Las funciones elementales

27.12.201923.03.2023 Anthonny Arias-García5 comentarios

En las matemáticas, existen funciones muy particulares que sientan la base para definir otras funciones más complejas, a este conjunto de funciones se les llama Funciones Elementales. Veamos entonces cada una de estas, definiendo su dominio más grande y su rango. Además, veremos la representación gráfica de éstas en el plano cartesiano.

Visualmente, identificamos el dominio de una función trazando rectas verticales imaginarias en todo el plano cartesiano, diremos que un punto está en el dominio si una recta corta a la curva que define la función $f$ y al Eje X al mismo tiempo.

Visualmente, identificamos el rango de una función trazando rectas horizontales imaginarias en todo el plano cartesiano, diremos que un punto está en el rango si una recta corta a la función $f$ y al Eje Y al mismo tiempo.

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Empezaremos estudiando todas las funciones que se pueden expresar de forma general como $f(x) = x^q$ , con $q \in \mathbb{Q}$ . A este tipo de funciones las llamaremos Funciones Algebraicas.

Funciones Algebraicas

Función Identidad

Definimos la función identidad como una regla que corresponde a cada número real con él mismo, es decir, que identifica a cada número real. Formalmente, la definimos como

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x$

$Dom(f) = \mathbb{R}$

$Rgo(f) = \mathbb{R}$

En ocasiones denotaremos esta función con la letra $I$ , de la siguiente forma $I(x)=x$ .

Función Cuadrática

También se conoce como parábola y corresponde a cada número real con él mismo pero elevado al cuadrado. Formalmente, la definimos como

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x^2$

$Dom(f) = \mathbb{R}$

$Rgo(f) = [0,+\infty]$

En general, cualquier función de la forma $f(x)=x^n$ con $n$ par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de $n$ , más rápido crecerá la función para los valores de $x$ tales que $|x|>1$ y más lento crecerá para los valores de $x$ tales que $|x|<1$ .

Función Cúbica

Corresponde a cada número real con él mismo pero elevado al cubo. Formalmente, la definimos como

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x^3$

$Dom(f) = \mathbb{R}$

$Rgo(f) = \mathbb{R}$

En general, cualquier función de la forma $f(x)=x^n$ con $n$ impar, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de $n$ , más rápido crecerá la función para los valores de $x$ tales que $|x|>1$ y más lento crecerá para los valores de $x$ tales que $|x|<1$ .

Función de proporcionalidad inversa

Esta función también se conoce como hipérbola y corresponde a cada número real $x$ con la $x$ -ésima parte de $1$ .

Imagine que usted tiene una torta y desea repartirla toda entre $x$ personas, entonces le da a cada persona un pedazo de tamaño $\frac{1}{x}$ . Mientras mayor sea la cantidad de personas, más pequeño es el pedazo que le corresponde a cada una y mientras menor sea la cantidad de personas, más grande es el pedazo que le corresponde a cada una.

Formalmente, la definimos como

$f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{1}{x}$

$Dom(f) = \mathbb{R}-\{0\}$

$Rgo(f) = \mathbb{R}-\{0\}$

Notemos que por más grande que sea el valor de $x$ , la función nunca es igual a cero, por lo tanto nunca corta al Eje X. De igual forma por más pequeño que sea el valor de $x$ la función nunca es igual a infinito por lo tanto la función nunca corta al Eje Y.

En general, cualquier función de la forma $f(x)=\frac{1}{x^n}$ con $n$ impar, tendrá la misma forma.

Hay que destacar otra función íntimamente relacionada con la función de proporcionalidad inversa, y es que si elevamos ésta al cuadrado, obtendremos la función $\frac{1}{x^2}$ , es muy parecida a la función $\frac{1}{x}$ , salvo que ésta es positiva cuando los valores de $x$ son negativos. Formalmente, la definimos como

$f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{1}{x^2}$

$Dom(f) = \mathbb{R}-\{0\}$

$Rgo(f) = (0,\infty)$

Notemos que por más grande que sea el valor de $x$ , la función nunca es igual a cero por lo tanto nunca corta al Eje X. De igual forma por más pequeño que sea el valor de $x$ la función nunca es igual a infinito por lo tanto la función nunca corta al Eje Y.

