Categoría: Derivadas

Monotonía de Funciones

Anthonny Arias-García2 comentarios

Hemos dicho anteriormente que las derivadas presentan una herramienta valiosa para el estudio de funciones, sin embargo, no se ha especificado qué tipo de estudio ni como éstas ayudan a estudiar las funciones. Empecemos por definir los conceptos básicos sobre el comportamiento de las funciones.

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Funciones Crecientes

De forma intuitiva, diremos que una función f(x) es creciente si esta se hace más grande a medida que crece la variable x. Formalmente, diremos que una función es creciente en un intervalo (a,b) si para todo x_1, x_2 \in (a,b) tal que x_1 < x_2 entonces f(x_1) < f(x_2).

Gráficamente, si x_1 está a la izquierda de x_2, entonces f(x_1) está por debajo de f(x_2) pero además, podemos notar que la recta tangente a la curva en cualquier punto de este intervalo tendrá pendiente positiva

Funciones Crecientes | totumat.com

Por lo tanto es posible caracterizar las funciones crecientes a partir de la derivada pues al calcular la derivada en cualquier punto de (a,b), esta será positiva.

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Funciones Decrecientes

Por otra parte, diremos que una función f(x) es decreciente si esta se hace más pequeña a medida que crece la variable x. Formalmente, diremos que una función es decreciente en un intervalo (a,b) si para todo x_1, x_2 \in (a,b) tal que x_1 < x_2 entonces f(x_1) > f(x_2).

Gráficamente, si x_1 está a la izquierda de x_2, entonces f(x_1) está por encima de f(x_2) pero además, podemos notar que la recta tangente a la curva en cualquier punto de este intervalo tendrá pendiente negativa

Funciones Decrecientes | totumat.com

Por lo tanto es posible caracterizar las funciones decrecientes a partir de la derivada pues al calcular la derivada en cualquier punto de (a,b), esta será negativa.

Caracterización de la monotonía de funciones

Si una función es solo creciente o solo decreciente en un intervalo, diremos que esta es monótona en dicho intervalo. Las caracterizaciones que hemos notado se pueden usar para determinar criterios sobre el crecimiento o decrecimiento de una función de la siguiente forma: Sea f(x) una función definida en un intervalo (a,b), tenemos que para todo x \in (a,b)

Si f'(x) > 0, entonces f(x) es creciente
Si f'(x) < 0, entonces f(x) es decreciente

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar monotonía de una función usando la primera derivada.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Determine la monotonía de la función f(x) = x^3 + 8 en todo su dominio, es decir, en el intervalo (-\infty,+\infty).

Para esto calculamos la primera derivada de f(x) y obtener que f'(x) = 3x^2. Notamos inmediatamente que 3 es un número positivo y la expresión x^2 siempre es un número positivo, por lo tanto, f'(x) = 3x^2 > 0 para todo número real x. Entonces, tomando en cuenta el criterio de la primera derivada, concluimos que la función es creciente en todo su dominio.

Ejemplo 2

Determine la monotonía de la función f(x) = \frac{7}{x} en el intervalo (3,10).

Para esto calculamos la primera derivada de f(x) y obtener que f'(x) = -\frac{7}{x^2}. Notamos inmediatamente que 7 es un número positivo y la expresión x^2 siempre es un número positivo, por lo tanto, f'(x) = -\frac{7}{x^2} < 0 para todo número real x. Entonces, tomando en cuenta el criterio de la primera derivada, concluimos que la función es decreciente en el intervalo (3,10), e incluso podemos afirmar que es decreciente en todo su dominio.

Ejemplo 3

Determine la monotonía de la funciónf(x) = \textit{\Large e}^{5x-9} en el intervalo (-5,12).

Para esto calculamos la primera derivada de f(x) y obtener que f'(x) = 5\textit{\Large e}^{5x-9}. Notamos inmediatamente que 5 es un número positivo y la expresión \textit{\Large e}^{5x-9} siempre es un número positivo, por lo tanto, f'(x) =5 \textit{\Large e}^{5x-9} > 0 para todo número real x. Entonces, tomando en cuenta el criterio de la primera derivada, concluimos que la función es creciente en el intervalo (-5,12), e incluso podemos afirmar que es creciente en todo su dominio.

Ejemplo 4

Determine la monotonía de la funciónf(x) = \frac{x^2}{2} - 4x en su todo dominio, es decir, en el intervalo (-\infty,+\infty).

Para esto calculamos la primera derivada de f(x) y obtener que f'(x) = x-4. Nos preguntamos, ¿esta expresión es positiva o es negativa? La respuesta depende del valor de x, es por esto que tenemos que segmentar nuestra respuesta.

  • f'(x) < 0 si x<4, entonces f(x) es decreciente si x \in (-\infty,4).
  • f'(x) > 0 si x>4, entonces f(x) es creciente si x \in (4,+\infty).

Derivadas de orden superior

Anthonny Arias-García20 comentarios
  1. La derivada de la derivada
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
      3. Ejemplo 3
      4. Ejemplo 4

El cálculo de derivadas es vital para estudiar el comportamiento de una función pues podemos obtener información valiosa a partir de su derivada, más aún, es posible obtener más información derivando su derivada.

