Expresión lineal compuesta con una ecuación diferencial

Al observar la forma en que está definida una ecuación diferencial, puede resultar útil identificar los elementos que la componen. Veremos en esta ocasión, el caso en que podemos identificar una expresión lineal que compone la ecuación diferencial.

Veremos que recurriendo a una variable auxiliar, es posible reducir la ecuación diferencial a una ecuación de variables separables. Formalmente, si $A$ , $B$ y $C$ son números reales con $B \neq 0$ , consideraremos ecuaciones diferenciales de la forma

$\frac{dy}{dx} = f(Ax + By + C)$

Y para calcular la solución de este tipo de ecuaciones, recurrimos a la variable auxiliar $u = Ax + By + C$ . Veamos entonces con algunos ejemplos calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria

$\frac{dy}{dx} = (7x + y + 2)^2 - 11$

Podemos notar que la expresión $7x + y + 2$ compone a esta ecuación. Entonces, definimos la variable auxiliar que utilizaremos, calculamos $\frac{du}{dx}$ y posteriormente, despejamos $\frac{dy}{dx}$

$u=7x + y + 2 \Rightarrow \frac{du}{dx} = 7 + \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - 7$

De esta forma, al sustituirlas en nuestra ecuación diferencial, obtenemos que

$\frac{du}{dx} - 7 = u^2 - 11$
$\Rightarrow \frac{du}{dx} - 7 = u^2 - 11$
$\Rightarrow \frac{du}{dx} = u^2 - 4$
$\Rightarrow \frac{du}{dx} = (u-2)(u+2)$

Esta última igualdad representa una ecuación diferencial de variables separables, así que procedemos a separar las variables.

$\frac{du}{dx} = (u-2)(u+2)$

$\Rightarrow \frac{du}{(u-2)(u+2)} = dx$

Una vez separadas las variables, integramos en ambos lados de la ecuación.

$\Rightarrow \int \frac{du}{(u-2)(u+2)} = \int dx$

$\Rightarrow \frac{1}{4} \ln(u-2) - \frac{1}{4} \ln(u+2) = x + C$

Ya que hemos calculado las integrales, debemos despejar al variable $u$ .

$\Rightarrow \frac{1}{4} \left( \ln(u-2) - \ln(u+2) \right) = x + C$

$\Rightarrow \frac{1}{4} \ln \left(\frac{u-2}{u+2} \right) = x + C$

$\Rightarrow \ln \left(\frac{u-2}{u+2} \right) = 4x + C$

$\Rightarrow \frac{u-2}{u+2} = C \textit{\Large e}^{4x}$

$\Rightarrow u-2 = C \textit{\Large e}^{4x}(u+2)$

$\Rightarrow u-2 = C \textit{\Large e}^{4x}u+2C \textit{\Large e}^{4x}$

$\Rightarrow u- C \textit{\Large e}^{4x}u = 2+2C \textit{\Large e}^{4x}$

$\Rightarrow u \left( 1-C \textit{\Large e}^{4x} \right) = 2 (C \textit{\Large e}^{4x} + 1)$

$\Rightarrow u = \frac{2 \left( 1+C \textit{\Large e}^{4x} \right) }{\left( 1-C \textit{\Large e}^{4x} \right)}$

Finalmente, sustituimos la variable auxiliar $u$ y despejamos la variable $y$ .

$u = 2 \frac{\left( 1+C \textit{\Large e}^{4x} \right) }{\left( 1-C \textit{\Large e}^{4x} \right)}$

$\Rightarrow 7x + y + 2 = 2\frac{\left( 1+C \textit{\Large e}^{4x} \right) }{\left( 1-C \textit{\Large e}^{4x} \right) }$

$\Rightarrow y = 2\frac{\left((1+C \textit{\Large e}^{4x} \right) }{\left(1-C \textit{\Large e}^{4x} \right)} -7x - 2$