Depreciación Simple

Es un hecho que el tiempo erosiona el valor de cualquier objeto, ya sea por quedar obsoleto, por desgaste o por pérdida de funcionalidad. Esta es una situación que hay que tener en consideración siempre que se adquiere un bien. Suponga de forma particular que una empresa adquiere un bien y desea determinar su valor con el pasar de los años, ya que de esta forma podrá proyectar la fecha en la que se deba desechar o sustituir por uno nuevo.

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Digamos que este bien se adquiere en V_1 Perolitos (Ps) y que este se deprecia a razón de r Ps. por año. Entonces, tenemos que

Durante el transcurso del primer año, este bien tiene un valor de

V_1

Durante el transcurso del segundo año, este bien tiene un valor de

V_1 - r

Durante el transcurso del tercer año, este bien tiene un valor de

V_1 - 2r

Y así sucesivamente, podemos concluir que durante el transcurso del n-ésimo año, este bien tiene un valor de

V_1 - (n-1)r

Notando entonces que el valor de este bien en el n-ésimo año está determinando por una sucesión aritmética decreciente, a esta expresión se le conoce como la fórmula de depreciación simple, al valor V_1 se le conoce como valor inicial y a r se le conoce como la tasa de depreciación. Veamos entonces algunos ejemplos donde podemos aplicar esta fórmula.

Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que una carnicería adquiere una moledora de carne con un valor de V_1 = 9336 Ps. y esta se deprecia anualmente en r = 577 Ps. Determine su valor en el año 6.

Aplicando la fórmula de depreciación simple, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

V_n = 9336 +577 \cdot ( 6 -1) = 6451

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 6 es de 6451 Ps.

Ejemplo 2

Suponga que una panificadora adquiere una amasadora con un valor de V_1 = 1495 Ps. y esta se deprecia anualmente en r = 132 Ps. Determine su valor en el año 8.

Aplicando la fórmula de depreciación simple, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

V_n = 1495 +132 \cdot ( 8 -1) = 571

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 8 es de 571 Ps.

Ejemplo 3

Suponga que una empresa constructora adquiere una batidora de cemento con un valor de V_1 = 2002 Ps. y esta se deprecia anualmente en r = 160 Ps. Determine su valor en el año 7.

Aplicando la fórmula de depreciación simple, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

V_n = 2002 +160 \cdot ( 7 -1) = 1042

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 7 es de 1042 Ps.

Ejemplo 4

Suponga que una cafetería adquiere una máquina de espresso con un valor de V_1 = 9963 Ps. y esta se deprecia anualmente en r = 159 Ps. Determine su valor en el año 5.

Aplicando la fórmula de depreciación simple, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

V_n = 9963 +159 \cdot ( 5 -1) = 9327

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 5 es de 9327 Ps.


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Determinar la fórmula general depreciación simple

Considerando que la depreciación simple está determinada por una sucesión aritmética, es posible determinar la fórmula general de depreciación conociendo el valor que tuvo el bien en dos años distintos.

Formalmente, si consideramos el valor que el bien adquirió en dos años distintos, digamos V_i = V_1 - (i-1) \cdot r y V_j = V_1 - (j-1) \cdot r, podemos determinar el valor de V_1 y de r calculando la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar la fórmula general de una sucesión aritmética usando esta técnica.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando que una moledora de carne tuvo un valor de V_{8} = 9284 en el año 8 y V_{17} = 6974 en el año 17 . Determine la fórmula general de depreciación simple de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que V_1 - V_1 = 0 para obtener la siguiente ecuación

(9) \cdot r = 2310

A partir de esta ecuación podemos despejar r, para obtener que r = \frac{ 2310 }{ 9 } y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular V_1.

