Una vez que hemos planteado un sistema de ecuaciones lineales con ecuaciones y incógnitas de forma matricial, es decir, de la siguiente forma:
Podemos establecer un método que nos permite calcular la solución de un sistema de ecuaciones lineales usando las operaciones elementales por filas para reducir la matriz a una matriz escalonada reducida, pero a su vez, con las mismas operaciones transformar la matriz de términos independientes en la solución que estamos buscando.
Formalmente, si es una matriz cuadrada no-singular, es decir, tal que su determinante es distinto de cero. Podemos usar el Método de Eliminación de Gauss-Jordan para calcular la solución del sistema de ecuaciones ampliando la matriz adosando la matriz de términos independientes a su lado derecho, de la siguiente forma:
Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de sistemas de ecuaciones lineales usando este método.
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Ejemplos
Ejemplo 1
Considerando el sistemas de ecuaciones con ecuaciones y incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.
Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:
Empezamos calculando el determinante de la matriz para verificar que éste sea diferente de cero,
Habiendo verificado que el determinante de la matriz es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz $C$ en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz .
Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: , .
Ejemplo 2
Considerando el sistemas de ecuaciones con ecuaciones y incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.
Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:
Empezamos calculando el determinante de la matriz para verificar que éste sea diferente de cero,
Habiendo verificado que el determinante de la matriz es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz .
Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: , .
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Ejemplo 3
Considerando el sistemas de ecuaciones con ecuaciones y incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.
Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:
Empezamos calculando el determinante de la matriz para verificar que éste sea diferente de cero,
Habiendo verificado que el determinante de la matriz es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz .
Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: , , .
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Ejemplo 4
Considerando el sistemas de ecuaciones con ecuaciones y incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.
Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:
Empezamos calculando el determinante de la matriz para verificar que éste sea diferente de cero,
Habiendo verificado que el determinante de la matriz es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz .
Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: , , .
Nota: Queda de parte del lector verificar que los valores calculados son en efecto, la solución de los sistemas de ecuaciones planteados. Para esto debe sustituir los valores en cada una de las ecuaciones y verificar que se cumple la igualdad.
A continuación veremos un método que nos permite calcular la inversa de una matriz usando las operaciones elementales por filas para reducir la matriz a una matriz escalonada reducida, pero a su vez, con las mismas operaciones transformar la matriz identidad en la inversa que estamos buscando.
Formalmente, si es una matriz cuadrada no-singular, es decir, tal que su determinante es distinto de cero. Podemos usar el Método de Eliminación de Gauss-Jordan (ó Método de Eliminación Gaussiana) para calcular su inversa ampliando la matriz adosando la matriz identidad a su lado derecho, de la siguiente forma:
Veamos algunos ejemplos para entender como se calcula la matriz inversa desarrollando este procedimiento.
Ejemplos
Ejemplo 1
Considerando la matriz de tamaño . Calcule la matriz inversa usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.
Empezamos calculando el determinante de la matriz para verificar que éste sea diferente de cero,
Habiendo verificado que el determinante de la matriz es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz identidad de lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz .
Finalmente, la matriz inversa de A está definida de la siguiente forma,
Ejemplo 2
Considerando la matriz de tamaño . Calcule la matriz inversa usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.
Empezamos calculando el determinante de la matriz para verificar que éste sea diferente de cero,
Habiendo verificado que el determinante de la matriz es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz identidad de lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz .
Finalmente, la matriz inversa de A está definida de la siguiente forma,
Ejemplo 3
Considerando la matriz de tamaño . Calcule la matriz inversa usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.
Empezamos calculando el determinante de la matriz para verificar que éste sea diferente de cero,
Habiendo verificado que el determinante de la matriz es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz identidad de lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz .
Finalmente, la matriz inversa de A está definida de la siguiente forma,
Ejemplo 4
Considerando la matriz de tamaño . Calcule la matriz inversa usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.
Empezamos calculando el determinante de la matriz para verificar que éste sea diferente de cero,
Habiendo verificado que el determinante de la matriz es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz identidad de lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz .
Finalmente, la matriz inversa de A está definida de la siguiente forma,
Al considerar una matriz, a través de las operaciones elementales por fila podemos establecer una equivalencia entre dicha matriz y otra matriz diferente. En esta sección, veremos que toda matriz es equivalente por filas a otra matriz más simple. Así que empecemos por responder la siguiente pregunta: ¿qué es una matriz más simple?
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Matriz escalonada reducida
Diremos que una matriz de tamaño es escalonada reducida si esta cumple con las siguientes condiciones:
Todas las filas iguales a cero están en el fondo de la matriz. Formalmente, diremos que
Si para todo , entonces, para todo , donde .
Si una fila es distinta de cero, entonces su primer elemento distinto de cero es igual a 1. Formalmente, diremos que
Si y para todo , entonces
Si dos filas son distintas de cero, entonces el primer elemento de la que está por encima, está a la izquierda del primer elemento de la que está por debajo. Formalmente, diremos que
Si las filas y son distintas de cero tales que y; y son los primeros elementos distintos de cero de sus filas respectivas, entonces .
Considerando el primer elemento distinto de cero de una fila, todos los demás elementos de la columna en que este se encuentra, son iguales a cero. Formalmente, diremos que
Si y para todo , entonces para todo .
Al elemento se le conoce como el uno principal de la fila.
Veamos en los siguientes ejemplos como están expresadas las matrices escalonadas reducidas para entenderlas mejor.
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Ejemplos
Ejemplo 1
La matriz de tamaño considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.
Ejemplo 2
La matriz de tamaño considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.
Ejemplo 3
La matriz de tamaño considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.
Ejemplo 4
La matriz de tamaño considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.
El Método de Eliminación de Gauss-Jordan
El Teorema de Eliminación de Gauss-Jordan establece que toda matriz es equivalente por filas a una matriz escalonada reducida, es decir, al considerar una matriz, podemos aplicar operaciones por filas sobre ella hasta conseguir una matriz escalonada reducida. A partir de este teorema se define El Método de Eliminación de Gauss-Jordan, también conocido como el Método de Reducción Gaussiana.
Veamos algunos ejemplos en los que se reduce una matriz a una matriz escalonada reducida.
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Ejemplos
Ejemplo 5
Considerando la matriz de tamaño . Reduzca esta matriz a una matriz escalonada reducida usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.
Dividimos la fila por -1
Restamos la fila multiplicada por 4 a la fila
Dividimos la fila por -8
Restamos la fila multiplicada por 2 a la fila y así, obtenemos la matriz escalonada reducida,
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Ejemplo 6
Considerando la matriz de tamaño . Reduzca esta matriz a una matriz escalonada reducida usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.
Dividimos la fila por
Restamos la fila multiplicada por a la fila
Restamos la fila multiplicada por a la fila
Intercambiamos la fila por la fila
Dividimos la fila por
Dividimos la fila por
Restamos la fila multiplicada por a la fila
Restamos la fila multiplicada por a la fila y así, obtenemos la matriz escalonada reducida,
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Ejemplo 7
Considerando la matriz de tamaño . Reduzca esta matriz a una matriz escalonada reducida usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.
Dividimos la fila por
Restamos la fila multiplicada por a la fila
Restamos la fila multiplicada por a la fila
Dividimos la fila por
Restamos la fila multiplicada por a la fila
Restamos la fila multiplicada por a la fila
Dividimos la fila por
Restamos la fila multiplicada por a la fila
Restamos la fila multiplicada por a la fila y así, obtenemos la matriz escalonada reducida,
Calcular determinantes, ya sea por el Método de Laplace o por el Método de Sarrus puede resultar en un proceso extenso, es por esto que estudiaremos con detenimiento cómo la forma en la que está definida una matriz, nos puede ahorrar tiempo a la hora de calcular el determinante.
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En esta sección están expuestas las siguientes propiedades con sus respectivos ejemplos:
Determinante del Producto de Matrices
Si consideramos dos matrices cuadradas y , el determinante del producto entre estas dos matrices es exactamente igual al determinante de la matriz multiplicado por el determinante de la matriz , es decir,
Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes,
Ejemplos
Ejemplo 1
Considerando las matrices cuadrada y de tamaño dos calculemos el determinante de cada una de ellas,
El producto de estos dos determinantes es igual a -588, veamos que este producto es igual al determinante del producto de las dos matrices.
