Introducción a las ecuaciones con valor absoluto

29.11.201906.01.2023 Anthonny Arias-García1 comentario

¿Qué es una distancia?

Si consideramos dos objetos posicionados en dos lugares distintos, siempre habrá un espacio que los separa, al espacio más pequeño que los separa, se conoce como la distancia entre ellos dos y es posible medir este espacio fijando patrones, por ejemplo: metros, kilometros, bananas, pies, pulgadas o hasta canchas de fútbol americano.

En ocasiones, al trabajar con problemas de matemáticas avanzados, más allá de obtener valores, es necesario medir la magnitud de estos, pues su interpretación en el problema que se esté describiendo puede indicar resultados importantes. Para esto, debemos definir una herramienta que nos permita medir la magnitud de un número.

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¿Qué es el valor absoluto de un número?

Si $a$ es un número real, definimos valor absoluto de $a$ como la distancia que hay entre $a$ número y el número cero. El valor absoluto de $a$ se denota encerrando el número $a$ con dos barras verticales de al siguiente manera $|a|$ y formalmente se expresa así:

$\large \left| a \right| = \left\{ {\begin{array}{lcr} a & \text{si} & a \geq 0\\ \text{\'o} & & \\ -a & \text{si} & a < 0 \end{array} } \right.$

Ejemplos

Consideremos dos números, uno negativo y otro negativo, y veamos cómo calcular el valor absoluto de estos usando la definición formal:

Ejemplo 1

Si consideramos el número 3, como éste es un número positivo entonces tenemos que $3>0$ , por lo tanto $|3|=3$ . Gráficamente, nos damos cuenta que la distancia entre el número $3$ y el número cero, es igual a $3$ .

Ejemplo 2

Por otra parte si consideramos el número -2, como este es un número negativo entonces tenemos que $-2<0$ , por lo tanto $|-2|=-(-2)=2$ . Gráficamente, nos damos cuenta que la distancia entre el número $-2$ y el número cero, es igual a $2$ .

Nota: El valor absoluto de cero, es igual a cero, pues la distancia entre el cero y él mismo es igual a cero. Por otra parte, el valor absoluto de cualquier número real distinto de cero, al ser una medida, siempre es un número positivo.

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Ecuaciones con Valor Absoluto

Suponga que se plantea una situación que se puede describir con la siguiente ecuación: $|x| = 5$ , ¿qué números son los que satisfacen la igualdad? Sabemos que $|5|=5$ por lo que podemos concluir que $x=5$ es una solución de esta ecuación. Sin embargo, debemos notar que $|-5|=5$ , asi que podemos concluir que $x=-5$ también es una solución de esta ecuación.

En vista de que hay dos valores de $x$ que satisfacen la igualdad, entonces la solución de la ecuación está definida por el conjunto $\{-5,5\}$ pues ambos valores satisfacen la ecuación.

De forma general, si consideramos la ecuación $|x| = a$ , entonces los valores que satisfacen esta inecuación son $a$ y el opuesto aditivo de $a$ , es decir, $-a$ . Esto lo podemos expresar con la siguiente equivalencia.

$\displaystyle \Large \left| x \right| = a \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} x = a \\ \text{\'o} \\ x = -a \end{array} } \right.$

Ejemplos

Consideremos algunos ejemplos de ecuaciones lineales que involucran el valor absoluto de una variable.

Ejemplo 3

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación:

$|x|=7$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual a la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual al opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$\left| x \right| = 7 \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} x = 7 \\ \text{\'o} \\ x = -7 \end{array} } \right.$

Solución (1):

$x = 7$

Solución (2):

$x = -7$

Por lo tanto, la solución general de esta ecuación está viene dada por el conjunto $\{-7,7\}$ .

Ejemplo 4

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación:

$|x+4|=1$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual a la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual al opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$|x+4| = 1 \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} x + 4 = 1 \\ \text{\'o} \\ x + 4 = -1 \end{array} } \right.$

Solución (1):

$x + 4 = 1$

$\Rightarrow x = 1 - 4$

$\Rightarrow x = - 3$

Solución (2):

$x + 4 = -1$

$\Rightarrow x = -1 - 4$

$\Rightarrow x = - 5$

Por lo tanto, la solución general de esta ecuación está viene dada por el conjunto $\{-3,-5\}$ .

Ejemplo 5

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación:

$|-x+5|=9$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual a la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual al opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$|-x+5|=9 \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} -x + 5 = 9 \\ \text{\'o} \\ -x + 5 = -9 \end{array} } \right.$

Solución (1):

$-x + 5 = 9$

$\Rightarrow -x = 9 - 5$

$\Rightarrow -x = 4$

$\Rightarrow x = - 4$

Solución (2):

$-x + 5 = -9$

$\Rightarrow -x = -9 - 5$

$\Rightarrow -x = -14$

$\Rightarrow x = 14$

Por lo tanto, la solución general de esta ecuación está viene dada por el conjunto $\{-4,14\}$ .

Ejemplo 6

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación:

$|6x-10|=5$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual a la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual al opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$|6x-10|=5 \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} 6x - 10 = 5 \\ \text{\'o} \\ 6x - 10 = -5 \end{array} } \right.$

Solución (1):

$6x - 10 = 5$

$\Rightarrow 6x = 5 + 10$

$\Rightarrow 6x = 15$

$\Rightarrow x = \dfrac{15}{6}$

$\Rightarrow x = \dfrac{5}{2}$

Solución (2):

$6x - 10 = -5$

$\Rightarrow 6x = -5 + 10$

$\Rightarrow 6x = 5$

$\Rightarrow x = \dfrac{5}{6}$

Por lo tanto, la solución general de esta ecuación está viene dada por el conjunto $\left\{ \frac{5}{6} , \frac{5}{2} \right\}$ .

Ejemplo 7: El valor absoluto igual a un número negativo

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación:

$|2x+7|=-12$

Recordemos que el valor absoluto, al ser una medida, es siempre mayor o igual a cero. Por lo tanto, no existe un valor de $x$ para el cual el valor absoluto sea igual al número negativo $-12$ . En resumen, si nos preguntamos: ¿cuándo un número positivo es negativo? La respuesta es: nunca.

Ejemplo 8: Variables en ambos lados de la ecuación

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación:

$|2x+1|=x+4$

Lo primero que debemos notar al calcular la solución de esta ecuación, es que en ambos lados de la desigualdad hay una incógnita. Así que al final debemos tener evaluar para qué valores, esta igualdad tiene sentido.

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual a la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual al opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$|2x+1|=x+4 \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} 2x + 1 = x + 4 \\ \text{\'o} \\ 2x + 1 = -(x + 4) \\ \end{array} } \right.$

Solución (1):

$2x + 1 = x + 4$

$\Rightarrow 2x = x + 4 - 1$

$\Rightarrow 2x = x + 3$

$\Rightarrow 2x - x = 3$

$\Rightarrow x = 3$

Solución (2):

$2x + 1 = -(x + 4)$

$\Rightarrow 2x + 1 = -x - 4$

$\Rightarrow 2x = -x - 4 - 1$

$\Rightarrow 2x = -x - 5$

$\Rightarrow 2x + x = - 5$

$\Rightarrow 3x = - 5$

$\Rightarrow x = - \frac{5}{3}$

Considerando la expresión $x+4$ , no sabemos si esta es positiva o negativa, pues su valor depende del valor que tenga la variable $x$ . Entonces, definimos la solución parcial de nuestra ecuación con el conjunto $\left\{ -\frac{5}{3} , 3 \right\}$ .

Para determinar la solución general, debemos descartar los valores de $x$ para los cuales la expresión $x+4$ es negativa, pues el valor absoluto de un número siempre es positivo. Así,

Si $x=3$ , entonces $x+4 = 3 +4 = 7$ , por lo tanto $x=3$ sí es una solución de la ecuación.
Si $x=-\frac{5}{3}$ , entonces $x+4 = -\frac{5}{3} +4 = \frac{7}{3}$ , por lo tanto $x=-\frac{5}{3}$ sí es una solución de la ecuación.

Por lo tanto, la solución general de esta ecuación está viene dada por el conjunto $\left\{ -\frac{5}{3} , 3 \right\}$ .

Ejemplo 8: Variables en ambos lados de la ecuación

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación:

$|x+7|=2x+5$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual a la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual al opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$|x+7|=2x+5 \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} x + 7 = 2x + 5 \\ \text{\'o} \\ x + 7 = -(2x + 5) \\ \end{array} } \right.$

Solución (1):

$x + 7 = 2x + 5$

$\Rightarrow x = 2x + 5 - 7$

$\Rightarrow x = 2x - 2$

$\Rightarrow x -2x = - 2$

$\Rightarrow -x = - 2$

$\Rightarrow x = 2$

Solución (2):

$x + 7 = -(2x + 5)$

$\Rightarrow x + 7 = -2x - 5$

$\Rightarrow x = -2x - 5 - 7$

$\Rightarrow x = -2x - 12$

$\Rightarrow x + 2x = - 12$

$\Rightarrow 3x = - 12$

$\Rightarrow x = - \frac{12}{3}$

$\Rightarrow x = - 4$

Considerando la expresión $2x + 5$ , no sabemos si esta es positiva o negativa, pues su valor depende del valor que tenga la variable $x$ . Entonces, definimos la solución parcial de nuestra ecuación con el conjunto $\left\{-4 , 2 \right\}$ .

Para determinar la solución general, debemos descartar los valores de $x$ para los cuales la expresión $2x + 5$ es negativa, pues el valor absoluto de un número siempre es positivo. Así,

Si $x=2$ , entonces $2x+5 = 2(2) +4 = 4+4 = 8$ , por lo tanto $x=2$ sí es una solución de la ecuación.
Si $x=-4$ , entonces $2x+5 = 2(-4) +4 = -8+4 = -4$ , por lo tanto $x=-4$ no es una solución de la ecuación.

Por lo tanto, la solución general de esta ecuación está viene dada por el conjunto $\left\{ 2 \right\}$ .

El Método de Ruffini

16.11.201919.12.2022 Anthonny Arias-García19 comentarios

Al dividir números enteros, podemos usar un método conocido como la división larga y esta se generaliza para definir un método que permite efectuar la división entre polinomios. Sin embargo, este no es el único método.

Si consideramos de forma particular un polinomio $P(x)$ de grado $n$ y un polinomio $Q(x)=(x-r)$ de grado uno, presentaremos en esta sección, un método alternativo para podemos calcular la división entre estos dos polinomios, es decir, una división de la forma

$\frac{P(x)}{(x-r)}$

Este método se conoce como el Método de Ruffini y permite de forma directa efectuar este tipo de divisiones. Ya que el caso general considerando constantes arbitrarias puede resultar confuso para aquellas personas en niveles básicos de matemáticas, veremos con algunos ejemplos cómo se desarrolla este método.

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Método de Ruffini: División de Polinomios

Ejemplos

Ejemplo 1

Sean $P(x)=4x^3+x^2-3x+5$ y $Q(x)=(x-1)$ dos polinomios, para calcular la división $\frac{P(x)}{Q(x)}$ debemos considerar los siguientes elementos:

Los coeficientes del polinomio dividendo $P(x)$ , es decir, 4, 1, -3 y 5.

