Ecuaciones Lineales

¿Cómo se despeja x?

Considerando tres números reales a, b y c; diremos que una ecuación lineal es cualquier ecuación que se puede expresar de la forma

$ax + b = c$

Consideremos algunos ejemplos de ecuaciones y veamos paso a paso como “despejar x”, es decir, como calcular la solución de este tipo de ecuaciones usando las distintas propiedades de los números reales dejando a la incógnita x sola en un solo lado de la igualdad.

Ecuación 1: $5x+10 = 20$

$\Longrightarrow$ $5x+10-10 = 20-10$

$\Longrightarrow$ $5x+0 = 10$

$\Longrightarrow$ $5x = 10$

$\Longrightarrow$ $\dfrac{5x}{5} = \dfrac{10}{5}$

$\Longrightarrow$ $\dfrac{5}{5} \cdot x = 2$

$\Longrightarrow$ $1 \cdot x = 2$

Ecuación 2: $-3x+20 = 5$

$\Longrightarrow$ $-3x+20 -20 = 5 -20$

$\Longrightarrow$ $-3x+0 = -15$

$\Longrightarrow$ $-3x = -15$

$\Longrightarrow$ $\dfrac{-3x}{-3} = \dfrac{-15}{-3}$

$\Longrightarrow$ $\dfrac{-3}{-3} \cdot x = 5$

$\Longrightarrow$ $1 \cdot x = 5$

$\Longrightarrow$ $x = 5$

En los dos ejemplos anteriores aplicamos las propiedades de la suma y el producto para hallar el valor de equis de forma intuitiva, sin embargo, podemos encontrar situaciones en las que debemos mezclar estas propiedades.

En el siguiente ejemplo notaremos que en ambos lados de la ecuación se presentan expresiones que involucran a la incógnita x, es por esto que será necesario agrupar las expresiones que involucran a x de un lado de la igualdad (preferiblemente en lado izquierdo) y todas las expresiones que no involucran a x del otro lado de la igualdad (preferiblemente el lado derecho).

Finalmente, nos daremos cuenta que debemos usar la propiedad distributiva para poder hacer operaciones entre las expresiones que involucran a la incógnita x.

Ecuación 3: $10x+7 = 4x - 11$

$\Longrightarrow$ $10x+7-7 = 4x - 11-7$

$\Longrightarrow$ $10x+0 = 4x -18$

$\Longrightarrow$ $10x -4x = 4x -18 -4x$

$\Longrightarrow$ $(10-4)x = 4x -4x -18$

$\Longrightarrow$ $6x= 0 - 18$

$\Longrightarrow$ $6x = - 18$

$\Longrightarrow$ $\dfrac{6x}{6} = \dfrac{-18}{6}$

$\Longrightarrow$ $\dfrac{6}{6} \cdot x = \dfrac{-18}{6}$

$\Longrightarrow$ $1 \cdot x = -3$

$\Longrightarrow$ $x = -3$

A medida que nos vamos adiestrando en la resolución de ecuaciones lineales, podremos prescindir de algunos pasos para poder hallar la solución con mayor rapidez. Mientras tanto, es necesario seguir cada uno de los pasos para comprender la esencia de las operaciones que se hacen para poder abordar problemas más complejos en el futuro.

Entonces, podemos abusar de las operaciones y decir que “lo que está sumando de un lado de la igualdad, pasa a restar y lo que está restando de un lado de la ecuación, pasa a sumar“, también podemos decir que “lo que está multiplicando de un lado de la igualdad, pasa a dividir y lo que está dividiendo de un lado de la ecuación, pasa a multiplicar“. Así, éste último ejemplo se puede abordar de la siguiente forma: