Funciones Trascendentes

Consideremos ahora un tipo de funciones que no se pueden expresar de la forma $x^n$ donde $n$ es un número natural, las llamaremos Funciones Trascendentes o Funciones Trascendentales. Veremos a continuación las funciones trascendentales más comunes en la aplicación de las matemáticas.

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Función Exponencial

Si $a$ es un número real, definimos su n-ésima potencia como el producto de $a$ multiplicado por él mismo $n$ veces, donde $n$ es un número natural, y lo denotamos la siguiente forma:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-veces}$

Consideremos algunas propiedades de las potencias que nos permitirán entender el comportamiento de esta función:

$a^0 = 1$
$a^1 = a$
$a^{-1} = \frac{1}{a}, \ a \neq 0$
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \ a \neq 0$

Definimos la función exponencial como $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=a^x$ . Notemos que el exponente puede ser cualquier número real. Generalmente se define considerando $a=\text{\Large e}$ , que es el Número de Euler o Constante de Neper, éste es aproximadamente $2.71828182846\ldots$ . Graficamos la función $f(x)=\text{\Large e}^{x}$ de la siguiente forma:

Note que cuando $x$ adquiere valores muy grandes en los números negativos, la función exponencial se hace muy pequeña, sin embargo, nunca es igual a cero y por lo tanto, nunca toca al Eje X.

Función Logarítmica

Si $a$ un número natural, $b$ un número positivo y $c$ un número real. Entonces definimos el logaritmo base $a$ como una equivalencia de ecuaciones de la siguiente forma:

$\log_a(b) = c \Longleftrightarrow a^c = b$

Consideremos algunas propiedades de los logaritmos que nos permitirán entender el comportamiento de esta función:

$\log_a(1) = 0$
$\log_a(a) = 1$
$\log_a(a^n) = n$

Se define entonces la función logaritmo base $b$ de $x$ como $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)= \log_b(x)$ . Al escribir $\log(x)$ se sobre entiende que es el logaritmo base 10 de $x$ . Generalmente se usa la Función Logaritmo Neperiano que está definida como $f(x)=\log_\text{e}(x)$ y su notación es $f(x)=\ln(x)$ . Graficamos la función logaritmo neperiano de la siguiente forma: