Ecuaciones Diferenciales – Dinámica del precio de un producto

Considerando las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, particularmente, el caso no-homogéneo con coeficiente constante de la forma

$x' + ax = w(t)$

Sabemos calcular la solución de este tipo de ecuaciones. Veremos que este tipo de ecuaciones se puede usar para describir la relación entre la oferta y la demanda en una economía.

Considerando que el equilibrio del mercado se consigue cuando las oferta es igual a la demanda, nos propondremos determinar la trayectoria que debe seguir el precio a través del tiempo para que el mercado se mantenga siempre en equilibrio.

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Suponga que las funciones de demanda y oferta de un producto son las siguientes:

$Q_d = a_1 - b_1 P \text{ y } Q_o = - a_2 + b_2 P \text{ donde } a_i,b_i>0$

Sabiendo que el equilibrio de mercado se consigue cuando $Q_d = Q_o$ , entonces

$a_1 - b_1 P = -a_2 + b_2 P$

$\Rightarrow -b_1 P -b_2 P = -a_1-a_2$

$\Rightarrow P(- b_1 - b_2) = -a_1-a_2$

$\Rightarrow P = \frac{a_1+a_2}{b_1+b_2}$

Es decir, si $P_e = \frac{a_1+a_2}{b_1+b_2}$ , entonces el mercado estará en equilibrio. Sin embargo, cuando el precio $P$ se desvía de este valor $P_e$ , la demanda excede la oferta o la oferta excede la demanda.

Consideraremos que el precio en un mercado cambia de acuerdo a las fuerzas relativas de demanda y para simplicidad, supongamos que la tasa de cambio de precios con respecto al tiempo $t$ es proporcional al exceso en la demanda, formalmente tenemos que si $Q_d-Q_o$ es el exceso en la demanda, entonces

$P'(t) = m \cdot \big( Q_d(t) - Q_o(t) \big), m>0$

Sustituyendo las funciones $Q_d$ y $Q_o$ en esta última ecuación, tenemos

$P'(t) = m \cdot \big( Q_d(t) - Q_o(t) \big)$

$\Rightarrow P'(t) = m \cdot \big( a_1 - b_1 P - ( - a_2 + b_2 P) \big)$

$\Rightarrow P'(t) = m \cdot ( a_1 - b_1 P + a_2 - b_2 P )$

$\Rightarrow P'(t) = m a_1 - m b_1 P + m a_2 - m b_2 P$

$\Rightarrow P'(t) = -m P( b_1 + b_2) + m (a_1 + a_2)$

$\Rightarrow P'(t) + m ( b_1 + b_2) \cdot P = m (a_1 + a_2)$

Esta es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden que se puede calcular usando el factor integrante $\mu(t) = \textit{\Large e}^{\int m(b_1+b_2)dt} = \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t}$ , así, tenemos que

$\displaystyle \frac{dP}{dt} + m ( b_1 + b_2) \cdot P = m (a_1 + a_2 )$

$\displaystyle \Rightarrow \textbf{\textit{\Large e}}^{m(b_1+b_2)t} \frac{dP}{dt} + \textbf{\textit{\Large e}}^{m(b_1+b_2)t} m ( b_1 + b_2) = \textbf{\textit{\Large e}}^{m(b_1+b_2)t} m (a_1 + a_2 )$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{\textbf{\textit{\Large e}}^{m(b_1+b_2)t} P)}{dt} = \textbf{\textit{\Large e}}^{m(b_1+b_2)t} m (a_1 + a_2 )$

$\displaystyle \Rightarrow \int \frac{d(\textbf{\textit{\Large e}}^{m(b_1+b_2)t} P)}{dt} dt = \int \textbf{\textit{\Large e}}^{m(b_1+b_2)t} m (a_1 + a_2 ) dt$

$\displaystyle \Rightarrow \textbf{\textit{\Large e}}^{m(b_1+b_2)t} P = \frac{m(a_1+a_2)}{m(b_1+b_2)}\textbf{\textit{\Large e}}^{m(b_1+b_2)t} + C$

$\displaystyle \Rightarrow \textbf{\textit{\Large e}}^{m(b_1+b_2)t} P = P_e \textbf{\textit{\Large e}}^{m(b_1+b_2)t} + C$

$\displaystyle \Rightarrow P = P_e + C \textbf{\textit{\Large e}}^{-m(b_1+b_2)t}$

Si consideremos la condición inicial $P(0)$ , entonces tenemos que

$P(0) = P_e + C \textit{\Large e}^{-m(b_1+b_2) \cdot 0} = P_e + C \Rightarrow C = P(0) - P_e$

Por lo tanto, la solución que estamos buscando viene dada por

$P(t) = ( P(0) - P_e) \textit{\Large e}^{-m_0 t} + P_e, \text{ donde } m_0 = m(b_1+b_2)$

Notemos ahora que $m_0>0$ , así que si $t \rightarrow \infty$ , entonces $P(t) \rightarrow P_e$ . Es decir, en el largo plazo, el mecanismo del mercado llevará la dinámica del mercado a su punto de equilibrio.

Referencias

Zhang, W.-B. (2005). DIFFERENTIAL EQUATIONS, BIFURCATIONS, AND CHAOS IN ECONOMICS (Vol. 68). World Scientific.

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