Matrices – Página 6

Sobre el conjunto de las matrices podemos definir operaciones de suma, resta, multiplicación por un escalar y multiplicación entre dos matrices. Además, definiremos una operación que se aplica sobre una sola matriz que llamaremos transposición.

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Suma de Matrices

Sean $A$ y $B$ dos matrices de tamaño $m \times n$ , definimos la suma $A+B$ como una nueva matriz donde cada elemento $ij$ de esta nueva matriz, está definido como la suma del elemento $ij$ de la matriz $A$ más el elemento $ij$ de la matriz $B$ . Formalmente,

$[A+B]_{ij} = [A]_{ij} + [B]_{ij}$

O escrito de forma exhaustiva, tenemos que

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando las matrices A y B, de tamaño $2 \times 2$ , calcule la suma indicada.

Ejemplo 2

Considerando las matrices A y B, de tamaño $4 \times 3$ , calcule la suma indicada.

Ejemplo 3

Considerando las matrices A y B, de tamaño, $1 \times 2$ calcule la suma indicada.

Ejemplo 4

Considerando las matrices A y B, de tamaño, $4 \times 2$ calcule la suma indicada.

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Resta de Matrices

Sean $A$ y $B$ dos matrices de tamaño $m \times n$ , definimos la resta $A-B$ como una nueva matriz donde cada elemento $ij$ de esta nueva matriz, está definido como la resta del elemento $ij$ de la matriz $A$ menos el elemento $ij$ de la matriz $B$ . Formalmente,

$[A+B]_{ij} = [A]_{ij} - [B]_{ij}$

O escrito de forma exhaustiva, tenemos que

Debemos tomar en cuenta que al restar la matriz $B$ , cada uno de los elementos de esta matriz es multiplicado por $-1$ . Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando las matrices A y B, de tamaño, $2 \times2$ calcule la suma indicada.

Ejemplo 6

Considerando las matrices A y B, de tamaño, $4 \times 2$ calcule la suma indicada.

Ejemplo 7

Considerando las matrices A y B, de tamaño, $1 \times 4$ calcule la suma indicada.

Ejemplo 8

Considerando las matrices A y B, de tamaño, $3 \times 1$ calcule la suma indicada.

Multiplicación por un escalar

Diremos que un escalar es un número real que al multiplicarla por una matriz esta nos cambia la escala de cada uno de los elementos de ella. Definimos el producto de un escalar $k$ por una matriz $A$ , como una nueva matriz donde cada elemento $ij$ de esta nueva matriz, está definido como el producto del escalar $k$ por el elemento $ij$ de la matriz $A$ . Formalmente,

$[k \cdot A]_{ij} = k \cdot [A]$

O escrito de forma exhaustiva, tenemos que

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 9

Considerando la matriz A, de tamaño, $2 \times 2$ calcule el producto por el escalar $4$ .

Ejemplo 10

Considerando la matriz A, de tamaño, $3 \times 1$ calcule el producto por el escalar $-4$ .

Ejemplo 11

Considerando la matriz A, de tamaño, $4 \times 2$ calcule el producto por el escalar $7$ .

Ejemplo 12

Considerando la matriz A, de tamaño, $3 \times 3$ calcule el producto por el escalar $9$ .

Producto entre Matrices

Sean $A$ una matriz de tamaño $m \times n$ y $B$ una matriz de tamaño $n \times p$ , definimos el producto $A \times B$ como una nueva matriz donde cada elemento $ij$ de esta nueva matriz, está definido el «producto» de la fila $i$ de la matriz $A$ por la columna $j$ de la matriz $B$ . Formalmente,

$[A \times B]_{ij} = \sum_k^n [A]_{ij} \cdot [B]_{ij}$

Debemos notar que para poder efectuar esta operación, el número de columnas de la matriz $A$ debe ser exactamente igual al número de filas de la matriz $B$ y aunque esta operación pareciera complicada, en los siguientes ejemplos veremos el procedimiento para calcular el producto entre dos matrices.

Ejemplos

Ejemplo 13

Considerando la matriz A, de tamaño, $2 \times 2$ y la matriz B, de tamaño, $2 \times 2$ . Calcule el producto $A \times B$ . Veamos en este ejemplo paso a paso como calcular este producto.

El elemento $[A \times B]_{11}$ de la nueva matriz $A \times B$ es el resultado de multiplicar la fila $1$ por la columna $1$ .

El elemento $[A \times B]_{12}$ de la nueva matriz $A \times B$ es el resultado de multiplicar la fila $1$ por la columna $2$ .

El elemento $[A \times B]_{21}$ de la nueva matriz $A \times B$ es el resultado de multiplicar la fila $2$ por la columna $1$ .

El elemento $[A \times B]_{22}$ de la nueva matriz $A \times B$ es el resultado de multiplicar la fila $2$ por la columna $2$ .

