Al estudiar la Ley de Tricotomía en los números reales, pudimos establecer tres tipos de relaciones entre un par de números reales, con las ecuaciones estudiamos la relación que existe cuando dos números eran iguales. Ahora, ¿qué relación existe cuando dos números no son iguales? Cuando dos números no iguales, podemos decir que estos son desiguales. Veamos entonces los tipos de desigualdad que podemos encontrar:

También pudiera interesarte

Tipos de Desigualdades

Mayor que

La desigualdad mayor que se denota con el símbolo $>$ y relaciona dos números reales indicando que el primero es mayor que el segundo. Por ejemplo:

$10 > 8$ , se lee diez es mayor que ocho.
$3 > -9$ , se lee tres es mayor que menos nueve.
$-5 > -16$ , se lee menos quince es mayor que menos dieciséis.

Mayor o igual que

La desigualdad mayor o igual que se denota con el símbolo $\geq$ y relaciona dos números reales indicando que el primero es mayor que el segundo pero también dejando la posibilidad de que sean iguales. Por ejemplo:

$7 \geq 4$ , se lee siete es mayor o igual que cuatro.
$10 \geq -7$ , se lee diez es mayor o igual que menos siete.
$-1 \geq -4$ , se lee menos uno es mayor o igual que menos cuatro.
$3 \geq 3$ , se lee tres es mayor o igual que tres.
$-8 \geq -8$ , se lee menos ocho es mayor o igual que menos ocho.

Si te ha parecido útil la información que hemos presentado en totumat y quieres ayudar a mantener este sitio en línea puedes mirar nuestros anuncios publicitarios o donar dinero a través de PayPal.

Menor que

La desigualdad menor que se denota con el símbolo $<$ y relaciona dos números reales indicando que el primero es menor que el segundo. Por ejemplo:

$2 < 5$ , se lee dos es menor que 5.
$-13 < 0$ , se lee menos trece es menor que cero.
$-6 < -2$ , se lee menos seis es menor que menos dos.

Menor o igual que

La desigualdad menor o igual que se denota con el símbolo $\leq$ y relaciona dos números reales indicando que el primero es menor que el segundo pero también dejando la posibilidad de que sean iguales. Por ejemplo:

$11 \leq 20$ , se lee diez es menor o igual que veinte.
$-3 \leq 14$ , se lee menos tres es menor o igual que catorce.
$-22 \leq -9$ , se lee menos veintidós es menor o igual que menos nueve.
$6 \leq 6$ , se lee seis es menor o igual que seis.
$-10 \leq -10$ , se lee menos diez es menor o igual que menos diez.

Conociendo los tipos de desigualdades y viendo que podemos establecer relaciones entre números reales, podemos ir más allá y establecer relaciones entre números representados con una incógnita, esto lo haremos planteando inecuaciones.

Inecuaciones Polinómicas y la Tabla de Análisis de Signos

05.12.201908.01.2023 Anthonny Arias-García4 comentarios

Para calcular la solución de una inecuación lineal basta con usar las técnicas despeje que normalmente se usan para calcular una ecuación lineal, y como resultado, generalmente obtenemos un conjunto infinito de número.

Para calcular la solución de una inecuación cuadrática, factorizamos el polinomio cuadrático y recurrimos a la Ley de los Signos, para analizar los dos casos posibles a partir del signo de cada factor involucrado.

Para calcular la solución de una inecuación polinómica, también recurriremos a la factorización de polinomios, sin embargo, el análisis de cada caso puede ser engorroso pues a medida que aumentan los factores, también aumentan los casos. Es por esto, que recurriremos a una herramienta que nos permita analizar el signo del polinomio de una forma global.

También pudiera interesarte

¿Qué es una inecuación polinómica?

Una inecuación polinómica, es una inecuación que involucra a una una potencia de la variable $x$ . Formalmente, si consideramos un conjunto de $n$ números reales $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_2, a_1, a_0$ , definimos una inecuación polinómica como una inecuación que se puede expresar de la siguiente forma:

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 > 0$

Donde « $>$ » representa cualquier desigualdad $>$ , $\geq$ , $<$ ó $\leq$ .

Si definimos $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ , entonces podemos expresar una inecuación polinómica de la siguiente forma:

$P(x) > 0$

La Tabla de Análisis de Signos

La técnica que usaremos para calcular la solución de este tipo de inecuaciones, consiste en calcular las raíces del polinomio $P(x)$ , factorizarlo a partir de sus raíces y posteriormente, analizar el signo de cada factor a lo largo de cada número real, es decir, para qué valores de $x$ cada factor es positivo o negativo.

En los siguientes ejemplos explicaremos cómo usar una Tabla de Análisis de Signos o simplemente Tabla de Signos (coloquialmente conocida como el método del cementerio o método de las cruces) para calcular la solución de inecuaciones polinómicas.

La tabla de análisis de signos está basada en el Teorema de Sturm, que en términos llanos, permite determinar la cantidad de raíces de un polinomio en un intervalo a partir de la cantidad de veces que varía el signo de dicho polinomio en dicho intervalo.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad:

$x^3 + 2x^2 - x - 2 > 0$

El primero paso será calcular las raíces del polinomio $P(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2$ , Esto lo haremos usando el Método de Ruffini de la siguiente forma:

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio $P(x)$ son $x_1=1$ , $x_2=-1$ y $x_3=-2$ .