La raíz del polinomio divisor $Q(x)$ , es decir, $r=1$ .

Posteriormente, los disponemos así:

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 4 \ & \ 1 \ & \ -3 \ & \ 5 \ \\ 1 & \downarrow & & & \\ \hline & 4 & & & \end{array}}$

Multiplicamos el primer coeficiente del polinomio P(x) por $r=1$ , el resultado lo sumamos al segundo coeficiente y lo disponemos así: uno por cuatro es igual a cuatro, cuatro más uno es igual a cinco.

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 4 \ & \ 1 \ & \ -3 \ & \ 5 \ \\ 1 & \downarrow & 4 & & \\ \hline & 4 & 5 & & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=1$ y el resultado lo sumamos al tercer coeficiente: uno por cinco es igual a cinco, menos tres más cinco es igual a dos

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 4 \ & \ 1 \ & \ -3 \ & \ 5 \ \\ 1 & \downarrow & 4 & 5 & \\ \hline & 4 & 5 & 2 & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=1$ y el resultado lo sumamos al término independiente. uno por dos es igual a dos, cinco más dos es igual a siete

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 4 \ & \ 1 \ & \ -3 \ & \ 5 \ \\ 1 & \downarrow & 4 & 5 & 2 \\ \hline & 4 & 5 & 2 & \multicolumn{1}{|c}{7} \\ \cline{5-5} \end{array}}$

Los primeros tres números generados por debajo la línea horizontal corresponden a los coeficientes del polinomio $C(x)$ (que será un grado menor que $P(x)$ ) y el último número corresponde al resto de la división. De esta forma, podemos expresar el polinomio $P(x)$ de la siguiente forma:

$P(x) = (4x^2 + 5x + 2) \cdot (x-1) + 7$

Ejemplo 2

Sean $P(x)=x^4 - 15x^2 + 10x + 24$ y $Q(x)=(x-2)$ dos polinomios, para calcular la división $\frac{P(x)}{Q(x)}$ debemos considerar los siguientes elementos:

Los coeficientes del polinomio dividendo $P(x)$ , es decir, 1, 0, -15, 10 y 42. Si hay sumandos faltantes, es necesario completar el polinomio. Es decir,

$P(x)=x^4 + 0x^3 - 15x^2 + 10x + 24$ .

La raíz del polinomio divisor $Q(x)$ , es decir, $r=2$ .

Posteriormente, los disponemos así:

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ 0 \ & \ -15 \ & \ 10 \ & \ 24 \ \\ 2 & \downarrow & & & & \\ \hline & 1 & & & & \end{array}}$

Multiplicamos el primer coeficiente del polinomio P(x) por $r=2$ , el resultado lo sumamos al segundo coeficiente y lo disponemos así:

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ 0 \ & \ -15 \ & \ 10 \ & \ 24 \ \\ 2 & \downarrow & 2 & & & \\ \hline & 1 & 2 & & & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=2$ y el resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ 0 \ & \ -15 \ & \ 10 \ & \ 24 \ \\ 2 & \downarrow & 2 & 4 & & \\ \hline & 1 & 2 & -11 & & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=2$ y el resultado lo sumamos al cuarto coeficiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ 0 \ & \ -15 \ & \ 10 \ & \ 24 \ \\ 2 & \downarrow & 2 & 4 & -22 & \\ \hline & 1 & 2 & -11 & -12 & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=2$ y el resultado lo sumamos al término independiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ 0 \ & \ -15 \ & \ 10 \ & \ 24 \ \\ 2 & \downarrow & 2 & 4 & -22 & -24 \\ \hline & 1 & 2 & -11 & -12 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{6-6} \end{array}}$

Los primeros cuatro números generados por debajo la línea horizontal corresponden al polinomio $C(x)$ (que será de un grado menor que $P(x)$ ) y el último número corresponde al resto de la división, que en este caso es igual a cero, por lo tanto la división es exacta. De esta forma, podemos expresar el polinomio $P(x)$ de la siguiente forma:

$P(x) = (x^3 + 2x -11x - 12) \cdot (x-2) + 0 = (x^3 + 2x -11x - 12) \cdot (x-2)$

Notemos que si al dividir un polinomio $P(x)$ por un polinomio $Q(x)=(x-r)$ , la división es exacta, se concluye inmediatamente que $r$ es una raíz del polinomio $P(x)$ , por lo tanto es posible usar el Método de Ruffini para hallar las raíces enteras de un polinomio $P(x)$ dividiendo a este por polinomios de la forma $(x-r)$ y verificado para cuáles casos esta división es exacta.

Ejemplo 3: Propuesto por un usuario de totumat

Sean $P(x)=- x^2 + x^4 + x^3 - 2x- 2$ y $Q(x)=x+\sqrt{2}$ dos polinomios, para calcular la división $\frac{P(x)}{Q(x)}$ debemos considerar los siguientes elementos:

Los coeficientes del polinomio dividendo $P(x)$ , es decir, 1, 1, -1, -2 y -2. Si los sumandos no están ordenados desde el mayor exponente hasta el menor exponente, es necesario reordenar el polinomio, es decir,

$P(x)=x^4 + x^3 - x^2 - 2x- 2$ .

La raíz del polinomio divisor $Q(x)$ , es decir, $r=-\sqrt{2}$ .

Posteriormente, los disponemos así:

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ \ 1 \ \ & \ \ 1 \ \ & \ \ -1 \ \ & \ \ -2 \ \ & \ \ -2 \ \ \\ -\sqrt{2} & \downarrow & & & & \\ \hline & 1 & & & & \end{array}}$

Multiplicamos el primer coeficiente del polinomio $P(x)$ por $r=-\sqrt{2}$ y el resultado lo sumamos al segundo coeficiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ \ 1 \ \ & \ \ 1 \ \ & \ \ -1 \ \ & \ \ -2 \ \ & \ \ -2 \ \ \\ -\sqrt{2} & \downarrow & -\sqrt{2} & & & \\ \hline & 1 & 1 -\sqrt{2} & & & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=-\sqrt{2}$ y obtenemos $-\sqrt{2} \cdot (1-\sqrt{2}) = -\sqrt{2} + 2$ , este resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ \ 1 \ \ & \ \ 1 \ \ & \ \ -1 \ \ & \ \ -2 \ \ & \ \ -2 \ \ \\ -\sqrt{2} & \downarrow & -\sqrt{2} & -\sqrt{2} + 2 & & \\ \hline & 1 & 1 -\sqrt{2} & -\sqrt{2} + 1 & & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=-\sqrt{2}$ y obtenemos $-\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2} + 1) = 2 - \sqrt{2}$ , este resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ \ 1 \ \ & \ \ 1 \ \ & \ \ -1 \ \ & \ \ -2 \ \ & \ \ -2 \ \ \\ -\sqrt{2} & \downarrow & -\sqrt{2} & -\sqrt{2} + 2 & 2-\sqrt{2} & \\ \hline & 1 & 1 -\sqrt{2} & -\sqrt{2} + 1 & -\sqrt{2} & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=-\sqrt{2}$ y obtenemos $-\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2}) = 2$ , este resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ \ 1 \ \ & \ \ 1 \ \ & \ \ -1 \ \ & \ \ -2 \ \ & \ \ -2 \ \ \\ -\sqrt{2} & \downarrow & -\sqrt{2} & -\sqrt{2} + 2 & 2-\sqrt{2} & 2 \\ \hline & 1 & 1 -\sqrt{2} & -\sqrt{2} + 1 & -\sqrt{2} & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{6-6} \end{array}}$

Los primeros cuatro números generados por debajo la línea horizontal corresponden al polinomio $C(x)$ (que será de un grado menor que $P(x)$ ) y el último número corresponde al resto de la división, que en este caso es igual a cero, por lo tanto la división es exacta. De esta forma, podemos expresar el polinomio $P(x)$ de la siguiente forma:

$P(x) = \left[ x^3+ (1-\sqrt{2})x^2+ (-\sqrt{2} + 1)x -\sqrt{2} \right] \cdot(x+\sqrt{2})$

De esta última expresión podemos concluir que $r=2$ es una raíz del polinomio $P(x)$ .

Método de Ruffini: Cálculo de Raíces Enteras

¿Cómo hallar las raíces enteras de un polinomio utilizando el Método de Ruffini? Consideremos un polinomio de grado $n$ que cuenta con $n$ raíces, entonces éste se puede factorizar de la forma

$P(x) = k \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2) \cdot \ldots \cdot (x-x_n)$

Podemos notar que cuando aplicamos la propiedad distributiva entre todos estos productos, el término independiente del polinomio resultante será igual al producto de todas las raíces. Por ejemplo, si consideramos $P(x) = (x-2)(x+3)$ , éste se puede expandir como $P(x) = x^2 +x - 6$ . Las raíces de este polinomio son $2$ y $-3$ , que son algunos de los divisores de $-6$ .

Tomando en cuenta este hecho, pudiéramos decir que al considerar un polinomio de la forma

$\displaystyle P(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_{2} x^{2}+ a_{1} x + a_{0}$

los divisores del término independiente $a_0$ serán las posibles raíces de éste polinomio.

Sabiendo esto, podemos aplicar el Método de Ruffini para hallar las raíces de un polinomio $P(x)$ , pues al dividir por $(x-r)$ , si esta división es exacta, concluimos que $r$ es una raíz de $P(x)$ . Considerando de forma particular, $r$ como los divisores del término independiente del polinomio $P(x)$ ).

Para tener más clara esta idea, consideremos los siguientes ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 4

Sea $P(x)=x^3+4x^2-x-4$ , consideremos los divisores del término independiente que este caso son $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 4$ . Tomemos el primero de estos divisores que es $1$ y apliquemos el Método de Ruffini:

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 1 \ & \ 4 \ & \ -1 \ & \ -4 \ \\ 1 & & 1 & 5 & 4 \\ \hline & 1 & 5 & 4 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{5-5} \end{array}}$

Como el resto de la división es cero, concluimos que $1$ es una raíz del polinomio $P(x)$ . Pudiera ser que $1$ también sea una raíz del último polinomio generado, entonces verificamos si $1$ es también raíz de este polinomio:

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 1 \ & \ 4 \ & \ -1 \ & \ -4 \ \\ 1 & & 1 & 5 & 4 \\ \hline & 1 & 5 & 4 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{5-5} 1 & & 1 & 5 \\ \cline{1-4} & 1 & 6 & \multicolumn{1}{|c}{10} \\ \cline{4-4} \end{array}}$

Como el resto de esta última división es distinto de cero, descartamos que $1$ pueda ser raíz del último polinomio generado, por lo tanto borramos lo escrito y continuamos verificando cuales son las raíces. El siguiente número que usaremos será $-1$ .

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 1 \ & \ 4 \ & \ -1 \ & \ -4 \ \\ 1 & & 1 & 5 & 4 \\ \hline & 1 & 5 & 4 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{5-5} -1 & & -1 & -4 \\ \cline{1-4} & 1 & 4 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{4-4} \end{array}}$

Como el resto de esta última división es cero, concluimos que $-1$ es una raíz del polinomio $P(x)$ . Pudiera ser que $-1$ también sea una raíz del último polinomio generado, entonces verificamos si $-1$ es también raíz de este polinomio.