En general, cualquier función de la forma $f(x)=\frac{1}{x^n}$ con $n$ par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de $n$ , más rápido decrecerá la función para los valores de $x$ tales que $|x|>1$ y más rápido crecerá para los valores de $x$ tales que $|x|<1$ .

Función Raíz Cuadrada

La raíz cuadrada de un número $x$ se define como un número que multiplicado por él mismo es igual a $x$ y se denota por $\sqrt{x}$ . Notemos que no tiene sentido definir la raíz cuadrada de un número negativo pues no existe un número que multiplicado por él mismo sea negativo. Formalmente, definimos esta función como

$f: [0,+\infty] \rightarrow [0,+\infty], \ f(x)=\sqrt{x}$

$Dom(f) = [0,+\infty)$

$Rgo(f) = [0,+\infty)$

En general, cualquier función de la forma $f(x)=\sqrt[n]{x}$ con $n$ par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de $n$ , más lento crecerá la función para los valores de $x$ tales que $|x|>1$ y más rápido crecerá para los valores de $x$ tales que $|x|<1$ .

Función Raíz Cúbica

La raíz cúbica de un número $x$ se define como un número que multiplicado tres veces por él mismo es igual a $x$ y se denota por $\sqrt[3]{x}$ . Contrario a la raíz cuadrada, en este caso sí tiene sentido definir la raíz cúbica de un número negativo. Formalmente, definimos esta función como

$f: [0,+\infty] \rightarrow [0,+\infty], \ f(x)=\sqrt{x}$

$Dom(f) = \mathbb{R}$

$Rgo(f) = \mathbb{R}$

En general, cualquier función de la forma $f(x)=\sqrt[n]{x}$ con $n$ impar, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de $n$ , más lento crecerá la función para los valores de $x$ tales que $|x|>1$ y más rápido crecerá para los valores de $x$ tales que $|x|<1$ .

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Funciones Trascendentes

Consideremos ahora un tipo de funciones que no se pueden expresar de la forma $x^n$ donde $n$ es un número natural, las llamaremos Funciones Trascendentes. Veremos a continuación las funciones trascendentales más comunes en la aplicación de las matemáticas.

Función Exponencial

Si $a$ es un número real, definimos su n-ésima potencia como el producto de $a$ multiplicado por él mismo $n$ veces, donde $n$ es un número natural, y lo denotamos la siguiente forma:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-veces}$

Consideremos algunas propiedades de las potencias que nos permitirán entender el comportamiento de esta función:

$a^0 = 1$
$a^1 = a$
$a^{-1} = \dfrac{1}{a}, \ a \neq 0$
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}, \ a \neq 0$

Definimos la función exponencial como $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=a^x$ . Notemos que el exponente puede ser cualquier número real. Generalmente se define considerando $a=\text{\Large e}$ , que es el Número de Euler o Constante de Neper, éste es aproximadamente $2.71828182846\ldots$ . Graficamos la función $f(x)=\text{\Large e}^{x}$ de la siguiente forma:

$Dom(f) = \mathbb{R}$

$Rgo(f) = (0,+\infty)$

Note que cuando $x$ adquiere valores muy grandes en los números negativos, la función exponencial se hace muy pequeña, sin embargo, nunca es igual a cero y por lo tanto, nunca toca al Eje X.

Función Logarítmica

Si $a$ un número natural, $b$ un número positivo y $c$ un número real. Entonces definimos el logaritmo base $a$ como una equivalencia de ecuaciones de la siguiente forma:

$\log_a(b) = c \Longleftrightarrow a^c = b$

Consideremos algunas propiedades de los logaritmos que nos permitirán entender el comportamiento de esta función:

$\log_a(1) = 0$
$\log_a(a) = 1$
$\log_a(a^n) = n$

Se define entonces la función logaritmo base $b$ de $x$ como $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)= \log_b(x)$ . Al escribir $\log(x)$ se sobre entiende que es el logaritmo base 10 de $x$ . Generalmente se usa la Función Logaritmo Neperiano que está definida como $f(x)=\log_\text{e}(x)$ y su notación es $f(x)=\ln(x)$ . Graficamos la función logaritmo neperiano de la siguiente forma:

$Dom(f) = (0,+\infty)$

$Rgo(f) = \mathbb{R}$

Note que cuando $x$ adquiere valores muy pequeños, la función logarítmica se hace muy pequeña, sin embargo, nunca toca al Eje Y.

