Etiqueta: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Ejercicios Propuestos - Ecuaciones Diferenciales

Ejercicios Propuestos – Modelo de Harrod-Domar

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Tomando en cuenta que

I'(t)=s\rho I(t)

Determine la trayectoria de la inversión que mantendrá la economía en equilibrio todo el tiempo considerando la porción de la producción agregada al capital, la tasa de capacidad-capital y la tasa de inversión inicial dadas en cada ejercicio. Adicionalmente, calcule las trayectorias de capital y flujo de ingresos.

  1. La propensión marginal al ahorro es del 9%, la tasa de capacidad-capital es 0.5281, la inversión inicial es 175.18 y el capital inicial es 17518. Calcule el valor de cada una de estas trayectorias en el año 9.
  1. La propensión marginal al ahorro es del 13%, la tasa de capacidad-capital es 0.8791, la inversión inicial es 143.1 y el capital inicial es 14310. Calcule el valor de cada una de estas trayectorias en el año 10.
  1. La propensión marginal al ahorro es del 6%, la tasa de capacidad-capital es 0.4118, la inversión inicial es 96.79 y el capital inicial es 9679. Calcule el valor de cada una de estas trayectorias en el año 8.
  1. La propensión marginal al ahorro es del 1%, la tasa de capacidad-capital es 0.7937, la inversión inicial es 342.7 y el capital inicial es 34270. Calcule el valor de cada una de estas trayectorias en el año 4.
  1. La propensión marginal al ahorro es del 2%, la tasa de capacidad-capital es 0.2471, la inversión inicial es 252.66 y el capital inicial es 25266. Calcule el valor de cada una de estas trayectorias en el año 3.
  1. La propensión marginal al ahorro es del 19%, la tasa de capacidad-capital es 0.0943, la inversión inicial es 147.08 y el capital inicial es 14708. Calcule el valor de cada una de estas trayectorias en el año 4.
  1. La propensión marginal al ahorro es del 10%, la tasa de capacidad-capital es 0.1923, la inversión inicial es 283.16 y el capital inicial es 28316. Calcule el valor de cada una de estas trayectorias en el año 8.
  1. La propensión marginal al ahorro es del 10%, la tasa de capacidad-capital es 0.1667, la inversión inicial es 33.93 y el capital inicial es 3393. Calcule el valor de cada una de estas trayectorias en el año 10.

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Ejercicios Propuestos – Modelo de Crecimiento y Decrecimiento

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

En lo siguientes ejercicios, considere el tamaño inicial de la población P_0 para determinar el tamaño de la población en el tiempo t indicado sabiendo que la población de una comunidad crece con una razón proporcional al número de personas presentes en el tiempo t.

  1. El tamaño inicial de la población es P_0=9042, sabiendo que en el año t=5 la población se ha duplicado. Calcule el tamaño de la población en el año 32. Calcule además el tiempo en que esta población se ha triplicado.
  1. El tamaño inicial de la población es P_0=8904, sabiendo que en el año t=15 la población se ha duplicado. Calcule el tamaño de la población en el año 48. Calcule además el tiempo en que esta población se ha sextuplicado.
  1. El tamaño inicial de la población es P_0=7013, sabiendo que en el año t=1 la población se ha duplicado. Calcule el tamaño de la población en el año 31. Calcule además el tiempo en que esta población se ha cuadruplicado.
  1. El tamaño inicial de la población es P_0=5641, sabiendo que en el año t=1 la población se ha duplicado. Calcule el tamaño de la población en el año 46. Calcule además el tiempo en que esta población se ha sextuplicado.
  1. El tamaño inicial de la población es P_0=6632, sabiendo que en el año t=18 la población se ha duplicado. Calcule el tamaño de la población en el año 45. Calcule además el tiempo en que esta población se ha cuadruplicado.
  1. El tamaño inicial de la población es P_0=3786, sabiendo que en el año t=4 la población se ha duplicado. Calcule el tamaño de la población en el año 48. Calcule además el tiempo en que esta población se ha triplicado.
  1. El tamaño inicial de la población es P_0=4963, sabiendo que en el año t=15 la población se ha duplicado. Calcule el tamaño de la población en el año 40. Calcule además el tiempo en que esta población se ha cuadruplicado.
  1. El tamaño inicial de la población es P_0=2937, sabiendo que en el año t=15 la población se ha duplicado. Calcule el tamaño de la población en el año 47. Calcule además el tiempo en que esta población se ha quintuplicado.

