Funciones

Función Inversa

Anthonny Arias-García2 comentarios
  1. Propiedades de la Composición de Funciones
    1. Asociativa
    2. No conmutativa
    3. Elemento neutro
    4. Función inversa
      1. Ejemplo
  2. Tabla de funciones inversas elementales
  3. Cálculo de funciones inversas
    1. Ejemplo 1
    2. Ejemplo 2
    3. Ejemplo 3

Tal como sobre la suma, resta, multiplicación y división, hemos definido algunas propiedades a partir de los Axiomas Algebraicos de los Números Reales. La composición de funciones se puede considerar como una operación entre funciones y sobre ellas se pueden definir algunas propiedades.

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Propiedades de la Composición de Funciones

Si consideramos f, g y h funciones, veamos cuales son estas propiedades:

Asociativa

La composición de funciones es Asociativa, es decir,

\Big(f \circ g \Big) \circ h = f \circ \Big(g \circ h \Big)

No conmutativa

La composición es de funciones es No conmutativa, es decir,

\Big(f \circ g \Big) \neq \Big(g \circ f \Big)

Nota: Existen casos muy particulares en los que la composición de funciones puede conmutar, pero no es una regla general.

Elemento neutro

Si consideremos la función identidad, es decir, I(x) = x. Esta se comporta como el Elemento Neutro para la composición de funciones, es decir,

\Big(f \circ I \Big) = \Big(I \circ f \Big) = f

Función inversa

Así como en la suma hemos podido definir el opuesto aditivo y para la división hemos podido definir el inverso multiplicativo, es posible definir una operación inversa para la composición de funciones.

Definimos la inversa de una función biyectiva f : A \longrightarrow B como una función f^{-1} : B \longrightarrow A tal que al componer f^{-1} con f y f con f^{-1}, el resultado es exactamente la función identidad. Es decir,

\Big(f \circ f^{-1} \Big) (x) = \Big(f^{-1} \circ f \Big) (x) = I(x) = x

Ejemplo

Si f(x)=x+1 y g(x)=x-1 son dos funciones, al calcular \Big(f \circ g \Big) (x).

\Big(f \circ g \Big) (x)

= f \Big( g(x) \Big)

= f \Big( x-1 \Big)

= (x-1)+1

= x -1 +1

= x

Por lo tanto podemos concluir que la función g es la inversa de la función f, en otras palabras, g = f^{-1}.

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Tabla de funciones inversas elementales

Considerando la forma en que están definidas algunas funciones, podemos ver que a través de algunas operaciones algebraicas o trascendentes, es posible determinar sus inversas.

Particularmente, si f : Dom(f) \longrightarrow Rgo (f) es una función biyectiva, definimos entonces una lista de funciones inversas de la siguiente forma:

f(x)f^{-1}(x)
xx
x^2\sqrt{x}
x^3\sqrt[3]{x}
x^n\sqrt[n]{x}
\dfrac{1}{x}\dfrac{1}{x}
\dfrac{1}{x^n}\dfrac{1}{\sqrt[n]{x}}
\textit{\large e}^x\ln(x)
\text{sen}(x)\text{arcsen}(x)
\text{cos}(x)\text{arccos}(x)
\text{tan}(x)\text{arctan}(x)

Note que si g es la inversa de una función f entonces f es la inversa de la función g, entonces en este caso particular, la composición de funciones es conmutativa. Es posible calcular la función inversa de algunas funciones biyectivas, veamos cual es la técnica para hacer este cálculo con algunos ejemplos:

Cálculo de funciones inversas

Ejemplo 1

Sea f: [0,+\infty) \longrightarrow [0,+\infty) una función definida de la siguiente manera: f(x)=x^2+1. Calcule f^{-1}(x).

Nuestro propósito es determinar una función f^{-1}(x), tal que f \left( f^{-1}(x) \right) = x, es decir, tal que

\left( f^{-1}(x) \right)^2+1 = x

Para esto, recurriremos a las técnicas de despeje para determinar f^{-1}(x)

\displaystyle \left( f^{-1}(x) \right)^2+1 = x

\displaystyle \Rightarrow \left( f^{-1}(x) \right)^2 = x - 1

\displaystyle \Rightarrow \sqrt{\left( f^{-1}(x) \right)^2} = \sqrt{x - 1}

\displaystyle \Rightarrow f^{-1}(x) = \sqrt{x - 1}

Notemos que en el tercer paso, aplicamos la función inversa de la función cuadrática en ambos lados de la ecuación.

Ejemplo 2

Sea f: (5,+\infty) \longrightarrow (-2,+\infty) una función definida de la siguiente manera: f(x)=\dfrac{1}{x-5}-2. Calcule f^{-1}(x).

Nuestro propósito es determinar una función f^{-1}(x), tal que f \left( f^{-1}(x) \right) = x, es decir, tal que

\dfrac{1}{f^{-1}(x)-5}-2 = x

Para esto, recurriremos a las técnicas de despeje para determinar f^{-1}(x)

\displaystyle \dfrac{1}{f^{-1}(x)-5}-2 = x

\displaystyle \Rightarrow \dfrac{1}{f^{-1}(x)-5} = x + 2

\displaystyle \Rightarrow f^{-1}(x)-5 =\dfrac{1}{x + 2}

\displaystyle \Rightarrow f^{-1}(x) =\dfrac{1}{x + 2} + 5

Notemos que en el tercer paso, aplicamos la función inversa de la función de proporcionalidad inversa en ambos lados de la ecuación.

Ejemplo 3

Sea f: (-6,+\infty) \longrightarrow \mathbb{R} una función definida de la siguiente manera: f(x)=\ln(x+6) - 3. Calcule f^{-1}(x).

Nuestro propósito es determinar una función f^{-1}(x), tal que f \left( f^{-1}(x) \right) = x, es decir, tal que

\ln \left( f^{-1}(x)+6 \right) - 3 = x

Para esto, recurriremos a las técnicas de despeje para determinar f^{-1}(x)

\displaystyle \ln \left( f^{-1}(x)+6 \right) - 3 = x

\displaystyle \Rightarrow \ln \left( f^{-1}(x)+6 \right) = x +3

\displaystyle \Rightarrow \textit{\large e}^{\ln \left( f^{-1}(x)+6 \right)} = \textit{\large e}^{x +3}

\displaystyle \Rightarrow f^{-1}(x)+6 = \textit{\large e}^{x +3}

\displaystyle \Rightarrow f^{-1}(x) = \textit{\large e}^{x +3} -6

Notemos que en el tercer paso, aplicamos la función inversa de la función logaritmo neperiano en ambos lados de la ecuación.

Queda como tarea para el lector, verificar si en efecto las funciones calculadas son las funciones inversas, es decir, verificar que \big( f \circ f^{-1} \big)(x) = \big( f^{-1} \circ f \big)(x) = x .

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