Diagramas Sagitales: Relaciones

11.03.202109.03.2023 Anthonny Arias-García1 comentario

Al definir los conjuntos, nos hemos apoyado en los Diagramas de Venn para estudiar las operaciones entre ellos, tales como unión, intersección o complemento de conjuntos. Siguiendo esta representación ilustrada de los conjuntos, es posible definir otro tipo de diagramas que ayudan a estudiar las correspondencias que podemos establecer entre los elementos de dos conjuntos.

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Relaciones

Diremos que estos dos conjuntos están relacionados si podemos establecer correspondencias entre los elementos de uno con los elementos del otro. Por ejemplo, en una fiesta de cumpleaños, podemos corresponder a cada niño con un gorro de cumpleaños diferente, de esta forma, establecemos una relación entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros de cumpleaños.

Formalmente, si consideramos dos conjuntos $A$ y $B$ , identificaremos la correspondencia que existe entre un elemento $a$ del conjunto $A$ con un elemento $b$ del conjunto $B$ con el par ordenado $(a,b)$ (decimos par ordenado para señalar que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento pertenece al segundo conjunto).

Más aún, diremos que una relación del conjunto $A$ con el conjunto $B$ es el conjunto de todas las correspondencias entre los elementos de $A$ y $B$ , es decir, el conjunto de todos los pares ordenados $(a,b)$ tales que $a$ está en $A$ y que $b$ está en $B$ generalmente se identifica con la letra $r$ y se denota de la siguiente forma

$r : A \rightarrow B$ .

Dominio y Rango de una Relación

Al definir relaciones, podemos identificar algunos de los elementos que las componen:

Al conjunto $A$ se le conoce como el conjunto de salida
Al conjunto $B$ se le conoce como el conjunto de llegada.
Al conjunto de elementos de $A$ correspondido con elementos de $B$ se le conoce como el dominio o conjunto de las preimágenes.
Si un elemento de $a$ de $A$ está correspondido con un elemento de $b$ de $B$ , diremos que $a$ es una preimagen de $b$ .
Al conjunto de elementos de $B$ correspondido con elementos de $A$ se le conoce como el rango o conjunto de las imágenes.
Si un elemento de $b$ de $B$ está correspondido con un elemento de $a$ de $A$ , diremos que $b$ es una imagen de $a$ .

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considere el conjunto $A$ conformado por tres niños en una fiesta de cumpleaños: Ana, José y Roberto. Por otra parte, consideremos el conjunto $B$ conformado por los gorros de colores: verde, morado, rosado, azul.

Supongamos que a Ana le corresponde el gorro verde, a José le corresponde el gorro morado y a Roberto le corresponde el gorro azul.

Esta correspondencia establece una relación entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros, así, podemos expresar la relación $r : A \rightarrow B$ como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

$r$ = { (Ana, Verde) ; (José, Morado) ; (Roberto, Azul) }

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

El dominio es {Ana, José, Roberto}.
El rango es {Verde, Morado, Azul}.

Ejemplo 2

Considere el conjunto $A$ conformado por 5 marcas de teléfonos celulares: Pixel, Samsung, Xiaomi, iPhone y Orinoquia. Por otra parte, consideremos el conjunto $B$ conformado por características de teléfonos celulares: Cámara HD y Conectividad 5G.

Supongamos que los fabricantes de estas marcas, añaden las características a los teléfonos de la siguiente forma: Pixel tiene todas las características, Samsung tiene Conectividad 5G y iPhone tiene Cámara HD.

Esta correspondencia establece una relación entre el conjunto de marcas y el conjunto características, así, podemos expresar la relación $r : A \rightarrow B$ como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

$r$ = { (Pixel, Cámara HD) ; (Pixel, Conectividad 5G) ; (Samsung, Conectividad 5G) ; (iPhone, Cámara HD)}

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

El dominio es {Pixel, Samsung, iPhone}.
El rango es {Cámara HD, Conectividad 5G}.

Las relaciones se pueden apreciar con mayor claridad cuando las ilustramos, veamos como hacer esto.

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Diagramas Sagitales

Los diagramas sagitales consisten en ilustraciones que permiten representar las relaciones entre los elementos de dos conjuntos identificando los siguientes elementos:

Los conjuntos se representan con círculos u óvalos.
Los elementos de los conjuntos se representan con puntos.
La relación entre elementos, se representan con líneas o flechas.

Consideremos en los siguientes ejemplos para ilustrar relaciones entre dos conjuntos usando diagramas sagitales.

Ejemplos

Ejemplo 3

Considere el conjunto $A$ conformado por cinco niños en un salón de clases: María, Pedro, Jerick, Laura y Fabiana. Por otra parte, consideremos el conjunto $B$ conformado por cinco actividades que hay que desarrollar en el salón de clases a una determinada hora: leer, escribir, sumar, restar y dibujar.

Supongamos que a María le corresponde leer, a Pedro le corresponde escribir, a Jerick le corresponde sumar, a Laura le corresponde restar y a Fabiana le corresponde dibujar.

Esta correspondencia establece una relación entre el conjunto de niños y el conjunto actividades, así, podemos expresar la relación $r : A \rightarrow B$ como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

$r$ = { (María, Leer) ; (Pedro, Escribir) ; (Jerick, Sumar) ; (Laura, Restar) ; (Fabiana, Dibujar) }

Pero además, podemos ilustrar esta relación con un diagrama sagital, de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Relación | totumat.com

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

El dominio es {María, Pedro, Jerick, Laura, Fabiana}.
El rango es {Leer, Escribir, Sumar, Restar, Dibujar}.

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Ejemplo 4

Considere el conjunto $A$ conformado por cuatro automóviles enumerados con 1, 2, 3 y 4. Por otra parte, consideremos el conjunto $B$ conformado por tres colores: amarillo, azul y rojo.

Supongamos que estos automóviles deben ser pintados de uno o dos colores: el 1 es pintado de amarillo, el 2 de amarillo y azul, el 3 y 4 de rojo.

Esta correspondencia establece una relación entre el conjunto de automóviles y el conjunto colores, así, podemos expresar la relación $r : A \rightarrow B$ como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

$r$ = { (1, Amarillo) ; (2, Amarillo) ; (2, Azul) ; (3, Rojo) ; (4, Rojo) }

Pero además, podemos ilustrar esta relación con un diagrama sagital, de la siguiente manera:

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

El dominio es {1,2,3,4}.
El rango es {Amarillo, Azul, Rojo}.

Ejemplo 5

Considere el conjunto $A$ conformado por los números 1, 2, 3, 4, 5, 6. Por otra parte, consideremos el conjunto $B$ conformado por los números: 1, 2, 3, 4.

Diremos que un elemento $a$ del conjunto $A$ está relacionado con un elemento $b$ del conjunto $B$ si $a$ es un divisor de $b$ , es decir, tal que la división $\frac{b}{a}$ es exacta.

Esta correspondencia establece una relación entre el conjunto $A$ y el conjunto $B$ , así, podemos expresar la relación $r : A \rightarrow B$ como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

$r$ = { (1, 1) ; (1, 2) ; (1, 3) ; (1, 4) ; (2, 2) ; (2,4) ; (3,3) ; (4,4) }

Pero además, podemos ilustrar esta relación con un diagrama sagital, de la siguiente manera:

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

El dominio es {1,2,3,4}.
El rango es {1,2,3,4}.

Funciones en Varias Variables

31.03.202003.06.2023 Anthonny Arias-García3 comentarios

Hemos estudiado funciones que de forma explícita, dependen de sólo una variable y aunque también hemos estudiado funciones que definidas de forma implícita relacionan dos variables, no hemos estudiado formalmente funciones que dependan de dos o más variables.

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El Espacio Cartesiano

Para ir más allá, recurrimos a una nueva variable $z$ que dependerá enteramente de las variables $x$ y $y$ . Notando que al definir una tercera variable, podemos hacer la representación gráfica de este tipo de funciones tomando en cuenta que hasta ahora hemos construido nuestros espacios intersectando ejes coordenados de forma perpendicular.

Esta vez no será diferente, así que considerando el plano cartesiano, intersectaremos a este en el origen con un eje perpendicular a los Ejes $Y$ y $X$ generando así el espacio cartesiano que consta de tres ejes coordenados $X$ , $Y$ y $Z$ :

Los planos en el espacio

En este espacio podemos identificar tres planos principales, que se definen de la siguiente manera: El plano $XY$ que contiene todos los puntos de la forma $(x,y,0)$ , el plano $XZ$ que contiene todos los puntos de la forma $(x,0,z)$ y el plano $YZ$ que contiene todos los puntos de la forma $(0,y,z)$ .

Funciones en el espacio

De esta forma, podemos generalizar la definición de función que hasta ahora conocemos. Formalmente, si $R$ una región en el plano $XY$ , entonces definimos una función $f : R \to \mathbb{R}$ como una regla de correspondencia que corresponde a cada par ordenado de la región $R$ con un único número real $z = f(x,y)$ .

A este tipo de funciones las llamaremos funciones de dos variables. Evaluamos este tipo de funciones sustituyendo los valores de $x$ y $y$ por sus valores correspondientes, y así, calculamos sus imágenes. Veamos algunos ejemplos para entender como calcular imágenes.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Evalúe la función $f(x,y) = x^2 + y^2$ en el punto $(3,-1)$ . Entonces sustituimos $x$ por $3$ y $y$ por $-1$ de la siguiente forma:

$f(3,-1) = (3)^2 + (-1)^2= 9 + 1= 10$

Ejemplo 2

Evalúe la función $f(x,y) = \sqrt{x+20} + \textit{\Large e}^{2x-8} + 20$ en el punto $(-13,4)$ . Entonces sustituimos $x$ por $-13$ y $y$ por $4$ de la siguiente forma:

$f(-13,4) = \sqrt{-13+20} + \textit{\Large e}^{2(4)-8} + 20 = \sqrt{9} + \textit{\Large e}^{0} + 20 = 3 + 1 + 20 = 24$

Ejemplo 3

Evalúe la función $f(x,y) = \frac{7}{x+y}$ en el punto $(18,10)$ . Entonces sustituimos $x$ por $18$ y $y$ por $10$ de la siguiente forma:

$f(18,10) = \frac{7}{18+10} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$

Gráfica de funciones en el espacio

Existen diversas técnicas para graficar este tipo de funciones definidas en varias variables, una de ellas es proyectar las curvas que esta define en cada plano.

Por ejemplo, si consideramos nuevamente la función $f(x,y)=x^2+y^2$ , podemos ver su proyección en el plano $XZ$ considerando $y=0$ , de esta forma la función se puede escribir de la siguiente forma:

$z=f(x,0)=x^2+0^2 \Rightarrow z=x^2$

También podemos ver su proyección en el plano $YZ$ considerando $x=0$ , de esta forma la función se se puede escribir de la siguiente forma:

$Z=f(0,y)=0^2+y^2 \Rightarrow z=y^2$

Finalmente, se completa la superficie uniendo las curvas trazadas

Derivadas

09.03.202010.04.2023 Anthonny Arias-García10 comentarios

Consideremos una función lineal definida por una recta $l_1$ , decimos que la pendiente de ésta determina la razón de cambio entre un punto y otro; y es que está definida como el cociente del cambio en el eje Y entre el cambio en el eje X. Formalmente, si $(x_0,y_0)$ y $(x_1,y_1)$ son dos puntos de esta recta entonces su razón de cambio desde $x_0$ hasta $y_0$ está definida por

$m=\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$

De la forma en que hemos definido la razón de cambio para las funciones lineales, permite definir una forma general para la razón de cambio entre cualesquiera dos puntos pues siempre es la misma. Pero, ¿es posible definir una forma general para la razón de cambio para cualquier función?

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La derivada de una función en un punto

Si consideramos cualquier función $y=f(x)$ , es posible estimar la razón de cambio de la misma forma que lo hemos hecho con las funciones lineales, es decir, si $(x_0,y_0)$ y $(x_1,y_1)$ son dos puntos de esta recta entonces su razón de cambio desde $x_0$ hasta $y_0$ está definida por

$m=\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$

Gráficamente podemos notar que hay cierta holgura en nuestra estimación, así que podemos decir que no es precisa. Podemos mejorar esta estimación considerando un punto $(x_2,y_2)$ más cercano a $(x_0,y_0)$ y así, la razón de cambio está definida por

$m=\frac{y_2 - y_0}{x_2 - x_0}$

Incluso, si consideramos un punto $(x_3,y_3)$ aún más cercano a $(x_0,y_0)$ , la estimación será más precisa y así, la razón de cambio está definida por

$m=\frac{y_3 - y_0}{x_3 - x_0}$

De esta forma podemos notar que mientras más cercano está el punto de $(x_0,y_0)$ , más precisa será nuestra estimación de la razón de cambio. Entonces, consideramos puntos $(x,y)$ lo más cercanos posibles recurriendo al cálculo infinitesimal, es decir, al cálculo de límites.

Formalmente, si consideramos el límite cuando $x$ tiende a $x_0$ , entonces la razón de cambio puntual estará dada por $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ . A este límite lo llamamos derivada de la función $f(x)$ en el punto $x_0$ y lo denotaremos de la siguiente forma

$\displaystyle f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Geométricamente, representa la pendiente de la recta tangente a la curva definida por $f(x)$ en el punto $(x_0,f(x_0))$ , es decir, la recta que corta a la curva $f(x)$ únicamente en el punto $(x_0,f(x_0))$ de la siguiente forma:

Un ejemplo particular

Veamos un ejemplo particular, consideremos la función cuadrática $f(x)=x^2$ y suponga que queremos calcular su derivada en en $x_0 = 2$ . Entonces, su derivada está definida por el siguiente límite:

$\displaystyle f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2}$

$\displaystyle = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2^2}{x - 2}$

$\displaystyle = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

$\displaystyle = \frac{4-4}{2-2}$

$\displaystyle = \frac{0}{0}$

Este límite presenta una indeterminación de la forma $\frac{0}{0}$ , así que procedemos a determinarlo considerando que el numerador es una diferencia de cuadrados,

$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2^2}{x - 2}$

$\displaystyle = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x - 2}$

$\displaystyle = \lim_{x \to 2} x + 2$

$\displaystyle = 2+2$

$\displaystyle = 4$

Entonces la razón de cambio puntual de la función cuadrática en el punto $x_0 = 2$ es igual a $4$ , geométricamente estamos diciendo que la pendiente de la recta tangente a la curva $f(x)=x^2$ en el punto $(2,4)$ es igual a $4$ .

La derivada de una función en cualquier punto

Suponga ahora que queremos calcular la derivada en los puntos $x_0 = 3$ y $x_0 = -5$ , entonces, ¿debemos calcular el límite cada vez? No necesariamente, pues podemos determinar una fórmula general para calcular la derivada de la función cuadrática en cualquier punto $x$ . Para esto sigamos algunos pasos de forma muy cuidadosa.

Consideremos, una variable auxiliar definida como $h=x-x_0$ , esta tenderá a cero cuando $x$ tiende a $x_0$ , y además, si despejamos $x$ , obtenemos lo siguiente:

$x = x_0+ h$

Entonces, podemos reescribir la derivada de la función $f(x)$ en el punto $x_0$ de la forma

$\displaystyle f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Entonces, evaluamos la función en $x_0 + h$ y $x_0$ para luego aplicar producto notable y obtener que

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(x_0 + h)^2 - (x_0)^2}{h}$

$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{x_0^2 + 2 x_0 h + h^2 - x_0^2}{h}$

$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{2 x_0 h + h^2 }{h}$

Sacamos $h$ como un factor común en el numerador, posteriormente lo simplificamos tomando en cuenta el $h$ que está en el numerador y evaluamos el límite.