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Ejercicios Propuestos – Expresión lineal compuesta con una ecuación diferencial

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Una ecuación de la forma

\dfrac{dy}{dx} = f(Ax + By + C)

puede siempre reducirse a una ecuación con variables separables considerando la siguiente sustitución

u=Ax + By + C \text{, con } B \neq 0

Halle la función y que satisface las siguientes ecuaciones diferenciales. Halle además, la función que satisface el valor inicial donde corresponda.

  1. 4\frac{dy}{dx} = 5 (3x+4y+6)^2-1
  2. 3\frac{dy}{dx} = 5 (7x+9y+9)^2+2
  3. -9\frac{dy}{dx} = 7 (-9x-9y+2)^2-7
  4. -2\frac{dy}{dx} = 8 (-2x+5y+3)^2-6
  1. -3\frac{dy}{dx} = -5 (6x+2y+4)^2+4
  2. 2\frac{dy}{dx} = -6 (-2x-2y-3)^2+4
  3. 3\frac{dy}{dx} = 3 (2x+5y+2)^2-9
  4. -2\frac{dy}{dx} = 9 (-6x-9y+2)^2+5
  1. -5\frac{dy}{dx} = 4 (2x-1y-2)^2-2
  2. 4\frac{dy}{dx} = 5 (3x-2y+0)^2-4
  3. 2\frac{dy}{dx} = 4 (5x+7y+9)^2-5
  4. -4\frac{dy}{dx} = 8 (7x-4y+0)^2+4
  1. 9\frac{dy}{dx} = -7 (5x+1y+9)^2-1
  2. -\frac{dy}{dx} = 1 (6x-8y+6)^2-2
  3. 4\frac{dy}{dx} = 5 (-7x+6y+2)^2+5
  4. -\frac{dy}{dx} = 7 (9x-5y-1)^2-8

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Ejercicios Propuestos – Ecuaciones de Bernoulli

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Una ecuación de la forma

\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = f(x)y^n

es conocida como una Ecuación de Bernoulli. Note que para n=0,1, este tipo de ecuaciones es lineal. En caso que n > 1, la sustitución u=y^{1-n} reduce cualquier Ecuación de Bernoulli a una ecuación lineal.

Halle la función y que satisface las siguientes ecuaciones diferenciales. Halle además, la función que satisface el valor inicial donde corresponda.

  1. 5 \frac{dy}{dx} -4 \frac{( -6 )}{ -4 x } \cdot y= 90 ( -4 x )^{ 14 } \cdot y^ 9
  2. 9 \frac{dy}{dx} -5 \frac{( 6 )}{ - x } \cdot y= -18 ( -x )^{ -55 } \cdot y^ 6
  3. -5 \frac{dy}{dx} -3 \frac{( -1 )}{ x } \cdot y= -20 ( x )^{ 9 } \cdot y^ 7
  4. 6 \frac{dy}{dx} -2 \frac{( -6 )}{ 3 x } \cdot y= -42 ( 3 x )^{ -13 } \cdot y^ 3
  1. 4 \frac{dy}{dx} -8 \frac{( -5 )}{ 8 x } \cdot y= -12 ( 8 x )^{ -31/16 } \cdot y^ 4
  2. \frac{dy}{dx} +4 \frac{( 9 )}{ -6 x } \cdot y= -9/2 ( -6 x )^{ 1/8 } \cdot y^ 4
  3. -9 \frac{dy}{dx} +8 \frac{( -7 )}{ -3 x } \cdot y= -567/8 ( -3 x )^{ 139/8 } \cdot y^ 8
  4. 3 \frac{dy}{dx} +4 \frac{( -4 )}{ -8 x } \cdot y= -81/2 ( -8 x )^{ -13/4 } \cdot y^ 7
  1. -9 \frac{dy}{dx} -3 \frac{( -8 )}{ 3 x -3 } \cdot y= -6 ( 3 x -3 )^{ 7 } \cdot y^ 2
  2. -9 \frac{dy}{dx} -2 \frac{( -1 )}{ -3 x -2 } \cdot y= -54 ( -3 x -2 )^{ -4 } \cdot y^ 3
  3. -5 \frac{dy}{dx} - \frac{( 2 )}{ 2 x -8 } \cdot y= -15 ( 2 x -8 )^{ -16 } \cdot y^ 4
  4. 7 \frac{dy}{dx} +4 \frac{( 4 )}{ -7 x -8 } \cdot y= 49 ( -7 x -8 )^{ 3 } \cdot y^ 5
  1. 3 \frac{dy}{dx} -4 \frac{( -2 )}{ -3 x -2 } \cdot y= 18 ( -3 x -2 )^{ 2 } \cdot y^ 7
  2. 6 \frac{dy}{dx} -3 \frac{( 7 )}{ 4 x -7 } \cdot y= -96 ( 4 x -7 )^{ 27 } \cdot y^ 9
  3. -4 \frac{dy}{dx} -8 \frac{( -1 )}{ -6 x -3 } \cdot y= -3 ( -6 x -3 )^{ -5/4 } \cdot y^ 4
  4. -5 \frac{dy}{dx} -4 \frac{( -1 )}{ -2 x -6 } \cdot y= -105/4 ( -2 x -6 )^{ -43/8 } \cdot y^ 8

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Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Exactas y No-Exactas

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Una ecuación de la forma

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 es exacta si cumple que M_y = N_x

En caso de ser una ecuación no-exacta, entonces el factor integrante correspondiente \mu estará definido de la siguiente manera:

Si \frac{M_y-N_x}{N} es una función que depende únicamente de x, entonces

\mu(x) = \textit{\huge e}^{\int \frac{M_y-N_x}{N} dx}

Si \frac{N_x-M_y}{M} es una función que depende únicamente de y, entonces

\mu(y) = \textit{\huge e}^{\int \frac{N_x-M_y}{M} dy}

Halle la función y que satisface las siguientes ecuaciones diferenciales. Halle además, la función que satisface el valor inicial donde corresponda.

  1. (x+1)dx + (y+1)dy=0
  2. (4x-1)dx + (3y+7)dy=0
  3. (-2x-5)dx + (6y+7)dy=0
  4. (2x+3)dx + (13y-4)dy=0
  1. (y+1)dx + (6x+1)dy=0
  2. (3y+3)dx - (4x-1)dy=0
  3. (6y+7)dx + (-2x-5)dy=0
  4. (3y-4)dx - (x+3)dy=0
  1. (y-x)dx + (x-y)dy=0
  2. (2x+y)dx + (x+6y)dy=0
  3. (-3x+5y)dx + (5x-2y)dy=0
  4. (4x-8y)dx - 2(4x+y)dy=0
  1. (y-x)dx - (x-1)dy=0
  2. (2x-2)dx + (x+8y)dy=0
  3. (-3+9y)dx - (5x-2y)dy=0
  4. (x+3y)dx + 3(2x+1)dy=0
  1. xy^2dx + x^2ydy=0
  2. (1 + x^2y^3)dx + (x^3y^2)dy=0
  3. (3 + 6x^2y^2)dx - (7 - 4x^3y^2)dy=0
  4. (-7x + 10x^3y^6)dx + (9y + 15x^4y^5)dy=0
  1. xydx + x^2ydy=0
  2. (5 + x^2y^3)dx - (x^3y^2)dy=0
  3. (6x^2y^7)dx - (7y^3 - 4x^3y^8)dy=0
  4. (-7x + 10x^3y^4)dx - (8x^4y^3)dy=0
  1. \ln(y)dx + \frac{x}{y}dy=0
  2. \big( x\ln(y) \big)dx + \left( 1+\frac{x^2}{2y} \right)dy=0
  3. \left( 3x + 3\frac{y}{x} \right)dx + \big( -2y + \ln(x^3) \big)dy=0
  4. \left( -5x + 7\frac{y}{x} \right)dx + \big( 4y + 7\ln(x) \big)dy=0
  5. \big( \ln(xy) + 5x + \frac{y}{x} \big)dx + \left( \ln(y) + \ln(x) + \frac{x}{y} \right)dy=0
  1. (\textit{\Large e}^x + 1)dx + (\textit{\Large e}^y + 1)dy=0
  2. (\textit{\Large e}^y + \textit{\Large e}^x)dx + (x\textit{\Large e}^y + 2)dy=0
  3. (-\textit{\Large e}^{7y} - 4x)dx - (7x\textit{\Large e}^{7y} + 2y)dy=0
  4. (9x-5y\textit{\large e}^{-5x})dx + (\textit{\Large e}^{-5x} + 2y)dy=0

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