A partir de dichas raíces, podemos factorizar el polinomio como sigue:

$P(x) = (x-1)(x-(-1))(x-(-2)) = (x-1)(x+1)(x+2)$

Nuestro propósito será el de determinar el signo de cada uno de los factores involucrados entre los intervalos $(-\infty,-2)$ , $(-2,-1)$ , $(-1,1)$ y $(1,+\infty)$ . Para esto disponemos en la recta real cada una de las raíces del polinomio, $-\infty$ y $+\infty$ de forma ordenada:

Construcción de una Tabla de Signos | totumat.com

Debajo de cada una de las raíces del polinomio, $-\infty$ y $+\infty$ se trazan rectas verticales; y además se trazan cuatro renglones, siendo uno para cada factor y uno adicional para el polinomio $P(x)$ :

En estos renglones se disponen los factores $(x-1)$ , $(x+1)$ , $(x+2)$ y el polinomio $P(x)$ , de la siguiente forma:

Ubicamos en la tabla valor de $x$ para el cual se anula el primer factor, es decir, el valor de $x$ para el cual $x-1 = 0$ . Este valor es $1$ y concluimos lo siguiente:

Para los valores de $x$ menores que $1$ , el factor $(x-1)$ es negativo.
Para los valores de $x$ mayores que $1$ , el factor $(x-1)$ es positivo.

Ubicamos en la tabla valor de $x$ para el cual se anula el segundo factor, es decir, el valor de $x$ para el cual $x+1 = 0$ . Este valor es $-1$ y concluimos lo siguiente:

Para los valores de $x$ menores que $-1$ , el factor $(x-1)$ es negativo.
Para los valores de $x$ mayores que $-1$ , el factor $(x-1)$ es positivo.

Ubicamos en la tabla valor de $x$ para el cual se anula el tercer factor, es decir, el valor de $x$ para el cual $x+2 = 0$ . Este valor es $-2$ y concluimos lo siguiente:

Para los valores de $x$ menores que $-2$ , el factor $(x-1)$ es negativo.
Para los valores de $x$ mayores que $-2$ , el factor $(x-1)$ es positivo.

Para cada intervalo $(-\infty,-2)$ , $(-2,-1)$ , $(-1,1)$ y $(1,+\infty)$ el signo de $P(X)$ está definido por el producto de los factores $(x-1)$ , $(x+1)$ y $(x+2)$ . De esta forma, multiplicamos los signos de los factores de cada columna:

En la primera columna $(-) \cdot (-) \cdot (-) = -$
En la segunda columna $(-) \cdot (-) \cdot (+) = +$
En la tercera columna $(-) \cdot (+) \cdot (+) = -$
En la cuarta columna $(+) \cdot (+) \cdot (+) = +$

Por lo tanto, nuestra Tabla de Análisis de Signos queda expresada de la siguiente forma:

Finalmente, concluimos que la desigualdad planteada en $x^3 + 2x^2 - x - 2 > 0$ se satisface para los valores de $x$ que pertenecen al intervalo $(-2,-1)$ o al intervalo $(1,+\infty)$ , entonces la solución general de la inecuación está definida por la siguiente unión de intervalo:

$(-2,-1) \cup (1,+\infty)$

Ejemplo 2

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad:

$-2x^3 - 10x^2 + 4x + 48 \leq 0$

Lo primero que debemos notar es que podemos sacar $-2$ como un factor en el polinomio $P(x) = -2x^3 - 10x^2 + 4x + 48$ . De esta forma, obtenemos la siguiente expresión:

$-2 \cdot (x^3 + 5x^2 - 2x - 24) \leq 0$

El siguiente paso será calcular las raíces del polinomio $x^3 + 5x^2 - 2x - 24$ , Esto lo haremos usando el Método de Ruffini, como sigue:

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio $P(x)$ son $x_1=2$ , $x_2=-3$ y $x_3=-4$ .

A partir de dichas raíces, podemos factorizar el polinomio como sigue:

$P(x) = -2(x-2)(x-(-3))(x-(-4)) = -2(x-2)(x+3)(x+4)$

Nuestro propósito será el de determinar el signo de cada uno de los factores involucrados entre los intervalos $(-\infty,-4]$ , $[-4,-3]$ , $[-3,2]$ y $[2,+\infty]$ . Para esto disponemos en la recta real cada una de las raíces del polinomio, $-\infty$ y $+\infty$ de forma ordenada.

Es importante tomar en cuenta que $-2$ es un factor negativo constante, así, nuestra tabla de análisis de signo quedará expresada de la siguiente forma:

Finalmente, concluimos que la desigualdad planteada en la inecuación $-2x^3 - 10x^2 + 4x + 48 \leq 0$ se satisface para los valores de $x$ que pertenecen al intervalo $[-4,-3]$ o al intervalo $[2,+\infty)$ , entonces la solución general de la ecuación es:

$[-4,-3] \cup [2,+\infty)$

Memes relacionados

Cuando le llamas «Tabla de Análisis de Signos» en vez de «el método del cementerio».

Inecuaciones con Valor Absoluto, caso: «menor que»

03.12.201907.01.2023 Anthonny Arias-García5 comentarios

Caso: «Menor que»
1. Ejemplos

Caso: «Menor que»

Al definir el valor absoluto de un número real, hemos visto que es igual a la distancia entre dicho número y el número cero. Partiendo de esta definición, pudimos definir ecuaciones que involucran el valor absoluto de una variable.

De forma que si queremos determinar todos los números que cuya distancia entre cuya distancia a cero es igual a $4$ , entonces planteamos la siguiente ecuación: $|x| = 4$ y finalmente, determinamos que estos números son $4$ y $-4$ .

Pero, ¿y si queremos determinar todos los números cuya distancia a cero es menor que $4$ ? Para dar respuesta a esta pregunta, podemos plantear la siguiente inecuación:

$|x| < 4$

También pudiera interesarte

Entonces, ¿qué números satisfacen dicha inecuación? Podemos tantear las respuestas, por ejemplo: el número $5$ no la satisface, pues $|5|=5$ y $5$ no es menor que $4$ . Así podemos probar con los números $6$ , $7$ u $8$ pero ninguno de estos números satisface la inecuación.

Sin embargo, si consideramos $3$ , $2$ , $1$ o $0$ podemos ver que estos números sí satisfacen la inecuación y en general pudiéramos decir que cualquier número menor que $4$ satisface la inecuación pero, ¿será correcta esta afirmación?

La respuesta es no, pues si consideramos $-5$ , $-6$ o $-8$ entonces estos números tampoco satisfacen la inecuación. Sin embargo, si consideramos $-3$ , $-2$ o $-1$ , estos números sí satisfacen la inecuación.

Razonando de esta forma, podemos concluir que cualquier número que sea menor que $4$ y mayor que $-4$ al mismo tiempo, satisface la inecuación $|x| < 4$ . Gráficamente, podemos representar todos estos números en la recta real de la siguiente forma:

Nota: al representar gráficamente los números menores que $4$ , los hemos dibujado de color azul con sentido noreste. Por otra parte, al representar gráficamente los números mayores que $-4$ , los hemos dibujado de color azul con sentido noroeste.

De esta forma, podemos distinguir con claridad cuál es la intersección entre estos dos intervalos.

En general, diremos que al considerar una inecuación de la forma $|x| < a$ , donde $a$ es un número real; la solución viene dada por todos los números que son menores que $a$ y todos los números que son mayores que $a$ al mismo tiempo, formalmente se puede calcular la solución planteando la siguiente equivalencia:

$\Large \left| x \right| < a \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} x < a \\ \text{y} \\ x > -a \end{array} } \right.$

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad

$|x+2|<2$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$\left\{ {\begin{array}{l} x+2 < 2 \\ \text{y} \\ x+2 > -2 \end{array} } \right.$

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

$x + 2 < 2$

$\Rightarrow x < 2 - 2$

$\Rightarrow x < 0$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores menores que $0$ , formalmente,

$(-\infty,0)$

Solución (2):

$x + 3 < -1$

$\Rightarrow x < -1 - 3$

$\Rightarrow x < - 4$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores mayores que $-4$ , formalmente,

$(-4,+\infty)$

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con la solución (1) y todos los números que cumplen con la solución (2) al mismo tiempo. Por lo tanto, consideraremos la intersección de la solución (1) y (2).

Solución General:
$(-\infty,0) \cap (-4,+\infty) = (-4,0)$

Ejemplo 2

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad

$|3x-3| \leq 6$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor o igual que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor o igual que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$\left\{ {\begin{array}{l} 3x-3 \leq 6 \\ \text{y} \\ 3x-3 \geq -6 \end{array} } \right.$

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

$3x-3 \leq 6$

$\Rightarrow 3x \leq 6+3$

$\Rightarrow 3x \leq 9$

$\Rightarrow x \leq \frac{9}{3}$

$\Rightarrow x \leq 3$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores menores o iguales que $3$ , formalmente,

$(-\infty,3]$

Solución (2):

$3x-3 \geq -6$

$\Rightarrow 3x \geq -6+3$

$\Rightarrow 3x \geq -3$

$\Rightarrow x \geq -\frac{3}{3}$

$\Rightarrow x \geq -1$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores mayores o iguales que $-1$ , formalmente,

$(-1,+\infty)$

Solución General:
$(-\infty,3] \cap [-1,+\infty) = [-1,3]$

Ejemplo 3: Valor absoluto menor que un número negativo

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad

$|7x-11| < - 1$

Al considerar esta inecuación, no es necesario hacer el procedimiento que hemos visto en los primeros ejemplos pues recordando que el valor absoluto de un número siempre es positivo, podemos darnos cuenta que sea cual sea el valor de $x$ el valor absoluto $|7x-11|$ nunca será menor que $-1$ . Básicamente la pregunta es: ¿cuándo un número positivo es menor que un número negativo?

La respuesta es: Nunca. Por lo tanto, la solución de esta inecuación viene dada por el conjunto vacío:

$\emptyset$

Ejemplo 4: Variables en ambos lados de la inecuación

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad

$|2x-1| < -x+3$

Lo primero que debemos notar al calcular la solución de esta inecuación, es que en ambos lados de la desigualdad hay una incógnita. Así que al final debemos tener evaluar para qué valores, esta desigualdad tiene sentido.

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$\left\{ {\begin{array}{l} 2x-1 < -x+3 \\ \text{y} \\ 2x-1 > -(-x+3) \end{array} } \right.$

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

$2x-1 < -x+3$

$\Rightarrow 2x < -x+3+1$

$\Rightarrow 2x < -x+4$

$\Rightarrow 2x + x < 4$

$\Rightarrow 3x < 4$

$\Rightarrow x < \frac{4}{3}$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores menores que $\frac{4}{3}$ , formalmente,

$(-\infty,\frac{4}{3})$

Solución (2):

$\Rightarrow 2x-1 > -(-x+3)$

$\Rightarrow 2x > x-3+1$

$\Rightarrow 2x > x-2$

$\Rightarrow 2x - x > -2$

$\Rightarrow x > -2$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores mayores que $-2$ , formalmente,

$(-2,+\infty)$

Solución Parcial:
$(-\infty,\frac{4}{3}) \cap (-2,+\infty)$

Para determinar la solución general, debemos verificar los valores de $x$ para los cuales la expresión $-x+3$ es negativa, pues para estos valores, la desigualdad $|2x-1| < -x+3$ nunca se cumple. Entonces, consideramos la siguiente condición sobre la variable $x$

$-x+3 < 0 \Rightarrow -x < -3 \Rightarrow x > 3 \Rightarrow x \in (3,+\infty)$

Finalmente, la solución general se define como la solución parcial excluyendo la condición, es decir,

Solución General:
$(-2,+\infty) / (3,+\infty) = (-2,+\infty)$

Ejemplo 5: Variables en ambos lados de la inecuación

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad

$|-3x+2| \leq 4x+1$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$\left\{ {\begin{array}{l} -3x+2 \leq 4x+1 \\ \text{y} \\ -3x+2 \geq -(4x+1) \end{array} } \right.$

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

$-3x+2 \leq 4x+1$

$\Rightarrow -3x \leq 4x+1-2$

$\Rightarrow -3x \leq 4x-1$

$\Rightarrow -3x -4x \leq -1$

$\Rightarrow -7x \leq -1$

$\Rightarrow x \geq \frac{-1}{-7}$

$\Rightarrow x \geq \frac{1}{7}$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores mayores o iguales que $\frac{1}{7}$ , formalmente,

$[\frac{1}{7},+\infty)$

Solución (2):

$\Rightarrow -3x+2 \geq -(4x+1)$

$\Rightarrow -3x+2 \geq -4x-1$

$\Rightarrow -3x \geq -4x-1-2$

$\Rightarrow -3x \geq -4x-3$

$\Rightarrow -3x +4x \geq -3$

$\Rightarrow x \geq -3$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores mayores o iguales que $-3$ , formalmente,

$[-3,+\infty)$

Solución Parcial:
$[-3,+\infty) \cap [\frac{1}{7},+\infty)$

Para determinar la solución general, debemos verificar los valores de $x$ para los cuales la expresión $4x+1$ es negativa, pues para estos valores, la desigualdad $|-3x+2| \leq 4x+1$ nunca se cumple. Entonces, consideramos la siguiente condición sobre la variable $x$

$4x+1 < 0 \Rightarrow 4x<-1 \Rightarrow x < -\frac{1}{4} \Rightarrow x \in \left( -\infty , -\frac{1}{4} \right)$

Finalmente, la solución general se define como la solución parcial excluyendo la condición, es decir,

Solución General:
$[\frac{1}{7},+\infty) / \left( -\infty , -\frac{1}{4} \right) = [\frac{1}{7},+\infty)$

Ejemplo 6: Se anula la variable en la inecuación

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad

$|x-2| \leq x+4$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$\left\{ {\begin{array}{l} x-2 \leq x+4 \\ \text{y} \\ x-2 \geq -(x+4) \end{array} } \right.$

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

$x-2 \leq x+4$

$\Rightarrow x \leq x+4+2$

$\Rightarrow x \leq x+6$

$\Rightarrow x - x \leq 6$

$\Rightarrow 0 \leq 6$

Podemos notar que se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad $0 \leq 6$ , esta desigualdad es verdadera, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con todo el conjunto los números reales $\mathbb{R} = (-\infty,+\infty)$ pues cualquier valor de $x$ que la satisface.

Solución (2):

$x-2 \geq -(x+4)$

$\Rightarrow x-2 \geq -x-4$

$\Rightarrow x \geq -x-4+2$

$\Rightarrow x \geq -x-2$

$\Rightarrow x+x \geq -2$

$\Rightarrow 2x \geq -2$

$\Rightarrow x \geq -\frac{2}{2}$

$\Rightarrow x \geq -1$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores mayores o iguales que $-1$ , formalmente,

$[-1,+\infty)$

Solución Parcial:
$\mathbb{R} \cap [-1,+\infty) = [-1,+\infty)$

Para determinar la solución general, debemos verificar los valores de $x$ para los cuales la expresión $x+4$ es negativa, pues para estos valores, la desigualdad $|x-2| \leq x+4$ nunca se cumple. Entonces, consideramos la siguiente condición sobre la variable $x$

$x+4 < 0 \Rightarrow x<-4 \Rightarrow x \in \left( -\infty , -4 \right)$

Finalmente, la solución general se define como la solución parcial excluyendo la condición, es decir,

Solución General:
$[-1,+\infty) / \left( -\infty , -4 \right) = [-1,+\infty)$

Ejemplo 7: Se anula la variable en la inecuación

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad

$|x+3| < x-6$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$\left\{ {\begin{array}{l} x+3 < x-6 \\ \text{y} \\ x+3 > -(x-6) \end{array} } \right.$

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

$x+3 < x-6$

$\Rightarrow x < x-6-3$

$\Rightarrow x < x-9$

$\Rightarrow x - x \leq -9$

$\Rightarrow 0 \leq -9$

Podemos notar que se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad $0 \leq -9$ , esta desigualdad es falsa, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con el conjunto vacío $\emptyset$ pues no hay ningún valor de $x$ que la satisfaga.

Solución (2):

$x+3 > -(x-6)$

$\Rightarrow x+3 > -x+6$

$\Rightarrow x > -x+6-3$

$\Rightarrow x > -x+3$

$\Rightarrow x +x > 3$

$\Rightarrow 2x > 3$

$\Rightarrow x > \frac{3}{2}$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores mayores que $\frac{3}{2}$ , formalmente,

$\left(\frac{3}{2},+\infty\right)$

Solución Parcial:
$\emptyset \cap \left(\frac{3}{2},+\infty\right) = \emptyset$

No hace falta verificar los valores de $x$ para los cuales la expresión $x-6$ es negativa, pues al ser la solución parcial el conjunto vacío. Cualquier cosa que excluyamos nos dará como resultado, el conjunto vacío. Por lo tanto, la solución general es igual al conjunto vacío $\emptyset$ .

Inecuaciones con Valor Absoluto, caso: «mayor que»

30.11.201907.01.2023 Anthonny Arias-García2 comentarios

Caso: «Mayor que»
1. Ejemplos

Caso: «Mayor que»

De forma que si queremos determinar todos los números que cuya distancia entre cuya distancia a cero es igual a $5$ , entonces planteamos la siguiente ecuación: $|x| = 5$ y finalmente, determinamos que estos números son $5$ y $-5$ .

Pero, ¿y si queremos determinar todos los números cuya distancia a cero es mayor que $5$ ? Para dar respuesta a esta pregunta, podemos plantear la siguiente inecuación:

$|x| > 5$

También pudiera interesarte

Entonces, ¿qué números satisfacen dicha inecuación? Podemos tantear las respuestas, por ejemplo: el número $2$ no la satisface, pues $|2|=2$ y $2$ no es mayor que $5$ . Así podemos probar con los números $3$ , $4$ y $5$ pero ninguno de estos números satisface la inecuación.

Sin embargo, si consideramos $6$ , $7$ u $8$ podemos ver que estos números sí satisfacen la inecuación y en general podemos decir que cualquier número mayor que $5$ satisface la inecuación pero, ¿serán esos los únicos números que satisfacen la inecuación?

La respuesta es no, pues si consideramos $-6$ , $-7$ u $-8$ entonces estos números también satisfacen la inecuación y en general podemos decir que cualquier número menor que $-7$ satisface la inecuación.

Razonando de esta forma, podemos concluir que cualquier número que sea mayor que $5$ o menor que $-5$ satisface la inecuación $|x| > 5$ . Gráficamente, podemos representar todos estos números en la recta real de la siguiente forma:

En general, diremos que al considerar una inecuación de la forma $|x| > a$ , donde $a$ es un número real; la solución viene dada por todos los números mayores que $a$ ó todos los números menores que $a$ , formalmente se puede calcular la solución planteando la siguiente equivalencia:

$\Large \left| x \right| > a \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} x > a \\ \text{\'o} \\ x < -a \end{array} } \right.$

Nota: el «ó» que se expresa en nuestra solución tiene un carácter lógico proposicional, esto quiere decir que es un «ó» inclusivo. Es decir, ambas opciones pueden presentar una solución para nuestra solución.

Imagínese que en una reunión con sus amigos, acuerdan llevar empanadas o pastelitos para comer, es decir, si sólo hay empanadas, solo hay pastelitos o hay ambas cosas, igual van a comer.

Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de este tipo de inecuaciones.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad

$|x+3| > 1$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$\left\{ {\begin{array}{lr} x + 3 > 1 & \text{(1)} \\ \text{\'o} \\ x + 3 < -1 & \text{(2)} \end{array} } \right.$

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

$x + 3 > 1$

$\Rightarrow x > 1 - 3$

$\Rightarrow x > - 2$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores mayores que $-2$ , formalmente,

$(-2,+\infty)$

Solución (2):

$x + 3 < -1$

$\Rightarrow x < -1 - 3$

$\Rightarrow x < - 4$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores menores que $-4$ , formalmente,

$(-\infty,-4)$

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con la solución (1) o todos los números que cumplen con la solución (2). Por lo tanto, consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución General:
$(-\infty,-4) \cup (-2,+\infty)$

Ejemplo 2

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad

$|4x+1| \geq 7$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor o igual que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor o igual que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$\left\{ {\begin{array}{lr} 4x+1 \geq 7 & \text{(1)} \\ \text{\'o} \\ 4x+1 \leq -7 & \text{(2)} \end{array} } \right.$

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

$4x+1 \geq 7$

$\Rightarrow 4x \geq 7 - 1$

$\Rightarrow 4x \geq 6$

$\Rightarrow x \geq \frac{6}{4}$

$\Rightarrow x \geq \frac{3}{2}$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores mayores o iguales que $\frac{3}{2}$ , formalmente,

$\left[ \frac{3}{2},+\infty \right)$

Solución (2):

$4x+1 \leq -7$

$\Rightarrow 4x \leq -7 - 1$

$\Rightarrow 4x \leq -8$

$\Rightarrow x \leq -\frac{8}{4}$

$\Rightarrow x \leq -2$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores menores o iguales que $\frac{3}{2}$ , formalmente,

$(-\infty,-2]$

Solución General:
$(-\infty,-2] \cup \left[ \frac{3}{2},+\infty \right)$

Ejemplo 3: Valor absoluto mayor que un número negativo

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad

$|-2x+16| > -8$

Al considerar esta inecuación, no es necesario hacer el procedimiento que hemos visto en los primeros ejemplos pues recordando que el valor absoluto de un número siempre es positivo, tenemos que sea cual sea el valor de x ese valor absoluto siempre será mayor que -8. Básicamente la pregunta es: ¿cuándo un número positivo es mayor que un número negativo?

La respuesta es: Siempre. Por lo tanto, la solución de esta inecuación viene dada por el conjunto de todos los números reales:

$\mathbb{R} = (-\infty,+\infty)$

Ejemplo 4: Variables en ambos lados de la inecuación

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad

$|2x-1|> -x+3$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$\left\{ {\begin{array}{lr} 2x-1>-x+3 & \text{(1)} \\ \text{\'o} \\ 2x-1<-(-x+3) & \text{(2)} \end{array} } \right.$

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

$2x - 1 > -x + 3$

$\Rightarrow 2x > -x + 3 + 1$

$\Rightarrow 2x > -x + 4$

$\Rightarrow 2x + x > 4$

$\Rightarrow 3x > 4$

$\Rightarrow x > \frac{4}{3}$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores mayores que $\frac{4}{3}$ , formalmente,

$\left( \frac{4}{3},+\infty \right)$

Solución (2):

$2x - 1 < -(-x + 3)$

$\Rightarrow 2x - 1 < x - 3$

$\Rightarrow 2x < x -3 + 1$

$\Rightarrow 2x < x - 2$

$\Rightarrow 2x - x < -2$

$\Rightarrow x < -2$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores menores que $-2$ , formalmente,

$\left(-\infty,-2 \right)$

Definimos la solución parcial a partir de todos los números que cumplen con la solución (1) o todos los números que cumplen con la solución (2). Por lo tanto, consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución Parcial:
$\left( \frac{4}{3},+\infty \right) \cup (-\infty,-2)$