Ejemplo 2
Considerando las matrices cuadrada y de tamaño dos calculemos el determinante de cada una de ellas,
El producto de estos dos determinantes es igual a -405, veamos que este producto es igual al determinante del producto de las dos matrices.
Ejemplo 3
Considerando las matrices cuadrada y de tamaño dos, calculemos el determinante de cada una de ellas,
El producto de estos dos determinantes es igual a 2064, veamos que este producto es igual al determinante del producto de las dos matrices.
Ejemplo 4
Considerando las matrices cuadrada y de tamaño dos, calculemos el determinante de cada una de ellas,
El producto de estos dos determinantes es igual a -4851, veamos que este producto es igual al determinante del producto de las dos matrices.
Determinante de la matriz transpuesta
Si consideramos una matriz cuadrada , el determinante de la matriz transpuesta es exactamente igual al determinante de la matriz , es decir, .
Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes,
Ejemplos
Ejemplo 5
Considerando la matriz cuadrada de tamaño dos, podemos calcular el determinante de esta matriz y su transpuesta para notar que .
Ejemplo 6
Considerando la matriz cuadrada de tamaño dos, podemos calcular el determinante de esta matriz y su transpuesta para notar que .
Ejemplo 7
Considerando la matriz cuadrada de tamaño tres, podemos calcular el determinante de esta matriz y su transpuesta para notar que .
Ejemplo 8
Considerando la matriz cuadrada de tamaño tres, podemos calcular el determinante de esta matriz y su transpuesta para notar que .
Determinante de descomponer elementos como sumandos
Si consideramos una matriz y descomponemos todos los elementos de una fila en dos sumandos, el determinante de la matriz se puede descomponer como la suma de dos determinantes donde la primera matriz contiene sólo los primeros sumandos y la otra matriz contiene sólo los segundos sumandos.
Formalmente, si consideramos una matriz donde cada elemento elemento de la fila se puede descomponer como , entonces tenemos que
Por otra parte, si consideramos una matriz donde cada elemento elemento de la columna se puede descomponer como , entonces tenemos que
Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.
Ejemplos
Ejemplo 9
Considerando la matriz cuadrada de tamaño dos, descompongamos los elementos de la fila .
Descomponemos los elementos de la fila en dos sumandos y calculamos los determinantes respectivos para verificar que la suma de estos es igual al determinante de .
Ejemplo 10
Considerando la matriz cuadrada de tamaño dos, descompongamos los elementos de la columna .
Descomponemos los elementos de la columna en dos sumandos y calculamos los determinantes respectivos para verificar que la suma de estos es igual al determinante de .
Ejemplo 11
Considerando la matriz cuadrada de tamaño dos, descompongamos los elementos de la fila .
Descomponemos los elementos de la fila en dos sumandos y calculamos los determinantes respectivos para verificar que la suma de estos es igual al determinante de .
Ejemplo 12
Considerando la matriz cuadrada de tamaño dos, descompongamos los elementos de la columna .
Descomponemos los elementos de la columna en dos sumandos y calculamos los determinantes respectivos para verificar que la suma de estos es igual al determinante de .
Determinante de multiplicar un escalar por una fila o columna
Si consideramos una matriz , el determinante de la matriz que resulta al multiplicar una fila o una columna por un escalar es exactamente igual al determinante de la matriz multiplicada por el escalar , es decir,
ó
Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes,
Ejemplos
Ejemplo 13
Considerando la matriz cuadrada de tamaño dos, podemos notar que al multiplicar una fila por el escalar , el determinante de la matriz resultante es igual a .
Multiplicamos la fila 1 por la el escalar 9 y calculamos el determinante de la matriz resultante.
Ejemplo 14
Considerando la matriz cuadrada de tamaño dos, podemos notar que al multiplicar una fila por el escalar , el determinante de la matriz resultante es igual a .
Multiplicamos la fila 2 por la el escalar 5 y calculamos el determinante de la matriz resultante.
Ejemplo 15
Considerando la matriz cuadrada de tamaño tres, podemos notar que al multiplicar una fila por el escalar , el determinante de la matriz resultante es igual a .
Multiplicamos la fila 2 por la el escalar 6 y calculamos el determinante de la matriz resultante.
