Resolución de Ecuaciones Lineales

¿Cómo se despeja la incógnita x?

Para calcular la solución de una ecuación lineal, debemos despejar la incógnita, esto es aplicar los axiomas algebraicos de los números reales de forma secuencial para que nuestra incógnita «se quede sola» en un sólo lado de la igualdad en la ecuación planteada.

Entonces, si considerando tres números reales $a$ , $b$ y $c$ ; veremos en algunos ejemplos cómo despejar la incógnita partiendo de la siguiente forma básica de una ecuación lineal,

$ax + b = c$

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Nota: Al ser la técnica de despeje un proceso lógico-deductivo, usaremos una flecha con dos rayas ( $\Longrightarrow$ ) para denotar que una ecuación se ha deducido de la anterior. Dicha flecha se lee «implica que».

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la ecuación $5x+10 = 20$ despejando la incógnita $x$ .

$5x+10 = 20$

Esta es nuestra ecuación original. Identificamos la incógnita $x$ en lado izquierdo de la igualdad. Que está multiplicada por $5$ y posteriormente sumanda por $10$ .

$\Longrightarrow \ 5x+10-10 = 20-10$

Queremos anular el $10$ que está sumando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, restamos por 10 en ambos lados, de esta forma no se altera la igualdad.

$\Longrightarrow \ 5x+0 = 10$

Al ser $10$ y $-10$ opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.

$\Longrightarrow \ 5x = 10$

Al sumar $5x$ más cero, el resultado es $5x$ . Esto se debe a que el cero es el elemento neutro de la suma.

$\Longrightarrow \ \dfrac{1}{5} \cdot 5x = \dfrac{1}{5} \cdot 10$

Queremos simplificar el $5$ que está multiplicando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, multiplicamos por $\frac{1}{5}$ en ambos lados de la igualdad.

$\Longrightarrow \ 1 \cdot x = 2$

Al ser $5$ y $\frac{1}{5}$ inversos multiplicativos, el producto entre ellos es exactamente igual a uno.

$\Longrightarrow \ x = 2$

Finalmente, obtenemos el valor de $x$ que satisface la ecuación original.

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Ejemplo 2

Calcule la solución de la ecuación $-3x+20 = 5$ despejando la incógnita $x$ .

$-3x+20 = 5$

Esta es nuestra ecuación original. Identificamos la incógnita $x$ en lado izquierdo de la igualdad. Que está multiplicada por $-3$ y posteriormente sumanda por $20$ .

$\Longrightarrow \ -3x+20 -20 = 5 -20$

Queremos anular el $20$ que está sumando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, restamos por $20$ en ambos lados, de esta forma no se altera la igualdad.

$\Longrightarrow \ -3x+0 = -15$

Al ser $20$ y $-20$ opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.

$\Longrightarrow \ -3x = -15$

Al sumar $-3x$ más cero, el resultado es $-3x$ . Esto se debe a que el cero es el elemento neutro de la suma.

$\Longrightarrow \ \dfrac{1}{-3} \cdot (-3)x = \dfrac{1}{-3} \cdot (-15)$

Queremos simplificar el $-3$ que está multiplicando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, multiplicamos por $\frac{1}{-3}$ en ambos lados de la igualdad.

$\Longrightarrow \ 1 \cdot x = 5$

Al ser $5$ y $\frac{1}{5}$ inversos multiplicativos, el producto entre ellos es exactamente igual a uno.

$\Longrightarrow \ x = 5$

Finalmente, obtenemos el valor de $x$ que satisface la ecuación original.

En el siguiente ejemplo notaremos que en ambos lados de la ecuación se presentan expresiones que involucran a la incógnita $x$ , es por esto que será necesario agrupar las expresiones que involucran a $x$ en un lado de la igualdad (preferiblemente en lado izquierdo) y todas las expresiones que no involucran a $x$ del otro lado de la igualdad (preferiblemente el lado derecho).

Finalmente, nos daremos cuenta que debemos usar la propiedad distributiva para poder efectuar operaciones entre las expresiones que involucran a la incógnita x.

Ejemplo 3

Calcule la solución de la ecuación $10x+7 = 4x - 11$ despejando la incógnita $x$ .

$10x+7 = 4x - 11$

Esta es nuestra ecuación original. Identificamos la incógnita $x$ en lado izquierdo de la igualdad, que está multiplicada por -3 y posteriormente sumanda por 20. E identificamos la incógnita $x$ en lado derecho de la igualdad, que está multiplicada por $4$ y posteriormente restada por $11$ .

$\Longrightarrow \ 10x+7-7 = 4x - 11-7$

Queremos anular el $7$ que está sumando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, restamos por $7$ en ambos lados, de esta forma no se altera la igualdad.

$\Longrightarrow \ 10x+0 = 4x -18$

Al ser $7$ y $-7$ opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.

$\Longrightarrow \ 10x+0 = 4x -18$

Al ser $7$ y $-7$ opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.

$\Longrightarrow \ 10x = 4x -18$

Al sumar $10$ más cero, el resultado es $10x$ . Esto se debe a que el cero es el elemento neutro de la suma.

$\Longrightarrow \ -4x+10x = -4x+ 4x -18$

Queremos anular el $4x$ que está sumando en el lado derecho de la igualdad. Entonces, restamos por $4x$ en ambos lados, de esta forma no se altera la igualdad.

$\Longrightarrow \ -4x+10x = 0 -18$

Al ser $4x$ y $-4x$ opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.

$\Longrightarrow \ -4x+10x = -18$

Al restar cero menos $18$ , el resultado es $18$ . Esto se debe a que el cero es el elemento neutro de la suma.

$\Longrightarrow \ (-4+10)x = -18$

Para sumar los términos que multiplican a equis, aplicamos la propiedad distributiva, notando que $x$ es un factor común.

$\Longrightarrow \ 6x = -18$

Sumamos los elementos que están dentro del paréntesis para obtener $6x$ .

$\Longrightarrow \ \dfrac{1}{6} \cdot 6x = \dfrac{1}{6} \cdot (-18)$

Queremos simplificar el $6$ que está multiplicando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, multiplicamos por $\frac{1}{6}$ en ambos lados de la igualdad.

$\Longrightarrow \ 1 \cdot x = -3$

Al ser $6$ y $\frac{1}{6}$ inversos multiplicativos, el producto entre ellos es exactamente igual a uno.

$\Longrightarrow \ x = -3$

Finalmente, obtenemos el valor de $x$ que satisface la ecuación original.

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Mientras se está aprendiendo a calcular la solución de una ecuación lineal, es necesario seguir cada uno de los pasos para comprender la esencia de las operaciones que se hacen para poder abordar problemas más complejos en el futuro.

Sin embargo, a medida que nos vamos adiestrando en la resolución de ecuaciones lineales, podremos prescindir de algunos pasos para poder hallar la solución con mayor rapidez, por supuesto, siempre tomando en cuenta el trasfondo de los Axiomas Algebraicos que se están aplicando.

Entonces, podemos abusar de las operaciones y decir que «lo que está sumando de un lado de la igualdad, pasa a restar y lo que está restando de un lado de la ecuación, pasa a sumar«, también podemos decir que «lo que está multiplicando de un lado de la igualdad, pasa a dividir y lo que está dividiendo de un lado de la ecuación, pasa a multiplicar«. Así, éste último ejemplo se puede abordar de la siguiente forma:

Ejemplo 3 – Otra forma

Calcule la solución de la ecuación $10x+7 = 4x - 11$ despejando la incógnita $x$ .

$10x+7 = 4x - 11$

Esta es nuestra ecuación original.

$\Rightarrow \ 10x = 4x - 11-7$

El siete que está sumando en el lado izquierdo del igualdad, pasa a restar en el lado derecho de la igualdad.

$\Rightarrow \ 10x = 4x - 18$

Menos once menos siente es igual a menos dieciocho.

$\Rightarrow \ 10x -4x = - 18$

El cuatro equis que está sumando de lado derecho de la igualdad, pasa a restar en el lado izquierdo de la igualdad.

$\Rightarrow \ 6x = - 18$

Diez equis menos cuatro equis es igual a seis equis.

$\Rightarrow \ x = -\dfrac{18}{6}$

El seis que está multiplicando a equis en el lado izquierdo de la igualdad, pasa a dividir a menos dieciocho en el lado derecho de la igualdad.

$\Rightarrow \ x = -3$

Finalmente, menos dieciocho entre seis es igual a menos tres.

Video Complementario

3 comentarios en “Resolución de Ecuaciones Lineales”

Introducción a las Ecuaciones Cuadráticas – totumat dice:

10.01.2021 a las 2:40 pm

[…] la ecuación . Notemos que esta no es una ecuación lineal, sin embargo, cuando deseamos determinar la solución de esta, podemos encontrarla fácilmente […]

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¿Cómo se despeja la incógnita x?

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Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 3 – Otra forma

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