Funciones Trascendentales

Consideremos ahora un tipo de funciones que no se pueden expresar de la forma x^n donde n es un número natural, las llamaremos Funciones Trascendentales o Funciones Trascendentes. Veremos a continuación las funciones trascendentales más comunes en la aplicación de las matemáticas.

Función Exponencial

Si a es un número real, definimos su n-ésima potencia como el producto de a multiplicado por él mismo n veces, donde n es un número natural, y lo denotamos la siguiente forma:

a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-veces}

Consideremos algunas propiedades de las potencias que nos permitirán entender el comportamiento de esta función:

  • a^0 = 1
  • a^1 = a
  • a^{-1} = \dfrac{1}{a}, \ a \neq 0
  • a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}, \ a \neq 0

Definimos la función exponencial como f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=a^x. Notemos que el exponente puede ser cualquier número real. Generalmente se define considerando a=\text{\Large e}, que es el Número de Euler o Constante de Neper, éste es aproximadamente 2.71828182846\ldots. Graficamos la función f(x)=\text{\Large e}^{x} de la siguiente forma:

Note que cuando x adquiere valores muy grandes en los números negativos, la función exponencial se hace muy pequeña, sin embargo, nunca es igual a cero y por lo tanto, nunca toca al Eje X.

Función Logarítmica

Si a un número natural, b un número positivo y c un número real. Entonces definimos el logaritmo base a como una equivalencia de ecuaciones de la siguiente forma:

\log_a(b) = c \Longleftrightarrow a^c = b

Consideremos algunas propiedades de los logaritmos que nos permitirán entender el comportamiento de esta función:

  • \log_a(1) = 0
  • \log_a(a) = 1
  • \log_a(a^n) = n

Se define entonces la función logaritmo base b de x como f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)= \log_b(x). Al escribir \log(x) se sobre entiende que es el logaritmo base 10 de x. Generalmente se usa la Función Logaritmo Neperiano que está definida como f(x)=\log_\text{e}(x) y su notación es f(x)=\ln(x). Graficamos la función logaritmo neperiano de la siguiente forma:

Note que cuando x adquiere valores muy pequeños, la función logarítmica se hace muy pequeña, sin embargo, nunca toca al Eje Y.


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