Funciones Trigonométricas

Las siguientes funciones trascendentales relacionan de forma íntima el radio de una circunferencia y el ángulo de éste respecto al Eje X, a este tipo de funciones las llamaremos Funciones Trigonométricas. Antes de definirlas, estudiemos con detenimiento un círculo de radio igual a 1 que está centrado en el origen, que llamaremos El Círculo Unitario.

Notemos que en el círculo unitario podemos definir un triángulo rectángulo donde su hipotenusa es justamente el radio del círculo. Considerando el ángulo que forma el radio con el Eje X, diremos que el cateto que se encuentra adosado a este ángulo es el cateto adyacente y el cateto que se encuentra en lado opuesto a este ángulo es el cateto opuesto. Entonces, tomando en cuenta que $\pi$ es el número que se obtiene al dividir la longitud de una circunferencia por su diámetro, éste representará (en radianes) un ángulo de 180 grados, definimos las siguientes relaciones:

Función Seno

Definimos el seno del ángulo $\alpha$ como el cociente del cateto opuesto entre la hipotenusa del triángulo que hemos expuesto en el círculo unitario. Sentando base en esta relación, definimos formalmente esta función como

$f: \mathbb{R} \rightarrow [-1,1], \ f(x) = sen(x)$

$Dom(f) = \mathbb{R}$

$Rgo(f) = [-1,1]$

Note que esta función repetirá el mismo ciclo en cada intervalo de longitud $2\pi$ durante todo su dominio.

Función Coseno

Definimos el coseno del ángulo $\alpha$ como el cociente del cateto adyacente sobre la hipotenusa del triángulo que hemos expuesto en el círculo unitario. Sentando base en esta relación, definimos formalmente esta función como

$f: \mathbb{R} \rightarrow [-1,1], \ f(x) = cos(x)$

$Dom(f) = \mathbb{R}$

$Rgo(f) = [-1,1]$

Note que esta función es igual a cero para los valores de $x$ tales que $x=(2k+1) \cdot \frac{\pi}{2}$ , además repetirá el mismo ciclo en cada intervalo de longitud $2\pi$ durante todo su dominio.

Función Tangente

Definimos la tangente del ángulo $\alpha$ como el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente del triángulo que hemos expuesto en el círculo unitario, que será también el cociente del seno de $\alpha$ entre el coseno de $\alpha$ . Sentando base en esta relación, definimos formalmente esta función como

$f: Dom(f) \rightarrow [-1,1], \ f(x) = tan(x)$

$Dom(f) = \{ x : x \neq (2k+1) \cdot \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{N} \}$

$Rgo(f) = [-1,1]$

Note que a medida que esta función se acerca a $-\frac{\pi}{2}$ esta decrece hacia menos infinito, por lo que nunca toca al eje $x=-\frac{\pi}{2}$ , por otra parte a medida que se acerca a $\frac{\pi}{2}$ esta crece hacia el infinito, es por esto que esta función nunca toca al eje $x=\frac{\pi}{2}$ . Esta función repetirá el mismo ciclo en todo su dominio entre cada dos números consecutivos de la forma $x=(2k+1) \cdot \frac{\pi}{2}$ , donde $k$ es un número entero.

Funciones Reales

26.12.201923.03.2023 Anthonny Arias-García3 comentarios

¿Qué es una función?

Las funciones constituyen un importante elemento de las matemáticas pues a través de ellas se pueden definir relaciones entre cualquier tipo de conjuntos ricas en propiedades. Veremos cuales son las funciones más básicas que podemos definir sentándonos en los números reales, sin embargo, el universo de funciones va mucho más allá.

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Dados dos conjuntos $A$ y $B$ , definimos una función que va desde el conjunto $A$ hasta el conjunto $B$ como una regla de correspondencia que corresponde a cada elemento del conjunto $A$ con un único elemento de $B$ . Al conjunto $A$ lo llamaremos conjunto de salida y al conjunto $B$ lo llamaremos conjunto de llegada.

Usualmente denotaremos a las funciones con la letra $f$ , entonces una función que va de $A$ en $B$ se denota como

$f: A \longrightarrow B$

y formalmente diremos que corresponde a cada elemento $a \in A$ con un único elemento $b \in B$ . Consideremos algunos ejemplos para entender mejor este concepto.

