Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Homogéneas de grado alpha ⍺

Una ecuación de la forma

$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$

es homogénea si $M(x,y)$ y $N(x,y)$ son funciones homogéneas del mismo grado, es decir,

$M(tx,ty) = t^\alpha M(x,y) \text{ y } N(tx,ty) = t^\alpha N(x,y), \, \alpha \in \mathbb{R}$

En este caso, las sustituciones $y=ux$ o $x=vy$ reducen la ecuación diferencial homogénea de grado $\alpha$ a una Ecuación Diferencial de Variables Separables.

Halle la función $y$ que satisface las siguientes ecuaciones diferenciales. Halle además, la función que satisface el valor inicial donde corresponda.

$\left(- 65 x^{3} y^{2} + x^{2} y^{3}\right) dx + \left(210 x^{5} + 4 x^{3} y^{2}\right) dy = 0$
$\left(5 x^{2} y^{4} - 24 y^{6}\right) dx + \left(- 3 x^{3} y^{3} + 2 x^{2} y^{4}\right) dy = 0$
$\left(4 x^{2} y^{3} - 18 y^{5}\right) dx + \left(- 5 x^{3} y^{2} + 9 x^{2} y^{3}\right) dy = 0$
$\left(- 6 x^{8} y^{2} - 15 x^{7} y^{3}\right) dx + \left(36 x^{10} + 9 x^{8} y^{2}\right) dy = 0$

$\left(5 x^{2} y^{4} + 8 y^{6}\right) dx + \left(- x^{3} y^{3} - 12 x^{2} y^{4}\right) dy = 0$
$\left(40 x^{5} y^{2} - 14 x^{4} y^{3}\right) dx + \left(- 48 x^{7} + 6 x^{5} y^{2}\right) dy = 0$
$\left(9 x^{2} y^{8} - 84 y^{10}\right) dx + \left(- 15 x^{3} y^{7} + 54 x^{2} y^{8}\right) dy = 0$
$\left(80 x^{6} y^{2} + x^{5} y^{3}\right) dx + \left(168 x^{8} + 7 x^{6} y^{2}\right) dy = 0$

$\left(6 x^{2} y^{5} - 72 y^{7}\right) dx + \left(- 2 x^{3} y^{4} - 28 x^{2} y^{5}\right) dy = 0$
$\left(- 8 x^{4} y^{2} - 6 x^{3} y^{3}\right) dx + \left(- 16 x^{6} + 5 x^{4} y^{2}\right) dy = 0$
$\left(9 x^{2} y^{8} + 48 y^{10}\right) dx + \left(- 15 x^{3} y^{7} - 42 x^{2} y^{8}\right) dy = 0$
$\left(2 x^{7} y^{2} - 9 x^{6} y^{3}\right) dx + \left(24 x^{9} + 8 x^{7} y^{2}\right) dy = 0$

$\left(4 x^{2} y^{3} + 81 y^{5}\right) dx + \left(- 7 x^{3} y^{2} + 18 x^{2} y^{3}\right) dy = 0$
$\left(52 x^{7} y^{2} - 4 x^{6} y^{3}\right) dx + \left(144 x^{9} + 8 x^{7} y^{2}\right) dy = 0$
$\left(9 x^{2} y^{8} - 36 y^{10}\right) dx + \left(- 18 x^{3} y^{7} - 45 x^{2} y^{8}\right) dy = 0$
$\left(77 x^{8} y^{2} - 16 x^{7} y^{3}\right) dx + \left(- 168 x^{10} + 9 x^{8} y^{2}\right) dy = 0$

$\left(51 x y^{7} - 3 y^{8}\right) dx + \left(324 x^{4} y^{4} - 252 x^{3} y^{5}\right) dy = 0$
$\left(- 46 x y^{3} + 70 y^{4}\right) dx + \left(- 2 x^{4} - 22 x^{3} y\right) dy = 0$
$\left(- 120 x^{6} y^{3} - 6 x^{5} y^{4}\right) dx + \left(- 1296 x^{9} - 738 x^{8} y\right) dy = 0$
$\left(531 y^{5} - \frac{630 y^{6}}{x}\right) dx + \left(9 x^{3} y^{2} - 126 x^{2} y^{3}\right) dy = 0$

$\left(4 x^{6} y^{2} - 2 x^{5} y^{3}\right) dx + \left(- \frac{120 x^{9}}{y} + 46 x^{8}\right) dy = 0$
$\left(27 y^{4} - \frac{54 y^{5}}{x}\right) dx + \left(3 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2}\right) dy = 0$
$\left(55 x^{6} y^{2} - 5 x^{5} y^{3}\right) dx + \left(\frac{80 x^{9}}{y} - 130 x^{8}\right) dy = 0$
$\left(- 795 y^{5} + \frac{1890 y^{6}}{x}\right) dx + \left(- 5 x^{3} y^{2} + 110 x^{2} y^{3}\right) dy = 0$

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