \approx -0.63113
  • P\left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3} \right) = \left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3} \right)^3 - 2\left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3} \right)^2 -\left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3} \right) +2 \approx 2.11261
  • P\left(\frac{2}{3} \right) = \left(\frac{2}{3} \right)^3 - 2\left(\frac{2}{3} \right)^2 -\left(\frac{2}{3} \right) +2 \approx 0.740741

Quinto Paso: Graficar.

Puntos de Corte.

Puntos Críticos.

Puntos de Inflexión.