El producto notable

El producto notable es un caso particular de la propiedad distributiva que nos da como resultado el trinomio cuadrado perfecto y establece que, si a y b son dos números reales, el cuadrado de la suma de ellos dos es igual al primero al cuadrado más dos veces el producto del primero por el segundo más el segundo al cuadrado, es decir,

Esta igualdad se puede deducir efectuando la propiedad distributiva cuando multiplicamos la suma de dos números por esa misma suma, veamos entonces,

De igual forma, si a y b son dos números reales, el cuadrado de la resta entre ellos dos es igual al primero al cuadrado menos dos veces el producto del primero por el segundo más el segundo al cuadrado, es decir,

Esta igualdad se puede deducir efectuando la propiedad distributiva cuando multiplicamos la resta de dos números por esa misma resta, veamos entonces,

Este tipo de expresiones se encuentra a menudo en el desarrollo las operaciones algebraicas pues no siempre podremos efectuar la suma que se encuentra dentro de los paréntesis, veamos en los siguientes ejemplos como aplicar esta operación:

Ejemplos

Ejemplo 1

Aplique el producto notable para expandir la expresión (3 + 2)^2. Sumamos los dos elementos dentro del paréntesis y elevamos al cuadrado de la siguiente manera:

(3 + 2)^2
\ =\ 5^2
\ =\ 25

Ejemplo 2

Aplique el producto notable para expandir la expresión (3 + \sqrt{2})^2. Notemos que uno de los sumandos involucrados es la raíz cuadrada de dos, por lo tanto no se puede sumar con tres.

(3 + \sqrt{2})^2
\ =\ 3^2 + 2(3)(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2
\ =\ 9 + 6\sqrt{2} + 2
\ =\ 11+6\sqrt{2}

Ejemplo 3

Aplique el producto notable para expandir la expresión (\sqrt[3]{6} - 4)^2. Notemos que uno de los sumandos involucrados es la raíz cúbica de seis, por lo tanto no se puede restar con cuatro.

(\sqrt[3]{6} - 4)^2
\ =\ (\sqrt[3]{6})^2 -2(\sqrt[3]{6})(4) + 4^2
\ =\ (\sqrt[3]{6})^2 -8\sqrt[3]{6} +16

Ejemplo 4

Aplique el producto notable para expandir la expresión (x+7)^2. Notemos que uno de los sumandos involucrados es una incógnita, por lo tanto no se puede sumar con siete.

(x+7)^2
\ =\ x^2 + 2(x)(7) + 7^2
\ =\ x^2 +14x + 49

Ejemplo 5

Aplique el producto notable para expandir la expresión (2x-8)^2. Notemos que uno de los sumandos involucrados es una incógnita multiplicada por dos, por lo tanto no se puede restar con ocho.

(2x-8)^2
\ =\ (2x)^2 - 2(2x)(8) + 8^2
\ =\ 4x^2 - 32x + 64

Ejemplo 6

Aplique el producto notable para expandir la expresión (x^2 + x^5)^2. Notemos que uno de los sumandos involucrados es equis al cuadrado y el otro es equis elevado a la cinco, por lo tanto no se pueden sumar.

(x^2 + x^5)^2
\ =\ (x^2)^2 + 2(x^2)(x^5) + (x^5)^2
\ =\ x^4 + 2x^7 + x^{10}


Un comentario en “El producto notable

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