La Ecuación de Demanda

27.10.202025.08.2023 Anthonny Arias-García18 comentarios

Suponga que usted va al supermercado a comprar víveres semanalmente, y ve que un kilo de tomates tiene un precio de $200$ Ps., le parece costoso pero decide llevar un kilo pues los necesita para cocinar. La semana siguiente vuelve al supermercado y ve que un kilo de tomates tiene un precio de $100$ Ps, considerando que está en la mitad del precio de la semana anterior, usted decide llevar tres kilos.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

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Esta situación se presenta de forma general, pues al considerar el precio de un artículo, los consumidores comprarán menos unidades del artículo cuando el precio es alto y comprarán más unidades del artículo cuando el precio es bajo, esto se conoce como la demanda de un artículo.

Entonces, si bien podemos intuir que la demanda de un artículo disminuye a medida que el precio del artículo aumenta, nuestro propósito será el de determinar la forma cuantificable esta relación.

La Curva de Demanda

Para esto, definimos un plano cartesiano cuyos ejes están definidos por la variable precio, denotada por $p$ y la variable cantidad, denotada por $q$ ; para mantener la simplicidad de los modelos, consideraremos una economía simple, es decir, tal que las variables $p$ y $q$ sólo pueden tener valores positivos. De esta forma, nos ubicaremos sólo en el primer cuadrante del plano cartesiano.

Veamos en los siguientes ejemplos, cómo conociendo la demanda y el precio de un artículo en un momento determinado, podemos definir rectas que describen de forma general la demanda del artículo.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que la demanda diaria de zanahoria en una pequeña tienda de verduras de la ciudad es de $1$ kilo cuando el precio es de $20$ Ps. por kilo, y de $4$ kilos cuando el precio es de $15$ Ps. por kilo. ¿Cuál es la ecuación general de la recta que define la relación entre el precio y la demanda? ¿Cuál será la cantidad demandada si fija el precio en $17.5$ Ps.?

Debemos considerar que si la demanda es de 1 kilo cuando el precio es de $20$ Ps., podemos representar esta información como un punto $(p,q)$ el plano cartesiano donde $q=1$ y $p=20$ , es decir, el punto $(1,20)$ ; de igual forma, si la demanda es de $4$ kilos cuando el precio es de $15$ Ps., podemos representar esta información con el punto $(4,15)$ .

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por estos dos usando la ecuación punto-punto. Entonces, si $P_1 = (1,20)$ y $P_2 = (4,15)$ son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

$m = \ \frac{p_2 - p_1}{q_2 - q_1}$
$= \ \frac{15 - 20}{4 - 1}$
$= \ -\frac{5}{3}$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$\ (p - p_1) = m \cdot (q - q_1)$
$\Rightarrow \ (p - 20) = -\frac{5}{3} \cdot (q - 1)$
$\Rightarrow \ p - 20 = -\frac{5}{3} \cdot q + \frac{5}{3}$
$\Rightarrow \ p = -\frac{5}{3} \cdot q + \frac{5}{3} + 20$
$\Rightarrow \ p = -\frac{5}{3} \cdot q + \frac{65}{3}$

La recta que pasa por los puntos $P_1$ y $P_2$ es llamada la Ecuación de Demanda de zanahoria. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente negativa y su gráfica será una recta decreciente.

Para determinar cuál será la cantidad demandada si se fija el precio en $17.5$ Ps. debemos considerar la ecuación de demanda y sustituir el valor $p= 17.5$ en ella, posteriormente se despeja la variable $q$ , de la siguiente forma

$\Rightarrow \ 17.5 = -\frac{5}{3} \cdot q + \frac{65}{3}$
$\Rightarrow \ \frac{5}{3} \cdot q = -17.5 + \frac{65}{3}$
$\Rightarrow \ \frac{5}{3} \cdot q = \frac{25}{6}$
$\Rightarrow \ q = \frac{ \ \frac{25}{6} \ }{\frac{5}{3}}$
$\Rightarrow \ q = \frac{5}{2}$
$\Rightarrow \ q = 2.5$

Por lo tanto, la demanda de zanahoria será de $2,5$ kilos diarios si se fija el precio en $17.5$ Ps.

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Ejemplo 2

Suponga que la demanda mensual de zapatos para dama en una zapatería es de $97$ pares cuando el precio es de $100$ Ps. por par, y de $141$ pares cuando el precio es de $65$ Ps. por par. ¿Cuál es la ecuación general de la recta que define la relación entre el precio y la demanda? ¿Cuál será la cantidad demandada si fija el precio en $90$ Ps.?

Debemos considerar que si la demanda es de $97$ pares cuando el precio es de $100$ Ps., podemos representar esta información con el punto $(97,100)$ ; de igual forma, si la demanda es de $141$ pares cuando el precio es de $65$ Ps., podemos representar esta información con el punto $(141,65)$ .