Ejemplos

Ejemplo 1: Regla de correspondencia que sí es una función

Sean $A=\{ 1, 2 \}$ y $B=\{ a, b \}$ dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia $f: A \longrightarrow B$ de la siguiente forma:

$1 \rightarrow a$
$2 \rightarrow b$

Esta regla de correspondencia sí determina una función, ya que a cada elemento de $A$ lo estamos correspondiendo con un único elemento de $B$ .

Ejemplo 2: Regla de correspondencia que sí es una función

Sean $A=\{ 1, 2, 3 \}$ y $B=\{ a, b, c, d \}$ dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia $f: A \longrightarrow B$ de la siguiente forma:

$1 \rightarrow a$
$2 \rightarrow b$
$3 \rightarrow c$

Esta regla de correspondencia sí determina una función. Pese a que al elemento $d \in B$ no lo hemos correspondido con ningún elemento, se mantiene el hecho de que a cada elemento de $A$ lo estamos correspondiendo con un único elemento de $B$ .

Ejemplo 3: Regla de correspondencia que sí es una función

Sean $A={ 1, 2, 3 }$ y $B={ a, b, c }$ dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia $f: A \longrightarrow B$ de la siguiente forma:

$1 \rightarrow a$
$2 \rightarrow a$
$3 \rightarrow b$

Esta regla de correspondencia sí determina una función. Pese a que los elementos $1 \in A$ y $2 \in A$ los hemos correspondido con el mismo elemento $a \in B$ , se mantiene el hecho de que a cada elemento de $A$ lo estamos correspondiendo con un único elemento de $B$ .

Ejemplo 4: Regla de correspondencia que no es una función

Sean $A={ 1, 2, 3 }$ y $B={ a, b, c }$ dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia $f: A \longrightarrow B$ de la siguiente forma:

$1 \rightarrow a$
$1 \rightarrow b$
$2 \rightarrow b$
$3 \rightarrow c$

Esta regla de correspondencia no determina una función. Pues podemos notar inmediatamente que al elemento $1 \in A$ no lo hemos correspondido con un único elemento de $B$ si no con dos elementos, que en este caso son $a,b \in B$ .

Ejemplo 5: Regla general para una función particular

Sean $A=\mathbb{N}$ y $B={ 1 }$ dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia $f: A \longrightarrow B$ de la siguiente forma:

$1 \rightarrow 1$
$2 \rightarrow 1$
$3 \rightarrow 1$
$4 \rightarrow 1$
$\vdots$

Esta regla de correspondencia sí determina una función. Sin embargo, aunque podemos hacernos una idea de todas las correspondencias que ésta hace, no podemos listarlas todas de forma exhaustiva.

Es por esto que podemos decir que en general, para cualquier elemento $n \in \mathbb{N}$ , podemos definir esta regla de correspondencia así:

$n \rightarrow 1$

Ejemplo 6: Notación de función

Formalmente, si correspondemos a un elemento $a \in A$ con un único elemento $b \in B$ , la notación para definir la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos a través de una función $f$ es la siguiente:

$f(a) = b$
Esta expresión se lee f de a es igual b.

Entonces en nuestro último ejemplo, podemos definir la función de la siguiente forma:

$f: \mathbb{N} \longrightarrow { 1 }, \ f(n) = 1$

Ejemplo 7: Notación de función

Sean $A=\mathbb{N}$ y $B=\mathbb{N}$ dos conjuntos. Si definimos una regla de correspondencia $f: A \longrightarrow B$ de la siguiente forma:

$f(n) = n$

Esta regla de correspondencia que corresponde a cada número natural con él mismo, sí determina una función.

Dominio de una función

Definimos el dominio de una función $f: A \rightarrow B$ como el conjunto de elementos donde ella está definida y lo denotamos como $Dom(f)$ .

Es importante notar que el dominio de la función $f$ es exactamente igual al conjunto de salida, es decir, el conjunto $A$ .

Rango de una función

Si $a$ es un elemento del dominio de la función $f$ , diremos que $f(a)$ es la imagen de $a$ a través de la función $f$ .

Definimos el rango de la función $f: A \rightarrow B$ como el conjunto de todas las imágenes del conjunto $A$ a través de la función $f$ y lo denotamos como $Rgo(f)$ .

