La Regla de la Cadena

Consideremos un ejemplo muy particular, supongamos que queremos calcular la derivada de la función $f(x) = (x+3)^2$ . Conociendo solamente las reglas de derivación de suma, resta, multiplicación y división, la estrategia intuitiva es expandir la expresión aplicando el producto notable para obtener $f(x) = x^2 + 6x +9$ y posteriormente derivar cada sumando para obtener que

$f'(x) = 2x + 6$

Consideremos ahora una función levemente distinta, supongamos que queremos calcular la derivada de la función $f(x) = (x+3)^{20}$ . Pudiéramos pensar en expandir la expresión con alguna técnica como el triángulo de pascal pero este proceso es sumamente engorroso, más aún si consideramos un exponente más grande como $f(x) = (x+3)^{200}$ . Entonces, debemos desarrollar otra regla que nos permita calcular la derivada de este tipo de funciones.

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Derivada de una función compuesta (Regla de la Cadena)

Si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones tales que $(g \circ f)(x)$ es su composición, entonces definimos la derivada de esta composición de la siguiente forma:

$(g \circ f)'(x) = g'\big( f(x) \big) \cdot f'(x)$

Esta regla para calcular la derivada de una función compuesta se conoce como la Regla de la Cadena y nos permite calcular las derivada de funciones que no están expresadas como operaciones básicas entre funciones elementales. A partir de ella consideraremos algunos casos específicos para facilitar su comprensión.

Regla de la Potencia

Si $g(x) = x^n$ , entonces la composición $(g \circ f)(x)$ está expresada de la forma $= \big[ f(x) \big]^n$ , es decir, la función $f(x)$ está elevada a la n-ésima potencia. De esta forma, al aplicar la regla de la cadena para calcular la derivada de esta composición obtenemos que

$\left[ \big( f(x) \big)^n \right]' = n \big( f(x) \big)^{n-1} \cdot f'(x)$

A esta regla la llamamos regla de la potencia y nos presenta una generalización de la derivada $(x^n)' = nx^{n-1}$ .

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la función $f(x) = (x+3)^2$ , notamos que la función $(x+3)$ está elevada a la segunda potencia, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la potencia de la siguiente forma:

$f'(x) = 2(x+3)^{2-1} \cdot (x+3)'$

$= 2(x+3)^{1} \cdot (1+0)$

$= 2(x+3)$

Que a su vez, será igual a $2x+6$ tal como vimos al inicio de esta lección.

Ejemplo 2

Considerando la función $f(x) = (x+3)^2$ , notamos que la función $(x+3)$ está elevada a la vigésima potencia, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la potencia de la siguiente forma:

$f'(x) = 20(x+3)^{20-1} \cdot (x+3)'$

$= 20(x+3)^{19} \cdot (1+0)$

$= 20(x+3)^{19}$

Ejemplo 3

Considerando la función $f(x) = (-5x+1)^{13}$ , notamos que la función $(-5x+1)$ está elevada a la décima tercera potencia, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la potencia de la siguiente forma:

$f'(x) = 13(-5x+1)^{13-1} \cdot (-5x+1)'$

$= 13(-5x+1)^{12} \cdot (-5+0)$

$= -65(-5x+1)^{12}$

Ejemplo 4

Considerando la función $f(x) = (3x^2-7)^{8}$ , notamos que la función $(3x^2-7)$ está elevada a la octava potencia, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la potencia de la siguiente forma:

$f'(x) = 8(3x^2-7)^{8-1} \cdot (3x^2-7)'$

$= 8(3x^2-7)^{7} \cdot (6x)$

$= 48x(3x^2-7)^{7}$

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Regla de la Exponencial

Si $g(x) = \textit{\Large e}^x$ , entonces $(g \circ f)(x) = \textit{\large e}^{f(x)}$ . De esta forma, al aplicar la regla de la cadena para calcular la derivada de esta composición obtenemos que

$\left[ \textit{\huge e}^{f(x)} \right]' = \textit{\huge e}^{f(x)} \cdot f'(x)$

A esta regla la llamamos regla de la exponencial y nos presenta una generalización de la derivada $(\textit{\Large e}^x)' = \textit{\Large e}^x$ .