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por estos dos usando la ecuación punto-punto. Entonces, si $P_1 = (97,100)$ y $P_2 = (141,65)$ son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

$m = \ \frac{p_2 - p_1}{q_2 - q_1}$
$= \ \frac{65 - 100}{141 - 97}$
$= \ -\frac{35}{44}$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$\ (p - p_1) = m \cdot (q - q_1)$
$\Rightarrow \ (p - 65) = -\frac{35}{44} \cdot (q - 141)$
$\Rightarrow \ p - 65 = -\frac{35}{44} \cdot q + \frac{4935}{44}$
$\Rightarrow \ p = -\frac{35}{44} \cdot q + \frac{4935}{44} + 65$
$\Rightarrow \ p = -\frac{35}{44} \cdot q + \frac{7795}{44}$

La recta que pasa por los puntos $P_1$ y $P_2$ es llamada la Ecuación de Demanda de zapatos para dama. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente negativa y su gráfica será una recta decreciente.

Para determinar cual será la cantidad demandada si se fija el precio en $90$ Ps. debemos considerar la ecuación de demanda y sustituir el valor $p = 90$ en ella, posteriormente se despeja la variable $q$ , de la siguiente forma

$\Rightarrow \ 90 = -\frac{35}{44} \cdot q + \frac{7795}{44}$
$\Rightarrow \ \frac{35}{44} \cdot q = -90 + \frac{7795}{44}$
$\Rightarrow \ \frac{35}{44} \cdot q = \frac{3835}{44}$
$\Rightarrow \ q = \frac{ \ \frac{3835}{44} \ }{\frac{35}{44}}$
$\Rightarrow \ q = \frac{767}{7}$
$\Rightarrow \ q \approx 109.57$

Por lo tanto, la demanda de zapatos para damas será de aproximadamente $110$ pares mensuales si se fija el precio en $90$ Ps.

Debemos notar que en ambos ejemplos, las rectas que definen la demanda tienen pendiente negativa y en consecuencia, son rectas decrecientes. Entonces concluimos que de forma general, si $m > 0$ , cualquier ecuación de demanda tiene la forma

$p = -m \cdot q + b$

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Ejercicios propuestos por los usuarios de totumat

Ejercicio 1

¿Me podrían ayudar a resolver el siguiente problema?

El equilibrio de mercado para un producto ocurre cuando se fabrican 13500 unidades a un precio de $45 por unidad, El fabricante no hace oferta de unidades con precio $10 y los consumidores no demandan unidades con precio $200.

Obtener la ecuación de demanda si se supone lineal.
Determinar el precio por unidad cuando se demandan 5000 unidades.

Gracias,
Mary.

Respuesta:

Lo primero que debemos hacer al abordar problemas de este tipo es identificar cuales son los elementos que se presentan para reescribirlos en lenguaje matemático. Estos son:

El punto de equilibrio: $(13500,45)$ .
El fabricante no ofrece cuando el precio es de $10: Este es el punto $(0,10)$ .
Los consumidores no demandan cuando el precio es de $200: Este es el punto $(0,200)$ .

Como se supone que la demanda es lineal, debemos calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos $(0,10)$ y $(13500,45)$ . Para esto aplicamos la ecuación punto-punto:

$(p - 200) = \frac{45-200}{13500-0} \cdot (q - 0)$

$\Rightarrow p - 200 = -\frac{155}{13500} \cdot q$

$\Rightarrow p = -\frac{155}{13500} \cdot q + 200$

Esta última ecuación es la ecuación lineal de demanda y para determinar el precio por unidad cuando se demandan 5000 unidades, basta con sustituir $q=5000$ en la ecuación, esto es:

$p = -\frac{155}{13500} \cdot (5000) + 200 = 142,5926$

Ejercicio 2

Hola, ¿me podría ayudar con este ejercicio? Obtengo como resultado

q = p/-2

No sé si estoy resolviéndolo bien.

El enunciado del ejercicio es el siguiente: Cuando el precio de los relojes es de $1000 dólares, no hay demanda alguna; cuando es gratuito en el mercado se demandan 500 relojes; ¿Cuál es la ecuación de la demanda? Grafique y explique; ¿cuál es el precio techo que se puede vender en el mercado?

Muchas gracias.

Respuesta:

Lo primero que debemos hacer al abordar problemas de este tipo es identificar cuales son los elementos que se presentan para reescribirlos en lenguaje matemático. Estos son:

Cuando el precio de los relojes es de $1000 dólares, no hay demanda alguna: Este es el punto $(0,1000)$ .
Cuando es gratuito en el mercado se demandan 500 relojes: Este es el punto $(500,0)$ .