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La derivada de la derivada

Es por esto que resulta necesario definir las derivadas de orden superior. Formalmente, si f(x) es una función, dependiendo del contexto, diremos que f'(x) es la primera derivada de f(x), derivada de primer orden de f(x) o derivada de orden uno de f(x) .

De esta forma, definimos la segunda derivada de f(x) o derivada de segundo orden de f(x) como la derivada de f'(x) y la denotamos con f''(x), formalmente

f''(x) = \left( f'(x) \right)'

Si consideramos la derivada como un cociente de diferenciales, denotamos la segunda derivada de la función f(x) de la siguiente manera:

\frac{d^2 f}{dx^2}(x)

De igual forma definimos la tercera derivada de f(x) o derivada de tercer orden de f(x) como la derivada de f''(x) y la denotamos con f'''(x), formalmente

f'''(x) = \left( f''(x) \right)'

Si consideramos la derivada como un cociente de diferenciales, denotamos la tercera derivada de la función f(x) de la siguiente manera:

\frac{d^3 f}{dx^3}(x)

Podemos continuar definiendo derivadas de mayor orden considerando que a partir de la cuarta derivada, no usaremos apóstrofes para denotar el orden de la derivada pues denotaremos la n-ésima derivada de la función f(x) o la derivada de n-ésimo orden como f^{(n)}(x), formalmente

f^{(n)} (x) = \left( f^{(n-1)} (x) \right)'

Si consideramos la derivada como un cociente de diferenciales, denotamos la n-ésima derivada de la función f(x) de la siguiente manera:

\frac{d^n f}{dx^n}(x)

Veamos con algunos ejemplos, como calcular este tipo de derivadas de orden superior.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la cuarta derivada de f(x) = 3x^4 + 2x^2 - 20. Ya que las derivadas de orden superior están definidas de forma recursiva, es necesario calcular las primeras tres derivadas antes de calcular la cuarta.

f'(x) = 12x^3+4x

f''(x) = 36x^2+4

f'''(x) = 72x

f^{(4)}(x) = 72

Notemos que la cuarta derivada de esta función es 72, entonces la quinta derivada es 0 y a partir de ahí, todas las demás derivadas también son iguales a cero. ¿Será esto una regla general? Veamos en el siguiente ejemplo que no necesariamente es así.

Ejemplo 2

Calcule la tercera derivada f(x) = -9x + 15\ln(x). Es necesario calcular las primeras dos derivadas antes de calcular la tercera.

f'(x) = -9 + \frac{15}{x}

f''(x) = -\frac{15}{x^2}

f'''(x) = \frac{30}{x^3}

Si seguimos calculando más derivadas de orden superior, el exponente en el denominador seguirán incrementándose, así que podemos intuir con certeza que en ningún momento se anularán las derivadas.

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Ejemplo 3

Calcule la 1000-ésima derivada de f(x) = \textit{\Large e}^{2x+1}. ¡¿La derivada de orden 1000?! El cálculo de esta derivada no es tan complicada como parece, calculemos las primeras derivadas para ver si podemos encontrar una formal general

f'(x) = \textit{\Large e}^{2x+1} \cdot 2 = 2 \textit{\Large e}^{2x+1}

f''(x) = 2 \textit{\Large e}^{2x+1} \cdot 2 = 2^2 \textit{\Large e}^{2x+1}

f'''(x) = 2^2 \textit{\Large e}^{2x+1}\cdot 2 = 2^3 \textit{\Large e}^{2x+1}

f^{(4)}(x) = 2^3 \textit{\Large e}^{2x+1} \cdot 2 = 2^4 \textit{\Large e}^{2x+1}

f^{(5)}(x) = 2^4 \textit{\Large e}^{2x+1} \cdot 2 = 2^5 \textit{\Large e}^{2x+1}

Observando las derivadas de orden superior de f(x) podemos notar que de forma general, la n-ésima derivada, estará expresada de la forma

f^{(n)} = 2^n \textit{\Large e}^{2x+1}

Así, la derivada de orden 1000 de f(x) será igual a 2^{1000} \textit{\Large e}^{2x+1}.

Ejemplo 4

Calcule la sétima derivada f(x) = 2 x^{6} - 7 \sqrt{x} + 5 . Es necesario calcular las primeras seis derivadas antes de calcular la séptima.

f ' (x) = 12 x^{5} - \frac{7}{2 \sqrt{x}}

f '' (x) = 60 x^{4} + \frac{7}{4 x^{\frac{3}{2}}}

f ''' (x) = 240 x^{3} - \frac{21}{8 x^{\frac{5}{2}}}

f^{( 4 )}(x) = 720 x^{2} + \frac{105}{16 x^{\frac{7}{2}}}

f^{( 5 )}(x) = 1440 x - \frac{735}{32 x^{\frac{9}{2}}}

f^{( 6 )}(x) = 1440 + \frac{6615}{64 x^{\frac{11}{2}}}

La Regla de la Cadena

Anthonny Arias-García3 comentarios
  1. Derivada de una función compuesta (Regla de la Cadena)
  2. Regla de la Potencia
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
      3. Ejemplo 3
      4. Ejemplo 4
  3. Regla de la Exponencial
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 5
      2. Ejemplo 6
      3. Ejemplo 7
      4. Ejemplo 8
  4. Regla del Logaritmo
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 9
      2. Ejemplo 10
      3. Ejemplo 11
      4. Ejemplo 12

Consideremos un ejemplo muy particular, supongamos que queremos calcular la derivada de la función f(x) = (x+3)^2. Conociendo solamente las reglas de derivación de suma, resta, multiplicación y división, la estrategia intuitiva es expandir la expresión aplicando el producto notable para obtener f(x) = x^2 + 6x +9 y posteriormente derivar cada sumando para obtener que

f'(x) = 2x + 6

Consideremos ahora una función levemente distinta, supongamos que queremos calcular la derivada de la función f(x) = (x+3)^{20}. Pudiéramos pensar en expandir la expresión con alguna técnica como el triángulo de pascal pero este proceso es sumamente engorroso, más aún si consideramos un exponente más grande como f(x) = (x+3)^{200}. Entonces, debemos desarrollar otra regla que nos permita calcular la derivada de este tipo de funciones.

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Derivada de una función compuesta (Regla de la Cadena)

Si f(x) y g(x) son dos funciones tales que (g \circ f)(x) es su composición, entonces definimos la derivada de esta composición de la siguiente forma:

(g \circ f)'(x) = g'\big( f(x) \big) \cdot f'(x)

Esta regla para calcular la derivada de una función compuesta se conoce como la Regla de la Cadena y nos permite calcular las derivada de funciones que no están expresadas como operaciones básicas entre funciones elementales. A partir de ella consideraremos algunos casos específicos para facilitar su comprensión.

Regla de la Potencia

Si g(x) = x^n, entonces la composición (g \circ f)(x) está expresada de la forma = \big[ f(x) \big]^n, es decir, la función f(x) está elevada a la n-ésima potencia. De esta forma, al aplicar la regla de la cadena para calcular la derivada de esta composición obtenemos que

\left[ \big( f(x) \big)^n \right]' = n \big( f(x) \big)^{n-1} \cdot f'(x)

A esta regla la llamamos regla de la potencia y nos presenta una generalización de la derivada (x^n)' = nx^{n-1}.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la función f(x) = (x+3)^2, notamos que la función (x+3) está elevada a la segunda potencia, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la potencia de la siguiente forma:

f'(x) = 2(x+3)^{2-1} \cdot (x+3)'

= 2(x+3)^{1} \cdot (1+0)

= 2(x+3)

Que a su vez, será igual a 2x+6 tal como vimos al inicio de esta lección.

Ejemplo 2

Considerando la función f(x) = (x+3)^2, notamos que la función (x+3) está elevada a la vigésima potencia, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la potencia de la siguiente forma:

f'(x) = 20(x+3)^{20-1} \cdot (x+3)'

= 20(x+3)^{19} \cdot (1+0)

= 20(x+3)^{19}

Ejemplo 3

Considerando la función f(x) = (-5x+1)^{13}, notamos que la función (-5x+1) está elevada a la décima tercera potencia, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la potencia de la siguiente forma:

f'(x) = 13(-5x+1)^{13-1} \cdot (-5x+1)'

= 13(-5x+1)^{12} \cdot (-5+0)

= -65(-5x+1)^{12}

Ejemplo 4

Considerando la función f(x) = (3x^2-7)^{8}, notamos que la función (3x^2-7) está elevada a la octava potencia, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la potencia de la siguiente forma:

f'(x) = 8(3x^2-7)^{8-1} \cdot (3x^2-7)'

= 8(3x^2-7)^{7} \cdot (6x)

= 48x(3x^2-7)^{7}

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Regla de la Exponencial

Si g(x) = \textit{\Large e}^x, entonces (g \circ f)(x) = \textit{\large e}^{f(x)}. De esta forma, al aplicar la regla de la cadena para calcular la derivada de esta composición obtenemos que

\left[ \textit{\huge e}^{f(x)} \right]' = \textit{\huge e}^{f(x)} \cdot f'(x)

A esta regla la llamamos regla de la exponencial y nos presenta una generalización de la derivada (\textit{\Large e}^x)' = \textit{\Large e}^x.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando la función f(x) = \textit{\Large e}^{x+3}, notamos que la función (x+3) está en el exponente de la función exponencial, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la exponencial de la siguiente forma:

f'(x) = \textit{\Large e}^{x+3} \cdot (x+3)'

= \textit{\Large e}^{x+3} \cdot (1)

= \textit{\Large e}^{x+3}

Ejemplo 6

Considerando la función f(x) = \textit{\Large e}^{-5x+1}, notamos que la función -5x+1 está en el exponente de la función exponencial, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la exponencial de la siguiente forma:

f'(x) = \textit{\Large e}^{-5x+1} \cdot (-5x+1)'

= \textit{\Large e}^{-5x+1} \cdot (-5)

= -5\textit{\Large e}^{-5x+1}

Ejemplo 7

Considerando la función f(x) = \textit{\Large e}^{3x^2-7}, notamos que la función 3x^2-7 está en el exponente de la función exponencial, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la exponencial de la siguiente forma:

f'(x) = \textit{\Large e}^{3x^2-7} \cdot (3x^2-7)'

= \textit{\Large e}^{3x^2-7} \cdot (6x)

= 6x\textit{\Large e}^{3x^2-7}

Ejemplo 8

Considerando la función f(x) = \textit{\Large e}^{(x+3)^2}, notamos que la función (x+3)^2 está en el exponente de la función exponencial, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la exponencial de la siguiente forma:

f'(x) = \textit{\Large e}^{(x+3)^2} \cdot \big[ (x+3)^2 \big]'

= \textit{\Large e}^{(x+3)^2} \cdot 2(x+3)

= 2(x+3)\textit{\Large e}^{(x+3)^2}

Notemos que este último ejemplo, debimos usar la regla de la potencia para calcular la derivada de (x+3)^2.

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Regla del Logaritmo

Si g(x) = \ln(x), entonces (g \circ f)(x) = \ln(f(x)). De esta forma, al aplicar la regla de la cadena para calcular la derivada de esta composición obtenemos que

\left[ \ln\big( f(x) \big) \right]' = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)

A esta regla la llamamos regla del logaritmo y nos presenta una generalización de la derivada (\ln(x))' = \frac{1}{x}.

Ejemplos

Ejemplo 9

Considerando la función f(x) = \ln(x+3), notamos que la función (x+3) está en el argumento de la función logaritmo neperiano, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla del logaritmo de la siguiente forma:

f'(x) = \frac{1}{x+3} \cdot (x+3)'

= \frac{1}{x+3} \cdot (1)

= \frac{1}{x+3}

Ejemplo 10

Considerando la función f(x) = \ln(-5x+1), notamos que la función (-5x+1) está en el argumento de la función logaritmo neperiano, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla del logaritmo de la siguiente forma:

f'(x) = \frac{1}{-5x+1} \cdot (-5x+1)'

= \frac{1}{-5x+1} \cdot (-5)

= \frac{-5}{-5x+1}

Ejemplo 11

Considerando la función f(x) = \ln(3x^2-7), notamos que la función (3x^2-7) está en el argumento de la función logaritmo neperiano, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla del logaritmo de la siguiente forma:

f'(x) = \frac{1}{3x^2-7} \cdot (3x^2-7)'

= \frac{1}{3x^2-7} \cdot (6x)

= \frac{6x}{3x^2-7}

Ejemplo 12

Considerando la función f(x) = \ln((x+3)^2), notamos que la función ((x+3)^2) está en el argumento de la función logaritmo neperiano, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla del logaritmo de la siguiente forma:

f'(x) = \frac{1}{(x+3)^2} \cdot ((x+3)^2)'

= \frac{1}{(x+3)^2} \cdot \big[ 2(x+3) \big]

= \frac{2(x+3)}{(x+3)^2}

Notemos que este último ejemplo, debimos usar la regla de la potencia para calcular la derivada de (x+3)^2.

Reglas de Derivación

Anthonny Arias-García3 comentarios
  1. Notación
  2. Regla de la suma
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
      3. Ejemplo 3
      4. Ejemplo 4
  3. Regla del producto por un escalar
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 5
      2. Ejemplo 6
      3. Ejemplo 7
      4. Ejemplo 8
  4. Regla del producto
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 9
      2. Ejemplo 10
      3. Ejemplo 11
      4. Ejemplo 12
  5. Regla de la división
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 13
      2. Ejemplo 14
      3. Ejemplo 15
      4. Ejemplo 16

Notación

Dependiendo del contexto, es necesario usar diferentes notaciones para la derivada. Por defecto, si queremos calcular la derivada de una función explícitamente definida como f(x), usamos la notación f'(x).

Sin embargo, al derivar la expresión que define a la función, puede resultar necesario usar otro tipo de notación como sigue:

\big( f(x) \big)'

También podemos recurrir a la definición propiamente de lo que es una derivada para denotarla. Recordemos que formalmente la derivada de una función es una razón de cambio puntual, es decir, el cambio en el Eje Y entre el cambio en el Eje X.

Pero al calcular el límite cuando x tiende a x_0 estos cambios se hacen infinitamente pequeños, a estos cambios los llamamos diferenciales, al cambio infinitamente pequeño en el Eje Y lo llamamos diferencial de y y lo denotamos por dy; al cambio infinitamente pequeño en el Eje X lo llamamos diferencial de x y lo denotamos por dx.

Es por esto, que la derivada de una función se expresa como un cociente de diferenciales de la siguiente manera:

\dfrac{dy}{dx}

Esta notación se lee la derivada de y respecto a x.

Particularmente, si la variable y está definida de forma pendiente a través de una función f(x) entonces usamos la notación

\dfrac{df}{dx} (x)

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Una vez que hemos determinado la derivada de las funciones elementales, considerando la definición de derivada, es posible deducir la derivada de las operaciones básicas entre funciones. Formalmente, si f(x) y g(x) son dos funciones; y c es un número real, definimos las siguientes reglas:

Regla de la suma

Si f(x) y g(x) son dos funciones, definimos la derivada de la suma, como la suma de las derivadas, es decir,

\big( f(x) \pm g(x) \big)' = f'(x) \pm g'(x)

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la función f(x)=x - x^{7}, calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la suma. Para esto, denotamos primero la derivada:

f'(x)=\left( x - x^{7} \right)'

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

f'(x)=( x )' - \left( x^{7} \right)'

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x) = 1 - 7 x^{6}

Ejemplo 2

Considerando la función f(x)=\textit{\Large e}^{x} - x^{10}, calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la suma. Para esto, denotamos primero la derivada:

f'(x)=\left( \textit{\Large e}^{x} - x^{10} \right)'

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

f'(x)=\left( \textit{\Large e}^{x} \right)' - \left( x^{10} \right)'

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x) = \textit{\Large e}^{x} - 10 x^{9}

Ejemplo 3

Considerando la función f(x)=\frac{1}{x} - \ln{\left(x \right)} - x^{10} - \textit{\Large e}^{x}, calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la suma. Para esto, denotamos primero la derivada:

f'(x)=\left( \frac{1}{x} - \ln{\left(x \right)} - x^{10} - \textit{\Large e}^{x} \right)'

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

f'(x)=\left( \frac{1}{x} \right)' - \left( \ln{\left(x \right)} \right)' - \left( x^{10} \right)' - \left( \textit{\Large e}^{x} \right)'

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} - 10 x^{9} - \textit{\Large e}^{x}

Ejemplo 4

Considerando la función f(x)=\frac{1}{x} + \ln{\left(x \right)} - \frac{1}{x^{\frac{17}{3}}}, calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la suma. Para esto, denotamos primero la derivada:

f'(x)=\left( \frac{1}{x} + \ln{\left(x \right)} - \frac{1}{x^{\frac{17}{3}}} \right)'

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

f'(x)=\left( \frac{1}{x} \right)' + \left( \ln{\left(x \right)} \right)' - \left( \frac{1}{x^{\frac{17}{3}}} \right)'

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{17}{3 x^{\frac{20}{3}}}

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Regla del producto por un escalar

Si f(x) es una función y si a es un escalar, definimos la derivada de un escalar multiplicado por una función como dicho escalar multiplicado por la derivada de la función, es decir,

\big( a \cdot f(x) \big)' = a \cdot f'(x)

Nota: Diremos que un número real a es un escalar, porque cambia la escala de la función, pues dependiendo de su valor, puede contraerla o expandirla.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando la función f(x)=4 \textit{\Large e}^{x} + 7 \sqrt{x}, calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto por un escalar. Para esto, denotamos primero la derivada:

f'(x)=\left( 4 \textit{\Large e}^{x} + 7 \sqrt{x} \right)'

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

f'(x)=\left( 4 \textit{\Large e}^{x} \right)' + \left( 7 \sqrt{x} \right)'

Una vez que hemos separado los sumandos, podemos sacar los escalares de cada uno de estos sumandos

f'(x)=4 \left( \textit{\Large e}^{x} \right)' + 7 \left( \sqrt{x} \right)'

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x) = 4 \textit{\Large e}^{x} + \frac{7}{2 \sqrt{x}}

Ejemplo 6

Considerando la función f(x)=\frac{8}{x} + 9 \textit{\Large e}^{x} - 9 \ln{\left(x \right)}, calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto por un escalar. Para esto, denotamos primero la derivada:

f'(x)=\left( \frac{8}{x} + 9 \textit{\Large e}^{x} - 9 \ln{\left(x \right)} \right)'

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

f'(x)=\left( \frac{8}{x} \right)' + \left( 9 \textit{\Large e}^{x} \right)' - \left( 9 \ln{\left(x \right)} \right)'

Una vez que hemos separado los sumandos, podemos sacar los escalares de cada uno de estos sumandos

f'(x)=8 \left( \frac{1}{x} \right)' + 9 \left( \textit{\Large e}^{x} \right)' - 9 \left( \ln{\left(x \right)} \right)'

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x) = - \frac{8}{x^{2}} + 9 \textit{\Large e}^{x} - \frac{9}{x}

Ejemplo 7

Considerando la función f(x)=5 x - 9 x^{2} - 5 \sqrt{x}, calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto por un escalar. Para esto, denotamos primero la derivada:

f'(x)=\left( 5 x - 9 x^{2} - 5 \sqrt{x} \right)'

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

f'(x)=\left( 5 x \right)' - \left( 9 x^{2} \right)' - \left( 5 \sqrt{x} \right)'

Una vez que hemos separado los sumandos, podemos sacar los escalares de cada uno de estos sumandos

f'(x)=5 \left( x \right)' - 9 \left( x^{2} \right)' - 5 \left( \sqrt{x} \right)'

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x) = 5 - 18 x - \frac{5}{2 \sqrt{x}}

Ejemplo 8

Considerando la función f(x)=\frac{9}{x} - 8 \sqrt[9]{x} - 6 \sqrt{x} - 4\textit{\Large e}^{x}, calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto por un escalar. Para esto, denotamos primero la derivada:

f'(x)=\left( \frac{9}{x} - 8 \sqrt[9]{x} - 6 \sqrt{x} - 4\textit{\Large e}^{x} \right)'

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

f'(x)=\left( \frac{9}{x} \right)' - \left( 8 \sqrt[9]{x} \right)' - \left( 6 \sqrt{x} \right)' - \left( 4\textit{\Large e}^{x} \right)'

Una vez que hemos separado los sumandos, podemos sacar los escalares de cada uno de estos sumandos

f'(x)=9 \left( \frac{1}{x} \right)' - 8 \left( \sqrt[9]{x} \right)' - 6 \left( \sqrt{x} \right)' - 4 \left( \textit{\Large e}^{x} \right)'

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x) = - \frac{9}{x^{2}} - \frac{8}{9 x^{\frac{8}{9}}} - \frac{3}{\sqrt{x}} - 4\textit{\Large e}^{x}