Para determinar la solución general, debemos verificar los valores de $x$ para los cuales la expresión $-x+3$ es negativa, pues para estos valores, la desigualdad $|2x-1|> -x+3$ siempre se cumple. Entonces, consideramos la siguiente condición sobre la variable $x$

$-x+3 < 0 \Rightarrow -x<-3 \Rightarrow x > 3 \Rightarrow x \in (3,+\infty)$

Finalmente, la solución general se define como la solución parcial incluyendo la condición, es decir,

Solución General:
$\left( \frac{4}{3},+\infty \right) \cup (-\infty,-2) \cup (3,+\infty) = \left( \frac{4}{3},+\infty \right) \cup (-\infty,-2)$

Ejemplo 5: Variables en ambos lados de la inecuación

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad

$|-3x+2| \geq 4x+1$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor o igual que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor o igual que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$\left\{ {\begin{array}{lr} -3x+2 \geq 4x+1 & \text{(1)} \\ \text{\'o} \\ -3x+2 \leq -(4x+1) & \text{(2)} \end{array} } \right.$

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

$-3x+2 \geq 4x+1$

$\Rightarrow -3x \geq 4x+1-2$

$\Rightarrow -3x \geq 4x - 1$

$\Rightarrow -3x -4x \geq - 1$

$\Rightarrow -7x \geq - 1$

$\Rightarrow x \leq \frac{-1}{-7}$

$\Rightarrow x \leq \frac{1}{7}$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores menores o iguales que $\frac{1}{7}$ , formalmente,

$\left(-\infty, \frac{1}{7} \right]$

Solución (2):

$-3x+2 \leq -(4x+1)$

$\Rightarrow -3x+2 \leq -4x-1$

$\Rightarrow -3x \leq -4x-1-2$

$\Rightarrow -3x \leq -4x - 3$

$\Rightarrow -3x +4x \leq - 3$

$\Rightarrow x < -3$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores menores que $-2$ , formalmente,

$\left(-\infty,-2 \right)$

Solución Parcial:
$\left( -\infty , \frac{1}{7} \right] \cup ( -\infty,- 3 ] = \left( -\infty , \frac{1}{7} \right]$

Para determinar la solución general, debemos verificar los valores de $x$ para los cuales la expresión $4x+1$ es negativa, pues para estos valores, la desigualdad $|-3x+2| \geq 4x+1$ siempre se cumple. Entonces, consideramos la siguiente condición sobre la variable $x$

$4x+1 < 0 \Rightarrow 4x < -1 \Rightarrow x < -\frac{1}{4} \Rightarrow x \in \left( -\infty , -\frac{1}{4} \right)$

Finalmente, la solución general se define como la solución parcial incluyendo la condición, es decir,

Solución General:
$(-\infty,\frac{1}{7}] \cup \left( -\infty , -\frac{1}{4} \right) = (-\infty,-\frac{1}{7}]$

Ejemplo 6: Se anula la variable en la inecuación

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad

$|x-2| \geq x+4$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor o igual que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor o igual que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$\left\{ {\begin{array}{lr} x-2 \geq x+4 & \text{(1)} \\ \text{\'o} \\ x-2 \leq -(x+4) & \text{(2)} \end{array} } \right.$

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

$x-2 \geq x+4$

$\Rightarrow x \geq x+4+2$

$\Rightarrow x \geq x+6$

$\Rightarrow x - x \geq 6$

$\Rightarrow 0 \geq 6$

Podemos notar que se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad $0 \geq 6$ , esta desigualdad es falsa, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con el conjunto vacío $\emptyset$ pues no hay ningún valor de $x$ que la satisfaga.

Solución (2):

$x-2 \leq -(x+4)$

$\Rightarrow x-2 \leq -x-4$

$\Rightarrow x \leq -x-4+2$

$\Rightarrow x + x \leq -2$

$\Rightarrow 2x \leq -2$

$\Rightarrow x \leq -\frac{2}{2}$

$\Rightarrow x \leq - 1$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores menores o iguales que $-1$ , formalmente,

$\left(-\infty,-1 \right]$

Solución Parcial:
$\emptyset \cup (-\infty,-1] = (-\infty,-1]$

Para determinar la solución general, debemos verificar los valores de $x$ para los cuales la expresión $x+4$ es negativa, pues para estos valores, la desigualdad $|x-2| \geq x+4$ siempre se cumple. Entonces, consideramos la siguiente condición sobre la variable $x$

$x+4 < 0 \Rightarrow x<-4 \Rightarrow x \in \left( -\infty , -4 \right)$

Finalmente, la solución general se define como la solución parcial incluyendo la condición, es decir,

Solución General:
$(-\infty,-1] \cup \left( -\infty , -4 \right) = (-\infty,-1]$

Ejemplo 7: Se anula la variable en la inecuación

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad

$|x+3| > x-6$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor o igual que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor o igual que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$\left\{ {\begin{array}{lr} x+3 > x-6 & \text{(1)} \\ \text{\'o} \\ x+3 < -(x-6) & \text{(2)} \end{array} } \right.$

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

$x+3 > x-6$

$\Rightarrow x > x - 6 - 3$

$\Rightarrow x > x - 9$

$\Rightarrow x - x > - 9$

$\Rightarrow 0 > - 9$

Podemos notar que se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad $0 > - 9$ , esta desigualdad es verdadera, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con todo el conjunto los números reales $\mathbb{R} = (-\infty,+\infty)$ pues cualquier valor de $x$ que la satisface.