Como se supone que la demanda es lineal, debemos calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos $(0,1000)$ y $(500,0)$ . Para esto aplicamos la ecuación punto-punto:

$(p - 1000) = \frac{0-1000}{500-0} \cdot (q - 0)$

$\Rightarrow p - 1000 = -\frac{1000}{500} \cdot q$

$\Rightarrow p = -2 \cdot q + 1000$

Posteriormente, podemos hacer un despeje para expresar esta ecuación como $q$ en función de $p$ , para obtener la siguiente ecuación:

$q = -\frac{1}{2} \cdot p + 500$

Esta última ecuación se puede apreciar gráficamente:

Ejercicios Propuestos de Rectas

02.10.2020 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Sean $P_1=(0,5)$ , $P_2=(-2,0)$ , $P_3=(5,1)$ , $P_4=(-6,2)$ , $P_5=(4,-8)$ , $P_6=(-1,-7)$ , $P_7=(1,9)$ y $P_8=(-6,-3)$ puntos del plano cartesiano.

Ecuación Punto-Pendiente

Calcule la ecuación general de la recta que pasa por el punto indicado y tiene pendiente $m$ ; grafíquela.

$P_1$ y $m=2$ , llámela $l_1$ .
$P_2$ y $m=2$ , llámela $l_2$ .
$P_3$ y $m=2$ , llámela $l_3$ .
$P_4$ y $m=2$ , llámela $l_4$ .
$P_5$ y $m=-\frac{1}{2}$ , llámela $l_5$ .
$P_6$ y $m=-\frac{1}{2}$ , llámela $l_6$ .
$P_7$ y $m=-\frac{1}{2}$ , llámela $l_7$ .
$P_8$ y $m=-\frac{1}{2}$ , llámela $l_8$ .
$P_8$ y $m=3$ , llámela $l_9$ .
$P_7$ y $m=4$ , llámela $l_{10}$ .
$P_6$ y $m=5$ , llámela $l_{11}$ .
$P_5$ y $m=6$ , llámela $l_{12}$ .
$P_4$ y $m=-\frac{1}{9}$ , llámela $l_{13}$ .
$P_3$ y $m=-\frac{2}{8}$ , llámela $l_{14}$ .
$P_2$ y $m=-\frac{3}{7}$ , llámela $l_{15}$ .
$P_1$ y $m=-\frac{4}{6}$ , llámela $l_{16}$ .

Punto de Intersección

Basado en los resultados del ejercicio anterior. Verifique si las siguientes rectas son paralelas o no. En caso de intersectarse, verifique si son perpendiculares, calcule el punto de intersección y grafíquelo.

$l_1$ y $l_2$
$l_3$ y $l_4$
$l_5$ y $l_6$
$l_7$ y $l_8$
$l_9$ y $l_{10}$
$l_{11}$ y $l_{12}$
$l_{13}$ y $l_{14}$
$l_{15}$ y $l_{16}$
$l_1$ y $l_5$
$l_2$ y $l_6$
$l_3$ y $l_7$
$l_4$ y $l_8$
$l_9$ y $l_{13}$
$l_{10}$ y $l_{14}$
$l_{11}$ y $l_{15}$
$l_{12}$ y $l_{16}$

Paralelismo y Perpendicularidad

Basado en los resultados del ejercicio anterior. Calcule la ecuación general de la recta que cumple con las condiciones dadas y grafíquela.

Pasa por $P_1$ , es paralela a $l_5$
Pasa por $P_2$ , es paralela a $l_6$
Pasa por $P_3$ , es paralela a $l_7$
Pasa por $P_4$ , es paralela a $l_8$
Pasa por $P_5$ , es paralela a $l_9$
Pasa por $P_6$ , es paralela a $l_{10}$
Pasa por $P_7$ , es paralela a $l_{11}$
Pasa por $P_8$ , es paralela a $l_{12}$
Pasa por $P_1$ , es perpendicular a $l_{13}$
Pasa por $P_2$ , es perpendicular a $l_{14}$
Pasa por $P_3$ , es perpendicular a $l_{15}$
Pasa por $P_4$ , es perpendicular a $l_{16}$
Pasa por $P_5$ , es perpendicular a $l_{1}$
Pasa por $P_6$ , es perpendicular a $l_{2}$
Pasa por $P_7$ , es perpendicular a $l_{3}$
Pasa por $P_8$ , es perpendicular a $l_{4}$

Ecuación Punto-Punto

Calcule la ecuación general de la recta que pasa por los siguientes puntos y grafíquela.

