Matrices Especiales

23.06.202006.04.2024 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Al trabajar con matrices, nos toparemos de forma recurrente con algunas matrices que tienen ciertas características muy particulares, a este tipo de matrices se les conocen como matrices especiales y a continuación las listaremos junto con algunas de sus propiedades respecto a las operaciones con otras matrices y su determinante.

También pudiera interesarte

Matriz Cero

La Matriz Cero es una matriz cuadrada tal que cada uno de sus elementos es igual a cero, se denota con un cero en negrita $\mathbf{0}$ para diferenciarla del escalar cero.Formalmente decimos que $[\mathbf{0}]_{ij} = 0$ para todo $i,j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Si $A$ es una matriz, entonces $\mathbf{0} + A = A + \mathbf{0} = A$ .
Si $A$ es una matriz, entonces $\mathbf{0} \times A = A \times \mathbf{0} = \mathbf{0}$ .
Su determinante es igual a cero, es decir, $|\mathbf{0}| = 0$ .

Las siguientes matrices son matrices cero del tamaño correspondiente:

Matriz Identidad

La Matriz Identidad es una matriz cuadrada tal que cada uno de sus elementos es igual a cero, salvo los elementos de su diagonal que son todos iguales a uno, se denota con $\mathbf{I}_{n}$ . Formalmente decimos que $[\mathbf{I}_{n}]_{ij} = 1$ para todo $i=j$ y $[\mathbf{I}_{n}]_{ij} = 0$ para todo $i \neq j$ , y la expresamos de la siguiente manera:

Si $A$ es una matriz, entonces $\mathbf{I} \times A = A \times \mathbf{I} = A$ .
Su determinante es igual a uno, es decir, $|\mathbf{I}| = 1$ .

Las siguientes matrices son matrices identidad del tamaño correspondiente:

Matriz Diagonal

Una matriz cuadrada es Matriz Diagonal si cada uno de sus elementos fuera de la diagonal es igual a cero, en ocasiones se denotan con $\mathbf{D}$ . Formalmente decimos que $[D]_{ij} = 0$ para todo $i \neq j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Su determinante es el producto de todos los elementos de su diagonal, es decir, $|\mathbf{D}| = a_{11} \cdot \ldots a_{nn}$ .

Las siguientes matrices son matrices diagonales del tamaño correspondiente:

También podemos definir matrices diagonales que no sean cuadradas pero en esos casos, no podemos calcular su determinante.

Matriz Triangular Superior

Una matriz cuadrada es una Matriz Triangular Superior si todos los elementos que están por debajo de la diagonal, son iguales a cero, en ocasiones se denotan con $\mathbf{T_S}$ . Formalmente decimos que $[\mathbf{T_S}]_{ij} = 0$ si $i > j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Su determinante es el producto de todos los elementos de su diagonal, es decir, $|\mathbf{T_S}| = a_{11} \cdot \ldots a_{nn}$ .

Las siguientes matrices son matrices diagonales del tamaño correspondiente:

También podemos definir matrices triangulares superiores que no sean cuadradas pero en esos casos, no podemos calcular su determinante.

Matriz Triangular Inferior

Una matriz cuadrada es una Matriz Triangular Inferior si todos los elementos que están por encima de la diagonal, son iguales a cero, en ocasiones se denotan con $\mathbf{T_I}$ . Formalmente decimos que $[\mathbf{T_I}]_{ij} = 0$ si $i < j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Su determinante es el producto de todos los elementos de su diagonal, es decir, $|\mathbf{T_I}| = a_{11} \cdot \ldots a_{nn}$

Las siguientes matrices son matrices diagonales del tamaño correspondiente:

También podemos definir matrices triangulares inferiores que no sean cuadradas pero en esos casos, no podemos calcular su determinante.

Determinantes – Método de Sarrus

21.06.202006.04.2024 Anthonny Arias-García2 comentarios

El Método de Sarrus
1. Ejemplos

Al calcular determinantes, podemos notar que si expandimos todos productos cuando aplicamos el Método de Laplace, podemos reordenar los sumandos y establecer un método que nos permita recordar con facilidad la forma en que calculamos determinantes. Consideremos el siguiente determinante de una matriz $A$ y veamos los pasos para calcularlo.

También pudiera interesarte

El Método de Sarrus

Primero añadimos dos columnas adicionales que sean iguales a las primeras dos columnas de la matriz original.

Para cada diagonal azul, multiplicamos los elementos que esta contiene.

$a_{11} a_{22} a_{33} \text{, } a_{12} a_{23} a_{31} \text{ y } a_{13} a_{21} a_{32}$

Para cada diagonal roja, multiplicamos los elementos que esta contiene.

$a_{13} a_{22} a_{31} \text{, } a_{11} a_{23} a_{32} \text{ y } a_{12} a_{21} a_{33}$

Finalmente, para calcular el determinante, sumamos todos los productos generados por las diagonales azules y restamos todos los productos generados por las diagonales rojas:

$a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - (a_{13} a_{22} a_{31} + a_{11} a_{23} a_{32} + a_{12} a_{21} a_{33})$

Este método es llamado Método de Sarrus y vulgarmente se conoce como el Método de La Lluvia a partir de una regla mnemotécnica pues las rayas que se trazan como guía para hacer los productos correspondientes se asemejan a la lluvia. Veamos con algunos ejemplos cómo aplicar este método.

Si te ha parecido útil la información que hemos presentado en totumat y quieres ayudar a mantener este sitio en línea puedes mirar nuestros anuncios publicitarios o donar dinero a través de PayPal.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, calcule su determinante.

$= ( -40 ) + ( 175 ) + ( -64 ) - ( 100 ) - ( -40 ) - ( -112 )$

$= 123$

Ejemplo 2

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, calcule su determinante.

$= ( 216 ) + ( 90 ) + ( -72 ) - ( -48 ) - ( 72 ) - ( 405 )$

$= -195$

Ejemplo 3

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, calcule su determinante.

$= ( 36 ) + ( -216 ) + ( 150 ) - ( 45 ) - ( -216 ) - ( 120 )$

$= 21$

Ejemplo 4

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, calcule su determinante.

$= ( 48 ) + ( 49 ) + ( -162 ) - ( 18 ) - ( 126 ) - ( -168 )$

$= -41$

Determinantes – Método de Laplace

20.06.202020.02.2025 Anthonny Arias-García3 comentarios

El Método de Laplace
1. Ejemplos

Habiendo definido los cofactores de una matriz, podemos establecer un método que nos permite calcular el determinante de cualquier matriz cuadrada de tamaño $n$ .

También pudiera interesarte

El Método de Laplace

Al considerar una columna $j$ , el Método de Laplace indica que el determinante de una matriz se calcula de la siguiente manera:

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \cdot c(a_{ij})$

En otras palabras, debemos escoger una columna, multiplicar cada elemento de la columna por su cofactor y sumar estos productos. Veamos el caso para una matriz cuadrada $A$ de tamaño tres para tener esta idea más clara, formalmente,

Podemos calcular su determinante escogiendo la primera columna y plantear la siguiente suma:

Determinantes - Método de Laplace | totumat.com

Podemos calcular su determinante escogiendo la segunda columna y plantear la siguiente suma:

Podemos calcular su determinante escogiendo la tercera columna y plantear la siguiente suma:

Veamos entonces, con algunos ejemplos como calcular determinantes de matrices cuadradas de tamaño tres.