Operaciones entre filas y columnas de una matriz

13.11.202008.05.2024 Anthonny Arias-García4 comentarios

Si bien hemos podido definir operaciones entre matrices, es posible definir operaciones entre y sobre las filas de una matriz y de igual manera, es posible definir operaciones entre y sobre las columnas de una matriz. Veremos además, que al aplicar estas operaciones, podemos deducir el determinante de la nueva matriz a partir de la matriz original.

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Operaciones elementales por fila

Veamos a continuación cuales son las operaciones que podemos definir sobre y entre las filas de una matriz.

Intercambio de filas de una matriz

Si $i$ y $j$ son dos filas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ , denotamos el intercambio de estas dos filas usando la notación $f_i \longleftrightarrow f_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 1

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ e intercambiemos la fila $1$ por la fila $2$ , entonces,

Ejemplo 2

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ e intercambiemos la fila $1$ por la fila $3$ , entonces,

Ejemplo 3

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ e intercambiemos la fila $3$ por la fila $2$ , entonces,

Ejemplo 4

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ e intercambiemos la fila $1$ por la fila $3$ , entonces,

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Suma de filas de una matriz

Si $i$ y $j$ son dos filas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ . Podemos considerar la fila $i$ y sumarle la fila $j$ , es decir, sumar los términos correspondientes, para esto usamos la notación $f_i \longrightarrow f_i + f_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 5

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y a la fila $1$ le sumamos la fila $2$ , entonces,

Ejemplo 6

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y a la fila $1$ le sumamos la fila $3$ , entonces,

Ejemplo 7

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y a la fila $3$ le sumamos la fila $2$ , entonces,

Fe de erratas: El elemento resultante $a_{31}$ es igual a $-3$ .

Ejemplo 8

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y a la fila $5$ le sumamos la fila $1$ , entonces,

Fe de erratas: El elemento resultante $a_{51}$ es igual a $11$ .

Multiplicar una fila de una matriz por un escalar

Si $i$ es una fila de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ . Podemos considerar la fila $i$ y multiplicarla por un escalar $k$ , para esto usamos la notación $f_i \longrightarrow k \cdot f_i$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 9

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y multipliquemos la fila $1$ por el escalar $5$ , entonces,

Ejemplo 10

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y multipliquemos la fila $3$ por el escalar $-1$ , entonces,

Ejemplo 11

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y multipliquemos la fila $2$ por el escalar $10$ , entonces,

Ejemplo 12

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y multipliquemos la fila $5$ por el escalar $-4$ , entonces,

Sumar una fila de una matriz multiplicada por un escalar

Finalmente, veremos una operación elemental que de cierta forma mezcla efectúa varias operaciones al mismo tiempo. Si $i$ y $j$ son dos filas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ . Podemos considerar la fila $i$ y sumarle la fila $j$ multiplicada por un escalar $k$ , para esto usamos la notación $f_i \longrightarrow f_i + k \cdot f_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 13

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y a la fila $1$ le sumamos la fila $2$ multiplicada por $5$ , entonces,

Ejemplo 14

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y a la fila $1$ le sumamos la fila $3$ multiplicada por $2$ , entonces,

Ejemplo 15

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y a la fila $3$ le sumamos la fila $2$ multiplicada por $-1$ , entonces,

Notemos que en este caso estamos definiendo la resta de filas de una matriz.

Ejemplo 16

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y a la fila $5$ le sumamos la fila $1$ multiplicada por $10$ , entonces,

Matrices equivalentes por filas

Una vez que se ha hecho una operación elemental por fila a una matriz, se pueden seguir haciendo operaciones elementales por fila a las matrices resultantes de forma sucesiva. Diremos que si una matriz $B$ se obtiene a partir de una matriz $A$ a través de una sucesión finita de operaciones elementales por filas, entonces diremos que las matrices $A$ y $B$ son matrices equivalentes por filas y esta relación la denotaremos por

$A \stackrel{f}{\sim} B$

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplo

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ , haciendo operaciones elementales por fila de forma sucesiva, veamos que esta es equivalente a la matriz identidad $\mathbf{I}$ .

Método de Reducción Gaussiana | totumat.com

Operaciones elementales por columna

Veamos a continuación cuales son las operaciones que podemos definir sobre y entre las filas de una matriz.

Intercambio de columnas de una matriz

Si $i$ y $j$ son dos columnas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ , denotamos el intercambio de estas dos columnas usando la notación $c_i \longleftrightarrow c_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 17

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ e intercambiemos la columna $1$ por la columna $2$ , entonces,

Ejemplo 18

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ e intercambiemos la columna $1$ por la columna $3$ , entonces,

Ejemplo 19

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ e intercambiemos la columna $3$ por la columna $2$ , entonces,

Ejemplo 20

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ e intercambiemos la columna $1$ por la columna $2$ , entonces,

Suma de columnas de una matriz

Si $i$ y $j$ son dos columnas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ . Podemos considerar la columna $i$ y sumarle la columna $j$ , es decir, sumar los términos correspondientes, para esto usamos la notación $c_i \longrightarrow c_i + c_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 21

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y a la columna $1$ le sumamos la columna $2$ , entonces,

Ejemplo 22

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y a la columna $1$ le sumamos la columna $3$ , entonces,

Ejemplo 23

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y a la columna $3$ le sumamos la columna $2$ , entonces,

Ejemplo 24

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y a la columna $2$ le sumamos la columna $1$ , entonces,

Multiplicar una columna de una matriz por un escalar

Si $i$ es una columna de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ . Podemos considerar la columna $i$ y multiplicarla por un escalar $k$ , para esto usamos la notación $c_i \longrightarrow k \cdot c_i$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 25

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y multipliquemos la columna $1$ por el escalar $5$ , entonces,

Ejemplo 26

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y multipliquemos la columna $3$ por el escalar $-1$ , entonces,

Ejemplo 27

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y multipliquemos la columna $2$ por el escalar $10$ , entonces,

Ejemplo 28

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y multipliquemos la columna $1$ por el escalar $-4$ , entonces,

Sumar una columna de una matriz multiplicada por un escalar

Finalmente, veremos una operación elemental que de cierta forma mezcla efectúa varias operaciones al mismo tiempo. Si $i$ y $j$ son dos columnas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ . Podemos considerar la columna $i$ y sumarle la columna $j$ multiplicada por un escalar $k$ , para esto usamos la notación $c_i \longrightarrow c_i + k \cdot c_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 29

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y a la columna $1$ le sumamos la columna $2$ multiplicada por $5$ , entonces,

Ejemplo 30

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y a la columna $1$ le sumamos la columna $3$ multiplicada por $2$ , entonces,

Ejemplo 31

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y a la columna $3$ le sumamos la columna $2$ multiplicada por $-1$ , entonces,

Notemos que en este caso estamos definiendo la resta de columnas.

Ejemplo 32

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y a la columna $2$ le sumamos la columna $1$ multiplicada por $10$ , entonces,

Sistemas de Ecuaciones Lineales – Cramer

30.07.202007.03.2025 Anthonny Arias-García1 comentario

Diremos que un sistema de ecuaciones lineales (ó sistema de ecuaciones lineales simultáneas) es un conjunto de ecuaciones con incógnitas comunes. Formalmente, sean $x_1, x_2, \ldots, x_n$ un conjunto de $n$ incógnitas, definimos un sistema de ecuaciones lineales con $n$ incógnitas y $m$ ecuaciones, de la siguiente forma:

Una vez que hemos planteado un sistema de ecuaciones lineales con $n$ ecuaciones y $n$ incógnitas de forma matricial, es decir, de la siguiente forma:

Podemos definir varios elementos que nos permitan calcular la solución del sistema de ecuaciones usando determinantes de matrices, así que empezaremos definiendo

$\Delta = |A|$

Si $\Delta \neq 0$ , podemos garantizar que existe una única solución para el sistema de ecuaciones, por lo tanto

Definimos $\Delta_{x_1}$ como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la primera columna por la matriz $C$ , es decir,

Definimos $\Delta_{x_2}$ como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la segunda columna por la matriz $C$ , es decir,

Continuando así, definimos $\Delta_{x_j}$ como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la \emph{j-ésima} columna por la matriz $C$ , es decir,

Finalmente, definimos $\Delta_{x_n}$ como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la \emph{n-ésima} columna por la matriz $C$ , es decir,

Una vez que hemos definido esta serie de elementos, podemos definir los valores que dan solución al sistema de ecuaciones planteando los siguientes cocientes:

$x_1 = \frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}, \ x_2 = \frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}, \ \ldots , \ x_n = \frac{\Delta_{x_n}}{\Delta}.$

Este método es conocido como la Regla de Cramer, veamos entonces con algunos ejemplos como calcular la solución de sistemas de ecuaciones lineales usando este método.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos $\Delta$ que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

$x=\frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{15}{16}, \ y=\frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{71}{32}$

Ejemplo 2

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos $\Delta$ que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

$x=\frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{400}{133}, \ y=\frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{270}{133}, \ z=\frac{\Delta_{ z }}{\Delta} = \frac{41}{133}$

Ejemplo 3

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos $\Delta$ que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

$x=\frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{-355}{257}, \ y=\frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{-145}{257}, \ z=\frac{\Delta_{ z }}{\Delta} = \frac{133}{257}$

Ejemplo 4

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos $\Delta$ que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

$x = \frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{-109}{235}, \ y = \frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{213}{235}, \ z = \frac{\Delta_{ z }}{\Delta} = \frac{34}{47}, \ w = \frac{\Delta_{ w }}{\Delta} = \frac{354}{235}$

Sistemas de Ecuaciones Lineales

30.07.202007.03.2025 Anthonny Arias-García4 comentarios

Al definir una ecuación, de forma básica, se establece la relación entre un número desconocido y números conocidos a partir de una igualdad, también hemos visto que es posible establecer relaciones entre más números desconocidos tal como cuando se define una recta de la forma $ax + by + c = 0$ y calcular el punto de intersección entre dos rectas, se determinan los valores de $x$ y $y$ que satisfacen ambas ecuaciones; generalizando así, nuestra definición de ecuación.

La solución de este sistema es un conjunto de números reales que satisface todas las ecuaciones al mismo tiempo, y para determinar si un sistema de ecuaciones tiene exactamente una solución, debemos tomar ciertas consideraciones.

Todo sistema de ecuaciones lineales se puede ver como una ecuación donde los elementos involucrados son matrices pues las expresiones que están del lado izquierdo de la igualdad se pueden escribir como un producto de matrices y los elementos que están del lado derecho se pueden escribir como una matriz de una sola columna, de la siguiente manera:

Identificando las matrices $A$ , $X$ y $C$ ; podemos asegurar que el sistema de ecuaciones tendrá exactamente una solución si la matriz $A$ es una matriz cuadrada y si esta es una matriz no-singular, es decir, si $|A| \neq 0$ . Existen diversos métodos para calcular esta única solución de un sistema de ecuaciones.

Cálculo de Matriz Inversa – Regla de Cramer

27.06.202005.04.2024 Anthonny Arias-García1 comentario

Pasos para calcular de Matriz Inversa
1. Ejemplos

Una vez que hemos definido la matriz inversa, lo natural es determinar una forma de calcular la matriz inversa, pues no siempre contaremos con ella. Existen diversos métodos para calcular la matriz inversa de una matriz no-singular $A$ , por ahora veremos solo uno de ellos.

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Pasos para calcular de Matriz Inversa

A continuación veremos un método que nos permite calcular la inversa de una matriz usando el cálculo de determinantes y la transposición de matrices, a partir de este método se deriva una técnica para calcular la solución sistemas de ecuaciones lineales conocida como la Regla de Cramer.

Consideraremos cinco pasos que nos permitirán calcular la matriz inversa de una matriz $A$ :

Paso I: Verificamos que la matriz $A$ sea no-singular. Es decir, verificamos que

$|A| \neq 0$

Paso II: Calculamos todos los cofactores de la matriz $A$ y con ellos, construimos la matriz de cofactores $C(A)$ . Es decir, una matriz tal que,

$[C(A)]_{ij} = c(a_{ij})$

Paso III: Transponemos la matriz de cofactores. A esta nueva matriz la llamamos Matriz Adjunta de $A$ , la denotamos por

$adj(A)$

Pso IV: Definimos la inversa de la matriz $A$ como la matriz adjunta, dividida entre el determinante de $A$ . Es decir,

$A^{-1} = \frac{adj(A)}{|a|}$

Paso V: Verificamos que nuestros cálculos son correctos multiplicando

$A \times A^{-1} \text{ y } A^{-1} \times A$

Veamos con algunos ejemplos como calcular la inversa de matrices de tamaño tres, pues de esta forma podemos seguir los cálculos con facilidad.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la inversa de la matriz $A$ .

Paso I: Verificamos que la matriz $A$ sea no-singular. Es decir, verificamos que $|A| \neq 0$ .

Cálculo de Matriz Inversa - Regla Cramer | totumat.com

Paso II: Calculamos la matriz de cofactores de $A$ , es decir, $C(A)$ .

Paso III: Calculamos la matriz adjunta de $A$ , es decir, $adj(A)$ .

Paso IV: Calculamos la matriz inversa de $A$ , es decir, $A^{-1}$ .

Paso V: Queda de parte del lector verificar que $A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_3$ .

Ejemplo 2

Calcule la inversa de la matriz $A$ .

Paso I: Verificamos que la matriz $A$ sea no-singular. Es decir, verificamos que $|A| \neq 0$ .

