Razón de Cambio

Las diferencias y las razones de cambio son elementos fundamentales para el estudio de funciones diferenciables pues, al sentar estos la base para calcular la derivada de una función, podemos establecer relaciones que permiten aproximar valores de la función a través de su derivada.

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Diferencia de una función

Al estudiar el comportamiento de una función $y=f(x)$ diferenciable en todo su dominio, si consideramos un valor $x$ en el dominio de ella, y $x+h$ un valor incrementado de $x$ , definimos la diferencia entre estos dos valores (la diferencia en x) de la siguiente manera:

$\Delta_x = (x+h) - h = h$

De igual forma, al considerar las imágenes de estos dos valores a través de la función, es decir, de $f(x)$ y $f(x+h)$ ; definimos la diferencia entre estas dos imágenes (la diferencia en y) de la siguiente manera:

$\Delta_y = f(x+h) - f(x)$

Es decir, la diferencia en $y$ mide cuanto varía la función cuando la variable $x$ varía con medida igual a la diferencia en $x$ .

Nota: hemos usado la letra griega delta mayúscula « $\Delta$ » pues es la letra equivalente a la letra «d» en el español.

Estas diferencias se aprecian con mayor claridad al observar la gráfica de la función $y=f(x)$ :

Diferencias en una función. | totumat.com

El estudio de estas diferencias es de vital importancia para el cálculo de derivadas, pues al considerar valores muy pequeños de la diferencia $\Delta_x$ , el siguiente cociente se aproximará a la derivada de la función $f(x)$ :

$\frac{\Delta_y}{\Delta_x}$

Debemos recordar que la derivada de la función $f(x)$ está definida de la siguiente forma:

$f'(x) = \lim_{\Delta_x \to 0} \frac{\Delta_y}{\Delta_x}$

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Diferencial de una función

Por otra parte, al estudiar el comportamiento de la recta tangente a la función $y=f(x)$ en el punto $\left( x, f(x) \right)$ , llamémosla $t(x)$ . Si consideramos un valor $x$ , y $x+h$ un valor incrementado de $x$ , definimos el diferencial entre estos dos valores (el diferencial de x) de la siguiente manera:

$dx = (x+h) - h = h$

De igual forma, al considerar las imágenes de estos dos valores a través de la recta tangente, es decir, de $t(x)$ y $t(x+h)$ ; definimos el diferencial entre estas dos imágenes (el diferencial de y) de la siguiente manera:

$dy = t(x+h) - t(x)$

Estos diferenciales se aprecian con mayor claridad al observar la gráfica de la función $y=f(x)$ :

Diferenciales de una función. | totumat.com

El estudio de estos diferenciales es de vital importancia para el cálculo de derivadas, el siguiente cociente, al ser exactamente la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto $x$ , es la derivada de la función $f(x)$ :

$\frac{dy}{dx} = f'(x)$

De esta igualdad, podemos despejar $dy$ y así, podemos plantear la siguiente igualdad, que nos define la forma en que se calcula el diferencial de la función $y=f(x)$ :

$dy = f'(x) \cdot dx$

Es decir, el diferencial de $y$ mide cuanto incrementa la pendiente recta tangente cuando la variable $x$ presenta un incremento con medida igual al diferencial de $x$ .

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Relación entre diferenciales y diferencias

Hemos visto que las diferencias y los diferenciales están relacionados íntimamente con la derivada de una función, entonces, notando que la diferencia en $x$ y el diferencial de $x$ son exactamente el mismo elemento, es decir, $\Delta_x = dx$ ; debemos estudiar, con particular interés, la relación entre $\Delta_y$ y $dy$ .

Hemos dicho que el cociente $\frac{\Delta_y}{\Delta_x}$ se aproxima a la derivada de la función, por lo tanto, podemos considerar un número real $\alpha$ que depende de $\Delta_x$ que nos permite establecer la siguiente relación:

$\frac{\Delta_y}{\Delta_x} = f'(x) + \alpha$

Entonces, al multiplicar en ambos lados de la ecuación por $\Delta_x$ , despejamos $\Delta_y$ obteniendo que

$\Delta_y = f'(x) \cdot \Delta_x + \alpha \cdot \Delta_x \Longleftrightarrow \Delta_y = f'(x) \cdot dx + \alpha \cdot dx$

De esta forma, si nos fijamos que el primer sumando es determinado por $f'(x) \cdot dx$ , que es justamente $dy$ , nos damos cuenta que $\alpha \cdot dx$ que representa el excedente sobre $dy$ . Estos dos sumandos se aprecian con mayor claridad al observar la gráfica de la función $y=f(x)$ .

Relación entre diferenciales y diferencias | totumat.com

Considerando entonces que $\Delta_y = dy + \alpha \cdot dx$ , a medida que se hace pequeño el diferencial $dx$ también lo hará $\alpha$ , y en consecuencia, se hará aún más pequeño el producto $\alpha \cdot dx$ . Por lo tanto,

Si $dx \to 0$ , entonces $\Delta_y \to dy$

Concluimos entonces, que el diferencial de $y$ es una aproximación lineal (a través de la recta tangente a la curva) de la diferencia de $y$ , es decir,

$\Delta_y \approx dy = f'(x) \cdot dx$

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Cálculo del diferencial de una función

Si consideramos una función $y=f(x)$ , el diferencial de esta puede expresarse de las siguientes formas:

$dy$ ó $df$

En los siguientes ejemplos, veremos como calcular el diferencial de una función.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la función $y = x^2$ , para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

$dy = 2x \ dx$

Ejemplo 2

Considerando la función $y = 6x^{10} + 13x + 20$ , para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

$dy = (60x^9 + 13) \ dx$

Ejemplo 3

Considerando la función $y = \textit{\Large e}^{3x^5}$ , para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

$dy = 15x^4 \cdot \textit{\Large e}^{3x^5} \ dx$

Ejemplo 4

Considerando la función $y = \ln (9x^3 + 12x^2 + 7x + 10)$ , para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

$dy = \dfrac{27x^2 + 24x + 7}{9x^3 + 12x^2 + 7x + 10} \ dx$

Un ejemplo particular

Veamos un ejemplo particular, consideremos la función cuadrática $f(x)=x^2$ y suponga que queremos calcular su derivada en en $x_0 = 2$ . Entonces, su derivada está definida por el siguiente límite:

$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2^2}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{4-4}{2-2} = \frac{0}{0}$

Este límite presenta una indeterminación de la forma $\frac{0}{0}$ , así que procedemos a determinarlo considerando que el numerador es una diferencia de cuadrados,

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2^2}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} x + 2 = 2+2 = 4$

Entonces la razón de cambio puntual de la función cuadrática en el punto $x_0 = 2$ es igual a $4$ , geométricamente estamos diciendo que la pendiente de la recta tangente a la curva $f(x)=x^2$ en el punto $(2,4)$ es igual a $4$ .

Una forma general

Suponga ahora que queremos calcular la derivada en los puntos $x_0 = 3$ y $x_0 = -5$ , entonces, ¿debemos calcular el límite cada vez? No necesariamente pues podemos determinar una fórmula general para calcular la derivada de la función cuadrática en cualquier punto $x$ .

Para esto sigamos algunos pasos de forma muy cuidadosa. Consideremos ahora una variable auxiliar definida como $h=x-x_0$ , esta tenderá a cero cuando $x$ tiende a $x_0$ y además a partir de esta variable, tenemos que $x = x_0+ h$ . Entonces, podemos reescribir la derivada de la función $f(x)$ en el punto $x_0$ de la forma

Entonces, evaluamos la función en $x_0 + h$ y $x_0$ para luego aplicar producto notable y obtener que

$\lim_{h \to 0} \frac{(x_0 + h)^2 - (x_0)^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x_0^2 + 2 x_0 h + h^2 - x_0^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2 x_0 h + h^2 }{h}$

Sacamos $h$ como un factor común en el numerador, posteriormente lo simplificamos tomando en cuenta el $h$ que está en el numerador y evaluamos el límite.

$\lim_{h \to 0} \frac{(2 x_0 + h) \cdot h}{h} = \lim_{h \to 0} 2 x_0 + h = 2 x_0 + 0 = 2 x_0$

Considerando que $x_0$ es cualquier elemento en el dominio de la función cuadrática, podemos establecer una fórmula general para su derivada, es decir, si $f(x) = x^2$ entonces su derivada en cualquier punto $x$ de su dominio está definida como

$f'(x) = 2x$

De modo que la derivada de la función $f(x)=x^2$ en los puntos $x_0 = 3$ y $x_0 = -5$ es $f'(3)=2(3)=6$ y $f'(-5)=2(-5)=-10$ , respectivamente.

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Es posible establecer fórmulas generales para la derivada de todas las funciones elementales de la misma forma que lo hemos hecho con la función cuadrática y aunque no desarrollaremos los cálculos de forma exhaustiva, podemos hacer una lista de estas derivadas, conocida como la Tabla de Derivadas Elementales

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