Los Números Racionales y sus operaciones

Los números racionales y la división

Suponga que usted tiene cuatro panes y desea repartirlos a dos niños de forma equitativa, usted le da dos panes a cada niño. Ahora, suponga que tiene dos panes y desea repartirlos entre cuatro niños de modo que todos queden contentos, lo más sensato es partir cada pan por la mitad y darle una mitad a cada niño, muy bien pero, ¿cómo representa esta situación con números?

Esta situación es representada con la división de números y se representa matemáticamente usando la siguiente notación:

$2 \div 4$

Esto se lee «dos dividido entre cuatro» e indica la repartición de dos objetos en cuatro partes iguales.

Existen distintos métodos para calcular divisiones, uno de ellos es el método de división larga. En todo caso, ya sea que hagamos el desarrollo de la operación a mano o que usemos una calculadora, el resultado que obtenemos al efectuar la división $2 \div 4$ es $0,5$ .

Por otra parte, si usted tiene una torta y quiere repartirla entre dos niños, le da la mitad a cada uno. Esto lo representamos con la división $1 \div 2$ cuyo resultado es $0,5$ .

En otra situación, suponga que tiene siete litros de agua y quiere verterlos equitativamente entre catorce recipientes, en este caso debe llenar cada uno de los recipientes con medio litro de agua, esto lo representamos con la división $7 \div 14$ cuyo resultado es $0,5$ .

Notemos que se nos pueden presentar varias situaciones en el que obtenemos el valor $0,5$ , es decir, podemos pensar en varias combinaciones de números cuya división nos dé como resultado $0,5$ . Pero, ¿qué significa $0,5$ ?

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¿Qué son los números racionales?

Definiremos los Números Racionales para expresar todas las divisiones posibles. Para cualquier par de números enteros a y b (con b $\neq$ 0), definiremos un nuevo número de la forma $\frac{a}{b}$ que representa el resultado de la división $a \div b$ . Entonces el conjunto de los números racionales lo denotaremos por $\mathbb{Q}$ y estará definido de la siguiente manera:

$\displaystyle \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} : a,b \in \mathbb{Z}; \, b\neq 0 \right\}$

Estos números representarán todas las divisiones posibles entre dos números enteros. Particularmente podemos considerar las divisiones de la forma $a \div 1$ para notar que $3 \div 1 = 3$ , $10 \div 1 = 10$ , $-2 \div 1 = -2$ , $45 \div 1 = 45$ . En general si $a \in \mathbb{Z}$ entonces $a \div 1 = a$ . Esto nos indica que todo número entero se puede representar como la división entre dos números enteros y por lo tanto el conjunto de los números Enteros es un subconjunto del conjunto de los números Racionales, es decir,

$\displaystyle \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$

Todos estos números tendrán una particularidad y es que siempre representarán un número con una extensión decimal finita como por ejemplo $\frac{1}{2} = 0,5$ o representarán números con extensión decimal infinita periódica, es decir, que se repite indefinidamente, como por ejemplo $\frac{1}{3} = 0,333333\ldots$

Será posible representar gráficamente algunos elementos de este conjunto, sin embargo, no podremos representarlos todos porque este trabajo sería imposible. Hay que destacar que los números racionales llenan los espacios que encontramos entre cada par de números enteros.

Representación gráfica de algunos números racionales | totumat.com — Representación gráfica de algunos números racionales

Es importante destacar algunas divisiones particulares y para esto consideremos dos números enteros a y b.

$\displaystyle \frac{a}{1} = a$

$\displaystyle \frac{a}{a} = 1, a \neq 0$

$\displaystyle \frac{0}{a} = 0, a \neq 0$

$\displaystyle \frac{a}{0}, \, \text{no est\'a definida}$

Las siguiente divisiones nos indican que así como hay una «Ley de los Signos para la Multiplicación», también hay una Ley de los Signos para la división. Si $a>0$ y $b>0$ , entonces

$\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

$\displaystyle \frac{-a}{\ \ \ b} = -\frac{a}{b}$

$\displaystyle \frac{\ \ \ a}{-b} = -\frac{a}{b}$

$\displaystyle \frac{-a}{-b} = \ \ \ \frac{a}{b}$

La expresión $\frac{a}{b}$ también se conoce como Fracción.

Habiendo definido los Números Racionales como el conjunto que alberga todas las divisiones posibles entre números enteros, dentro de este conjunto, podemos definir operaciones básicas. Para formalizar, consideremos $a$ , $b$ , $c$ y $d$ números enteros con $b$ y $d$ $\neq 0$ , entonces por definición $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ son dos números racionales. Las operaciones que podemos definir entre estos números, con las siguientes:

Suma de números racionales

Definiremos la suma entre estos dos números racionales de la siguiente forma:

De forma particular, si dos números racionales comparten el mismo denominador, será posible (a través de una serie de equivalencias) sumar sus numeradores y mantener el mismo denominador para la suma, es decir,

Suma de Fracciones con igual denominador | totumat.com

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Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la suma de $\frac{1}{2}$ más $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 6}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$

Ejemplo 2

Efectúe la suma de $\frac{7}{3}$ más $\frac{2}{5}$ .

$\frac{7}{3} + \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5 + 3 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{35 + 6}{15} = \frac{41}{15}$

Ejemplo 3

Efectúe la suma de $1$ más $\frac{4}{9}$ . Para efectuar esta suma debemos notar primero que el número $1$ se puede escribir como la fracción $\frac{1}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{1}{1} + \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1 \cdot 4}{1 \cdot 9} = \frac{9 + 4}{9} = \frac{13}{9}$

Ejemplo 4

Efectúe la suma de $\frac{3}{11}$ más $6$ . Para efectuar esta suma debemos notar primero que el número $6$ se puede escribir como la fracción $\frac{6}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{3}{11} + \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 1 + 11 \cdot 6}{11 \cdot 1} = \frac{3 + 66}{11} = \frac{69}{11}$

Resta de números racionales

Notemos que la resta se puede definir de la misma forma que la suma usando expresiones equivalentes para $-\frac{c}{d}$ , como $\frac{-c}{d}$ o $\frac{c}{-d}$ . Simplemente debemos tomar en cuenta la ley de los signos al multiplicar números enteros, es decir,

Resta de Fracciones | totumat.com — Resta de fracciones

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