Suma de los primeros n elementos de una sucesión geométrica

Deducción de la Fórmula
1. Ejemplos

Las propiedades de las potencias establecen que al multiplicar dos números que tienen la misma base, se suman los exponentes, este hecho da pie para para calcular la suma de los primeros $n$ elementos de una sucesión geométrica. Formalmente, si consideramos $a_n$ una sucesión geométrica, definimos la suma de sus primeros $n$ elementos de la siguiente forma:

$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n$

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Deducción de la Fórmula

Para deducir la fórmula que define esta suma aplicaremos algunos artilugios matemáticos pues considerando que la sucesión es geométrica, cada elemento está definido como $a_i = a_1 \cdot r^{(i-1)}$ , para todo $i=1,\ldots,n$ . Por lo tanto, tenemos que

$S_n = a_1 + a_1 \cdot r + a_1 \cdot r^{2} + \ldots + a_1 \cdot r^{(n-1)}$

Si multiplicamos $S_n$ por $-r$ , cada uno de los sumandos involucrados será multiplicado por $-r$ , obteniendo que

$-r \cdot S_n = -a_1 \cdot r - a_1 \cdot r^{2} - a_1 \cdot r^{3} - \ldots - a_1 \cdot r^{n}$

Consideremos la resta $S_n - r \cdot S_n$

Por lo tanto concluimos que $S_n - r \cdot S_n = a_1 - a_1 \cdot r^{n}$ , entonces sacando factor común $S_n$ en el lado izquierdo de la ecuación y sacando factor común $a_1$ en el lado derecho de la ecuación, obtenemos que

$S_n \cdot (1 - r) = a_1 \left(1 - r^{n} \right)$

Finalmente, despejamos $S_n$ para obtener la fórmula que nos permite calcular la suma de los primero $n$ elementos de una sucesión geométrica

$\displaystyle S_n = a_1 \cdot \dfrac{\left( 1 - r^{n} \right)}{\left( 1 - r \right)}$

Veamos en los siguientes ejemplos como aplicar esta fórmula.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la sucesión $\{ 1 \cdot 2^{(n-1)} \}_{n} = \{1,2,4,8,16,32, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 15 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = 1$ y su razón es $r = 2$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 15 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

$\displaystyle S_n = 1 \cdot \left( \dfrac{ 1 - 2^{15} }{ 1 - 2 } \right) = 32767$

Ejemplo 2

Considerando la sucesión $\{ -33 \cdot 2^{(n-1)} \}_{n} = \{-33,-66,-132,-264,-528,-1056, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 13 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = -33$ y su razón es $r = 2$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 13 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

$\displaystyle S_n = -33 \cdot \left( \dfrac{ 1 - 2^{13} }{ 1 - 2 } \right) = -270303$

Ejemplo 3

Considerando la sucesión $\{ 78 \cdot 6^{(n-1)} \}_{n} = \{78,468,2808,16848,101088,606528, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 11 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = 78$ y su razón es $r = 6$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 11 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

$\displaystyle S_n = 78 \cdot \left( \dfrac{ 1 - 6^{11} }{ 1 - 6 } \right) = 5659634058$

Ejemplo 4

Considerando la sucesión $\{ 36 \cdot 8^{(n-1)} \}_{n} = \{36,288,2304,18432,147456,1179648, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 9 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = 36$ y su razón es $r = 8$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 9 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

$\displaystyle S_n = 36 \cdot \left( \dfrac{ 1 - 8^{9} }{ 1 - 8 } \right) = 690262596$

Ejemplo 5

Considerando la sucesión $\{ -17 \cdot 10^{(n-1)} \}_{n} = \{-17,-170,-1700,-17000,-170000,-1700000, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 7 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = -17$ y su razón es $r = 10$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 7 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

$\displaystyle S_n = -17 \cdot \left( \dfrac{ 1 - 10^{7} }{ 1 - 10 } \right) = -18888887$

Un comentario en “Suma de los primeros n elementos de una sucesión geométrica”

Ecuaciones en Diferencias Finitas Lineales de Primer Orden – totumat dice:

18.06.2021 a las 1:06 am

[…] justamente, es la suma de los primeros términos de una sucesión geométrica con base igual a , por lo tanto, es igual a . […]

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