$\lim_{h \to 0} \frac{(2 x_0 + h) \cdot h}{h}$

$\displaystyle = \lim_{h \to 0} 2 x_0 + h$

$\displaystyle = 2 x_0 + 0$

$\displaystyle = 2 x_0$

Considerando que $x_0$ es cualquier elemento en el dominio de la función cuadrática, podemos establecer una fórmula general para su derivada, es decir, si $f(x) = x^2$ entonces su derivada en cualquier punto $x$ de su dominio está definida como

$f'(x) = 2x$

De modo que la derivada de la función $f(x)=x^2$ en los puntos $x_0 = 3$ y $x_0 = -5$ es $f'(3)=2(3)=6$ y $f'(-5)=2(-5)=-10$ , respectivamente.

Es posible establecer fórmulas generales para la derivada de todas las funciones elementales de la misma forma que lo hemos hecho con la función cuadrática y aunque no desarrollaremos los cálculos de forma exhaustiva, podemos hacer una lista de estas derivadas, conocida como la Tabla de Derivadas Elementales

Tabla de Derivadas Elementales

$f(x)$	$f'(x)$
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^2$	$2x$
$x^3$	$3x^2$
$x^n$	$n \cdot x^n$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$

$f(x)$	$f'(x)$
$a^x$	$a^x \cdot \ln(x)$
$\textit{\large e}^x$	$\textit{\large e}^x$
$\log_a(x)$	$\dfrac{1}{x \cdot \ln(x)}$
$\ln(x)$	$\dfrac{1}{x}$

$f(x)$	$f'(x)$
$sen(x)$	$cos(x)$
$cos(x)$	$-sen(x)$
$tan(x)$	$\dfrac{1}{cos^2(x)}$

Grado de una función

27.01.202008.04.2023 Anthonny Arias-García4 comentarios

El grado de un polinomio

Habiendo definido los polinomios, es posible definir funciones a partir de ellos. Formalmente, definimos una función polinómica como una función $P: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ de la siguiente forma:

$\displaystyle P(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_{2} x^{2}+ a_{1} x + a_{0}$

A los números $a_0, a_1, a_2, \ldots , a_n$ los llamaremos coeficientes del polinomio, $a_n$ será el coeficiente principal y $a_0$ será el término independiente.

Definimos el grado de la función polinómica $P(x)$ como el mayor exponente $n$ involucrado. En algunos textos se denota con la expresión $gr(P)$ , $d(P)$ ó $deg(P)$ .

La importancia del grado del polinomio radica en que éste determina la velocidad con la que crecerá a medida que crece la variable $x$ y aunque aún no tenemos las herramientas para graficar otro tipo de funciones que no sean elementales, podemos anunciar que las formas gráficas de los polinomios también variarán dependiendo de su grado, consideremos las siguientes funciones:

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El grado de una función algebraicas

La idea del grado de un polinomio se puede generalizar a cualquier tipo de funciones algebraicas. Particularmente, si consideramos las funciones que involucran radicales como la función raíz cuadrada o raíz cúbica, diremos que el grado vendrá dado el índice de la raíz. Si consideramos una función de la forma

$f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$

Entonces, diremos que su grado es $\frac{1}{n}$ . Más aún, si $P(x)$ es una función algebraica de grado $m$ entonces si consideramos la función

$f(x) = \sqrt[n]{P(x)}$

Entonces el grado de la función $f(x)$ es igual a $\frac{m}{n}$ .

El grado de una función trascendente

Al considerar funciones transcendentales, particularmente la función exponencial y la función logarítmica, estas tendrán un comportamiento muy específico respecto a las funciones algebraicas:

El grado de la función exponencial será mayor que el grado de cualquier función algebraica, es decir, crecerá más rápido que cualquier función algebraica. Aunque en algunos textos se dice que tiene grado infinito, diremos que tiene grado exponencial.

El grado de la función logarítmica será menor que el grado de cualquier función de grado positivo, es decir, crecerá más lento que cualquier función algebraica de grado positivo. Aunque en algunos textos se dice que tiene grado cero, diremos que tiene grado logarítmico.