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Regla del producto

Si f(x) y g(x) son dos funciones, considerando ambos factores, definimos la derivada de la siguiente forma:

la derivada del primero, por el segundo sin derivar, más, el primero sin derivar, por la derivada del segundo

\big( f(x) \cdot g(x) \big)' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)

Ejemplos

Ejemplo 9

Considerando la función f(x)=\left( - 5 \sqrt{x} \right) \cdot \left( - 3 \ln{\left(x \right)} \right) , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto. Para esto, denotamos primero la derivada:

f'(x)=\left[ \left( - 5 \sqrt{x} \right) \cdot \left( - 3 \ln{\left(x \right)} \right) \right]'

Debemos notar que esta función está definida como el producto de dos funciones, aplicamos la regla del producto y expresamos las derivadas

f'(x)=\left( - 5 \sqrt{x} \right)' \cdot \left( - 3 \ln{\left(x \right)} \right) + \left( - 5 \sqrt{x} \right) \cdot \left( - 3 \ln{\left(x \right)} \right)'

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x) = \left( - \frac{5}{2 \sqrt{x}} \right) \cdot \left( - 3 \ln{\left(x \right)} \right) + \left( - 5 \sqrt{x} \right) \cdot \left( - \frac{3}{x} \right)

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

f'(x) = \frac{15 \ln(x)}{2 \sqrt{x}} + \frac{15 \sqrt{x}}{x}

Ejemplo 10

Considerando la función f(x)=6 x \cdot \left( - 9 \ln{\left(x \right)} \right), calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto. Para esto, denotamos primero la derivada:

f'(x)=\left[ 6 x \cdot \left( - 9 \ln{\left(x \right)} \right) \right]'

Debemos notar que esta función está definida como el producto de dos funciones, aplicamos la regla del producto y expresamos las derivadas

f'(x)=\left( 6 x \right)' \cdot \left( - 9 \ln{\left(x \right)} \right) + \left( 6 x \right) \cdot \left( - 9 \ln{\left(x \right)} \right)'

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x) = \left( 6 \right) \cdot \left( - 9 \ln{\left(x \right)} \right) + \left( 6 x \right) \cdot \left( - \frac{9}{x} \right)

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

f'(x) = -54 \cdot \ln(x) - 54

Ejemplo 11

Considerando la función f(x)=- 3 \textit{\Large e}^{x} \cdot 6 x^{4}, calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto. Para esto, denotamos primero la derivada:

f'(x)=\left[ - 3 \textit{\Large e}^{x} \cdot 6 x^{4} \right]'

Debemos notar que esta función está definida como el producto de dos funciones, aplicamos la regla del producto y expresamos las derivadas

f'(x)=\left( - 3 \textit{\Large e}^{x} \right)' \cdot \left( 6 x^{4} \right) + \left( - 3 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( 6 x^{4} \right)'

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x) = \left( - 3 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( 6 x^{4} \right) + \left( - 3 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( 24 x^{3} \right)

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

f'(x) = - 18 x^{4} \textit{\Large e}^{x} - 72 x^{3} \textit{\Large e}^{x}

Ejemplo 12

Considerando la función f(x)=8 \textit{\Large e}^{x} \cdot \frac{6}{x} \cdot \left( - 5 \ln{\left(x \right)} \right), calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto. Para esto, denotamos primero la derivada:

f'(x)=\left[ -8 \textit{\Large e}^{x} \cdot \frac{6}{x} \cdot \left( - 5 \ln{\left(x \right)} \right) \right]'

Debemos notar que esta función está definida como el producto de dos funciones, aplicamos la regla del producto y expresamos las derivadas

f'(x) =

\left( 8 \textit{\Large e}^{x} \right)' \cdot \left( \frac{6}{x} \right) \cdot \left( - 5 \ln{\left(x \right)} \right)
+ \left( 8 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( \frac{6}{x} \right)' \cdot \left( - 5 \ln{\left(x \right)} \right)
+ \left( 8 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( \frac{6}{x} \right) \cdot \left( - 5 \ln{\left(x \right)} \right)'

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x) =

\left( 8 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( \frac{6}{x} \right) \cdot \left( - 5 \ln{\left(x \right)} \right)
+ \left( 8 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( - \frac{6}{x^{2}} \right) \cdot \left( - 5 \ln{\left(x \right)} \right)
+ \left( 8 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( \frac{6}{x} \right) \cdot \left( - \frac{5}{x} \right)

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

f'(x) = - \frac{240 \textit{\Large e}^{x} \ln{\left(x \right)}}{x} + \frac{240 \textit{\Large e}^{x} \ln{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{240 \textit{\Large e}^{x}}{x^{2}}

Nota: En este último caso hemos generalizado la regla del producto, y es que si tenemos tres funciones f(x), g(x) y h(x), es posible deducir que

\big( f(x) \cdot g(x) \cdot h(x) \big)' = f'(x) \cdot g(x) \cdot h(x) + f(x) \cdot g'(x) \cdot h(x) + f(x) \cdot g(x) \cdot h'(x)

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Regla de la división

Si f(x) y g(x) son dos funciones, considerando el numerador y el denominador, definimos la derivada de la siguiente forma:

la derivada del numerador, por el denominador sin derivar, menos, el numerador sin derivar, por la derivada del denominador. Todo eso dividido entre el denominador elevado al cuadrado

\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right)' = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{\big( g(x) \big )^2}

Ejemplos

Ejemplo 13

Considerando la función f(x)= \frac{ 6 x }{ - 2 \ln{\left(x \right)} }, calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la división. Para esto, denotamos primero la derivada:

f'(x)=\left[ \frac{ 6 x }{ - 2 \ln{\left(x \right)}} \right]'

Debemos notar que esta función está definida como la división dos funciones, aplicamos al regla de la división y expresamos las derivadas

f'(x)= \frac{\left( 6 x \right)' \cdot \left( - 2 \ln{\left(x \right)} \right) - \left( 6 x \right) \cdot \left( - 2 \ln{\left(x \right)} \right)'}{\left( - 2 \ln{\left(x \right)} \right)^2}

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x)= \frac{\left( 6 \right) \cdot \left( - 2 \ln{\left(x \right)} \right) - \left( 6 x \right) \cdot \left( - \frac{2}{x} \right)}{\left( - 2 \ln{\left(x \right)} \right)^2}

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

f'(x) = - \frac{3}{\ln{\left(x \right)}} + \frac{3}{\ln{\left(x \right)}^{2}}

Ejemplo 14

Considerando la función f(x)= \frac{ \frac{7}{x} }{ \sqrt[6]{x} }, calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la división. Para esto, denotamos primero la derivada:

f'(x)=\left[ \frac{ \frac{7}{x} }{ \sqrt[6]{x}} \right]'

Debemos notar que esta función está definida como la división dos funciones, aplicamos al regla de la división y expresamos las derivadas

f'(x)= \frac{\left( \frac{7}{x} \right)' \cdot \left( \sqrt[6]{x} \right) - \left( \frac{7}{x} \right) \cdot \left( \sqrt[6]{x} \right)'}{\left( \sqrt[6]{x} \right)^2}

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x)= \frac{\left( - \frac{7}{x^{2}} \right) \cdot \left( \sqrt[6]{x} \right) - \left( \frac{7}{x} \right) \cdot \left( \frac{1}{6 x^{\frac{5}{6}}} \right)}{\left( \sqrt[6]{x} \right)^2}

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

f'(x) = - \frac{49}{6 x^{\frac{13}{6}}}

Ejemplo 15

Considerando la función f(x)= \frac{ - 8 x }{ - 5 \textit{\Large e}^{x} }, calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la división. Para esto, denotamos primero la derivada:

f'(x)=\left[ \frac{ - 8 x }{ - 5 \textit{\Large e}^{x} } \right]'

Debemos notar que esta función está definida como la división dos funciones, aplicamos al regla de la división y expresamos las derivadas

f'(x)= \frac{\left( - 8 x \right)' \cdot \left( - 5 \textit{\Large e}^{x} \right) - \left( - 8 x \right) \cdot \left( - 5 \textit{\Large e}^{x} \right)'}{\left( - 5 \textit{\Large e}^{x} \right)^2}

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x)= \frac{\left( -8 \right) \cdot \left( - 5 \textit{\Large e}^{x} \right) - \left( - 8 x \right) \cdot \left( - 5 \textit{\Large e}^{x} \right)}{\left( - 5 \textit{\Large e}^{x} \right)^2}

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

f'(x) = - \frac{8 x e^{- x}}{5} + \frac{8 e^{- x}}{5}

Ejemplo 16

Considerando la función f(x)= \frac{ \sqrt[10]{x} }{ - 3 x^{5} }, calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la división. Para esto, denotamos primero la derivada:

f'(x)=\left[ \frac{ \sqrt[10]{x} }{ - 3 x^{5} } \right]'

Debemos notar que esta función está definida como la división dos funciones, aplicamos al regla de la división y expresamos las derivadas

f'(x)= \frac{\left( \sqrt[10]{x} \right)' \cdot \left( - 3 x^{5} \right) - \left( \sqrt[10]{x} \right) \cdot \left( - 3 x^{5} \right)'}{\left( - 3 x^{5} \right)^2}

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x)= \frac{\left( \frac{1}{10 x^{\frac{9}{10}}} \right) \cdot \left( - 3 x^{5} \right) - \left( \sqrt[10]{x} \right) \cdot \left( - 15 x^{4} \right)}{\left( - 3 x^{5} \right)^2}

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

f'(x) = \frac{49}{30 x^{\frac{59}{10}}}

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Derivadas

Anthonny Arias-García10 comentarios
  1. La derivada de una función en un punto
    1. Un ejemplo particular
  2. La derivada de una función en cualquier punto
  3. Tabla de Derivadas Elementales

Consideremos una función lineal definida por una recta l_1, decimos que la pendiente de ésta determina la razón de cambio entre un punto y otro; y es que está definida como el cociente del cambio en el eje Y entre el cambio en el eje X. Formalmente, si (x_0,y_0) y (x_1,y_1) son dos puntos de esta recta entonces su razón de cambio desde x_0 hasta y_0 está definida por

m=\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}

De la forma en que hemos definido la razón de cambio para las funciones lineales, permite definir una forma general para la razón de cambio entre cualesquiera dos puntos pues siempre es la misma. Pero, ¿es posible definir una forma general para la razón de cambio para cualquier función?

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La derivada de una función en un punto

Si consideramos cualquier función y=f(x), es posible estimar la razón de cambio de la misma forma que lo hemos hecho con las funciones lineales, es decir, si (x_0,y_0) y (x_1,y_1) son dos puntos de esta recta entonces su razón de cambio desde x_0 hasta y_0 está definida por

m=\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}

Gráficamente podemos notar que hay cierta holgura en nuestra estimación, así que podemos decir que no es precisa. Podemos mejorar esta estimación considerando un punto (x_2,y_2) más cercano a (x_0,y_0) y así, la razón de cambio está definida por

m=\frac{y_2 - y_0}{x_2 - x_0}

Incluso, si consideramos un punto (x_3,y_3) aún más cercano a (x_0,y_0), la estimación será más precisa y así, la razón de cambio está definida por

m=\frac{y_3 - y_0}{x_3 - x_0}

De esta forma podemos notar que mientras más cercano está el punto de (x_0,y_0), más precisa será nuestra estimación de la razón de cambio. Entonces, consideramos puntos (x,y) lo más cercanos posibles recurriendo al cálculo infinitesimal, es decir, al cálculo de límites.

Formalmente, si consideramos el límite cuando x tiende a x_0, entonces la razón de cambio puntual estará dada por \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}. A este límite lo llamamos derivada de la función f(x) en el punto x_0 y lo denotaremos de la siguiente forma

\displaystyle f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

Geométricamente, representa la pendiente de la recta tangente a la curva definida por f(x) en el punto (x_0,f(x_0)), es decir, la recta que corta a la curva f(x) únicamente en el punto (x_0,f(x_0)) de la siguiente forma:

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Un ejemplo particular

Veamos un ejemplo particular, consideremos la función cuadrática f(x)=x^2 y suponga que queremos calcular su derivada en en x_0 = 2. Entonces, su derivada está definida por el siguiente límite:

\displaystyle f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2}

\displaystyle = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2^2}{x - 2}

\displaystyle = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}

\displaystyle = \frac{4-4}{2-2}

\displaystyle = \frac{0}{0}

Este límite presenta una indeterminación de la forma \frac{0}{0}, así que procedemos a determinarlo considerando que el numerador es una diferencia de cuadrados,

\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2^2}{x - 2}

\displaystyle = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x - 2}

\displaystyle = \lim_{x \to 2} x + 2

\displaystyle = 2+2

\displaystyle = 4

Entonces la razón de cambio puntual de la función cuadrática en el punto x_0 = 2 es igual a 4, geométricamente estamos diciendo que la pendiente de la recta tangente a la curva f(x)=x^2 en el punto (2,4) es igual a 4.

La derivada de una función en cualquier punto

Suponga ahora que queremos calcular la derivada en los puntos x_0 = 3 y x_0 = -5, entonces, ¿debemos calcular el límite cada vez? No necesariamente, pues podemos determinar una fórmula general para calcular la derivada de la función cuadrática en cualquier punto x. Para esto sigamos algunos pasos de forma muy cuidadosa.

Consideremos, una variable auxiliar definida como h=x-x_0, esta tenderá a cero cuando x tiende a x_0, y además, si despejamos x, obtenemos lo siguiente:

x = x_0+ h

Entonces, podemos reescribir la derivada de la función f(x) en el punto x_0 de la forma

\displaystyle f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

Entonces, evaluamos la función en x_0 + h y x_0 para luego aplicar producto notable y obtener que

\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(x_0 + h)^2 - (x_0)^2}{h}

\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{x_0^2 + 2 x_0 h + h^2 - x_0^2}{h}

\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{2 x_0 h + h^2 }{h}

Sacamos h como un factor común en el numerador, posteriormente lo simplificamos tomando en cuenta el h que está en el numerador y evaluamos el límite.

\lim_{h \to 0} \frac{(2 x_0 + h) \cdot h}{h}

\displaystyle = \lim_{h \to 0} 2 x_0 + h

\displaystyle = 2 x_0 + 0

\displaystyle = 2 x_0

Considerando que x_0 es cualquier elemento en el dominio de la función cuadrática, podemos establecer una fórmula general para su derivada, es decir, si f(x) = x^2 entonces su derivada en cualquier punto x de su dominio está definida como

f'(x) = 2x

De modo que la derivada de la función f(x)=x^2 en los puntos x_0 = 3 y x_0 = -5 es f'(3)=2(3)=6 y f'(-5)=2(-5)=-10, respectivamente.

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Es posible establecer fórmulas generales para la derivada de todas las funciones elementales de la misma forma que lo hemos hecho con la función cuadrática y aunque no desarrollaremos los cálculos de forma exhaustiva, podemos hacer una lista de estas derivadas, conocida como la Tabla de Derivadas Elementales

Tabla de Derivadas Elementales

f(x)f'(x)
c0
x1
x^22x
x^33x^2
x^nn \cdot x^n
\sqrt{x}\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}
f(x)f'(x)
a^xa^x \cdot \ln(x)
\textit{\large e}^x\textit{\large e}^x
\log_a(x)\dfrac{1}{x \cdot \ln(x)}
\ln(x)\dfrac{1}{x}
f(x)f'(x)
sen(x)cos(x)
cos(x)-sen(x)
tan(x)\dfrac{1}{cos^2(x)}