$P_1$ y $P_2$ , llámela $l_1$ .
$P_2$ y $P_3$ , llámela $l_2$ .
$P_3$ y $P_4$ , llámela $l_3$ .
$P_4$ y $P_5$ , llámela $l_4$ .
$P_5$ y $P_6$ , llámela $l_5$ .
$P_6$ y $P_7$ , llámela $l_6$ .
$P_8$ y $P_9$ , llámela $l_7$ .
$P_9$ y $P_{10}$ , llámela $l_8$ .
$P_1$ y $P_3$ , llámela $l_9$ .
$P_2$ y $P_4$ , llámela $l_{10}$ .
$P_5$ y $P_7$ , llámela $l_{11}$ .
$P_6$ y $P_8$ , llámela $l_{12}$ .
$P_1$ y $P_5$ , llámela $l_{13}$ .
$P_2$ y $P_6$ , llámela $l_{14}$ .
$P_3$ y $P_7$ , llámela $l_{15}$ .
$P_4$ y $P_8$ , llámela $l_{16}$ .

Punto de Intersección

$l_1$ y $l_2$
$l_3$ y $l_4$
$l_5$ y $l_6$
$l_7$ y $l_8$
$l_9$ y $l_{10}$
$l_{11}$ y $l_{12}$
$l_{13}$ y $l_{14}$
$l_{15}$ y $l_{16}$
$l_1$ y $l_3$
$l_2$ y $l_4$
$l_5$ y $l_7$
$l_6$ y $l_8$
$l_9$ y $l_{11}$
$l_{10}$ y $l_{12}$
$l_{13}$ y $l_{15}$
$l_{14}$ y $l_{16}$

El Punto de Intersección entre dos rectas

23.12.201905.06.2024 Anthonny Arias-García8 comentarios

Si dos rectas se intersectan (o intersecan), hemos mencionado que éstas se intersectan en un único punto, sin embargo no se ha hecho mención sobre la naturaleza de este punto. Gráficamente, el punto de intersección entre estas dos rectas es el punto donde ellas dos son exactamente iguales. A partir de este hecho, podemos calcular el valor de las coordenadas que lo definen, formalmente, si consideramos dos rectas expresadas de la siguiente forma

$l_1 : \ y = m_1 x + b_1$

$l_2 : \ y = m_2 x + b_2$

El punto $P_0 = (x_0,y_0)$ es el punto de intersección de $l_1$ y $l_2$ , si los valores de $x_0$ y $y_0$ satisfacen las dos ecuaciones al mismo tiempo. Esto se conoce como un sistema de ecuaciones lineales que consta de dos ecuaciones y dos incógnitas, sin embargo, no indagaremos sobre este tema pues notando que las rectas están expresadas de la forma pendiente ordenada, simplemente igualaremos las expresiones que las definen para posteriormente calcular el valor de las incógnitas.

Veamos con algunos ejemplos como calcular el punto de intersección entre dos rectas utilizando esta técnica.

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Ejemplos: Ecuación Canónica de la Recta

Ejemplo 1

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : y = 3x-3$ y $l_2 : y = -x + 1$ .

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

$l_1 : \ y = 3x-3$
$l_2 : \ y = -x + 1$

Igualamos las dos expresiones que definen estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable $x$

$3x-3 = -x + 1$

$\Rightarrow \ 3x + x = 1 + 3$

$\Rightarrow \ 4x = 4$

$\Rightarrow \ x = \frac{4}{4}$

$\Rightarrow \ x = 1$

De esta forma, podemos concluir que el valor de la coordenada en el Eje X del punto de intersección es $x=1$ y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el valor de $y$ . Sustituyamos el valor de $x=1$ en $l_1$ :

$y = 3(1)-3 \Rightarrow \ y = 3-3 \Rightarrow \ y=0$

Notemos que si sustituimos el valor de $x=1$ en la recta $l_2$ , obtenemos el mismo valor para $y$ :

$y = -(1) + 1 \Rightarrow \ y = -1+1 \Rightarrow \ y=0$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = (1,0)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 2

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : y = -4x-2$ y $l_2 : y = \frac{1}{4}x + 3$ .

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

$l_1 : \ y = -4x-2$
$l_2 : \ y = \frac{1}{4}x + 3$

Igualamos las dos expresiones que definen estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable $x$

$-4x-2 = \frac{1}{4}x + 3$

$\Rightarrow \ -4x - \frac{1}{4}x = 3 + 2$

$\Rightarrow \ -\frac{17}{4}x = 5$

$\Rightarrow \ x = -\frac{20}{17}$

De esta forma, podemos concluir que el valor de la coordenada en el Eje X del punto de intersección es $x=-\frac{20}{17}$ . Sustituyamos este valor en $l_1$ :

$y = -4\left( -\frac{20}{17} \right)-2 \Rightarrow \ y = \frac{80}{17} -2 \Rightarrow \ y = \frac{46}{17}$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = \left( -\frac{20}{17} , \frac{46}{17} \right)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

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Ejemplo 3

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : y = x+5$ y $l_2 : y = 2$ .

