Si bien hemos podido definir operaciones entre matrices, es posible definir operaciones entre y sobre las filas de una matriz y de igual manera, es posible definir operaciones entre y sobre las columnas de una matriz. Veremos además, que al aplicar estas operaciones, podemos deducir el determinante de la nueva matriz a partir de la matriz original.

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Intercambio de filas de una matriz

Si $i$ y $j$ son dos filas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ , denotamos el intercambio de estas dos filas usando la notación $f_i \longleftrightarrow f_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 1

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ e intercambiemos la fila $1$ por la fila $2$ , entonces,

Ejemplo 2

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ e intercambiemos la fila $1$ por la fila $3$ , entonces,

Ejemplo 3

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ e intercambiemos la fila $3$ por la fila $2$ , entonces,

Ejemplo 4

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ e intercambiemos la fila $1$ por la fila $3$ , entonces,

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Suma de filas de una matriz

Si $i$ y $j$ son dos filas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ . Podemos considerar la fila $i$ y sumarle la fila $j$ , es decir, sumar los términos correspondientes, para esto usamos la notación $f_i \longrightarrow f_i + f_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 5

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y a la fila $1$ le sumamos la fila $2$ , entonces,

Ejemplo 6

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y a la fila $1$ le sumamos la fila $3$ , entonces,

Ejemplo 7

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y a la fila $3$ le sumamos la fila $2$ , entonces,

Fe de erratas: El elemento resultante $a_{31}$ es igual a $-3$ .

Ejemplo 8

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y a la fila $5$ le sumamos la fila $1$ , entonces,

Fe de erratas: El elemento resultante $a_{51}$ es igual a $11$ .

Multiplicar una fila de una matriz por un escalar

Si $i$ es una fila de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ . Podemos considerar la fila $i$ y multiplicarla por un escalar $k$ , para esto usamos la notación $f_i \longrightarrow k \cdot f_i$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 9

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y multipliquemos la fila $1$ por el escalar $5$ , entonces,

Ejemplo 10

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y multipliquemos la fila $3$ por el escalar $-1$ , entonces,

Ejemplo 11

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y multipliquemos la fila $2$ por el escalar $10$ , entonces,

Ejemplo 12

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y multipliquemos la fila $5$ por el escalar $-4$ , entonces,

Sumar una fila de una matriz multiplicada por un escalar

Finalmente, veremos una operación elemental que de cierta forma mezcla efectúa varias operaciones al mismo tiempo. Si $i$ y $j$ son dos filas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ . Podemos considerar la fila $i$ y sumarle la fila $j$ multiplicada por un escalar $k$ , para esto usamos la notación $f_i \longrightarrow f_i + k \cdot f_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 13

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y a la fila $1$ le sumamos la fila $2$ multiplicada por $5$ , entonces,

Ejemplo 14

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y a la fila $1$ le sumamos la fila $3$ multiplicada por $2$ , entonces,

Ejemplo 15

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y a la fila $3$ le sumamos la fila $2$ multiplicada por $-1$ , entonces,

Notemos que en este caso estamos definiendo la resta de filas de una matriz.

Ejemplo 16

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y a la fila $5$ le sumamos la fila $1$ multiplicada por $10$ , entonces,

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Una vez que se ha hecho una operación elemental por fila a una matriz, se pueden seguir haciendo operaciones elementales por fila a las matrices resultantes de forma sucesiva. Diremos que si una matriz $B$ se obtiene a partir de una matriz $A$ a través de una sucesión finita de operaciones elementales por filas, entonces diremos que las matrices $A$ y $B$ son matrices equivalentes por filas y esta relación la denotaremos por

$A \stackrel{f}{\sim} B$

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplo

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ , haciendo operaciones elementales por fila de forma sucesiva, veamos que esta es equivalente a la matriz identidad $\mathbf{I}$ .

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Si $i$ y $j$ son dos columnas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ , denotamos el intercambio de estas dos columnas usando la notación $c_i \longleftrightarrow c_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 17

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ e intercambiemos la columna $1$ por la columna $2$ , entonces,

Ejemplo 18

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ e intercambiemos la columna $1$ por la columna $3$ , entonces,

Ejemplo 19

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ e intercambiemos la columna $3$ por la columna $2$ , entonces,

Ejemplo 20

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ e intercambiemos la columna $1$ por la columna $2$ , entonces,

Suma de columnas de una matriz

Si $i$ y $j$ son dos columnas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ . Podemos considerar la columna $i$ y sumarle la columna $j$ , es decir, sumar los términos correspondientes, para esto usamos la notación $c_i \longrightarrow c_i + c_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 21

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y a la columna $1$ le sumamos la columna $2$ , entonces,

Ejemplo 22

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y a la columna $1$ le sumamos la columna $3$ , entonces,

Ejemplo 23

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y a la columna $3$ le sumamos la columna $2$ , entonces,

Ejemplo 24

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y a la columna $2$ le sumamos la columna $1$ , entonces,

Multiplicar una columna de una matriz por un escalar

Si $i$ es una columna de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ . Podemos considerar la columna $i$ y multiplicarla por un escalar $k$ , para esto usamos la notación $c_i \longrightarrow k \cdot c_i$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 25

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y multipliquemos la columna $1$ por el escalar $5$ , entonces,

Ejemplo 26

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y multipliquemos la columna $3$ por el escalar $-1$ , entonces,

Ejemplo 27

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y multipliquemos la columna $2$ por el escalar $10$ , entonces,

Ejemplo 28

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y multipliquemos la columna $1$ por el escalar $-4$ , entonces,

Sumar una columna de una matriz multiplicada por un escalar

Finalmente, veremos una operación elemental que de cierta forma mezcla efectúa varias operaciones al mismo tiempo. Si $i$ y $j$ son dos columnas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ . Podemos considerar la columna $i$ y sumarle la columna $j$ multiplicada por un escalar $k$ , para esto usamos la notación $c_i \longrightarrow c_i + k \cdot c_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 29

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y a la columna $1$ le sumamos la columna $2$ multiplicada por $5$ , entonces,

Ejemplo 30

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y a la columna $1$ le sumamos la columna $3$ multiplicada por $2$ , entonces,

Ejemplo 31

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y a la columna $3$ le sumamos la columna $2$ multiplicada por $-1$ , entonces,

Notemos que en este caso estamos definiendo la resta de columnas.

Ejemplo 32

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y a la columna $2$ le sumamos la columna $1$ multiplicada por $10$ , entonces,

4 comentarios en “Operaciones entre filas y columnas de una matriz”

Carlos Briceño dice:

07.05.2024 a las 9:30 pm

Hola, muchas gracias por su explicación, tengo una consulta, en el ejemplo 7, el término A3,1 = 3, debería ser -1? ya que la operación suma 7+ (-8) = -1 en fila 3?

Y en el ejemplo 8, el término A5,1 = 13, debería ser 11?, ya que la operación suma: 8+3 =11 en fila 5?

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- Anthonny Arias-García dice:
  
  08.05.2024 a las 9:03 pm
  
  Saludos, Carlos.
  
  Estoy observando lo que me señala y en efecto, hay un error el ejemplo 7, ya que si a la Fila 3 le sumamos la fila 2, entonces el elemento A31 es-8+5=-3-. Sin embargo, yo escribí -3.
  
  También lo que señala en el Ejemplo 8, ya que si a la Fila 5 le sumamos la fila 1, entonces el elemento A51 es 8+3=11. Sin embargo, yo escribí 13.
  
  ¡Muchas gracias por su aporte!
  
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Operaciones elementales por fila

Intercambio de filas de una matriz

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

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Ejemplos

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

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Multiplicar una fila de una matriz por un escalar

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Sumar una fila de una matriz multiplicada por un escalar

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Ejemplo 17

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Ejemplo 22

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Multiplicar una columna de una matriz por un escalar

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Ejemplo 25

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Sumar una columna de una matriz multiplicada por un escalar

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Ejemplo 29

Ejemplo 30

Ejemplo 31

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