Es importante notar que el rango de la función $f$ está contenido en el conjunto de llegada, es decir, el conjunto $B$ .

Funciones Reales

Definiremos las funciones reales como aquellas funciones cuyo conjunto de salida es el conjunto de los números reales y el conjunto de llegada es el conjunto de los números reales, es decir, definidas como

$f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$

Si consideramos la variable $y=f(x)$ . Se llama a la variable $x$ como variable independiente y a la variable $y$ como variable dependiente. Esto se debe a que los valores que tendrá la expresión que define a $y=f(x)$ depende enteramente de la variable $x$ . La expresión $f(x)$ se lee f de x.

A partir de las variable independiente $x$ y la variable dependiente $y$ , podemos definir pares ordenados y así, expresar a las funciones reales con subconjuntos en el Plano Cartesiano, de la siguiente forma:

$\left\{ \big( x , y \big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}: y = f(x) \right\}$

Definiendo la regla general de correspondencia de una función, podemos indicar con claridad qué valores son los que estamos correspondiendo evaluando la función, es decir, sustituyendo el valor de la variable independiente por un número real dado y así determinar el valor de la variable dependiente con quien ha sido correspondido.

Veamos en los siguientes ejemplos como evaluar funciones en un número real.

Ejemplos: evaluación de funciones

Ejemplo 8

Considerando la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por la regla de correspondencia $f(x)=x$ . Supongamos que queremos evaluar esta función en $x=2$ , entonces sustituimos la variable $x$ por el número $2$ de la siguiente forma:

$f(2)=2$

Esto quiere decir que la función corresponde al número dos con el número dos.

Ejemplo 9

Considerando la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por la regla de correspondencia $f(x)=-x+3$ . Supongamos que queremos evaluar esta función en $x=5$ , entonces sustituimos la variable $x$ por el número $5$ y efectuamos las operaciones indicadas, de la siguiente forma:

$f(5)= -(5)+3 = -2$

Esto quiere decir que la función corresponde al número cinco con el número menos dos.

Ejemplo 10

Considerando la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por la regla de correspondencia $f(x)=x^2 + 6$ . Supongamos que queremos evaluar esta función en $x=-1$ , entonces sustituimos la variable $x$ por el número $-1$ y efectuamos las operaciones indicadas, de la siguiente forma:

$f(-1)= (-1)^2+6 = 1+6 = 7$

Esto quiere decir que la función corresponde al número menos uno con el número siete.

Ejemplo 11

Considerando la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por la regla de correspondencia $f(x)=\sqrt{x} - 8$ . Supongamos que queremos evaluar esta función en $x=9$ , entonces sustituimos la variable $x$ por el número $9$ y efectuamos las operaciones indicadas, de la siguiente forma:

$f(9)= \sqrt{9} - 8 = 3-8 = -5$

Esto quiere decir que la función corresponde al número nueve con el número menos cinco.

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Etiqueta: Funciones

Las funciones elementales

Funciones Algebraicas

Función Identidad

Función Cuadrática

Función Cúbica

Función de proporcionalidad inversa

Función Raíz Cuadrada

Función Raíz Cúbica

Funciones Trascendentes

Función Exponencial

Función Logarítmica

Funciones Trigonométricas

Función Seno

Función Coseno

Función Tangente

Funciones Reales

¿Qué es una función?

Ejemplos

Ejemplo 1: Regla de correspondencia que sí es una función

Ejemplo 2: Regla de correspondencia que sí es una función

Ejemplo 3: Regla de correspondencia que sí es una función

Ejemplo 4: Regla de correspondencia que no es una función

Ejemplo 5: Regla general para una función particular

Ejemplo 6: Notación de función

Ejemplo 7: Notación de función

Dominio de una función

Rango de una función

Funciones Reales

Ejemplos: evaluación de funciones

Ejemplo 8

Ejemplo 9

Ejemplo 10

Ejemplo 11

Funciones Algebraicas

Función Identidad

Función Cuadrática

Función Cúbica

Función de proporcionalidad inversa

Función Raíz Cuadrada

Función Raíz Cúbica

Funciones Trascendentes

Función Exponencial

Función Logarítmica

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Función Seno

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Función Tangente

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¿Qué es una función?

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Ejemplo 6: Notación de función

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Rango de una función

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