Solución (2):

$x+3 < -(x-6)$

$\Rightarrow x+3 < -x+6$

$\Rightarrow x < -x+6-3$

$\Rightarrow x < -x+3$

$\Rightarrow x + x < 3$

$\Rightarrow 2x < 3$

$\Rightarrow x < \frac{3}{2}$

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores menores que $\frac{3}{2}$ , formalmente,

$\left(-\infty, \frac{3}{2} \right]$

Solución Parcial:
$\mathbb{R} \cup \left(-\infty,\frac{3}{2} \right) = \mathbb{R}$

Para determinar la solución general, debemos verificar los valores de $x$ para los cuales la expresión $x-6$ es negativa, pues para estos valores, la desigualdad $|x+3| > x-6$ siempre se cumple. Pero notemos que si unimos el conjunto que obtenemos de esta condición, independientemente de cual sea, la solución será la misma: el conjunto de los números reales $\mathbb{R} = (-\infty,+\infty)$ .

Inecuaciones Cuadráticas, caso «menor que»

27.11.201906.01.2023 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

¿Cuándo el producto de dos números es negativo?
1. Ejemplos
  1. Ejemplo 1, «menor que»
  2. Ejemplo 2, «menor o igual que»

Así como hemos definido las ecuaciones cuadráticas mediante una igualdad, es posible definir las inecuaciones cuadráticas mediante una desigualdad. A continuación veremos el segundo caso, que es cuando la desigualdad involucrada en la inecuación es «menor que» o «menor o igual que».

Entonces, considerando tres números reales $a$ , $b$ y $c$ , expresamos una inecuación cuadrática de la siguiente forma;

$ax^2 + bx + c < 0$

Tomando en cuenta que si conocemos las raíces del polinomio $ax^2 + bx + c$ , éste se puede reescribir como el producto de dos factores y de esta forma, desarrollamos una técnica para calcular la solución de las inecuaciones cuadráticas partiendo de la Ley de los Signos para la Multiplicación y planteando la siguiente pregunta:

¿Cuándo el producto de dos números es negativo?

Sean $p$ y $q$ dos números reales. Si consideremos el producto $p \cdot q$ , ¿cuándo este producto es negativo? Para responder a esta pregunta, nos fijamos en la ley de los signos, pues recordando que más por menos es menos y menos por más es menos, podemos concluir que las condiciones que deben cumplir $p$ y $q$ para que se satisfaga la desigualdad $p \cdot q < 0$ , son las siguientes:

$\left\{ {\begin{array}{lcr} p > 0 & \text{y} & q < 0\\ \text{\'o} & & \\ p < 0 & \text{y} & q > 0 \end{array} } \right.$

Es decir, los $p$ y $q$ deben ser el primero positivo y el segundo negativo o el primero negativo y el segundo positivo.

Este caso también aplica cuando consideramos la desigualdad «menor o igual» ( $\leq$ ). Veamos entonces en los siguientes ejemplos cómo calcular la solución de este tipo de ecuaciones.

También pudiera interesarte

Ejemplos

Ejemplo 1, «menor que»

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad:

$(x+4) \cdot (x-1) < 0$

Esta es una inecuación cuadrática donde el polinomio cuadrático ya está factorizado. Considerando los dos factores $(x+4)$ y $(x-1)$ , deben ser el primero positivo y el segundo negativo o el primero negativo y el segundo positivo, así

$\left\{ {\begin{array}{lcrr} x+4 > 0 & \text{y} & x-1 < 0 & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x+4 < 0 & \text{y} & x-1 > 0 & (2) \end{array} } \right.$

Notamos entonces, que quedan planteadas cuatro inecuaciones lineales de las cuales se puede despejar la variable x con facilidad, de la siguiente forma:

$\left\{ {\begin{array}{lcrr} x > -4 & \text{y} & x < 1 & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x < -4 & \text{y} & x > 1 & (2) \end{array} } \right.$

La solución general de la inecuación cuadrática viene dada por todos los números que satisfacen las ecuaciones la línea (1) junto con todos los números que satisfacen las ecuaciones la línea (2).

Analíticamente representaremos la solución como la unión de los dos conjuntos que generados al calcular la solución de cada línea. Veamos entonces cómo calcular la solución de ambas líneas:

Solución 1:

Considerando que la línea (1) representa a todos los números que son mayores que -4 y menores que 1 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos $(-4,+\infty)$ y $(-\infty,1)$ así

$(-4,+\infty) \cap (-\infty,1) = (-4,1)$

Interpretación gráfica de la intersección de dos intervalos. | totumat.com

Solución 2:

Considerando que la línea (2) representa a todos los números que son menores que -4 y mayores que 1 al mismo tiempo, sin embargo, no existe ningún número que cumpla con esta condición. Entonces al considerar la intersección de los intervalos $(-\infty,-4)$ y $(1,+\infty)$ esta se representará con el conjunto vacío, así, tenemos que

$(-\infty,-4) \cap (1,+\infty) = \emptyset$

Interpretación gráfica de la intersección de dos intervalos igual al conjunto vacío. | totumat.com

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con la solución (1) o todos los elementos que cumplen con la solución (2). Por lo tanto, consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución General:
$(-4,1) \cup \emptyset = (-4,1)$

Interpretación gráfica de la unión de dos intervalos. | totumat.com

Imagínese que en una reunión con sus amigos, acuerdan llevar empanadas o pastelitos para comer, es decir, si alguien lleva una u otra cosa o ambas cosas, igual van a comer.

Consideremos ahora un ejemplo donde el polinomio cuadrático no está factorizado.

