Menores y Cofactores

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Menor de una matriz

Si $A$ es una matriz cuadrada de tamaño $n$ , es decir, de tamaño $n \times n$ . Para cada elemento $ij$ , definimos el menor del elemento $ij$ (o la submatriz principal $ij$ de $A$ ) como la matriz que resulta al eliminar la fila $i$ y la columna $j$ de la matriz $A$ . Lo denotamos como $m_{ij}(A)$ o $m(a_{ij})$ y escrito de forma exhaustiva, tenemos

Cofactor de una matriz

Una vez definidos los menores de una matriz, definimos cofactor del elemento $ij$ multiplicando $(-1)^{i+j}$ por el determinante del menor del elemento $ij$ . Lo denotamos como $c_{ij}(A)$ o $c(a_{ij})$ y escrito de forma exhaustiva, tenemos

A esta expresión también se le conoce en algunos textos como el adjunto de $a_{ij}$ y se denota como $A_{ij}$ , y aunque esta expresión luce monstruosamente fea, veamos con algunos ejemplos como calcular los cofactores de una matriz cuadrada de tamaño tres.

Ejemplos: Cálculo de cofactores

Ejemplo 1

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, el cofactor $c(a_{ 3 3 })$ .

$= (-1)^6 \cdot \big[ ( -5 )\cdot( -4 ) - ( 4 ) \cdot ( 0 ) \big]$

$= (1) \cdot [ 20 - ( 0 )]$

$= (1) \cdot 20$

$= 20$

Ejemplo 2

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, el cofactor $c(a_{ 3 1 })$ .

$= (-1)^4 \cdot \big[ ( -1 )\cdot( 8 ) - ( -8 ) \cdot ( 3 ) \big]$

$= (1) \cdot [ -8 - ( -24 )]$

$= (1) \cdot [ -8 + 24 ]$

$= (1) \cdot 16$

$= 16$

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Ejemplo 3

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, el cofactor $c(a_{ 2 1 })$ .

$= (-1)^3 \cdot \big[ ( 7 )\cdot( 5 ) - ( -2 ) \cdot ( 1 ) \big]$

$= (-1) \cdot [ 35 - ( -2 )]$

$= (-1) \cdot [ 35 + 2 ]$

$= (-1) \cdot 37$

$= -37$

Ejemplo 4

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, el cofactor $c(a_{ 1 1 })$ .

$= (-1)^2 \cdot \big[ ( 6 )\cdot( 7 ) - ( 0 ) \cdot ( 9 ) \big]$

$= (1) \cdot [ 42 - (0)]$

$= (1) \cdot [ 42 ]$

$= 42$

Ejemplo 5

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, el cofactor $c(a_{ 2 2 })$ .

$= (-1)^4 \cdot \big[ ( -6 )\cdot( -6 ) - ( -6 ) \cdot ( -2 ) \big]$

$= (1) \cdot [ 36 - ( 10 )]$

$= (1) \cdot [ 36 - 10 ]$

$= (1) \cdot 26$

$= 26$