Rectas

La Recta Identidad

Una vez que hemos definido el Plano Cartesiano enfocaremos nuestro interés en estudiar subconjuntos de él, por ejemplo, consideremos todos los puntos $(x,y)$ en el plano cartesiano que cumplen con la condición $y=x$ , es decir,

$\{ (x,y) : y=x, x \in R \}$ .

Para entender mejor este conjunto, podemos hacer una representación gráfica considerando algunos valores de $x$ para sustituir en la expresión $y=x$ y de esta forma, calcular el valor de $y$ correspondiente.

Si $x=0$ , entonces $y=x$ implica que $y=0$ .
Si $x=1$ , entonces $y=x$ implica que $y=1$ .
Si $x=2$ , entonces $y=x$ implica que $y=2$ .
Si $x=-1$ , entonces $y=x$ implica que $y=-1$ .
Si $x=-2$ , entonces $y=x$ implica que $y=-2$ .

A partir de estos valores, podemos definir una tabla de valores que nos permitirá ubicar cada par ordenado en el plano cartesiano. Notando que no podemos representar todos los puntos de este conjunto de forma exhaustiva pues son infinitos, pero si pudiéramos hacerlo, éstos determinan una línea recta con 45 grados de inclinación respecto al Eje X. A esta recta la llamaremos recta identidad.

Recta Identidad Función Identidad Función Afín | totumat.com

Diremos que graficar es dibujar la representación gráfica de un conjunto en el plano cartesiano.

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A partir de la Recta Identidad, podemos definir conjunto haciendo pequeñas variaciones sobre ella, ya sea sumando números a la variable o multiplicando la variable.

Traslación de rectas

Ejemplo 1

Si consideramos el conjunto $\{ (x,y) : y=x+1, x \in R \}$ , podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de $x$ para determinar cuál es su valor de $y$ correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

Ejemplo 2

Si consideramos el conjunto $\{ (x,y) : y=x-1, x \in R \}$ , podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de $x$ para determinar cuál es su valor de $y$ correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

En estos dos últimos ejemplos, notamos que: al sumar $1$ a la variable, graficamos la recta identidad trasladada en una unidad hacia arriba; en cambio, al restar $1$ a la variable, graficamos la recta identidad trasladada en una unidad hacia abajo.

En general, si consideramos un conjunto de la forma $\{ (x,y) : y=x+a, x \in R \}$ , entonces consideramos dos casos:

Si $a>0$ , entonces el conjunto representa a la recta identidad trasladada en $a$ unidades hacia arriba.
Si $a<0$ , entonces el conjunto representa a la recta identidad trasladada en $a$ unidades hacia abajo.

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Inclinación de rectas

Ejemplo 3

Si consideramos el conjunto $\{ (x,y) : y=2x, x \in R \}$ , podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de $x$ para determinar cuál es su valor de $y$ correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

Ejemplo 4

El conjunto $\{ (x,y) : y=\frac{1}{2}x, x \in R \}$ , podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de $x$ para determinar cuál es su valor de $y$ correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

En estos dos últimos ejemplos, notamos que: al multiplicar la variable por $2$ , graficamos la recta identidad rotada en sentido antihorario; en cambio, al multiplicar la variable por $\frac{1}{2}$ , graficamos la recta identidad rotada en sentido horario.

En general, si consideramos un conjunto de la forma $\{ (x,y) : y=a\cdot x, x \in R \}$ , entonces consideramos dos casos:

Si $a>1$ , entonces el conjunto representa a la recta identidad rotada en sentido antihorario.
Si $0<a<1$ , entonces el conjunto representa a la recta identidad rotada en sentido horario.

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Reflexión de rectas

Ejemplo 5

El conjunto $\{ (x,y) : y = -x, x \in R \}$ podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de $x$ para determinar cuál es su valor de $y$ correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

Notamos que al multiplicar por $-1$ , hemos reflejado la recta identidad respecto al Eje X, visualmente lo que ocurrió es que lo que estaba arriba pasó a estar debajo y lo que estaba debajo pasó a estar arriba.

En general, si $a>0$ , entonces un conjunto de la forma $\{ (x,y) : y=-a\cdot x, x \in R \}$ representa a la recta $\{ (x,y) : y=a\cdot x, x \in R \}$ reflejada respecto al Eje X.

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La Ecuación Canónica de la Recta

Hemos visto que al sumar un número a la variable en la ecuación que define una recta, estamos variando su posición, y por otra parte, al multiplicar la variable en la ecuación que define una recta, estamos variando el ángulo de inclinación.

Dicho esto, podemos definir de forma general un conjunto que engloba todos estos casos. Definimos una recta como el conjunto

$\{ (x,y) : y=m\cdot x + b, x \in R \}$

Donde $m$ será conocida como la pendiente de la recta y determina la inclinación de la recta y; $b$ es conocido como el intercepto de la recta y determina el punto de corte de la recta con el Eje Y.

Usualmente nos referiremos a las rectas por la ecuación que las define y las denotaremos con la letra $l$ (por la palabra line en inglés). Por lo tanto, podemos escribir una recta de la siguiente forma:

$l : y=m \cdot x + b$

A esta ecuación se le conoce como La Ecuación Canónica de la Recta, aunque en algunos libros de texto también se conoce como la ecuación pendiente-ordenada o pendiente-intercepto.

Las rectas constituyen una parte importante de las matemáticas, pues con ellas se pueden definir modelos básico para describir distintos fenómenos y así facilitar su entendimiento. Eventualmente nos toparemos con conjuntos del plano cartesiano un poco más complejos pero de momento, nos detendremos a estudiar las rectas con profundidad.

Al definir ecuaciones donde sólo se estudia una incógnita, hemos visto que podemos representar las solución de estas, en una recta real. Más aún, si consideramos una expresión algebraica que involucra una variable, esta variable se puede ubicar de igual manera, en una recta real.

Sin embargo, al estudiar la relación entre dos variables o dos incógnitas a través de una igualdad, nos bastará sólo una recta real para representar la solución que estas representan. Por lo tanto, es necesario definir una estructura matemática que nos permita representar de forma analítica y de forma gráfica, estas relaciones.

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El Producto Cartesiano

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos, definimos el producto cartesiano de $A$ por $B$ como un nuevo conjunto que alberga todos los elementos de la forma $(a,b)$ , donde el primer elemento pertenece a $A$ y el segundo elemento pertenece a $B$ . Formalmente lo expresamos el producto de cartesiano de la siguiente forma:

$A \times B = \{ (a,b) : a \in A \ y \ b \in B \}$

A cada elemento de la forma $(a,b)$ lo llamaremos par ordenado, esto se debe a que el orden en el que aparecen tiene vital importancia, pues el primer elemento pertenece a $A$ y el segundo elemento pertenece a $B$ .

Consideremos algunos conjuntos y veamos cómo está definido el producto cartesiano entre ellos.

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