Paso II: Calculamos la matriz de cofactores de $A$ , es decir, $C(A)$ .

Paso III: Calculamos la matriz adjunta de $A$ , es decir, $adj(A)$ .

Paso IV: Calculamos la matriz inversa de $A$ , es decir, $A^{-1}$ .

Paso V: Queda de parte del lector verificar que $A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_3$ .

Ejemplo 3

Calcule la inversa de la matriz $A$ .

Paso I: Verificamos que la matriz $A$ sea no-singular. Es decir, verificamos que $|A| \neq 0$ .

Paso II: Calculamos la matriz de cofactores de $A$ , es decir, $C(A)$ .

Paso III: Calculamos la matriz adjunta de $A$ , es decir, $adj(A)$ .

Paso IV: Calculamos la matriz inversa de $A$ , es decir, $A^{-1}$ .

Paso V: Queda de parte del lector verificar que $A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_3$ .

Ejemplo 4

Calcule la inversa de la matriz $A$ .

Paso I: Verificamos que la matriz $A$ sea no-singular. Es decir, verificamos que $|A| \neq 0$ .

Paso II: Calculamos la matriz de cofactores de $A$ , es decir, $C(A)$ .

Paso III: Calculamos la matriz adjunta de $A$ , es decir, $adj(A)$ .

Paso IV: Calculamos la matriz inversa de $A$ , es decir, $A^{-1}$ .

Paso V: Queda de parte del lector verificar que $A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_3$ .

La Matriz Inversa

26.06.202006.04.2024 Anthonny Arias-García4 comentarios

La Matriz Inversa
1. Ejemplos
  1. Ejemplo 1
  2. Ejemplo 2

Hemos definido operaciones de suma, resta y multiplicación entre matrices, sin embargo, ¿existirá la división entre matrices? Así como hemos definido el inverso multiplicativo en el conjunto de los número reales, para algunas matrices, es posible definir una nueva matriz que cumple con las propiedades del inverso multiplicativo.

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La Matriz Inversa

Si consideramos una matriz cuadrada $A$ , diremos que esta es una matriz singular si su determinante es exactamente igual a cero, es decir, $|A| = 0$ . Por otra parte, diremos que es una matriz no-singular si su determinante es distinto de cero, es decir, $A \neq 0$ .

Si consideramos $A$ una matriz no-singular, definimos la matriz inversa de $A$ como una nueva matriz $A^{-1}$ que cumple con la siguiente condición:

$A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}$

De cumplirse esta condición, también podemos decir que $A$ es una matriz invertible. Veamos algunos ejemplos de matrices invertibles de tamaño dos por dos para ver con claridad los cálculos involucrados.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la matriz $A$ , de tamaño, $2 \times 2$ y la matriz $A^{-1}$ , de tamaño, $2 \times 2$ . Verifique que $A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_2$ .

Calculamos $A \times A^{-1}$ .

Calculamos $A^{-1} \times A$ .

Ejemplo 2

Considerando la matriz $A$ , de tamaño, $2 \times 2$ y la matriz $A^{-1}$ , de tamaño, $2 \times 2$ . Verifique que $A \times A^{-1} = A \times A^{-1} = \mathbf{I}_2$ .

Calculamos $A \times A^{-1}$ .

Calculamos $A^{-1} \times A$ .

Operaciones elementales por fila

Intercambio de filas de una matriz

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Suma de filas de una matriz

Ejemplos

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8

Multiplicar una fila de una matriz por un escalar

Ejemplos

Ejemplo 9

Ejemplo 10

Ejemplo 11

Ejemplo 12

Sumar una fila de una matriz multiplicada por un escalar

Ejemplos

Ejemplo 13

Ejemplo 14

Ejemplo 15

Ejemplo 16

Matrices equivalentes por filas

Ejemplo

Operaciones elementales por columna

Intercambio de columnas de una matriz

Ejemplos

Ejemplo 17

Ejemplo 18

Ejemplo 19

Ejemplo 20

Suma de columnas de una matriz

Ejemplos

Ejemplo 21

Ejemplo 22

Ejemplo 23

Ejemplo 24

Multiplicar una columna de una matriz por un escalar

Ejemplos

Ejemplo 25

Ejemplo 26

Ejemplo 27

Ejemplo 28

Sumar una columna de una matriz multiplicada por un escalar

Ejemplos

Ejemplo 29

Ejemplo 30

Ejemplo 31

Ejemplo 32

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Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

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Pasos para calcular de Matriz Inversa

Ejemplos

Ejemplo 1

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Ejemplo 3

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La Matriz Inversa

Ejemplos

Ejemplo 1

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