Ecuaciones Homogéneas de grado alpha ⍺

Funciones Homogéneas de grado alpha ⍺

Las ecuaciones diferenciales que veremos a continuación se pueden reescribir como ecuaciones diferenciales de variables separables luego de recurrir a una variable auxiliar, sin embargo, debemos verificar primero que cumplan con una condición. Definamos entonces los elementos que determinarán el criterio para poder calcular su solución.

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Decimos que una función $f(x,y)$ es una función homogénea de grado $\alpha$ si para algún número real $\alpha$ se satisface las siguiente igualdad:

$f(t \cdot x,t \cdot y)=t^{\alpha} \cdot f(x,y)$

Veamos algunos ejemplos de este tipo de funciones para entender esta idea.

Ejemplos

Ejemplo 1

Verifique si la función que se presenta a continuación es una función homogénea de grado $\alpha$ :

$f(x,y) = x^2 - y^2$

Para esto, evaluamos la función $f$ en el punto $(tx,ty)$ y manipulamos algebraicamente con el fin de sacar la forma $t^{\alpha}$ como un factor común.

$f(tx,ty)$

$\; = \; (tx)^2 - (ty)^2$
$\; = \; t^2x^2 - t^2y^2$
$\; = \; t^2(x^2 - y^2)$
$\; = \; t^2 f(x,y)$

En este caso, decimos que la función $f$ es una función homogénea de grado $2$ .

Ejemplo 2

Verifique si la función que se presenta a continuación es una función homogénea de grado $\alpha$ :

$f(x,y) = x^2 + xy$

Para esto, evaluamos la función $f$ en el punto $(tx,ty)$ y manipulamos algebraicamente con el fin de sacar la forma $t^{\alpha}$ como un factor común.

$f(tx,ty)$

$\; = \; (tx)^2 + (tx)(ty)$
$\; = \; t^2x^2 + t^2xy$
$\; = \; t^2(x^2 + xy)$
$\; = \; t^2 f(x,y)$

En este caso, decimos que la función $f$ es una función homogénea de grado $2$ .

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Ejemplo 3

Verifique si la función que se presenta a continuación es una función homogénea de grado $\alpha$ :

$f(x,y) = 4 x^2y^5 - 9x^4y^3$

Para esto, evaluamos la función $f$ en el punto $(tx,ty)$ y manipulamos algebraicamente con el fin de sacar la forma $t^{\alpha}$ como un factor común.

$f(tx,ty)$

$\; = \; 4 (tx)^2(ty)^5 - 9(tx)^4(ty)^3$
$\; = \; 4(t^2x^2)(t^5y^5) - 9(t^4x^4)(t^3y^3)$
$\; = \; 4t^7x^2y^5 - 9t^7x^4y^3$
$\; = \; t^7(4x^2y^5 - 9x^4y^3)$
$\; = \; t^7 f(x,y)$

En este caso, decimos que la función $f$ es una función homogénea de grado $7$ .

Ejemplo 4

Verifique si la función que se presenta a continuación es una función homogénea de grado $\alpha$ :

$f(x,y) = 6 xy^3 + 5x^4 + 17$

Para esto, evaluamos la función $f$ en el punto $(tx,ty)$ y manipulamos algebraicamente con el fin de sacar la forma $t^{\alpha}$ como un factor común.

$f(tx,ty)$

$\; = \; 6 (tx)(ty)^3 + 5(tx)^4 + 17$
$\; = \; 6 (tx)(t^3y^3) + 5(t^4x^4) + 17$
$\; = \; 6 t^4xy^3 + 5 t^4x^4 + 17$

En este caso, no es posible sacar $t^4$ como un factor común y en consecuencia, la función $f$ no se puede expresar de la forma $t^{\alpha} f(x,y)$ , por lo tango, no es una función homogénea de grado $\alpha$ .

Ecuaciones Homogéneas de grado alpha ⍺

Al considerar la ecuación diferencial $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$ , hemos podido clasificar algunas ecuaciones de esta forma como Ecuaciones Exactas y aunque hemos encontrado otras no exactas, se han podido reducir a ecuaciones exactas, sin embargo, no siempre podemos aplicar ese método establecido en estos casos.