Como el resto de esta última división es distinto de cero, descartamos que $-1$ pueda ser raíz del último polinomio generado, por lo tanto borramos lo escrito y continuamos verificando cuales son las raíces.

Si continuamos haciendo el mismo procedimiento con $2$ , $-2$ y $4$ concluimos que ninguno de estos es raíz del polinomio $P(x)$ , sin embargo, al verificar con $-4$ obtenemos que:

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio $P(x)$ son $1$ , $-1$ y $4$ . Además, podemos factorizar este polinomio de la siguiente forma:

$P(x)=x^3+4x^2-x-4 = (x-1) \cdot (x+1) \cdot (x-4)$

Ejemplo 5

Sea $P(x)=x^4 - 9x^2 + 4x + 12$ , consideramos los divisores del término independiente que este caso son $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ , $\pm 4$ , $\pm 6$ y $\pm 12$ ; y aplicamos el Método de Ruffini:

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ 0 \ & \ -9 \ & \ 4 \ & \ 12 \ \\ -1 & & -1 & 1 & 8 & -12 \\ \cline{1-6} & 1 & -1 & -8 & 12 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{6-6} 2 & & 2 & 2 & -12 \\ \cline{1-5} & 1 & 1 & -6 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{5-5} 2 & & 2 & 6 & \\ \cline{1-4} & 1 & 3 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{4-4} -3 & & -3 & \\ \cline{1-3} & 1 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{3-3} \end{array}}$

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio $P(x)$ son $-1$ , $2$ , $2$ y $-3$ . Notamos que el número dos se repite dos veces al desarrollar el Método de Ruffini, en este caso decimos que es una raíz de multiplicidad igual a dos. Además, podemos factorizarlo de la siguiente forma:

$P(x)=x^4 - 9x^2 + 4x + 12 = (x+1) \cdot (x-2) \cdot (x-2) \cdot (x+3)$

Que a su vez, multiplicando $(x-2) \cdot (x-2)$ obtenemos lo siguiente:

$P(x)=x^4 - 9x^2 + 4x + 12 = (x+1) \cdot (x-2)^2 \cdot (x+3)$

Ejemplo 6

Sea $P(x)=3x^4 -48x^3 + 288x^2 - 768x - 768$ . Notamos que el coeficiente principal de este polinomio es igual a tres, es por esto que lo más conveniente es sacarlo como factor común para obtener $P(x)=3(x^4 -16x^3 + 96x^2 - 256x + 256)$ consideramos los divisores del término independiente que este caso son $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 4$ , $\pm 8$ , $\pm 16$ , $\pm 32$ , $\pm 64$ , $\pm 128$ y $\pm 256$ ; y aplicamos el Método de Ruffini:

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ -16 \ & \ 96 \ & \ -256 \ & \ 256 \ \\ 4 & & 4 & -48 & 192 & -256 \\ \cline{1-6} & 1 & -12 & 48 & -64 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{6-6} 4 & & 4 & -32 & 64 \\ \cline{1-5} & 1 & -8 & 16 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{5-5} 4 & & 4 & -16 & \\ \cline{1-4} & 1 & -4 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{4-4} 4 & & 4 & \\ \cline{1-3} & 1 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{3-3} \end{array}}$

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio $P(x)$ son $latex4$, $latex4$, $latex4$ y $latex4$. Notamos que el número cuatro se repite cuatro veces, en este caso decimos que es una raíz de multiplicidad igual a cuatro. Además, podemos factorizarlo de la siguiente forma:

$P(x) = 3 \cdot (x-4) \cdot (x-4) \cdot (x-4) \cdot (x-4) = (x-4)^4$

En estos últimos ejemplos, desarrollamos el Método de Ruffini sobre las raíces directamente para no extender la lectura, pero hay que tomar en cuenta que se deben considerar todas las posibles raíces verificando con cada los casos en que el resto es igual a cero.

Ejercicios propuestos por los usuarios de totumat

Factorización Polinomios

15.11.201917.12.2022 Anthonny Arias-García1 comentario

¿Qué es factorizar?

Si consideramos el producto entre números reales, llamamos factor a cada uno de estos números involucrados en dicho producto. Por ejemplo, si consideramos el producto $2 \cdot 3$ , diremos que $2$ y $3$ son los factores que representan este producto.

De forma general, podemos representar el producto de dos factores como $a \cdot b$ , donde $a$ y $b$ son dos números reales. De igual forma, podemos representar el producto de n factores como $a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdots a_n$ , donde $a_1$ , $a_2$ , …, $a_n$ son n números reales.

Estos números reales pueden venir definidos por variables, por ejemplo si consideramos el producto $(x+2) \cdot (x+7)$ entonces los elementos variables $(x+2)$ y $(x+7)$ serán los factores que representan este producto.

Factorizar (o factorización) es el proceso de reescribir una expresión como un producto de factores. Por ejemplo, si consideramos la expresión $3x + 3x^2$ , podemos notar que $3x$ es un factor común en ambos sumandos y aplicando la propiedad distributiva podemos expresarla como $3x \cdot (1+x)$ , es decir, la reescribimos como un producto de dos factores $3x$ y $1+x$ . Si una expresión se reescribe como el producto de factores, diremos que esta ha sido factorizada.

Todo número real se puede expresar como el producto de al menos dos factores, pues si consideramos cualquier número real a, entonces $a = 1 \cdot a$ , decimos que este es el caso trivial, es por esto que cuando consideremos factorizar una expresión, obviamos este caso pues no representa particular interés para lo que pretendemos desarrollar.

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Relación entre las raíces de un polinomio y su factorización

Considerando un polinomio $P(x)$ de grado $n$ , si sus raíces son $\{ x_1, x_2, x_3,\ldots,x_n \}$ y su coeficiente principal es igual a $k$ , entonces el polinomio $P(x)$ se puede factorizar de la siguiente forma:

$P(x) = k \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2) \cdot \ldots \cdot (x-x_n)$

Una forma general para factorizar un polinomio es hallando las raíces y aplicar el resultado antes visto, por lo tanto es necesario desarrollar métodos que permitan para hallar las raíces de un polinomio. Es decir, hallar los valores de $x$ para los cuales se cumple la ecuación $P(x)=0$ .

Vemos en los siguientes ejemplos, como factorizar algunos polinomios sabiendo cuales son sus raíces.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si las raíces del polinomio $P(x)=x^2-2x+1$ son $x_1=1$ y $x_2=-1$ , éste se puede factorizar de la siguiente manera:

$P(x) = (x-1) \cdot (x+1)$

Ejemplo 2

Si las raíces del polinomio $P(x)=x^2+5x+6$ son $x_1=-2$ y $x_2=-3$ , éste se puede factorizar de la siguiente manera:

$P(x) = (x+2) \cdot (x+3)$

Ejemplo 3

Si las raíces del polinomio $P(x)=5x^2-15x-140$ son $x_1=-4$ y $x_2=7$ , éste se puede factorizar de la siguiente manera:

$P(x) = 5 \cdot (x+4) \cdot (x-7)$

Ejemplo 4

Si las raíces del polinomio $P(x)=3x^3+51x^2+186x-240$ son $x_1=1$ , $x_2=-8$ y $x_3=10$ , éste se puede factorizar de la siguiente manera:

$P(x) = 3 \cdot (x-1) \cdot (x+8) \cdot (x+10)$

Observando los ejemplos expuestos, consideremos de forma particular los polinomios cuadráticos, pues podemos notar que si $P(x)=ax^2+bx+c$ es un polinomio cuadrático, entonces la ecuación $P(x)=ax^2+bx+c=0$ es justamente una ecuación cuadrática.

En otras palabras, estamos diciendo que podemos determinar las raíces de un polinomio cuadrático utilizando el método del discriminante, y más aún, factorizarlo a partir de sus raíces.

Consideremos algunos ejemplos para explicar este hecho, tomando en cuenta que el método del discriminante establece que los valores de que $x$ que satisfacen la ecuación $ax^2+bx+c=0$ están expresados de la siguiente forma:

$\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Ejemplos: Factorizar polinomios cuadráticos

Ejemplo 5

Factorice el polinomio $P(x)=x^2+5x+6$ a partir de sus raíces. Debemos notar que $a=1$ , $b=5$ y $c=6$ . Entonces,

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2-4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

$= \dfrac{-5 \pm \sqrt{25-24}}{2}$

$= \dfrac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}$

$= \dfrac{-5 \pm 1}{2}$

Luego,

$x_1 = \dfrac{-5 + 1}{2}$

$= \dfrac{-4}{2}$

$= -2$

$x_2 = \dfrac{-5 - 1}{2}$

$= \dfrac{-6}{2}$

$= -3$

Así, podemos factorizar el polinomio $P(x)=x^2+5x+6$ de la siguiente forma:

$P(x)$

$= (x-x_1) \cdot (x_2)$

$= (x-(-2)) \cdot (x-(-3))$

$= (x+2) \cdot (x-+3)$

Ejemplo 6

Factorice el polinomio $P(x) = 5x^2-15x-50=0$ a partir de sus raíces. Debemos notar que $a=5$ , $b=-15$ y $c=-50$ . Entonces,

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}$

$= \dfrac{3 \pm \sqrt{9+40}}{2}$

$= \dfrac{3 \pm \sqrt{49}}{2}$

$= \dfrac{3 \pm 7}{2}$

Luego,

$x_1 = \dfrac{3 + 7}{2}$

$= \dfrac{10}{2}$

$= 5$

$x_2 = \dfrac{3 - 7}{2}$

$= \dfrac{-4}{2}$

$= -2$

Así, podemos factorizar el polinomio $P(x) = 5x^2-15x-50=0$ de la siguiente forma:

$P(x)$

$= 5 \cdot (x-x_1) \cdot (x_2)$

$= 5 \cdot (x-5) \cdot (x-(-2))$

$= 5 \cdot (x-5) \cdot (x+2)$

Existen diversas formas de factorizar polinomios y el método del discriminante es una de ellas, y aunque se limita de forma particular a los polinomios cuadráticos, servirá de apoyo para otros métodos de factorización de polinomios.

Raíz de un polinomio

13.11.201917.12.2022 Anthonny Arias-García3 comentarios

Al estudiar polinomios, estudiamos expresiones que involucran variables y potencias de variables, sin embargo, el poder de los polinomios se magnifica al considerar valores reales para estas variables, pues a través de ellos podemos determinar información valiosa en distintos campos de las ciencias.

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Evaluar polinomios

Diremos que evaluar un polinomio $P(x)$ en un número real $b$ es sustituir la variable $x$ por el número $b$ , esta sustitución la denotaremos $P(b)$ . De esta forma, si $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ es un polinomio, entonces evaluamos éste polinomio en $b$ de la siguiente forma:

$\displaystyle P(b) = a_{n} b^{n} + a_{n-1} b^{n-1} + \ldots + a_{2} b^{2}+ a_{1} x + a_{0}$

Posteriormente se pueden efectuar las operaciones indicadas en la definición del polinomio para obtener como resultado un número real. Veamos en los siguientes ejemplos cómo evaluar polinomios:

Ejemplos

Ejemplo 1

Al evaluar el polinomio $P(x)= 3x+2$ en $b=3$ obtenemos el siguiente resultado:

$P(3)= 3 \cdot 3+2=6+2=8$

Ejemplo 2

Al evaluar el polinomio $Q(x)=5x^2+2x+7$ en $b=-2$ obtenemos el siguiente resultado:

$Q(-2)=5 \cdot (-2)^2+2 \cdot (-2)+7=5 \cdot 4 -4+7 = 20+3=23$

Ejemplo 3

Al evaluar el polinomio $R(x)= -8x^6 + x^5 + x^3 - 4x +3$ en $b=1$ obtenemos el siguiente resultado:

$R(1)= -8(1)^6 + (1)^5 + (1)^3 - 4(1) +3 = -4$

Ejemplo 3

Al evaluar el polinomio $S(x)= x^3 - 3x^2 - x +3$ en $b=-1$ obtenemos el siguiente resultado:

$S(-1)= (-1)^3 - 3(-1)^2 - (-1) +3 = -1-3+1+3 = 0$

Raíces de un polinomio

Al evaluar polinomios, será de nuestro particular interés los casos en que el resultado es exactamente igual a cero. Formalmente, definimos la raíz de un polinomio $P(x)$ como un número real $r$ tal que al evaluarlo en dicho polinomio, el resultado es igual a cero, es decir, una raíz de un polinomio es un número real $r$ que satisface la siguiente ecuación:

$P(r)=0$

Para entender mejor esta idea, veamos algunos ejemplos de raíces de polinomios.

Ejemplos

Ejemplo 4

Si consideramos el polinomio $P(x)= x^2-4$ ,

Si consideramos $r=1$ , esta no es una raíz del polinomio pues

$P(1)=1-4=-3$

Si consideramos $r=2$ , esta sí es una raíz del polinomio pues

$P(2)=(2)^2-4=4-4=0$

Si consideramos $r=-2$ , esta sí es una raíz del polinomio pues

$P(-2)=(-2)^2-4=4-4=0$

Ejemplo 5

Si consideramos el polinomio $P(x)=x^2+2x+1$ ,

Si consideramos $r=3$ , esta no es una raíz del polinomio pues

$P(3)= (3)^2+2(3)+1=9+6+4=19$

Si consideramos $r=-1$ , esta sí es una raíz del polinomio pues

$P(x)=(-1)^2+2(-1)+4=1-2+1=0$

Ejemplo 6

Si consideramos el polinomio $P(x)=x^4+x^2+16$ ,

Si consideramos $r=1$ , esta no es una raíz del polinomio pues

$P(1)=(1)^4+(1)^2+16=1+1+16=18$

Si consideramos $r=-1$ , esta no es una raíz del polinomio pues

$P(-1)=(-1)^4+(-1)^2+16=1+1+16=18$

De hecho, este último polinomio no tiene raíces pues notemos que $x^4$ , $x^2$ y $16$ son números positivos, por lo tanto su suma siempre será mayor que cero.

Diremos que $n$ es un número par si éste es un múltiplo de 2, es decir, tal que $n=2k$ para algún número natural k. Entonces, si n es un número par, a partir de la ley de los signos para el producto podemos concluir que $x^n$ siempre será un número positivo.

Notamos que hay polinomios que tienen raíces y otros que no, entonces nos preguntamos, ¿habrá una forma general para determinar las raíces de un polinomio? La respuesta es no, sin embargo, podemos hacernos una idea de cuántas raíces debería tener un polinomio, y es que si consideramos un polinomio $P(x)$ de grado $n$ , entonces éste tendrá a lo sumo $n$ raíces, es decir, puede ser que no tenga ninguna, que tenga una, dos, tres, etcétera, pero no más de $n$ raíces.

Debido a la íntima relación que guardan los polinomios y las ecuaciones a través de sus raíces, podremos definir poderosas herramientas que nos permitan hallar la solución de distintas ecuaciones con relativa facilidad, esto, siempre que tengamos claras las propiedades de las operaciones de suma y multiplicación definidas para los números reales.

Polinomios

11.11.201916.12.2025 Anthonny Arias-García4 comentarios

Incógnitas y Variables

¿Qué es una variable?

Si consideramos una ecuación, digamos $x+2=5$ , definimos una incógnita $x$ como un número desconocido cuyo valor debemos calcular. Este valor está condicionado a la relación que establece la igualdad y que, una vez que aplicamos las técnicas de despeje, concluimos que $x=3$ .

Sin embargo, el uso de $x$ puede extenderse, pues podemos usarla como un elemento cuyo valor puede variar. Si consideramos la expresión $x+2$ , notamos inmediatamente que el valor de $x$ no está restringido por una igualdad, así que esta pudiera tomar cualquier valor, por ejemplo,

Si el valor de $x$ es igual a $4$ , entonces $x+2 = 4+2 = 6$ .
Si el valor de $x$ es igual a $-10$ , entonces $x+2 = -10+2 = -8$ .
Si el valor de $x$ es igual a $299$ , entonces $x+2 = 299+2 = 301$ .

De esta forma, si el valor de $x$ no tiene condiciones que lo fijen a un solo valor, podemos decir que este tiene un valor variable. Formalmente, decimos que una variable es un elemento que puede tomar cualquier valor en un conjunto dado y que usualmente se denota con $x$ , $y$ o $z$ .