De esta forma, tenemos que

Entonces, aplicamos las operaciones involucradas

Ejemplo 14

Considerando la matriz $A$ , de tamaño, $4 \times 2$ y la matriz $B$ , de tamaño, $2 \times 1$ . Calcule el producto $A \times B$ .

Ejemplo 15

Considerando la matriz $A$ , de tamaño, $1 \times 3$ y la matriz $B$ , de tamaño, $3 \times 2$ . Calcule el producto $A \times B$ .

Ejemplo 16

Considerando la matriz $A$ , de tamaño, $4 \times 3$ y la matriz $B$ , de tamaño, $3 \times 4$ . Calcule el producto $A \times B$ .

Nota: Si podemos multiplicar $A \times B$ , no necesariamente podemos multiplicar $B \times A$ , esto quiere decir que el producto entre matrices no es conmutativo.

Transposición de matrices

En ocasiones, es necesario cambiar las filas por columnas de una matriz y viceversa, para esto definimos la operación de transposición. Sea $A$ una matriz de tamaño $m \times n$ decimos que la transposición de la matriz $A$ es una nueva matriz de tamaño $n \times m$ donde los elementos de la matriz $A$ que están en la posición $ij$ pasan a estar en la posición $ji$ , a esta nueva matriz se le llama $A$ traspuesta (o traspuesta) y la denotamos por $A^{T}$ o $A'$ . Formalmente,

$[A^{T}]_{ij} = A_{ji}$

O escrito de forma exhaustiva, tenemos que

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplos 17

Considerando la matriz A, de tamaño, $3 \times 3$ . Calcule la matriz transpuesta de A, es decir, $A^{T}$ .

Ejemplos 18

Considerando la matriz A, de tamaño, $4 \times 1$ . Calcule la matriz transpuesta de A, es decir, $A^{T}$ .

Ejemplo 19

Considerando la matriz A, de tamaño, $4 \times 2$ . Calcule la matriz transpuesta de A, es decir, $A^{T}$ .

Ejemplo 20

Considerando la matriz A, de tamaño, $3 \times 4$ . Calcule la matriz transpuesta de A, es decir, $A^{T}$ .

A medida que los desarrollos matemáticos se hacen más complejos es necesario introducir herramientas que nos permitan reescribirlos de forma sencilla y entendible. La herramienta que introducimos a continuación permite encapsular varios elementos en una sola estructura y al definir operaciones sobre estas estructuras, podemos establecer relaciones con otro tipo de estructuras matemáticas.

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Filas, Columnas y Tamaño de una Matriz

Definimos una matriz como un arreglo rectangular de números reales, que encerramos entre paréntesis $( \ * \ )$ , dispuestos en filas y columnas de la siguiente manera:

Los números que componen la matriz serán llamados elementos o entradas de la matriz, diremos que las filas son los arreglos horizontales y los contaremos de arriba hacia abajo, por otra parte, diremos que las columnas son los arreglos verticales y los contaremos de izquierda a derecha. En este caso, la matriz tiene tres filas y cuatro columnas, es por esto que diremos que es una matriz de tamaño $3 \times 4$ .

Veamos algunos ejemplos de matrices de distintos tamaños para entender la idea sobre como contar las filas y las columnas de una matriz.

Ejemplos

Ejemplo 1

es una matriz de tamaño $2 \times 2$ .

Ejemplo 2

es una matriz de tamaño $2 \times 5$ .

Ejemplo 3

es una matriz de tamaño $3 \times 3$ .

Ejemplo 4

es una matriz de tamaño $4 \times 1$ .

Elementos de una Matriz

Una vez que hemos identificado cada fila y cada columna, podemos identificar cada uno de los elementos de una matriz considerando la fila y la columna en que se encuentren, por ejemplo,

Ejemplos

Ejemplo 5

$6$ está en la fila $1$ y columna $1$ .

Ejemplo 6

$0$ está en la fila $2$ y columna $3$ .

Ejemplo 7

$-8$ está en la fila $2$ y columna $4$ .

Ejemplo 8

$3$ está en la fila $3$ y columna $2$ .

Diagonal de una Matriz

Usualmente denotaremos las matrices con letras mayúsculas ( $A,B,C,\ldots$ ) y a cada elemento de la matriz lo denotamos con letras mayúsculas ( $a,b,c,\ldots$ ). Así, de forma general, diremos que una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ se denota de la siguiente manera:

Donde $a_{ij}$ denota el elemento que se encuentra en la fila $i$ y la columna $j$ de la matriz A (este elemento también se puede denotar con $[A]_{ij}$ ). Todos los elementos de la forma $a_{ii}$ son los elementos de la diagonal de $A$ , veamos algunos ejemplos para identificar estos elementos con mayor facilidad.