Ejemplo 2, «menor o igual que»

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad:

$x^2 + x - \dfrac{3}{4} \leq 0$

Notando que el polinomio no está factorizado, así que utilizamos el método del discriminante para factorizarlo. Entonces, considerando que sus coeficientes son $a=1$ , $b=1$ y $c=-\frac{3}{4}$ , planteamos la fórmula cuadrática de la siguiente forma:

$\displaystyle \begin{array}{rl} x \ = & \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \\ \\ = & \dfrac{ -1 \pm \sqrt{( 1 )^2 - 4 \cdot ( 1 ) \cdot ( -\frac{3}{4} )}}{2 \cdot ( 1 )} \\ \\ = & \dfrac{ 1 \pm 2 }{ 2 } \end{array}$

Así, las raíces del polinomio cuadrático x^2 + x – \dfrac{3}{4} son $x_1 = -\frac{ 1 }{ 2 }$ y $x_2 = \frac{ 3 }{ 2 }$ , por lo tanto, podemos factorizarlo como $(x - ( -\frac{ 1 }{ 2 } )) \cdot (x - \frac{ 3 }{ 2 } )$ y en consecuencia, reescribimos la inecuación cuadrática original como sigue:

$\left( x + \dfrac{ 1 }{ 2 } \right) \cdot \left( x - \dfrac{ 3 }{ 2 } \right) \leq 0$

Al ser esta es una inecuación cuadrática donde el polinomio cuadrático ya está factorizado. Considerando los dos factores $(x + \frac{ 1 }{ 2 } ) \cdot (x - \frac{ 3 }{ 2 } )$ , deben ser el primero positivo y el segundo negativo o el primero negativo y el segundo positivo, así

$\left\{ {\begin{array}{lcrr} x+\frac{ 1 }{ 2 } > 0 & \text{y} & x-\frac{ 3 }{ 2 } < 0 & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x+\frac{ 1 }{ 2 } < 0 & \text{y} & x-\frac{ 3 }{ 2 } > 0 & (2) \end{array} } \right.$

Notamos entonces, que quedan planteadas cuatro inecuaciones lineales de las cuales se puede despejar la variable x con facilidad, de la siguiente forma:

$\left\{ {\begin{array}{lcrr} x > -\frac{ 1 }{ 2 } & \text{y} & x < \frac{ 3 }{ 2 } & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x < -\frac{ 1 }{ 2 } & \text{y} & x > \frac{ 3 }{ 2 } & (2) \end{array} } \right.$

Solución 1:

Considerando que la línea (1) representa a todos los números que son mayores que $-\frac{1}{2}$ y menores que $\frac{3}{2}$ al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos $(-\frac{1}{2},+\infty)$ y $(-\infty,\frac{3}{2})$ así

$\left[ - \dfrac{ 1 }{ 2 },+\infty \right) \cap \left( -\infty,\dfrac{ 3 }{ 2 } \right] = \left[ - \dfrac{ 1 }{ 2 },\dfrac{ 3 }{ 2 } \right]$

Solución 2:

Considerando que la línea (2) representa a todos los números que son menores que $-\frac{1}{2}$ y mayores que $\frac{3}{2}$ al mismo tiempo, sin embargo, no existe ningún número que cumpla con esta condición. Entonces al considerar la intersección de los intervalos $(-\infty,-\frac{1}{2})$ y $(\frac{3}{2},+\infty)$ esta se representará con el conjunto vacío, así, tenemos que

$\left( -\infty, - \frac{ 1 }{ 2 } \right] \cap \left[\frac{ 3 }{ 2 },+\infty \right) = \emptyset$

Solución General:
$\left[ - \frac{ 1 }{ 2 } , \frac{ 3 }{ 2 } \right] \cup \emptyset = \left[ - \frac{ 1 }{ 2 } , \frac{ 3 }{ 2 } \right]$

totumat

¡Tu guía de matemáticas!

Etiqueta: Inecuaciones

Desigualdades

Tipos de Desigualdades

Mayor que

Mayor o igual que

Menor que

Menor o igual que

Inecuaciones Polinómicas y la Tabla de Análisis de Signos

¿Qué es una inecuación polinómica?

La Tabla de Análisis de Signos

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Inecuaciones con Valor Absoluto, caso: «menor que»

Caso: «Menor que»

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3: Valor absoluto menor que un número negativo

Ejemplo 4: Variables en ambos lados de la inecuación

Ejemplo 5: Variables en ambos lados de la inecuación

Ejemplo 6: Se anula la variable en la inecuación

Ejemplo 7: Se anula la variable en la inecuación

Inecuaciones con Valor Absoluto, caso: «mayor que»

Caso: «Mayor que»

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3: Valor absoluto mayor que un número negativo

Ejemplo 4: Variables en ambos lados de la inecuación

Ejemplo 5: Variables en ambos lados de la inecuación

Ejemplo 6: Se anula la variable en la inecuación

Ejemplo 7: Se anula la variable en la inecuación

Inecuaciones Cuadráticas, caso «menor que»

¿Cuándo el producto de dos números es negativo?

Ejemplos

Ejemplo 1, «menor que»

Ejemplo 2, «menor o igual que»

Tipos de Desigualdades

Mayor que

Mayor o igual que

Menor que

Menor o igual que

Comparte

¿Qué es una inecuación polinómica?

La Tabla de Análisis de Signos

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Comparte

Caso: «Menor que»

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3: Valor absoluto menor que un número negativo

Ejemplo 4: Variables en ambos lados de la inecuación

Ejemplo 5: Variables en ambos lados de la inecuación

Ejemplo 6: Se anula la variable en la inecuación

Ejemplo 7: Se anula la variable en la inecuación

Comparte

Caso: «Mayor que»

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3: Valor absoluto mayor que un número negativo

Ejemplo 4: Variables en ambos lados de la inecuación

Ejemplo 5: Variables en ambos lados de la inecuación

Ejemplo 6: Se anula la variable en la inecuación

Ejemplo 7: Se anula la variable en la inecuación

Comparte

¿Cuándo el producto de dos números es negativo?

Ejemplos

Ejemplo 1, «menor que»

Ejemplo 2, «menor o igual que»

Comparte