En este caso es necesario plantear un sistema de ecuaciones, pues al ser $l_2$ una recta horizontal, simplemente sustituimos el valor de $y$ que la define en la recta $l_1$ y a partir de ahí, calculamos el valor de $x$ . Entonces, si $y=2$ tenemos que

$2 = x+5 \Rightarrow \ -x = 5-2 \Rightarrow \ -x = 3 \Rightarrow \ x = -3$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = \left( -3 , 2 \right)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 4

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : y = -\frac{1}{5}x+2$ y $l_2 : x = -1$ .

En este caso es necesario plantear un sistema de ecuaciones, pues al ser $l_2$ una recta vertical, simplemente sustituimos el valor de $x$ que la define en la recta $l_1$ y a partir de ahí, calculamos el valor de $y$ . Entonces, si $x=-1$ tenemos que

$y = -\frac{1}{5}(-1)+2 \Rightarrow \ y = \frac{1}{5}+2 \Rightarrow \ y = \frac{11}{5}$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = \left( -1 , \frac{11}{5} \right)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 5

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : y = -3$ y $l_2 : x = 4$ .

En este caso es necesario plantear un sistema de ecuaciones, pues al ser $l_1$ una recta horizontal y $l_2$ una recta vertical, podemos concluir de forma inmediata que el punto de intersección entre ellas dos es $(4,-3)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano.

Hemos visto los casos de intersecciones donde las rectas están expresadas de la forma pendiente-ordenada, vemos ahora el caso en el que tenemos rectas expresadas de forma general. formalmente, si consideramos dos rectas expresadas de la siguiente forma

$l_1 : \ a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$
$l_2 : \ a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$

Nuevamente, el punto $P_0 = (x_0,y_0)$ es el punto de intersección de $l_1$ y $l_2$ , si los valores de $x_0$ y $y_0$ satisfacen las dos ecuaciones al mismo tiempo. Sin embargo, la forma de abordar este tipo de casos es ligeramente diferente a caso pendiente-ordenada.

En estos casos no tiene sentido igualar la dos expresiones que definen las rectas, así que la técnica para hallar la solución consiste en efectuar operaciones entre ambas ecuaciones para anular una de las dos variables. Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de este tipo de sistemas de ecuaciones.

Ejemplos: Ecuación General de la Recta

Ejemplo 6

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : 2 x + 2 y - 1 = 0$ y $l_2 : - 2 x + y + 4 = 0$ .

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

$l_1 : \ 2 x + 2 y - 1 = 0$
$l_2 : \ - 2 x + y + 4 = 0$

En este caso particular, podemos notar que en una ecuación está la expresión $2x$ y en la otra, la expresión $-2x$ , por lo tanto, podemos sumar ambas ecuaciones para obtener que

Considerando la ecuación resultante, podemos despejar la variable $y$ , y así obtener el valor $y_0$ de nuestro punto de intersección.

$0x + 3y + 3 = 0$

$\Rightarrow \ 3y + 3 = 0$

$\Rightarrow \ 3y = -3$

$\Rightarrow \ y = -\frac{3}{3}$

$\Rightarrow \ y = - 1$

De esta forma, podemos concluir que el valor de la coordenada en el Eje Y del punto de intersección es $y=-1$ y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el valor de $x$ . Sustituyamos el valor de $y=-1$ en $l_1$ :

$2 x + 2 (-1) - 1 = 0$

$\Rightarrow \ 2x - 2 - 1 = 0$

$\Rightarrow \ 2x - 3 = 0$

$\Rightarrow \ 2x = 3$

$\Rightarrow \ x = \frac{3}{2}$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = \left( \frac{3}{2}, -1 \right)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 7

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : 3 x - 5 y + 2 = 0$ y $l_2 : x + y - 2 = 0$ .

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

$l_1 : \ 3 x - 5 y + 2 = 0$
$l_2 : \ x + y - 2 = 0$

En el caso anterior pudimos anular con relativa sencillez la variable $x$ pero en este caso particular, podemos notar que si multiplicamos la segunda ecuación por $5$ obtenemos

$l_1 : \ 3 x - 5 y + 2 = 0$
$l_2 : \ 5x + 5y - 10 = 0$

Ahora, podemos notar que en una ecuación está la expresión $-5y$ y en la otra, la expresión $5y$ , por lo tanto, podemos sumar ambas ecuaciones para obtener que

Considerando la ecuación resultante, podemos despejar la variable $x$ , y así obtener el valor $x_0$ de nuestro punto de intersección.