Sustituimos r en la primera ecuación y despejamos V_1

Finalmente, concluimos que el precio inicial de este bien es de V_1 = \frac{33242}{3} \approx 11081 latex y la tasa de depreciación es de r = \frac{770}{3} \approx 257 , podemos expresar la fórmula general que define a la depreciación simple del bien de la siguiente manera:

V_n = \frac{33242}{3} - (n-1) \cdot \left( \frac{770}{3} \right)

Ejemplo 6

Considerando que una amasadora tuvo un valor de V_{8} = 9834 en el año 8 y V_{15} = 8155 en el año 15 . Determine la fórmula general de depreciación simple de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que V_1 - V_1 = 0 para obtener la siguiente ecuación

(7) \cdot r = 1679

A partir de esta ecuación podemos despejar r, para obtener que r = \frac{ 1679 }{ 7 } y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular V_1.

Sustituimos r en la primera ecuación y despejamos V_1

Finalmente, concluimos que el precio inicial de este bien es de V_1 = 11513 y la tasa de depreciación es de r = \frac{1679}{7} \approx 240 , podemos expresar la fórmula general que define a la depreciación simple del bien de la siguiente manera:

V_n = 11513 - (n-1) \cdot \left( \frac{1679}{7} \right)

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Ejemplo 7

Considerando que una batidora de cemento tuvo un valor de V_{15} = 9091 en el año 15 y V_{17} = 1535 en el año 17 . Determine la fórmula general de depreciación simple de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que V_1 - V_1 = 0 para obtener la siguiente ecuación

(2) \cdot r = 7556

A partir de esta ecuación podemos despejar r, para obtener que r = \frac{ 7556 }{ 2 } y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular V_1.

Sustituimos r en la primera ecuación y despejamos V_1

Finalmente, concluimos que el precio inicial de este bien es de V_1 = 61983 y la tasa de depreciación es de r = 3778, podemos expresar la fórmula general que define a la depreciación simple del bien de la siguiente manera:

V_n = 61983 - (n-1) \cdot \left( 3778 \right)

Ejemplo 8

Considerando que una máquina de espresso tuvo un valor de V_{3} = 3486 en el año 3 y V_{7} = 3439 en el año 7 . Determine la fórmula general de depreciación simple de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que V_1 - V_1 = 0 para obtener la siguiente ecuación

(4) \cdot r = 47

A partir de esta ecuación podemos despejar r, para obtener que r = \frac{ 47 }{ 4 } y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular V_1.

Sustituimos r en la primera ecuación y despejamos V_1

Finalmente, concluimos que el precio inicial de este bien es de V_1 = \frac{7019}{2} \approx 3510 latex y la tasa de depreciación es de r = \frac{47}{4} \approx 12 , podemos expresar la fórmula general que define a la depreciación simple del bien de la siguiente manera:

V_n = \frac{7019}{2} - (n-1) \cdot \left( \frac{47}{4} \right)


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El valor de desecho

A medida que un bien pierde su valor, llega un punto en el que entrará en desuso o que su reventa no presentará un ingreso significativo, a este valor se le conoce como valor de desecho (o valor residual) y los años que pasan desde que se adquiere el bien hasta que su valor es igual al valor de desecho, se conoce como vida útil del bien.

Veamos en los siguientes ejemplos como calcular la vida útil de un bien.

Ejemplos

Ejemplo 9

Suponga que una carnicería adquiere una moledora de carne con un valor de V_1 = 6397 Ps. y esta se deprecia anualmente en r = 541 Ps. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 1066.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

V_n = 6397 - 541 \cdot (n -1)

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual V_n= 1066 , es decir, para el cual 6397 +541 \cdot (n -1) = 1066 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, la moledora de carne tiene una vida útil de aproximadamente 11 años.

Ejemplo 10

Suponga que una panificadora adquiere una amasadora con un valor de V_1 = 8059 Ps. y esta se deprecia anualmente en r = 376 Ps. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 1343.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

V_n = 8059 - 376 \cdot (n -1)

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual V_n= 1343 , es decir, para el cual 8059 +376 \cdot (n -1) = 1343 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, la amasadora tiene una vida útil de aproximadamente 19 años.

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Ejemplo 11

Suponga que una empresa constructora adquiere una batidora de cemento con un valor de V_1 = 2663 Ps. y esta se deprecia anualmente en r = 161 Ps. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 666.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

V_n = 2663 - 161 \cdot (n -1)

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual V_n= 666 , es decir, para el cual 2663 +161 \cdot (n -1) = 666 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, la batidora de cemento tiene una vida útil de aproximadamente 13 años.

Ejemplo 12

Suponga que una cafetería adquiere una máquina de espresso con un valor de V_1 = 8530 Ps. y esta se deprecia anualmente en r = 206 Ps. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 2132.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

V_n = 8530 - 206 \cdot (n -1)

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual V_n= 2132 , es decir, para el cual 8530 +206 \cdot (n -1) = 2132 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, la máquina de espresso tiene una vida útil de aproximadamente 32 años.


Suma de los primeros n elementos de una sucesión aritmética

Suma de los primeros n números naturales

Una de las anécdotas más icónicas de las matemáticas nos lleva a la infancia de Carl Friedrich Gauss y lo que se relata es que durante sus estudios de primaria, se le asignó a Gauss calcular la suma de los primeros 100 números naturales y para sorpresa del profesor, el pequeño Gauss de 9 años, hizo este cálculo en cuestión de segundos. «¡¿Cómo lo hizo?!», se preguntaba el profesor, historia que se relata de forma extendida en EL BLOG DE FRANCISCO R. VILLATORO.

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Para simplificar las cuentas, consideremos el caso para la suma de los primeros diez números naturales, lo que notó Gauss a su corta edad, fue que si emparejaba los sumandos de la siguiente forma: 10 + 1, 9 + 2, 8 + 3, etc, el resultado de cada par siempre es el mismo, 11. Si alineamos los números del 1 al 10 de la siguiente forma, podremos ver con mayor facilidad qué es lo que ocurre:

Entonces, sumando todos estos onces, tenía que

11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 10 \cdot 11 = 110

Pero al hacer esto, contó cada número dos veces, así que el resultado lo debía dividir entre dos para así obtener que

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55

De esta forma se pudo generalizar la suma de los primeros n número naturales, pues la suma de estos pares de números tal como él los consideró siempre es igual a n+1, así que bastó con multiplicar esta suma por n y posteriormente dividir entre dos, de esta forma, dedujo la fórmula para calcular la suma de los primeros n números naturales y es la siguiente:

Suma de los primeros n elementos de una sucesión

La suma de los primeros números naturales da pie para calcular la suma de los primeros n elementos de una sucesión aritmética. Formalmente, si consideramos a_n una sucesión aritmética, definimos la suma de sus primeros n elementos de la siguiente forma:

Entonces, considerando que la sucesión es aritmética, cada elemento está definido como a_i = a_1 + (i-1) \cdot r, para todo i=1,\ldots,n. Por lo tanto, tenemos que

Agrupando todos los elementos a_1 por un lado y los elementos que multiplican a r de otro, obtenemos

Sumar a_1 n veces es igual a n \cdot a_1 y además, podemos sacar el factor común entre los elementos que están siendo multiplicados por r, así

Notando que el factor que multiplica a r es exactamente la suma de los primeros n-1 números naturales, así que aplicando la fórmula, tenemos que

Finalmente, sacando n como factor común, obtenemos una fórmula general para calcular la suma de los primeros n elementos de una sucesión:

Veamos en los siguientes ejemplos como aplicar esta fórmula.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la sucesión \{1 + 1 \cdot (n-1) \}_{n} = \{1,2,3,4,5,6, \ldots \}. Calcule la suma de los primeros 24 términos.

La base de esta sucesión es a_1 = 1 y su razón es r = 1 . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 24 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 2

Considerando la sucesión \{10 -6 \cdot (n-1) \}_{n} = \{10,4,-2,-8,-14,-20, \ldots \}. Calcule la suma de los primeros 10 términos.

La base de esta sucesión es a_1 = 10 y su razón es r = -6 . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 10 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 3

Considerando la sucesión \{-10 + 3 \cdot (n-1) \}_{n} = \{-10,-7,-4,-1,2,5, \ldots \}. Calcule la suma de los primeros 97 términos.

La base de esta sucesión es a_1 = -10 y su razón es r = 3 . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 97 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 4

Considerando la sucesión \{3 -1 \cdot (n-1) \}_{n} = \{3,2,1,0,-1,-2, \ldots \}. Calcule la suma de los primeros 62 términos.

La base de esta sucesión es a_1 = 3 y su razón es r = -1 . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 62 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 5

Considerando la sucesión \{9 + 4 \cdot (n-1) \}_{n} = \{9,13,17,21,25,29, \ldots \}. Calcule la suma de los primeros 15 términos.

La base de esta sucesión es a_1 = 9 y su razón es r = 4 . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 15 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:


Sucesiones Aritméticas

Las sucesiones aritméticas (o progresiones aritméticas) son un tipo especial de sucesiones que parten desde un elemento básico y a partir de ahí, se suma una razón repetidas veces. Formalmente, diremos que \{ a_n \}_{n} es una sucesión aritmética si

Diremos que el primer elemento de la sucesión, a_1 es la base de la sucesión y, diremos que el número real r es la razón de la sucesión, podemos notar que este último está determinado por la diferencia entre dos elementos consecutivos de la sucesión.

Consideremos en los siguientes ejemplos, algunas sucesiones aritméticas para tener una idea más concreta de su comportamiento.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la sucesión \{1,2,3,4,5,6, \ldots\}. Su base será a_1 = 1 y su razón será r = 1 . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

a_n = 1 + 1 \cdot (n-1)

Ejemplo 2

Si consideramos la sucesión \{5,8,11,14,17,20, \ldots\}. Su base será a_1 = 5 y su razón será r = 3 . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

a_n = 5 + 3 \cdot (n-1)

Ejemplo 3

Si consideramos la sucesión \{-4,-14,-24,-34,-44,-54, \ldots\}. Su base será a_1 = -4 y su razón será r = -10 . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

a_n = -4 -10 \cdot (n-1)

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión \{8,1,-6,-13,-20,-27, \ldots\}. Su base será a_1 = 8 y su razón será r = -7 . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

a_n = 8 -7 \cdot (n-1)

Ejemplo 5

Si consideramos la sucesión \{7,9,11,13,15,17, \ldots\}. Su base será a_1 = 7 y su razón será r = 2 . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

a_n = 7 + 2 \cdot (n-1)


Considerando la razón de una sucesión aritmética podemos determinar el comportamiento de la misma. Veamos entonces lo que podemos concluir:

  • Si la razón de la sucesión es positiva, es decir, r > 0, entonces la sucesión es creciente y al ser creciente, el primer elemento será su mínimo (e ínfimo), además será divergente hacia más infinito.
  • Si la razón de la sucesión es negativa, es decir, r < 0, entonces la sucesión es decreciente y al ser decreciente, el primer elemento será su máximo (y supremo), además será divergente hacia menos infinito.

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Determinar la fórmula general

Si bien hemos visto que a partir de dos elementos consecutivos de una sucesión aritmética podemos determinar la razón de la sucesión y a partir de esta podemos determinar la base de la sucesión, es posible determinar la fórmula general de una sucesión aritmética considerando dos elementos cualesquiera de esta.

Formalmente, si consideramos dos elementos de una sucesión aritmética a_i = a_1 + (i-1) \cdot r y a_j = a_1 + (j-1) \cdot r, podemos determinar el valor de a_1 y de r calculando la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar la fórmula general de una sucesión aritmética usando esta técnica.

Ejemplos

Ejemplo 6

Considerando a_{76} = 93 y a_{35} = -95 dos elementos de una sucesión aritmética. Determine la fórmula general de esta sucesión.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que a_1 - a_1 = 0 para obtener la siguiente ecuación

(41) \cdot r = 188

A partir de esta ecuación podemos despejar r, para obtener que r = \frac{ 188 }{ 41 } y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular a_1.

Sustituimos r en la primera ecuación y despejamos a_1

Finalmente, a_1 = \frac{-10287}{41} y de r = \frac{188}{41} , podemos expresar la fórmula general que define a la sucesión de la siguiente manera:

a_n = \frac{-10287}{41} + (n-1) \cdot \frac{188}{41}

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Ejemplo 7

Considerando a_{96} = 38 y a_{59} = 57 dos elementos de una sucesión aritmética. Determine la fórmula general de esta sucesión.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que a_1 - a_1 = 0 para obtener la siguiente ecuación

(37) \cdot r = -19

A partir de esta ecuación podemos despejar r, para obtener que r = \frac{ -19 }{ 37 } y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular a_1.

Sustituimos r en la primera ecuación y despejamos a_1

Finalmente, a_1 = \frac{3211}{37} y de r = \frac{-19}{37} , podemos expresar la fórmula general que define a la sucesión de la siguiente manera:

a_n = \frac{3211}{37} + (n-1) \cdot \frac{-19}{37}

Ejemplo 8

Considerando a_{64} = -5 y a_{51} = -98 dos elementos de una sucesión aritmética. Determine la fórmula general de esta sucesión.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que a_1 - a_1 = 0 para obtener la siguiente ecuación

(13) \cdot r = 93

A partir de esta ecuación podemos despejar r, para obtener que r = \frac{ 93 }{ 13 } y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular a_1.

Sustituimos r en la primera ecuación y despejamos a_1

Finalmente, a_1 = \frac{-5924}{13} y de r = \frac{93}{13} , podemos expresar la fórmula general que define a la sucesión de la siguiente manera:

a_n = \frac{-5924}{13} + (n-1) \cdot \frac{93}{13}

Ejemplo 9

Considerando a_{20} = -98 y a_{99} = -69 dos elementos de una sucesión aritmética. Determine la fórmula general de esta sucesión.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que a_1 - a_1 = 0 para obtener la siguiente ecuación

(-79) \cdot r = -29

A partir de esta ecuación podemos despejar r, para obtener que r = \frac{ -29 }{ -79 } y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular a_1.

Sustituimos r en la primera ecuación y despejamos a_1

Finalmente, a_1 = \frac{-8293}{79} y de r = \frac{29}{79} , podemos expresar la fórmula general que define a la sucesión de la siguiente manera:

a_n = \frac{-8293}{79} + (n-1) \cdot \frac{29}{79}


Límite de una Sucesión

Al estudiar el comportamiento de diversas sucesiones, notaremos que existen sucesiones cuyos elementos parecieran acumularse alrededor de un solo punto a medida que crece el valor de n y es posible definir formalmente este comportamiento.

Diremos que una sucesión a_n es convergente, e incluso siendo más específicos, diremos que una sucesión converge hacia un número real L, si

Para todo número \varepsilon > 0, existe un número n_0 tal que si n > n_0 entonces |a_n - L| < \varepsilon

En este caso, diremos que L es el límite de la sucesión a_n o que a_n tiende a L. Esta afirmación se puede escribir con notación matemática para mayor comodidad de la siguiente forma:

\lim \ a_n = L

En caso contrario, diremos que la sucesión es no-convergente, y más aún, en el caso que la sucesión crezca de forma indefinida, diremos que la sucesión es divergente y lo escribimos de la siguiente forma:

\lim \ a_n = \infty

Nuestro propósito será el de determinar el límite de sucesiones, veamos entonces el límite de algunas sucesiones cuyo límite surge de forma intuitiva a partir de su comportamiento.

Ejemplos

Ejemplo 1

Determine el límite de la sucesión \{ 3 \}_{n}. Esta es una sucesión constante, así que

\lim \ 5 = 5

Ejemplo 2

Determine el límite de la sucesión \{ n \}_{n}. La sucesión de los números reales crece de forma indefinida por lo que está diverge, así que

\lim \ n = \infty

Ejemplo 3

Determine el límite de la sucesión \{ \frac{1}{n} \}_{n}. La sucesión de proporcionalidad inversa se acerca al cero a medida que crece el valor de n, así que

\lim \ \frac{1}{n} = 0

Ejemplo 4

Determine el límite de la sucesión \{ (-1)^n \}_{n}. Esta sucesión alternante no converge pues si consideramos los valores pares de n, la sucesión tiende a uno, por otra parte, si consideramos los valores impares de n, la sucesión tiende a menos uno, así que \lim \ (-1)^n no existe.


Si bien en estos ejemplos consideramos sucesiones donde a simple vista podemos estudiar su límite, no siempre será así, por esto es importante destacar que al calcular el límite de operaciones entre sucesiones, podemos definir algunas propiedades. Formalmente, si \{ a_n \}_n y \{ b_n \}_n son dos sucesiones cuyos límites son L y M y, c es un número real, entonces

Si bien estas propiedades aligeran el cálculo de límites, estos cálculos no presentará dificultad alguna cuando las sucesiones involucradas son convergentes. Veamos una lista de propiedades para tomar en cuenta cuando alguna de las sucesiones involucradas es divergente.

Si \{ a_n \} y \{ b_n \} son dos sucesiones divergentes; \{ c_n \} y \{ d_n \} dos sucesiones que tienden a c_0 \neq 0 y a cero respectivamente; entonces consideremos las siguientes operaciones

Suma

La resta de infinitos será indeterminada, porque aunque la noción de infinito se usa para denotar números muy grandes, no necesariamente representan un mismo número. También hay que considerar que hay sucesiones que crecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar la resta entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece con mayor rapidez.

Producto

El producto de cero por infinito será indeterminado. Hay que considerar que hay sucesiones que crecen o decrecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar el producto entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece o decrece con mayor rapidez.

División

La división entre infinitos será indeterminada, porque aunque la noción de infinito se usa para denotar números muy grandes, no necesariamente representan un mismo número. También hay que considerar que hay sucesiones que crecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar la división entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece con mayor rapidez. De igual forma, la división de cero entre infinito o infinito entre cero será indeterminada pues se debe considerar que hay sucesiones que crecen o decrecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar la división entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece o decrece con mayor rapidez.

Potencias

Intuitivamente lo que ocurre es que si se multiplica un número mayor que uno por él mismo de forma indefinida, este producto tenderá hacia al infinito; si se multiplica un número mayor que uno por él mismo de forma indefinida de forma indefinida, este producto tenderá hacia cero; si se multiplica el número uno por él mismo de forma indefinida, este producto será siempre igual a uno. Pero cuando una expresión tiende a uno se multiplica por ella misma de forma indefinida, ¿hacia donde tiende? ¿A cero? ¿A uno? ¿A infinito?

De esta lista de operaciones, se han etiquetado con (IND) los límites indeterminados, más adelante veremos cuales son las técnicas para determinarlos. Por ahora, veamos con algunos ejemplos como calcular este tipo de límites infinitos que no presentan problemas de determinación.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considere la sucesión \left\{ n + 5 \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ n + 5 = \infty + 5 = \infty

Ejemplo 6

Considere la sucesión \left\{ 3n^2 - 12 \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ 3n^2 - 12 = 3 \cdot (\infty)^2 - 12 = 3 \cdot \infty - 12 = \infty - 12 = \infty

Ejemplo 7

Considere la sucesión \left\{ 3n^2 - 12 \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ 4n^3 + 6(n-14)^2 + 9 = 4(\infty)^3 + 6(\infty)^2 + 9 = 4 \cdot \infty + 6 \cdot \infty + 9 = \infty

Ejemplo 8

Considere la sucesión \left\{ \frac{1}{n} - \frac{3}{n} + 7 \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ \frac{1}{n} - \frac{3}{n+1} + 7 = \frac{1}{\infty} - \frac{3}{\infty} + 7 = 0 + 0+ 7 = 7

Ejemplo 9

Considere la sucesión \left\{ \sqrt{n} + \frac{11}{4n} + \sqrt[5]{n+3} \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ \sqrt{n} + \frac{11}{4n} + \sqrt[5]{n+3} = \sqrt{\infty} + \frac{11}{4 \cdot \infty} + \sqrt[5]{\infty+3} = \infty + 0 + \infty = \infty

Ejemplo 10

Considere la sucesión \left\{ (n+2)^{n^2-6} \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ (n+2)^{n^2-6} = (\infty+2)^{\infty^2-6} = \infty^{\infty} = \infty


Supremo e Ínfimo de una sucesión

Al estudiar las cotas de una sucesión, existen elementos que acotan a la sucesión con mayor rigurosidad que cualquier otra cota, estos son conocidos como el ínfimo y el supremo, veamos como están definidos y como identificarlos.

Supremo de una Sucesión

Si una sucesión está acotada superiormente, diremos que el supremo de esta sucesión es la menor de las cotas superiores, o en otras palabras, es el mínimo del conjunto de todas sus cotas superiores. Formalmente, diremos que una cota superior C_0 es el supremo de una sucesión a_n, si C_0 \leq C para toda cota superior C de la sucesión a_n. Usualmente se denota con sup(a_n).

Veamos algunos ejemplos del supremo de una sucesión:

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la sucesión \left\{ -n \right\}_{n} = \{ -1, -2, -3, -4, -5, -6, \ldots \}, ella está acotada superiormente, por lo tanto tiene supremo y este será sup(a_n)=-1, pues es la menor de las cotas superiores. Veamos gráficamente el comportamiento de la sucesión y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

En este caso particular, el supremo coincide con el máximo de la sucesión.

Ejemplo 2

Si consideramos la sucesión \left\{ 1 \right\}_{n} =\{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots \}, ella está acotada superiormente, por lo tanto tiene supremo y este será sup(a_n)=1, pues es la menor de las cotas superiores. Veamos gráficamente el comportamiento de la sucesión y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

En este caso particular, el supremo coincide con el máximo de la sucesión.

Ejemplo 3

Si consideramos la sucesión \left\{ 1-\frac{1}{n} \right\}_{n} = \left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots \right\}, ella está acotada superiormente, por lo tanto tiene supremo y este será sup(a_n)=1, pues es la menor de las cotas superiores. Veamos gráficamente el comportamiento de la sucesión y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

Notemos que en este caso, la sucesión no tiene máximo, sin embargo, sí tiene supremo pues toda sucesión acotada superiormente, tiene supremo. Lo hemos señalado con una línea roja.

Ínfimo de una Sucesión

Si una sucesión está acotada inferiormente, diremos que el ínfimo de esta sucesión es la mayor de las cotas inferiores, o en otras palabras, es el máximo del conjunto de todas sus cotas inferiores. Formalmente, diremos que una cota inferior $c_0$ es el ínfimo de una sucesión a_n, si $c_0 \geq r$ para toda cota inferior r de la sucesión a_n. Usualmente se denota con inf(a_n).

Veamos algunos ejemplos del supremo de una sucesión:

Ejemplos

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión \left\{ n \right\}_{n} = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots \}, ella está acotada inferiormente, por lo tanto tiene ínfimo y este será inf(a_n)=1, pues es la mayor de las cotas inferiores. Veamos gráficamente el comportamiento de la sucesión y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

En este caso particular, el ínfimo coincide con el mínimo de la sucesión.

Ejemplo 5

Si consideramos la sucesión \left\{ 3 \right\}_{n} = \{ 3, 3, 3, 3, 3, 3, \ldots \}, ella está acotada inferiormente, por lo tanto tiene ínfimo y este será inf(a_n)=3, pues es la mayor de las cotas inferiores. Veamos gráficamente el comportamiento de la sucesión y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

En este caso particular, el ínfimo coincide con el mínimo de la sucesión.

Ejemplo 6

Si consideramos la sucesión \left\{ \frac{1}{n} \right\}_{n} =\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \ldots \right\}, ella está acotada inferiormente, por lo tanto tiene ínfimo y este será inf(a_n)=0, pues es la mayor de las cotas inferiores. Veamos gráficamente el comportamiento de la sucesión y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

Notemos que en este caso, la sucesión no tiene mínimo, sin embargo, sí tiene ínfimo pues toda sucesión acotada inferiormente, tiene ínfimo. Lo hemos señalado con una línea roja.