Entonces, debemos establecer una nueva forma de clasificar este tipo de ecuaciones. Formalmente, si consideramos una ecuación diferencial expresada de la siguiente forma:

$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$

Decimos que esta es una ecuación homogénea de grado $\alpha$ si las funciones $M(x,y)$ y $N(x,y)$ son funciones de homogéneas de grado $\alpha$ .

Si $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$ es una ecuación diferencial ordinaria homogénea de grado $\alpha$ , será posible reducir esta ecuación a una ecuación diferencial homogénea de variables separables recurriendo a una de las siguientes variables auxiliares para efectuar una sustitución de variable

$u=\frac{y}{x} \ \text{ o } \ v=\frac{x}{y}$

Notando que podemos reescribir estas dos expresiones respectivamente de la siguiente forma:

$y = ux \ \text{ o } \ x = vy$

Veamos entonces con algunos ejemplos calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales.

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Ejemplos

Ejemplo 5

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria

$(x^2-2y^2)dx + (2x^2+3xy)dy = 0$

Debemos recurrir a una sustitución de variable para reducirla a una ecuación diferencial de variables separables, pero antes es necesario verificar que las funciones $M(x,y) = (x^2-2y^2)$ y $N(x,y) = (2x^2+3xy)$ son ambas funciones homogéneas de grado $\alpha$ .

$M(tx,ty)$

$\; = \; (tx)^2-2(ty)^2$
$\; = \; t^2x^2-2t^2y^2$
$\; = \; t^2(x^2-2y^2)$
$\; = \; t^2 M(x,y)$

$N(tx,ty)$

$\; = \; 2(tx)^2+3(tx)(ty)$
$\; = \; 2t^2x^2+3t^2xy$
$\; = \; t^2(2x^2+3xy)$
$\; = \; t^2 N(x,y)$

Habiendo verificado que $M(x,y)$ y $N(x,y)$ son ambas funciones homogéneas de grado $2$ , podemos recurrir a la siguiente variable auxiliar

$u=\frac{y}{x} \Rightarrow y=ux$

De esta forma, podemos sustituirla en nuestra ecuación diferencial. Notemos también, que si queremos hacer esta sustitución, debemos calcular el diferencial $dy$

$dy = udx + xdu$

Entonces, sustituimos los elementos $y$ y $dy$ en la ecuación diferencial.

$(x^2-2y^2)dx + (2x^2+3xy)dy = 0$

$\Rightarrow \big( x^2-2(ux)^2 \big)dx + \big( 2x^2+3x(ux) \big)( udx + xdu) = 0$

Una vez que hemos hecho la sustitución de las variables, manipulamos algebraica las expresiones que definen la ecuación diferencial con el fin de separar las variables.

$( x^2-2u^2x^2 )dx + ( 2x^2+3x^2u)( udx + xdu) = 0$

$\; \Rightarrow \; ( x^2-2u^2x^2 )dx + ( 2x^2+3x^2u )udx + \big( 2x^2+3x^2u \big)xdu = 0$

$\; \Rightarrow \; ( x^2-2u^2x^2 )dx + ( 2x^2u+3x^2u^2 )dx + ( 2x^3+3x^3u )du = 0$

$\; \Rightarrow \; ( x^2-2u^2x^2 + 2x^2u+3x^2u^2 )dx + (2+3u ) x^3 du = 0$

$\; \Rightarrow \; ( 1 -2u^2 + 2u + 3u^2 ) x^2 dx + (2+3u ) x^3 du = 0$

$\; \Rightarrow \; ( 1 + 2u + u^2 ) x^2 dx + (2+3u ) x^3 du = 0$

$\; \Rightarrow \; ( 1 + 2u + u^2 ) x^2 dx = - (2+3u ) x^3 du$

$\; \Rightarrow \; \frac{x^2}{x^3}dx = -\frac{(2+3u )}{( 1 + 2u + u^2 )} du$

$\; \Rightarrow \; \frac{1}{x}dx = -\frac{(2+3u )}{( 1 + u )^2} du$

Ya que las variables están separadas, procedemos a calcular las respectivas integrales notando que la integral del lado derecho, es decir, $-\frac{(2+3u )}{( 1 + u )^2}$ ; debe calcularse usando el método de las fracciones simples. Entonces,