$8x + 0y - 8 = 0$

$\Rightarrow \ 8x - 8 = 0$

$\Rightarrow \ 8y = 8$

$\Rightarrow \ y = \frac{8}{8}$

$\Rightarrow \ y = 1$

$3 (1) - 5 y + 2 = 0$

$\Rightarrow \ 3 - 5y + 2 = 0$

$\Rightarrow \ -5x + 5 = 0$

$\Rightarrow \ -5x = -5$

$\Rightarrow \ x = \frac{-5}{-5}$

$\Rightarrow \ x = 1$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = \left( 1, 1 \right)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 8

Calcule el punto de intersección entre las rectas $l_1 : 6 x - 5 y + 4 = 0$ y $l_2 : 4 x + 3 y - 5 = 0$ .

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

$l_1 : \ 6 x - 5 y + 4 = 0$
$l_2 : \ 4 x + 3 y - 5 = 0$

En este caso debemos notar que las variables están acompañadas por distintos coeficientes, así que no basta con multiplicar sólo una ecuación para anular términos. Debemos entonces, multiplicar ambas ecuaciones por números que nos ayuden a anular sumandos. Multipliquemos la primera ecuación por $4$ y la segunda ecuación por $-6$ .

$l_1 : \ 24 x - 20 y + 16 = 0$
$l_2 : \ -24 x - 18 y + 30 = 0$

Ahora, podemos notar que en una ecuación está la expresión $24x$ y en la otra, la expresión $-24y$ , por lo tanto, podemos sumar ambas ecuaciones para obtener que

Considerando la ecuación resultante, podemos despejar la variable $x$ , y así obtener el valor $x_0$ de nuestro punto de intersección.

$0x - 38y + 36 = 0$

$\Rightarrow \ -38y + 36 = 0$

$\Rightarrow \ -38y = -36$

$\Rightarrow \ y = \frac{38}{36}$

$\Rightarrow \ y = \frac{19}{18}$

De esta forma, podemos concluir que el valor de la coordenada en el Eje Y del punto de intersección es $y = \frac{19}{18}$ y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el valor de $x$ . Sustituyamos el valor de $y = \frac{19}{18}$ en $l_2$ :

$4 x + 3 \left( \frac{19}{18} \right) - 5 = 0$

$\Rightarrow \ 4 x + \frac{19}{6} - 5 = 0$

$\Rightarrow \ 4 x - \frac{11}{6} = 0$

$\Rightarrow \ 4 x = \frac{11}{6}$

$\Rightarrow \ x = \frac{11}{24}$

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas $l_1$ y $l_2$ es $P_0 = \left(\frac{11}{24},\frac{19}{18}\right)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

La Ecuación General de la Recta

19.12.201910.03.2023 Anthonny Arias-García1 comentario

Al definir las rectas, hemos dicho que la ecuación canónica de la recta permite expresar de forma analítica, cualquier recta en el plano cartesiano, sin embargo, hay un tipo de rectas que no se puede expresar de esta forma.

Para entender esto, veamos la ecuación punto-punto y estudiemos dos casos que nos interesarán de forma particular. Si consideramos dos puntos en el plano cartesiano, digamos $P_1 = (x_1,y_1)$ y $P_2 = (x_2,y_2)$ , dependiendo de los valores de valores que estos tengan en el Eje X y eje Y, se pudieran presentar los siguientes casos:

Si $y_2 = y_1$ , entonces la pendiente $m$ queda expresada de la forma $\frac{0}{r}$ , donde $r$ es un número real distinto de cero.
Si $x_2 = x_1$ , entonces la pendiente $m$ queda expresada de la forma $\frac{r}{0}$ , donde $r$ es un número real distinto de cero.

De esta forma, podemos notar que en el primer caso, la pendiente es nula y; en el segundo caso, la pendiente no está definida, pues la división entre cero no está definida. Entonces, ¿cómo definimos las rectas que pasan a través de estos puntos?

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La Ecuación General de la Recta

Es necesario recurrir a una ecuación que permita abarcar de forma general, todas las rectas en el plano cartesiano. esto lo haremos definiendo la recta no como una ecuación explícita, sino como una ecuación implícita. Es decir, no como una variable ( $y$ ) que depende explícitamente de otra variable ( $x$ ), sino como una relación entre ambas variables.

Entonces, si $a$ , $b$ y $c$ son números reales tal que $a$ y $b$ no son iguales a cero al mismo tiempo, definimos La Ecuación General La Recta como una relación entre dos variables $x$ y $y$ a través de una igualdad de la siguiente forma:

$ax + by + c = 0$

De esta forma, podemos cubrir lo dos casos que hemos expuestos ya que,

Si $a = 0$ , entonces la ecuación general de la recta será de la forma $y=r$ para algún número real $r$ , es decir, todos los puntos de esta recta tendrán la misma coordenada en el Eje Y y su gráfica será una recta totalmente horizontal.
Si $b = 0$ , entonces la ecuación general de la recta será de la forma $x=r$ para algún número real $r$ , es decir, todos los puntos de esta recta tendrán la misma coordenada en el Eje X y su gráfica será una recta totalmente vertical.