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Potencias de la variable

Notemos que al considerar ecuaciones cuadráticas, éstas difieren de las ecuaciones lineales porque encontramos que la incógnita $x$ aparece multiplicada por ella misma, es decir, aparece $x^2$ como un sumando.

Recordando que una potencia de un número real $x$ es el producto de dicho número $x$ por sí mismo una cierta cantidad de veces, si multiplicamos $x \cdot x \cdot ... \cdot x$ n veces, expresamos este producto con $x^n$ y decimos que es la n-ésima potencia de $x$ . A $n$ lo llamamos exponente y a $x$ lo llamamos base.

Estudiaremos en esta sección, una herramienta que nos define expresiones matemáticas que involucran potencias de una variable.

¿Qué es un polinomio?

Si decimos que x es un número real que puede adquirir cualquier valor en el conjunto de los números reales, entonces decimos que ésta es una variable real y si consideramos $a_0, a_1, a_2, ..., a_{n-1}, a_n$ un conjunto de $n+1$ números reales. Definimos un polinomio $P(x)$ con la siguiente expresión:

$\displaystyle P(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_{2} x^{2}+ a_{1} x + a_{0}$

Considerando la expresión que define a un polinomio, podemos identificar varios elementos en ella:

Al conjunto de números reales $a_0, a_1, a_2, ..., a_{n-1}, a_n$ los llamaremos coeficientes del polinomio.
El coeficiente $a_n$ será el coeficiente principal y es quien multiplica a la $x$ con la mayor potencia.
El coeficiente $a_0$ será el término independiente y no multiplica la variable $x$ , ni a sus potencias,
Al número natural $n$ lo llamaremos grado del polinomio y será el mayor de los exponentes involucrados en la expresión.

A un polinomio de grado dos, lo llamaremos polinomio cuadrático y a un polinomio de grado tres lo llamaremos polinomio cúbico.

Pareciera engorrosa la definición de lo que es un polinomio, pero con varios ejemplos veremos que son simplemente la suma de potencias de x multiplicadas por números reales.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos el polinomio $P(x)= 3x+2$ , podemos identificar en él los siguientes elementos:

El grado es $1$
El coeficiente principal es $3$
El término independiente es $2$

Ejemplo 2: Polinomio Cuadrático

Si consideramos el polinomio $P(x)= 5x^2+2x+7$ , podemos identificar en él los siguientes elementos:

El grado es $2$
El coeficiente principal es $5$
El término independiente es $7$

Nota: A un polinomio de grado igual a dos, se le conoce como Polinomio de Segundo Grado ó Polinomio Cuadrático.

Ejemplo 3: Polinomio Cúbico

Si consideramos el polinomio $P(x)= -9x^3-15x^2+x+20$ , podemos identificar en él los siguientes elementos:

El grado es $3$
El coeficiente principal es $-9$
El término independiente es $20$

Nota: A un polinomio de grado igual a tres, se le conoce como Polinomio de Tercer Grado ó Polinomio Cúbico.

Al definir herramientas basadas en los polinomios, puede resultar necesario tomar en consideración algunas formas de reescribirlos, con el fin de estandarizar la forma en que estos se expresan.

Ejemplo 4: Completar un polinomio

Si consideramos el polinomio $P(x)= 8x^6 + x^5 + x^3 - 4x -3$ , podemos identificar en él los siguientes elementos:

El grado es $6$
El coeficiente principal es $8$
El término independiente es $-3$

Además, podemos notar que faltan las potencias 4 y 2 de $x$ . Como el cero es el elemento nulo del producto y además es el elemento neutro de la suma, podemos decir que los coeficientes que multiplican a $x^4$ y $x^2$ son iguales a cero, por esta razón no hace falta escribir esos sumandos. Sin embargo podemos completar el polinomio de la siguiente manera:

$P(x)= 8x^6 + x^5 + 0x^4 + x^3 + 0x^2 -4x +3$

Ejemplo 5: Reordenar un polinomio

Si consideramos el polinomio $P(x)= 4x^4 - 7x^6 + 17 - 2x^{10} + x^5$ , podemos identificar en él los siguientes elementos:

El grado es $10$
El coeficiente principal es $-2$
El término independiente es $17$

Además, podemos notar que la mayor potencia aparece como un primer sumando, pero, como la suma es conmutativa, nosotros podemos reordenar los sumandos del polinomio de modo que las potencias se escriban en orden decreciente de la siguiente manera:

$P(x)=- 2x^{10} -7x^6 + x^5 + 4x^4 + 17$

Ejemplo 6: Agrupación de términos

Si consideramos el polinomio $P(x)= 6x^2 + 2x^2 + 17x - 7x + 4 + 11$ , podemos notar que los términos $x^2$ , $x$ aparecen dos veces, además, ¿hay dos términos independientes? En este caso podemos agrupar los términos semejantes, para esto recurrimos a la propiedad distributiva de la suma y multiplicación (particular mente a sacar el factor común de una suma), y además de la propiedad asociativa de la suma para reescribir el polinomio de la siguiente forma:

$P(x) = 6x^2 + 2x^2 + 17x - 7x + 4 + 11$

$= (6 + 2)x^2 + (17 - 7)x + (4 + 11)$

$= 8x^2 + 10x + 15$

Una vez que hemos agrupado los términos semejantes, podemos identificar en él los siguientes elementos:

El grado es $2$
El coeficiente principal es $8$
El término independiente es $15$

Definir polinomios nos proveerá maleabilidad sobre distintas expresiones matemáticas, que de momento no comprenderemos. Entender como está definido un polinomio y saber identificar sus elementos nos permitirá desarrollar herramientas sofisticadas para análisis complejos.

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