Ejemplo 16
Considerando la matriz cuadrada de tamaño tres, podemos notar que al multiplicar una fila por el escalar , el determinante de la matriz resultante es igual a .
Multiplicamos la columna 1 por la el escalar 4 y calculamos el determinante de la matriz resultante.
Determinante de multiplicar un escalar por una matriz
Si consideramos una matriz cuadrada de tamaño , el determinante de la matriz que resulta al multiplicar esta matriz por un escalar es exactamente igual al determinante de la matriz multiplicada por el escalar elevado a la , es decir,
Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes,
Ejemplos
Ejemplo 17
Considerando la matriz cuadrada de tamaño dos, podemos notar que al multiplicar esta matriz por el escalar , el determinante de la matriz resultante es igual a .
Multiplicamos la matriz por la el escalar 3 y calculamos el determinante de la matriz resultante.
Ejemplo 18
Considerando la matriz cuadrada de tamaño tres, podemos notar que al multiplicar esta matriz por el escalar , el determinante de la matriz resultante es igual a .
Multiplicamos la matriz por la el escalar 6 y calculamos el determinante de la matriz resultante.
Determinante de una matriz con fila o columna cero
Si consideramos una matriz tal que al menos una de sus filas o una de sus columnas está compuesta de ceros, el determinante esta matriz es igual a cero.
Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.
Ejemplos
Ejemplo 19
Considerando la matriz cuadrada de tamaño dos, podemos notar que si una de sus filas es igual a cero, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.
Ejemplo 20
Considerando la matriz cuadrada de tamaño dos, podemos notar que si una de sus columnas es igual a cero, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.
Ejemplo 21
Considerando la matriz cuadrada de tamaño tres, podemos notar que si una de sus filas es igual a cero, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.
Ejemplo 22
Considerando la matriz cuadrada de tamaño tres, podemos notar que si una de sus columnas es igual a cero, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.
Determinante de una matriz con filas o columnas iguales
Si consideramos una matriz tal que al menos dos de sus filas o al menos dos de sus columnas son iguales, el determinante esta matriz es igual a cero. Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.
ó
Ejemplos
Ejemplo 23
Considerando la matriz cuadrada de tamaño dos, podemos notar que si una de sus filas o sus columnas es igual a otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.
Ejemplo 24
Considerando la matriz cuadrada de tamaño dos, podemos notar que si una de sus filas es igual a otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.
Ejemplo 25
Considerando la matriz cuadrada de tamaño tres, podemos notar que si una de sus columnas es igual a otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.
Determinante de una matriz con fila o columna proporcional a otra
Si consideramos una matriz tal que al menos una de sus filas o al menos una de sus columnas es proporcional a otra, es decir, que está expresada como un múltiplo de otra, el determinante esta matriz es igual a cero.
ó
Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.
Ejemplos
Ejemplo 26
Considerando la matriz cuadrada de tamaño dos, podemos notar que si una de sus filas es proporcional otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.
Ejemplo 27
Considerando la matriz cuadrada de tamaño dos, podemos notar que si una de sus columnas es proporcional otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.
Ejemplo 28
Considerando la matriz cuadrada de tamaño tres, podemos notar que si una de sus filas es proporcional a otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.
Ejemplo 29
Considerando la matriz cuadrada de tamaño tres, podemos notar que si una de sus columnas es proporcional a otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.
Determinante de una matriz con filas o columnas linealmente dependientes
Si consideramos una matriz tal que el conjunto de sus filas o el conjunto de sus columnas es linealmente dependiente, es decir, tal que al menos una de sus filas o al menos de sus columnas está expresada como combinación lineal de las otras, el determinante esta matriz es igual a cero.
También podemos afirmar que si las filas o las columnas de una matriz son linealmente independientes, entonces su determinante es distinto de cero.
Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.
Ejemplos
Ejemplo 30
Considerando la matriz cuadrada de tamaño tres, podemos notar que la fila está expresada como combinación lineal de las otras filas, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.
Ejemplo 31
Considerando la matriz cuadrada de tamaño tres, podemos notar que la fila está expresada como combinación lineal de las otras filas, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.
Ejemplo 32
Considerando la matriz cuadrada de tamaño tres, podemos notar que la columna está expresada como combinación lineal de las otras columnas, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.
Ejemplo 33
Considerando la matriz cuadrada de tamaño tres, podemos notar que la columna está expresada como combinación lineal de las otras columnas, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.
Determinante de una matriz con intercambio de filas o columnas
Si consideramos una matriz , el determinante de la matriz que resulta de intercambiar dos filas o columnas es exactamente igual al determinante de la matriz pero con signo contrario, es decir, igual a .
Formalmente, si intercambiamos la fila por la , tenemos que
Por otra parte, si intercambiamos la columna por la , tenemos que
Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes,
Ejemplos
Ejemplo 34
Considerando la matriz cuadrada de tamaño dos, podemos notar que al intercambiar dos filas, el determinante de la matriz resultante es igual a .
Intercambiamos la fila 1 por la fila 2 y calculamos el determinante de la matriz resultante.
Ejemplo 35
Considerando la matriz cuadrada de tamaño dos, podemos notar que al intercambiar dos columnas, el determinante de la matriz resultante es igual a .
Intercambiamos la columna 1 por la columna 2 y calculamos el determinante de la matriz resultante.
Ejemplo 36
Considerando la matriz cuadrada de tamaño tres, podemos notar que al intercambiar dos filas, el determinante de la matriz resultante es igual a .
Intercambiamos la fila 1 por la fila 2 y calculamos el determinante de la matriz resultante.
Ejemplo 37
Considerando la matriz cuadrada de tamaño tres, podemos notar que al intercambiar dos columnas, el determinante de la matriz resultante es igual a .
Intercambiamos la columna 1 por la columna 3 y calculamos el determinante de la matriz resultante.
Determinante de una matriz con filas o columnas sumadas
Si consideramos una matriz , el determinante de la matriz que resulta de sumar dos filas o columnas es exactamente igual al determinante de la matriz .
ó
Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.
Ejemplos
Ejemplo 38
Considerando la matriz cuadrada de tamaño tres, podemos notar que al sumar la fila a la fila , el determinante de la matriz resultante es igual a .
Sumamos la fila a la fila .
Ejemplo 39
Considerando la matriz cuadrada de tamaño tres, podemos notar que al sumar la fila a la fila , el determinante de la matriz resultante es igual a .
Sumamos la fila a la fila .
Ejemplo 40
Considerando la matriz cuadrada de tamaño tres, podemos notar que al sumar la columna a la columna , el determinante de la matriz resultante es igual a .
Sumamos la columna a la columna .
Ejemplo 41
Considerando la matriz cuadrada de tamaño tres, podemos notar que al sumar la columna a la columna , el determinante de la matriz resultante es igual a .
Sumamos la columna a la columna .
Determinante de una matriz con suma de filas o columnas multiplicadas por un escalar
Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.
Ejemplos
Ejemplo 42
Considerando la matriz cuadrada de tamaño tres, podemos notar que al sumar la fila a la fila multiplicada por , el determinante de la matriz resultante es igual a .
Sumamos la fila a la fila multiplicada por .
Ejemplo 43
Considerando la matriz cuadrada de tamaño tres, podemos notar que al sumar la fila a la fila multiplicada por , el determinante de la matriz resultante es igual a .
Sumamos la fila a la fila multiplicada por .
Ejemplo 44
Considerando la matriz cuadrada de tamaño tres, podemos notar que al sumar la columna a la columna multiplicada por , el determinante de la matriz resultante es igual a .
Sumamos la columna a la columna multiplicada por .
Ejemplo 45
Considerando la matriz cuadrada de tamaño tres, podemos notar que al sumar la columna a la columna multiplicada por , el determinante de la matriz resultante es igual a .
Sumamos la columna a la columna multiplicada por .
Determinante de la Matriz Inversa
Si consideramos una matriz no-singular, definimos la matriz inversa de como una nueva matriz que cumple con la siguiente condición:
El determinante de la matriz inversa de se puede deducir fácilmente de las otras propiedades y es exactamente igual al inverso multiplicativo del determinante de , es decir,
Si bien hemos podido definir operaciones entre matrices, es posible definir operaciones entre y sobre las filas de una matriz y de igual manera, es posible definir operaciones entre y sobre las columnas de una matriz. Veremos además, que al aplicar estas operaciones, podemos deducir el determinante de la nueva matriz a partir de la matriz original.
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Operaciones elementales por fila
Veamos a continuación cuales son las operaciones que podemos definir sobre y entre las filas de una matriz.
Intercambio de filas de una matriz
Si y son dos filas de una matriz de tamaño , tales que , denotamos el intercambio de estas dos filas usando la notación y la expresamos de la siguiente manera:
Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.
Ejemplos
Ejemplo 1
Consideremos una matriz de tamaño e intercambiemos la fila por la fila , entonces,
Ejemplo 2
Consideremos una matriz de tamaño e intercambiemos la fila por la fila , entonces,
Ejemplo 3
Consideremos una matriz de tamaño e intercambiemos la fila por la fila , entonces,
Ejemplo 4
Consideremos una matriz de tamaño e intercambiemos la fila por la fila , entonces,
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Suma de filas de una matriz
Si y son dos filas de una matriz de tamaño , tales que . Podemos considerar la fila y sumarle la fila , es decir, sumar los términos correspondientes, para esto usamos la notación y la expresamos de la siguiente manera:
Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.
Ejemplos
Ejemplo 5
Consideremos una matriz de tamaño y a la fila le sumamos la fila , entonces,
Ejemplo 6
Consideremos una matriz de tamaño y a la fila le sumamos la fila , entonces,
Ejemplo 7
Consideremos una matriz de tamaño y a la fila le sumamos la fila , entonces,
Fe de erratas: El elemento resultante es igual a .
Ejemplo 8
Consideremos una matriz de tamaño y a la fila le sumamos la fila , entonces,
Fe de erratas: El elemento resultante es igual a .
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Multiplicar una fila de una matriz por un escalar
Si es una fila de una matriz de tamaño . Podemos considerar la fila y multiplicarla por un escalar , para esto usamos la notación y la expresamos de la siguiente manera:
Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.
Ejemplos
Ejemplo 9
Consideremos una matriz de tamaño y multipliquemos la fila por el escalar , entonces,
Ejemplo 10
Consideremos una matriz de tamaño y multipliquemos la fila por el escalar , entonces,
Ejemplo 11
Consideremos una matriz de tamaño y multipliquemos la fila por el escalar , entonces,
Ejemplo 12
Consideremos una matriz de tamaño y multipliquemos la fila por el escalar , entonces,
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Sumar una fila de una matriz multiplicada por un escalar
Finalmente, veremos una operación elemental que de cierta forma mezcla efectúa varias operaciones al mismo tiempo. Si y son dos filas de una matriz de tamaño , tales que . Podemos considerar la fila y sumarle la fila multiplicada por un escalar , para esto usamos la notación y la expresamos de la siguiente manera:
Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.
Ejemplos
Ejemplo 13
Consideremos una matriz de tamaño y a la fila le sumamos la fila multiplicada por , entonces,
Ejemplo 14
Consideremos una matriz de tamaño y a la fila le sumamos la fila multiplicada por , entonces,
Ejemplo 15
Consideremos una matriz de tamaño y a la fila le sumamos la fila multiplicada por , entonces,
Notemos que en este caso estamos definiendo la resta de filas de una matriz.
Ejemplo 16
Consideremos una matriz de tamaño y a la fila le sumamos la fila multiplicada por , entonces,
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Matrices equivalentes por filas
Una vez que se ha hecho una operación elemental por fila a una matriz, se pueden seguir haciendo operaciones elementales por fila a las matrices resultantes de forma sucesiva. Diremos que si una matriz se obtiene a partir de una matriz a través de una sucesión finita de operaciones elementales por filas, entonces diremos que las matrices y son matrices equivalentes por filas y esta relación la denotaremos por
Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.
Ejemplo
Consideremos una matriz de tamaño , haciendo operaciones elementales por fila de forma sucesiva, veamos que esta es equivalente a la matriz identidad .
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Operaciones elementales por columna
Veamos a continuación cuales son las operaciones que podemos definir sobre y entre las filas de una matriz.
Intercambio de columnas de una matriz
Si y son dos columnas de una matriz de tamaño , tales que , denotamos el intercambio de estas dos columnas usando la notación y la expresamos de la siguiente manera:
Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.
Ejemplos
Ejemplo 17
Consideremos una matriz de tamaño e intercambiemos la columna por la columna , entonces,
Ejemplo 18
Consideremos una matriz de tamaño e intercambiemos la columna por la columna , entonces,
Ejemplo 19
Consideremos una matriz de tamaño e intercambiemos la columna por la columna , entonces,
Ejemplo 20
Consideremos una matriz de tamaño e intercambiemos la columna por la columna , entonces,
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Suma de columnas de una matriz
Si y son dos columnas de una matriz de tamaño , tales que . Podemos considerar la columna y sumarle la columna , es decir, sumar los términos correspondientes, para esto usamos la notación y la expresamos de la siguiente manera:
Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.
Ejemplos
Ejemplo 21
Consideremos una matriz de tamaño y a la columna le sumamos la columna , entonces,
Ejemplo 22
Consideremos una matriz de tamaño y a la columna le sumamos la columna , entonces,
Ejemplo 23
Consideremos una matriz de tamaño y a la columna le sumamos la columna , entonces,
Ejemplo 24
Consideremos una matriz de tamaño y a la columna le sumamos la columna , entonces,
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Multiplicar una columna de una matriz por un escalar
Si es una columna de una matriz de tamaño . Podemos considerar la columna y multiplicarla por un escalar , para esto usamos la notación y la expresamos de la siguiente manera:
Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.
Ejemplos
Ejemplo 25
Consideremos una matriz de tamaño y multipliquemos la columna por el escalar , entonces,
Ejemplo 26
Consideremos una matriz de tamaño y multipliquemos la columna por el escalar , entonces,
Ejemplo 27
Consideremos una matriz de tamaño y multipliquemos la columna por el escalar , entonces,
Ejemplo 28
Consideremos una matriz de tamaño y multipliquemos la columna por el escalar , entonces,
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Sumar una columna de una matriz multiplicada por un escalar
Finalmente, veremos una operación elemental que de cierta forma mezcla efectúa varias operaciones al mismo tiempo. Si y son dos columnas de una matriz de tamaño , tales que . Podemos considerar la columna y sumarle la columna multiplicada por un escalar , para esto usamos la notación y la expresamos de la siguiente manera:
Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.
Ejemplos
Ejemplo 29
Consideremos una matriz de tamaño y a la columna le sumamos la columna multiplicada por , entonces,
Ejemplo 30
Consideremos una matriz de tamaño y a la columna le sumamos la columna multiplicada por , entonces,
Ejemplo 31
Consideremos una matriz de tamaño y a la columna le sumamos la columna multiplicada por , entonces,
Notemos que en este caso estamos definiendo la resta de columnas.
Ejemplo 32
Consideremos una matriz de tamaño y a la columna le sumamos la columna multiplicada por , entonces,
. Calcule la matriz inversa usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.
. Calcule la matriz inversa usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.
es escalonada reducida si esta cumple con las siguientes condiciones:
para todo 
, entonces, 
para todo 
.
y 
, entonces 
son distintas de cero tales que 
y; 
y 
son los primeros elementos distintos de cero de sus filas respectivas, entonces 
.
para todo 
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considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.
considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.
por -1
a la fila 
a la fila 
a la fila 
a la fila 
a la fila 
a la fila 
a la fila 
a la fila 
a la fila 
, el determinante del 
es exactamente igual al determinante de la matriz 
es exactamente igual al determinante de la matriz 
.
.
de la fila 
, entonces tenemos que
.
es exactamente igual al determinante de la matriz 
, el determinante de la matriz resultante es igual a 
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, el determinante de la matriz resultante es igual a 
.
, el determinante de la matriz resultante es igual a 
.
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.
.
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, el determinante de la matriz resultante es igual a 
, el determinante de la matriz resultante es igual a 
que cumple con la siguiente condición:
y la expresamos de la siguiente manera:
e intercambiemos la fila 
e intercambiemos la fila 
y la expresamos de la siguiente manera:
es igual a 
es igual a 
y la expresamos de la siguiente manera:
, entonces,
y la expresamos de la siguiente manera:
.
y la expresamos de la siguiente manera:
y la expresamos de la siguiente manera:
y la expresamos de la siguiente manera:
y la expresamos de la siguiente manera:
totumat 
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