Consideremos dos ejemplos que ilustren precisamente estos dos casos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la ecuación general de la recta que pasa por los puntos $P_1 = (1,2)$ y $P_2 = (-3,2)$ .

Podemos abordar este caso notando inmediatamente que la coordenada en el Eje Y es la misma para ambos puntos, que es 2. Sin embargo, veamos qué ocurre si calculamos la pendiente de la recta que pasa por estos dos puntos.

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$= \frac{2 - 2}{-3 - 1}$
$= \frac{0}{-4}$
$= 0$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$(y - y_2) = m \cdot (x - x_2)$
$\Rightarrow \ (y - 2) = 0 \cdot (x - 1)$
$\Rightarrow \ y - 2 = 0$
$\Rightarrow \ y = 2$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y = 2$ y para determinar su gráfica, simplemente trazamos una recta por todos los puntos de la forma $(x,2)$ .

Ejemplo 2

Calcule la ecuación general de la recta que pasa por los puntos $P_1 = (-1,5)$ y $P_2 = (-1,-2)$ .

Podemos abordar este caso notando inmediatamente que la coordenada en el Eje X es la misma para ambos puntos, que es $-1$ . Sin embargo, veamos qué ocurre si calculamos la pendiente de la recta que pasa por estos dos puntos.

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$= \frac{-2 - 5}{-1 - (-1)}$
$= \frac{-7}{0}$

La división por cero no está definida, así que debemos considerar la ecuación punto-punto para notar que

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$
$\Rightarrow \ x - x_1 = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} (x_2 - x_1)$
$\Rightarrow \ (x - (-1)) = \frac{y - 5}{-2 - 5} (-1 - (-1))$
$\Rightarrow \ x + 1 = \frac{y - 5}{-7} ( 0 )$
$\Rightarrow \ x + 1 = 0$
$\Rightarrow \ x = - 1$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $x = -1$ y para determinar su gráfica, simplemente trazamos una recta por todos los puntos de la forma $(-1,y)$ .

Cómo graficar rectas en el plano cartesiano

Si contamos la ecuación general de una recta, podemos graficarla simplemente calculando los puntos de intersección de esta con los ejes y posteriormente trazar la recta que pasa a través de estos dos. Veamos en los siguientes ejemplos cómo hacer esto.

Ejemplos

Ejemplo 3

Grafique la recta definida por la siguiente ecuación general $x + y - 1 = 0$ .

Para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

Si $x= 0 \Rightarrow \ (0) + y - 1 = 0$
$\Rightarrow \ y = 1$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $(0,1)$

Si $y = 0 \Rightarrow \ x + (0) - 1 = 0$
$\Rightarrow \ x = 1$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $(1,0)$

Ejemplo 4

Grafique la recta definida por la siguiente ecuación general $2x - 3y + 4 = 0$

Para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

Si $x= 0 \Rightarrow \ 2(0) - 3 y + 4 = 0$
$\Rightarrow \ -3y = -4$
$\Rightarrow \ y = \frac{-4}{-3}$
$\Rightarrow \ y = \frac{4}{3}$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $\left( 0, \frac{4}{3} \right)$

Si $y = 0 \Rightarrow \ 2x - 3(0) + 4 = 0$
$\Rightarrow \ 2x = -4$
$\Rightarrow \ x = \frac{-4}{2}$
$\Rightarrow \ x = -2$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $(-2,0)$

Ejemplo 5

Grafique la recta definida por la siguiente ecuación general $5x - y - 1 = 0$

Para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

Si $x= 0 \Rightarrow \ 5(0) - y - 1 = 0$
$\Rightarrow \ - y = 1$
$\Rightarrow \ y = - 1$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $\left( 0, -1 \right)$

Si $y = 0 \Rightarrow \ 5x - (0) - 1 = 0$
$\Rightarrow \ 5x = 1$
$\Rightarrow \ x = \frac{1}{5}$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $\left( \frac{1}{5} , 0 \right)$

Ecuación Punto-Punto

18.12.201910.03.2023 Anthonny Arias-García8 comentarios

La fórmula de la Ecuación Punto-Punto
1. Ejemplos

Una vez que hemos definido la ecuación canónica de la recta, es posible, al estudiar una recta en particular, determinar la ecuación que la define a partir de cierta información, pero, ¿cómo?

Si consideramos un punto en el plano, es fácil intuir que por ese punto pasan infinitas rectas, sin embargo, al considerar un punto adicional, a través de ambos puntos punto, sólo pasará una única recta. De esta idea partiremos para determinar la ecuación canónica de una recta.

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La fórmula de la Ecuación Punto-Punto

Sabemos que la pendiente de una recta determina el ángulo de inclinación de esta respecto al Eje X, sin embargo, la pendiente de la recta describe mucho más, y es que ésta determina la forma en que crece la variable $y$ en relación a la variable $x$ .

Formalmente, al considerar una recta pasa por los puntos $P_1 = (x_1,y_1)$ y $P_2 = (x_2,y_2)$ podemos calcular la pendiente de esta recta como el cociente del incremento en $y$ entre el incremento en $x$ y para esto usamos la siguiente fórmula:

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Partiendo del hecho de que a través de dos puntos en el plano pasa una única recta, será posible determinar la ecuación que define dicha recta a partir de dos puntos $P_1 = (x_1,y_1)$ y $P_2 = (x_2,y_2)$ planteando la siguiente fórmula:

$\dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

A esta ecuación la llamaremos ecuación punto-punto. A partir de esta igualdad y de la forma que hemos definido la pendiente con dos puntos, podemos deducir la ecuación punto-pendiente con un simple despeje y determinar la ecuación que define la recta usando cualquiera de las dos ecuaciones siguientes:

$(y - y_1) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1)$
ó
$\ (y - y_2) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_2)$

Veamos entonces con algunos ejemplos como determinar la ecuación canónica de una recta contando con dos puntos de ella.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos $P_1 = (2,2)$ y $P_2 = (3,3)$ .

Empezamos calculando el valor de la pendiente,

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$= \dfrac{3 - 2}{3 - 2}$

$= \dfrac{1}{1}$

$= 1$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$(y - y_1) = m \cdot (x - x_1)$

$\Rightarrow \ (y - 2) = 1 \cdot (x - 2)$

$\Rightarrow \ y - 2 = x - 2$

$\Rightarrow \ y = x$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y=x$ , que es precisamente la recta identidad y su gráfica es la siguiente:

Ejemplo 2

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos $P_1 = (-4,1)$ y $P_2 = (3,-1)$ .

Empezamos calculando el valor de la pendiente,

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$= \dfrac{-1 - 1}{3 - (-4)}$

$= \dfrac{-2}{7}$

$= -\dfrac{2}{7}$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_2$

$(y - y_2) = m \cdot (x - x_2)$

$\Rightarrow \ \big( y - (-1) \big) = -\frac{2}{7} \cdot (x - 3)$

$\Rightarrow \ y + 1 = -\frac{2}{7}x + \frac{6}{7}$

$\Rightarrow \ y = -\frac{2}{7}x - \frac{1}{7}$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y = -\frac{2}{7}x - \frac{1}{7}$ y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

$x= 0 \Rightarrow \ y = -\frac{2}{7}(0) - \frac{1}{7} \Rightarrow \ y = -\frac{1}{7}$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $\left( 0,-\frac{1}{7} \right)$

$y= 0 \Rightarrow \ 0 = -\frac{2}{7}x - \frac{1}{7} \Rightarrow \ \frac{2}{7}x = -\frac{1}{7} \Rightarrow \ x = -\frac{1}{2}$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $\left( -\frac{1}{2} , 0 \right)$

Ejemplo 3

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos $P_1 = (-2,-2)$ y $P_2 = (5,1)$ .

Empezamos calculando el valor de la pendiente,

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$= \dfrac{5 - (-2)}{1 - (-2)}$

$= \dfrac{7}{3}$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$(y - y_1) = m \cdot (x - x_1)$

$\Rightarrow \ (y - (-2)) = \frac{7}{3} \cdot (x - (-2))$

$\Rightarrow \ y + 2 = \frac{7}{3} \cdot (x + 2)$

$\Rightarrow \ y + 2 = \frac{7}{3} x + \frac{14}{3}$

$\Rightarrow \ y = \frac{7}{3} x + \frac{8}{3}$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y = \frac{7}{3} x + \frac{8}{3}$ y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

$x= 0 \Rightarrow \ y = \frac{7}{3} (0) + \frac{8}{3} \Rightarrow \ y = \frac{8}{3}$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $\left( 0,\frac{8}{3} \right)$

$y= 0 \Rightarrow \ 0 = \frac{7}{3} x + \frac{8}{3} \Rightarrow \ -\frac{7}{3}x = \frac{8}{3} \Rightarrow \ x = -\frac{8}{7}$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $\left( -\frac{8}{7} , 0 \right)$

La Curva de Demanda

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejercicios propuestos por los usuarios de totumat

Ejercicio 1

Ejercicio 2

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Ecuación Punto-Pendiente

Punto de Intersección

Paralelismo y Perpendicularidad

Ecuación Punto-Punto

Punto de Intersección

Comparte

Ejemplos: Ecuación Canónica de la Recta

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplos: Ecuación General de la Recta

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8

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La Ecuación General de la Recta

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Cómo graficar rectas en el plano cartesiano

Ejemplos

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

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La fórmula de la Ecuación Punto-Punto

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

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