El siguiente gráfico permite ilustrar la rapidez con la que crece una función dependiendo de su grado:

El grado de operaciones entre funciones

Es posible definir el grado de operaciones básicas entre funciones tomando las siguientes consideraciones:

El grado de la suma de dos funciones será el grado de la función con mayor grado. Formalmente, al considerar $P(x)$ una función algebraica de grado $m$ y $Q(x)$ una función algebraica de grado $n$ , con $m>n$ , entonces el grado de $f(x) \pm g(x)$ es igual a $m$ .

El grado del producto de dos funciones será la suma de los grados. Formalmente, al considerar $P(x)$ una función algebraica de grado $m$ y $Q(x)$ una función algebraica de grado $n$ , entonces el grado de $f(x) \cdot g(x)$ es igual a $m + n$ .

El grado del cociente entre dos funciones será la resta del grado de la función en el numerador menos el grado de la función en el denominador. Formalmente, al considerar $f(x)$ una función de grado $m$ y $g(x) \neq 0$ una función de grado $n$ , entonces el grado de $\frac{f(x)}{g(x)}$ es igual a $m - n$ .

Veamos con algunos ejemplos como determinar el grado de algunas funciones.

Ejemplos

Ejemplo 1

El grado de la función $f(x) = x^3 + 5x^2 + 3x + 1$ es igual a $3$ pues el mayor grado involucrado.

Ejemplo 2

El grado de la función $f(x) = \sqrt{x} + x - 8$ es igual a $1$ pues es el mayor grado involucrado.

Ejemplo 3

El grado de la función $f(x) = \sqrt{x^3 + 2} - 3x - 8$ es igual a $\frac{3}{2}$ pues es el mayor grado involucrado.

Ejemplo 4

El grado de la función $f(x) = \frac{x}{3} + 6\ln(x)$ es igual a $1$ pues es el mayor grado involucrado.

Ejemplo 5

El grado de la función $f(x) = x^5 \cdot \sqrt[3]{x-7} + 9$ es igual a $\frac{8}{3}$ pues es la suma de los grados $5 + \frac{1}{3}$

Ejemplo 6

El grado de la función $f(x) = 2\text{\large e}^x \cdot x + x^2 -11$ es exponencial pues al multiplicar cualquier función por la función exponencial, su grado sigue siendo exponencial.

Ejemplo 7

El grado de la función $f(x) = \frac{x + 1}{x^3 - 2} + 13$ es $-2$ pues es la resta de los grados $1-3$

Ejemplo 8

El grado de la función $f(x) = \frac{7}{x} + 9\ln(x)$ es logarítmico pues el grado de la primera función es $-1$ y el grado logarítmico es mayor que cualquier grado negativo.

Funciones por Partes

19.01.202021.04.2020 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Esta publicación será corta pero sentará una base conceptual para entender algunos conceptos en el estudio local del comportamiento de algunas funciones pues en ocasiones encontraremos funciones cuyo comportamiento no está definido de una sola forma en todo su dominio, para esto debemos partir el dominio y definir las expresiones que describen su comportamiento en cada parte de su dominio.

Formalmente llamaremos a este tipo de funciones como Funciones Por Partes o Funciones Definidas a Trozos. Veamos algunos ejemplos para aclarar esta idea.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

En el ejemplo anterior la imágenes de ambas expresiones coincidieron en el punto donde se partió su dominio. En este caso las imágenes no coinciden, así que en la gráfica denotamos con un punto sin relleno $\circ$ que la imagen no está incluida en el extremo y denotamos con un punto relleno $\bullet$ que la imagen sí está incluida en el extremo de la siguiente manera:

Ejemplo 3

El dominio de una función también puede partirse en más de dos partes para definir las expresiones que describen su comportamiento.

Relaciones

Dominio y Rango de una Relación

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Diagramas Sagitales

Ejemplos

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Comparte

El Espacio Cartesiano

Los planos en el espacio

Funciones en el espacio

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Gráfica de funciones en el espacio

Comparte

La derivada de una función en un punto

Un ejemplo particular

La derivada de una función en cualquier punto

Tabla de Derivadas Elementales

Comparte

El grado de un polinomio

El grado de una función algebraicas

El grado de una función trascendente

El grado de operaciones entre funciones

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8

Comparte

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Comparte