Derivadas

Notación

Dependiendo del contexto, es necesario usar diferentes notaciones para la derivada. Por defecto, si queremos calcular la derivada de una función explícitamente definida como $f(x)$ , usamos la notación $f'(x)$ .

Sin embargo, al derivar la expresión que define a la función, puede resultar necesario usar otro tipo de notación como sigue:

$\big( f(x) \big)'$

También podemos recurrir a la definición propiamente de lo que es una derivada para denotarla. Recordemos que formalmente la derivada de una función es una razón de cambio puntual, es decir, el cambio en el Eje Y entre el cambio en el Eje X.

Pero al calcular el límite cuando $x$ tiende a $x_0$ estos cambios se hacen infinitamente pequeños, a estos cambios los llamamos diferenciales, al cambio infinitamente pequeño en el Eje Y lo llamamos diferencial de y y lo denotamos por $dy$ ; al cambio infinitamente pequeño en el Eje X lo llamamos diferencial de x y lo denotamos por $dx$ .

Es por esto, que la derivada de una función se expresa como un cociente de diferenciales de la siguiente manera:

$\dfrac{dy}{dx}$

Esta notación se lee la derivada de $y$ respecto a $x$ .

Particularmente, si la variable $y$ está definida de forma pendiente a través de una función $f(x)$ entonces usamos la notación

$\dfrac{df}{dx} (x)$

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Una vez que hemos determinado la derivada de las funciones elementales, considerando la definición de derivada, es posible deducir la derivada de las operaciones básicas entre funciones. Formalmente, si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones; y $c$ es un número real, definimos las siguientes reglas:

Regla de la suma

Si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones, definimos la derivada de la suma, como la suma de las derivadas, es decir,

$\big( f(x) \pm g(x) \big)' = f'(x) \pm g'(x)$

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la función $f(x)=x - x^{7}$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la suma. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left( x - x^{7} \right)'$

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

$f'(x)=( x )' - \left( x^{7} \right)'$

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) = 1 - 7 x^{6}$

Ejemplo 2

Considerando la función $f(x)=\textit{\Large e}^{x} - x^{10}$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la suma. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left( \textit{\Large e}^{x} - x^{10} \right)'$

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

$f'(x)=\left( \textit{\Large e}^{x} \right)' - \left( x^{10} \right)'$

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) = \textit{\Large e}^{x} - 10 x^{9}$

Ejemplo 3

Considerando la función $f(x)=\frac{1}{x} - \ln{\left(x \right)} - x^{10} - \textit{\Large e}^{x}$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la suma. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left( \frac{1}{x} - \ln{\left(x \right)} - x^{10} - \textit{\Large e}^{x} \right)'$

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

$f'(x)=\left( \frac{1}{x} \right)' - \left( \ln{\left(x \right)} \right)' - \left( x^{10} \right)' - \left( \textit{\Large e}^{x} \right)'$

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} - 10 x^{9} - \textit{\Large e}^{x}$

Ejemplo 4

Considerando la función $f(x)=\frac{1}{x} + \ln{\left(x \right)} - \frac{1}{x^{\frac{17}{3}}}$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la suma. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left( \frac{1}{x} + \ln{\left(x \right)} - \frac{1}{x^{\frac{17}{3}}} \right)'$

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

$f'(x)=\left( \frac{1}{x} \right)' + \left( \ln{\left(x \right)} \right)' - \left( \frac{1}{x^{\frac{17}{3}}} \right)'$

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{17}{3 x^{\frac{20}{3}}}$

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Regla del producto por un escalar

Si $f(x)$ es una función y si $a$ es un escalar, definimos la derivada de un escalar multiplicado por una función como dicho escalar multiplicado por la derivada de la función, es decir,

$\big( a \cdot f(x) \big)' = a \cdot f'(x)$

Nota: Diremos que un número real $a$ es un escalar, porque cambia la escala de la función, pues dependiendo de su valor, puede contraerla o expandirla.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando la función $f(x)=4 \textit{\Large e}^{x} + 7 \sqrt{x}$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto por un escalar. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left( 4 \textit{\Large e}^{x} + 7 \sqrt{x} \right)'$

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

$f'(x)=\left( 4 \textit{\Large e}^{x} \right)' + \left( 7 \sqrt{x} \right)'$

Una vez que hemos separado los sumandos, podemos sacar los escalares de cada uno de estos sumandos

$f'(x)=4 \left( \textit{\Large e}^{x} \right)' + 7 \left( \sqrt{x} \right)'$

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) = 4 \textit{\Large e}^{x} + \frac{7}{2 \sqrt{x}}$

Ejemplo 6

Considerando la función $f(x)=\frac{8}{x} + 9 \textit{\Large e}^{x} - 9 \ln{\left(x \right)}$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto por un escalar. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left( \frac{8}{x} + 9 \textit{\Large e}^{x} - 9 \ln{\left(x \right)} \right)'$

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

$f'(x)=\left( \frac{8}{x} \right)' + \left( 9 \textit{\Large e}^{x} \right)' - \left( 9 \ln{\left(x \right)} \right)'$

Una vez que hemos separado los sumandos, podemos sacar los escalares de cada uno de estos sumandos

$f'(x)=8 \left( \frac{1}{x} \right)' + 9 \left( \textit{\Large e}^{x} \right)' - 9 \left( \ln{\left(x \right)} \right)'$

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) = - \frac{8}{x^{2}} + 9 \textit{\Large e}^{x} - \frac{9}{x}$

Ejemplo 7

Considerando la función $f(x)=5 x - 9 x^{2} - 5 \sqrt{x}$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto por un escalar. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left( 5 x - 9 x^{2} - 5 \sqrt{x} \right)'$

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

$f'(x)=\left( 5 x \right)' - \left( 9 x^{2} \right)' - \left( 5 \sqrt{x} \right)'$

Una vez que hemos separado los sumandos, podemos sacar los escalares de cada uno de estos sumandos

$f'(x)=5 \left( x \right)' - 9 \left( x^{2} \right)' - 5 \left( \sqrt{x} \right)'$

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) = 5 - 18 x - \frac{5}{2 \sqrt{x}}$

Ejemplo 8

Considerando la función $f(x)=\frac{9}{x} - 8 \sqrt[9]{x} - 6 \sqrt{x} - 4\textit{\Large e}^{x}$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto por un escalar. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left( \frac{9}{x} - 8 \sqrt[9]{x} - 6 \sqrt{x} - 4\textit{\Large e}^{x} \right)'$

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

$f'(x)=\left( \frac{9}{x} \right)' - \left( 8 \sqrt[9]{x} \right)' - \left( 6 \sqrt{x} \right)' - \left( 4\textit{\Large e}^{x} \right)'$

Una vez que hemos separado los sumandos, podemos sacar los escalares de cada uno de estos sumandos

$f'(x)=9 \left( \frac{1}{x} \right)' - 8 \left( \sqrt[9]{x} \right)' - 6 \left( \sqrt{x} \right)' - 4 \left( \textit{\Large e}^{x} \right)'$

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) = - \frac{9}{x^{2}} - \frac{8}{9 x^{\frac{8}{9}}} - \frac{3}{\sqrt{x}} - 4\textit{\Large e}^{x}$

Regla del producto

Si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones, considerando ambos factores, definimos la derivada de la siguiente forma:

la derivada del primero, por el segundo sin derivar, más, el primero sin derivar, por la derivada del segundo

$\big( f(x) \cdot g(x) \big)' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$

Ejemplos

Ejemplo 9

Considerando la función $f(x)=\left( - 5 \sqrt{x} \right) \cdot \left( - 3 \ln{\left(x \right)} \right)$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left[ \left( - 5 \sqrt{x} \right) \cdot \left( - 3 \ln{\left(x \right)} \right) \right]'$

Debemos notar que esta función está definida como el producto de dos funciones, aplicamos la regla del producto y expresamos las derivadas

$f'(x)=\left( - 5 \sqrt{x} \right)' \cdot \left( - 3 \ln{\left(x \right)} \right) + \left( - 5 \sqrt{x} \right) \cdot \left( - 3 \ln{\left(x \right)} \right)'$

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) = \left( - \frac{5}{2 \sqrt{x}} \right) \cdot \left( - 3 \ln{\left(x \right)} \right) + \left( - 5 \sqrt{x} \right) \cdot \left( - \frac{3}{x} \right)$

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

$f'(x) = \frac{15 \ln(x)}{2 \sqrt{x}} + \frac{15 \sqrt{x}}{x}$

Ejemplo 10

Considerando la función $f(x)=6 x \cdot \left( - 9 \ln{\left(x \right)} \right)$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left[ 6 x \cdot \left( - 9 \ln{\left(x \right)} \right) \right]'$

Debemos notar que esta función está definida como el producto de dos funciones, aplicamos la regla del producto y expresamos las derivadas

$f'(x)=\left( 6 x \right)' \cdot \left( - 9 \ln{\left(x \right)} \right) + \left( 6 x \right) \cdot \left( - 9 \ln{\left(x \right)} \right)'$

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) = \left( 6 \right) \cdot \left( - 9 \ln{\left(x \right)} \right) + \left( 6 x \right) \cdot \left( - \frac{9}{x} \right)$

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

$f'(x) = -54 \cdot \ln(x) - 54$

Ejemplo 11

Considerando la función $f(x)=- 3 \textit{\Large e}^{x} \cdot 6 x^{4}$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left[ - 3 \textit{\Large e}^{x} \cdot 6 x^{4} \right]'$

Debemos notar que esta función está definida como el producto de dos funciones, aplicamos la regla del producto y expresamos las derivadas

$f'(x)=\left( - 3 \textit{\Large e}^{x} \right)' \cdot \left( 6 x^{4} \right) + \left( - 3 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( 6 x^{4} \right)'$

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) = \left( - 3 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( 6 x^{4} \right) + \left( - 3 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( 24 x^{3} \right)$

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

$f'(x) = - 18 x^{4} \textit{\Large e}^{x} - 72 x^{3} \textit{\Large e}^{x}$

Ejemplo 12

Considerando la función $f(x)=8 \textit{\Large e}^{x} \cdot \frac{6}{x} \cdot \left( - 5 \ln{\left(x \right)} \right)$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left[ -8 \textit{\Large e}^{x} \cdot \frac{6}{x} \cdot \left( - 5 \ln{\left(x \right)} \right) \right]'$

Debemos notar que esta función está definida como el producto de dos funciones, aplicamos la regla del producto y expresamos las derivadas

$f'(x) =$

$\left( 8 \textit{\Large e}^{x} \right)' \cdot \left( \frac{6}{x} \right) \cdot \left( - 5 \ln{\left(x \right)} \right)$
$+ \left( 8 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( \frac{6}{x} \right)' \cdot \left( - 5 \ln{\left(x \right)} \right)$
$+ \left( 8 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( \frac{6}{x} \right) \cdot \left( - 5 \ln{\left(x \right)} \right)'$

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) =$

$\left( 8 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( \frac{6}{x} \right) \cdot \left( - 5 \ln{\left(x \right)} \right)$
$+ \left( 8 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( - \frac{6}{x^{2}} \right) \cdot \left( - 5 \ln{\left(x \right)} \right)$
$+ \left( 8 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( \frac{6}{x} \right) \cdot \left( - \frac{5}{x} \right)$

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

$f'(x) = - \frac{240 \textit{\Large e}^{x} \ln{\left(x \right)}}{x} + \frac{240 \textit{\Large e}^{x} \ln{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{240 \textit{\Large e}^{x}}{x^{2}}$

Nota: En este último caso hemos generalizado la regla del producto, y es que si tenemos tres funciones $f(x)$ , $g(x)$ y $h(x)$ , es posible deducir que

$\big( f(x) \cdot g(x) \cdot h(x) \big)' = f'(x) \cdot g(x) \cdot h(x) + f(x) \cdot g'(x) \cdot h(x) + f(x) \cdot g(x) \cdot h'(x)$

Regla de la división

Si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones, considerando el numerador y el denominador, definimos la derivada de la siguiente forma:

la derivada del numerador, por el denominador sin derivar, menos, el numerador sin derivar, por la derivada del denominador. Todo eso dividido entre el denominador elevado al cuadrado

$\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right)' = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{\big( g(x) \big )^2}$

Ejemplos

Ejemplo 13

Considerando la función $f(x)= \frac{ 6 x }{ - 2 \ln{\left(x \right)} }$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la división. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left[ \frac{ 6 x }{ - 2 \ln{\left(x \right)}} \right]'$

Debemos notar que esta función está definida como la división dos funciones, aplicamos al regla de la división y expresamos las derivadas

$f'(x)= \frac{\left( 6 x \right)' \cdot \left( - 2 \ln{\left(x \right)} \right) - \left( 6 x \right) \cdot \left( - 2 \ln{\left(x \right)} \right)'}{\left( - 2 \ln{\left(x \right)} \right)^2}$

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x)= \frac{\left( 6 \right) \cdot \left( - 2 \ln{\left(x \right)} \right) - \left( 6 x \right) \cdot \left( - \frac{2}{x} \right)}{\left( - 2 \ln{\left(x \right)} \right)^2}$

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

$f'(x) = - \frac{3}{\ln{\left(x \right)}} + \frac{3}{\ln{\left(x \right)}^{2}}$

Ejemplo 14

Considerando la función $f(x)= \frac{ \frac{7}{x} }{ \sqrt[6]{x} }$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la división. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left[ \frac{ \frac{7}{x} }{ \sqrt[6]{x}} \right]'$

Debemos notar que esta función está definida como la división dos funciones, aplicamos al regla de la división y expresamos las derivadas

$f'(x)= \frac{\left( \frac{7}{x} \right)' \cdot \left( \sqrt[6]{x} \right) - \left( \frac{7}{x} \right) \cdot \left( \sqrt[6]{x} \right)'}{\left( \sqrt[6]{x} \right)^2}$

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x)= \frac{\left( - \frac{7}{x^{2}} \right) \cdot \left( \sqrt[6]{x} \right) - \left( \frac{7}{x} \right) \cdot \left( \frac{1}{6 x^{\frac{5}{6}}} \right)}{\left( \sqrt[6]{x} \right)^2}$

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

$f'(x) = - \frac{49}{6 x^{\frac{13}{6}}}$

Ejemplo 15

Considerando la función $f(x)= \frac{ - 8 x }{ - 5 \textit{\Large e}^{x} }$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la división. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left[ \frac{ - 8 x }{ - 5 \textit{\Large e}^{x} } \right]'$

Debemos notar que esta función está definida como la división dos funciones, aplicamos al regla de la división y expresamos las derivadas

$f'(x)= \frac{\left( - 8 x \right)' \cdot \left( - 5 \textit{\Large e}^{x} \right) - \left( - 8 x \right) \cdot \left( - 5 \textit{\Large e}^{x} \right)'}{\left( - 5 \textit{\Large e}^{x} \right)^2}$

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x)= \frac{\left( -8 \right) \cdot \left( - 5 \textit{\Large e}^{x} \right) - \left( - 8 x \right) \cdot \left( - 5 \textit{\Large e}^{x} \right)}{\left( - 5 \textit{\Large e}^{x} \right)^2}$

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

$f'(x) = - \frac{8 x e^{- x}}{5} + \frac{8 e^{- x}}{5}$

Ejemplo 16

Considerando la función $f(x)= \frac{ \sqrt[10]{x} }{ - 3 x^{5} }$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la división. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left[ \frac{ \sqrt[10]{x} }{ - 3 x^{5} } \right]'$

Debemos notar que esta función está definida como la división dos funciones, aplicamos al regla de la división y expresamos las derivadas

$f'(x)= \frac{\left( \sqrt[10]{x} \right)' \cdot \left( - 3 x^{5} \right) - \left( \sqrt[10]{x} \right) \cdot \left( - 3 x^{5} \right)'}{\left( - 3 x^{5} \right)^2}$

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x)= \frac{\left( \frac{1}{10 x^{\frac{9}{10}}} \right) \cdot \left( - 3 x^{5} \right) - \left( \sqrt[10]{x} \right) \cdot \left( - 15 x^{4} \right)}{\left( - 3 x^{5} \right)^2}$

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

$f'(x) = \frac{49}{30 x^{\frac{59}{10}}}$

Consideremos una función lineal definida por una recta $l_1$ , decimos que la pendiente de ésta determina la razón de cambio entre un punto y otro; y es que está definida como el cociente del cambio en el eje Y entre el cambio en el eje X. Formalmente, si $(x_0,y_0)$ y $(x_1,y_1)$ son dos puntos de esta recta entonces su razón de cambio desde $x_0$ hasta $y_0$ está definida por

$m=\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$

De la forma en que hemos definido la razón de cambio para las funciones lineales, permite definir una forma general para la razón de cambio entre cualesquiera dos puntos pues siempre es la misma. Pero, ¿es posible definir una forma general para la razón de cambio para cualquier función?

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La derivada de una función en un punto

Si consideramos cualquier función $y=f(x)$ , es posible estimar la razón de cambio de la misma forma que lo hemos hecho con las funciones lineales, es decir, si $(x_0,y_0)$ y $(x_1,y_1)$ son dos puntos de esta recta entonces su razón de cambio desde $x_0$ hasta $y_0$ está definida por

$m=\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$

Gráficamente podemos notar que hay cierta holgura en nuestra estimación, así que podemos decir que no es precisa. Podemos mejorar esta estimación considerando un punto $(x_2,y_2)$ más cercano a $(x_0,y_0)$ y así, la razón de cambio está definida por

$m=\frac{y_2 - y_0}{x_2 - x_0}$

Incluso, si consideramos un punto $(x_3,y_3)$ aún más cercano a $(x_0,y_0)$ , la estimación será más precisa y así, la razón de cambio está definida por

$m=\frac{y_3 - y_0}{x_3 - x_0}$

De esta forma podemos notar que mientras más cercano está el punto de $(x_0,y_0)$ , más precisa será nuestra estimación de la razón de cambio. Entonces, consideramos puntos $(x,y)$ lo más cercanos posibles recurriendo al cálculo infinitesimal, es decir, al cálculo de límites.

Formalmente, si consideramos el límite cuando $x$ tiende a $x_0$ , entonces la razón de cambio puntual estará dada por $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ . A este límite lo llamamos derivada de la función $f(x)$ en el punto $x_0$ y lo denotaremos de la siguiente forma

$\displaystyle f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Geométricamente, representa la pendiente de la recta tangente a la curva definida por $f(x)$ en el punto $(x_0,f(x_0))$ , es decir, la recta que corta a la curva $f(x)$ únicamente en el punto $(x_0,f(x_0))$ de la siguiente forma:

Un ejemplo particular

Veamos un ejemplo particular, consideremos la función cuadrática $f(x)=x^2$ y suponga que queremos calcular su derivada en en $x_0 = 2$ . Entonces, su derivada está definida por el siguiente límite:

$\displaystyle f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2}$

$\displaystyle = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2^2}{x - 2}$

$\displaystyle = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

$\displaystyle = \frac{4-4}{2-2}$

$\displaystyle = \frac{0}{0}$

Este límite presenta una indeterminación de la forma $\frac{0}{0}$ , así que procedemos a determinarlo considerando que el numerador es una diferencia de cuadrados,

$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2^2}{x - 2}$

$\displaystyle = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x - 2}$

$\displaystyle = \lim_{x \to 2} x + 2$

$\displaystyle = 2+2$

$\displaystyle = 4$

Entonces la razón de cambio puntual de la función cuadrática en el punto $x_0 = 2$ es igual a $4$ , geométricamente estamos diciendo que la pendiente de la recta tangente a la curva $f(x)=x^2$ en el punto $(2,4)$ es igual a $4$ .

La derivada de una función en cualquier punto

Suponga ahora que queremos calcular la derivada en los puntos $x_0 = 3$ y $x_0 = -5$ , entonces, ¿debemos calcular el límite cada vez? No necesariamente, pues podemos determinar una fórmula general para calcular la derivada de la función cuadrática en cualquier punto $x$ . Para esto sigamos algunos pasos de forma muy cuidadosa.

Consideremos, una variable auxiliar definida como $h=x-x_0$ , esta tenderá a cero cuando $x$ tiende a $x_0$ , y además, si despejamos $x$ , obtenemos lo siguiente:

$x = x_0+ h$

Entonces, podemos reescribir la derivada de la función $f(x)$ en el punto $x_0$ de la forma

$\displaystyle f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Entonces, evaluamos la función en $x_0 + h$ y $x_0$ para luego aplicar producto notable y obtener que

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(x_0 + h)^2 - (x_0)^2}{h}$

$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{x_0^2 + 2 x_0 h + h^2 - x_0^2}{h}$

$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{2 x_0 h + h^2 }{h}$

Sacamos $h$ como un factor común en el numerador, posteriormente lo simplificamos tomando en cuenta el $h$ que está en el numerador y evaluamos el límite.

$\lim_{h \to 0} \frac{(2 x_0 + h) \cdot h}{h}$

$\displaystyle = \lim_{h \to 0} 2 x_0 + h$

$\displaystyle = 2 x_0 + 0$

$\displaystyle = 2 x_0$

Considerando que $x_0$ es cualquier elemento en el dominio de la función cuadrática, podemos establecer una fórmula general para su derivada, es decir, si $f(x) = x^2$ entonces su derivada en cualquier punto $x$ de su dominio está definida como

$f'(x) = 2x$

De modo que la derivada de la función $f(x)=x^2$ en los puntos $x_0 = 3$ y $x_0 = -5$ es $f'(3)=2(3)=6$ y $f'(-5)=2(-5)=-10$ , respectivamente.

Es posible establecer fórmulas generales para la derivada de todas las funciones elementales de la misma forma que lo hemos hecho con la función cuadrática y aunque no desarrollaremos los cálculos de forma exhaustiva, podemos hacer una lista de estas derivadas, conocida como la Tabla de Derivadas Elementales