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando la función $f(x) = \textit{\Large e}^{x+3}$ , notamos que la función $(x+3)$ está en el exponente de la función exponencial, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la exponencial de la siguiente forma:

$f'(x) = \textit{\Large e}^{x+3} \cdot (x+3)'$

$= \textit{\Large e}^{x+3} \cdot (1)$

$= \textit{\Large e}^{x+3}$

Ejemplo 6

Considerando la función $f(x) = \textit{\Large e}^{-5x+1}$ , notamos que la función $-5x+1$ está en el exponente de la función exponencial, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la exponencial de la siguiente forma:

$f'(x) = \textit{\Large e}^{-5x+1} \cdot (-5x+1)'$

$= \textit{\Large e}^{-5x+1} \cdot (-5)$

$= -5\textit{\Large e}^{-5x+1}$

Ejemplo 7

Considerando la función $f(x) = \textit{\Large e}^{3x^2-7}$ , notamos que la función $3x^2-7$ está en el exponente de la función exponencial, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la exponencial de la siguiente forma:

$f'(x) = \textit{\Large e}^{3x^2-7} \cdot (3x^2-7)'$

$= \textit{\Large e}^{3x^2-7} \cdot (6x)$

$= 6x\textit{\Large e}^{3x^2-7}$

Ejemplo 8

Considerando la función $f(x) = \textit{\Large e}^{(x+3)^2}$ , notamos que la función $(x+3)^2$ está en el exponente de la función exponencial, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la exponencial de la siguiente forma:

$f'(x) = \textit{\Large e}^{(x+3)^2} \cdot \big[ (x+3)^2 \big]'$

$= \textit{\Large e}^{(x+3)^2} \cdot 2(x+3)$

$= 2(x+3)\textit{\Large e}^{(x+3)^2}$

Notemos que este último ejemplo, debimos usar la regla de la potencia para calcular la derivada de $(x+3)^2$ .

Regla del Logaritmo

Si $g(x) = \ln(x)$ , entonces $(g \circ f)(x) = \ln(f(x))$ . De esta forma, al aplicar la regla de la cadena para calcular la derivada de esta composición obtenemos que

$\left[ \ln\big( f(x) \big) \right]' = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)$

A esta regla la llamamos regla del logaritmo y nos presenta una generalización de la derivada $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$ .

Ejemplos

Ejemplo 9

Considerando la función $f(x) = \ln(x+3)$ , notamos que la función $(x+3)$ está en el argumento de la función logaritmo neperiano, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla del logaritmo de la siguiente forma:

$f'(x) = \frac{1}{x+3} \cdot (x+3)'$

$= \frac{1}{x+3} \cdot (1)$

$= \frac{1}{x+3}$

Ejemplo 10

Considerando la función $f(x) = \ln(-5x+1)$ , notamos que la función $(-5x+1)$ está en el argumento de la función logaritmo neperiano, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla del logaritmo de la siguiente forma:

$f'(x) = \frac{1}{-5x+1} \cdot (-5x+1)'$

$= \frac{1}{-5x+1} \cdot (-5)$

$= \frac{-5}{-5x+1}$

Ejemplo 11

Considerando la función $f(x) = \ln(3x^2-7)$ , notamos que la función $(3x^2-7)$ está en el argumento de la función logaritmo neperiano, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla del logaritmo de la siguiente forma:

$f'(x) = \frac{1}{3x^2-7} \cdot (3x^2-7)'$

$= \frac{1}{3x^2-7} \cdot (6x)$

$= \frac{6x}{3x^2-7}$

Ejemplo 12

Considerando la función $f(x) = \ln((x+3)^2)$ , notamos que la función $((x+3)^2)$ está en el argumento de la función logaritmo neperiano, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla del logaritmo de la siguiente forma: