Al calcular determinantes, podemos notar que si expandimos todos productos cuando aplicamos el Método de Laplace, podemos reordenar los sumandos y establecer un método que nos permita recordar con facilidad la forma en que calculamos determinantes. Consideremos el siguiente determinante de una matriz $A$ y veamos los pasos para calcularlo.

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Primero añadimos dos columnas adicionales que sean iguales a las primeras dos columnas de la matriz original.

Para cada diagonal azul, multiplicamos los elementos que esta contiene.

$a_{11} a_{22} a_{33} \text{, } a_{12} a_{23} a_{31} \text{ y } a_{13} a_{21} a_{32}$

Para cada diagonal roja, multiplicamos los elementos que esta contiene.

$a_{13} a_{22} a_{31} \text{, } a_{11} a_{23} a_{32} \text{ y } a_{12} a_{21} a_{33}$

Finalmente, para calcular el determinante, sumamos todos los productos generados por las diagonales azules y restamos todos los productos generados por las diagonales rojas:

$a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - (a_{13} a_{22} a_{31} + a_{11} a_{23} a_{32} + a_{12} a_{21} a_{33})$

Este método es llamado Método de Sarrus y vulgarmente se conoce como el Método de La Lluvia a partir de una regla mnemotécnica pues las rayas que se trazan como guía para hacer los productos correspondientes se asemejan a la lluvia. Veamos con algunos ejemplos cómo aplicar este método.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, calcule su determinante.

$= ( -40 ) + ( 175 ) + ( -64 ) - ( 100 ) - ( -40 ) - ( -112 )$

$= 123$

Ejemplo 2

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, calcule su determinante.

$= ( 216 ) + ( 90 ) + ( -72 ) - ( -48 ) - ( 72 ) - ( 405 )$

$= -195$

Ejemplo 3

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, calcule su determinante.

$= ( 36 ) + ( -216 ) + ( 150 ) - ( 45 ) - ( -216 ) - ( 120 )$

$= 21$

Ejemplo 4

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, calcule su determinante.

$= ( 48 ) + ( 49 ) + ( -162 ) - ( 18 ) - ( 126 ) - ( -168 )$

$= -41$

Determinantes – Método de Laplace

20.06.202020.02.2025 Anthonny Arias-García3 comentarios

El Método de Laplace
1. Ejemplos

Habiendo definido los cofactores de una matriz, podemos establecer un método que nos permite calcular el determinante de cualquier matriz cuadrada de tamaño $n$ .

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El Método de Laplace

Al considerar una columna $j$ , el Método de Laplace indica que el determinante de una matriz se calcula de la siguiente manera:

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \cdot c(a_{ij})$

En otras palabras, debemos escoger una columna, multiplicar cada elemento de la columna por su cofactor y sumar estos productos. Veamos el caso para una matriz cuadrada $A$ de tamaño tres para tener esta idea más clara, formalmente,

Podemos calcular su determinante escogiendo la primera columna y plantear la siguiente suma:

Determinantes - Método de Laplace | totumat.com

Podemos calcular su determinante escogiendo la segunda columna y plantear la siguiente suma:

Podemos calcular su determinante escogiendo la tercera columna y plantear la siguiente suma:

Veamos entonces, con algunos ejemplos como calcular determinantes de matrices cuadradas de tamaño tres.