Punto de Intersección entre dos rectas | totumat.com

El Punto de Intersección entre dos rectas

  1. Ejemplos: Ecuación Canónica de la Recta
    1. Ejemplo 1
    2. Ejemplo 2
    3. Ejemplo 3
    4. Ejemplo 4
    5. Ejemplo 5
  2. Ejemplos: Ecuación General de la Recta
    1. Ejemplo 6
    2. Ejemplo 7
    3. Ejemplo 8

Si dos rectas se intersectan (o intersecan), hemos mencionado que éstas se intersectan en un único punto, sin embargo no se ha hecho mención sobre la naturaleza de este punto. Gráficamente, el punto de intersección entre estas dos rectas es el punto donde ellas dos son exactamente iguales. A partir de este hecho, podemos calcular el valor de las coordenadas que lo definen, formalmente, si consideramos dos rectas expresadas de la siguiente forma

l_1 : \ y = m_1 x + b_1
l_2 : \ y = m_2 x + b_2

El punto P_0 = (x_0,y_0) es el punto de intersección de l_1 y l_2, si los valores de x_0 y y_0 satisfacen las dos ecuaciones al mismo tiempo. Esto se conoce como un sistema de ecuaciones lineales que consta de dos ecuaciones y dos incógnitas, sin embargo, no indagaremos sobre este tema pues notando que las rectas están expresadas de la forma pendiente ordenada, simplemente igualaremos las expresiones que las definen para posteriormente calcular el valor de las incógnitas.

Veamos con algunos ejemplos como calcular el punto de intersección entre dos rectas utilizando esta técnica.

También pudiera interesarte

Anuncios

Ejemplos: Ecuación Canónica de la Recta

Ejemplo 1

Calcule el punto de intersección entre las rectas l_1 : y = 3x-3 y l_2 : y = -x + 1.

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

l_1 : \ y = 3x-3
l_2 : \ y = -x + 1

Igualamos las dos expresiones que definen estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable x

3x-3 = -x + 1

\Rightarrow \ 3x + x = 1 + 3

\Rightarrow \ 4x = 4

\Rightarrow \ x = \frac{4}{4}

\Rightarrow \ x = 1

De esta forma, podemos concluir que el valor de la coordenada en el Eje X del punto de intersección es x=1 y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el valor de y. Sustituyamos el valor de x=1 en l_1:

y = 3(1)-3 \Rightarrow \ y = 3-3 \Rightarrow \ y=0

Notemos que si sustituimos el valor de x=1 en la recta l_2, obtenemos el mismo valor para y:

y = -(1) + 1 \Rightarrow \ y = -1+1 \Rightarrow \ y=0

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas l_1 y l_2 es P_0 = (1,0) y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 2

Calcule el punto de intersección entre las rectas l_1 : y = -4x-2 y l_2 : y = \frac{1}{4}x + 3.

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

l_1 : \ y = -4x-2
l_2 : \ y = \frac{1}{4}x + 3

Igualamos las dos expresiones que definen estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable x

-4x-2 = \frac{1}{4}x + 3

\Rightarrow \ -4x - \frac{1}{4}x = 3 + 2

\Rightarrow \ -\frac{17}{4}x = 5

\Rightarrow \ x = -\frac{20}{17}

De esta forma, podemos concluir que el valor de la coordenada en el Eje X del punto de intersección es x=-\frac{20}{17}. Sustituyamos este valor en l_1:

y = -4\left( -\frac{20}{17} \right)-2 \Rightarrow \ y = \frac{80}{17} -2 \Rightarrow \ y = \frac{46}{17}

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas l_1 y l_2 es P_0 = \left( -\frac{20}{17} , \frac{46}{17} \right) y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Anuncios
Anuncios
Anuncios

Ejemplo 3

Calcule el punto de intersección entre las rectas l_1 : y = x+5 y l_2 : y = 2.

En este caso es necesario plantear un sistema de ecuaciones, pues al ser l_2 una recta horizontal, simplemente sustituimos el valor de y que la define en la recta l_1 y a partir de ahí, calculamos el valor de x. Entonces, si y=2 tenemos que

2 = x+5 \Rightarrow \ -x = 5-2 \Rightarrow \ -x = 3 \Rightarrow \ x = -3

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas l_1 y l_2 es P_0 = \left( -3 , 2 \right) y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 4

Calcule el punto de intersección entre las rectas l_1 : y = -\frac{1}{5}x+2 y l_2 : x = -1.

En este caso es necesario plantear un sistema de ecuaciones, pues al ser l_2 una recta vertical, simplemente sustituimos el valor de x que la define en la recta l_1 y a partir de ahí, calculamos el valor de y. Entonces, si x=-1 tenemos que

y = -\frac{1}{5}(-1)+2 \Rightarrow \ y = \frac{1}{5}+2 \Rightarrow \ y = \frac{11}{5}

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas l_1 y l_2 es P_0 = \left( -1 , \frac{11}{5} \right) y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 5

Calcule el punto de intersección entre las rectas l_1 : y = -3 y l_2 : x = 4.

En este caso es necesario plantear un sistema de ecuaciones, pues al ser l_1 una recta horizontal y l_2 una recta vertical, podemos concluir de forma inmediata que el punto de intersección entre ellas dos es (4,-3) y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano.

Anuncios
Anuncios
Anuncios

Hemos visto los casos de intersecciones donde las rectas están expresadas de la forma pendiente-ordenada, vemos ahora el caso en el que tenemos rectas expresadas de forma general. formalmente, si consideramos dos rectas expresadas de la siguiente forma

l_1 : \ a_1 x + b_1 y + c_1 = 0
l_2 : \ a_2 x + b_2 y + c_2 = 0

Nuevamente, el punto P_0 = (x_0,y_0) es el punto de intersección de l_1 y l_2, si los valores de x_0 y y_0 satisfacen las dos ecuaciones al mismo tiempo. Sin embargo, la forma de abordar este tipo de casos es ligeramente diferente a caso pendiente-ordenada.

En estos casos no tiene sentido igualar la dos expresiones que definen las rectas, así que la técnica para hallar la solución consiste en efectuar operaciones entre ambas ecuaciones para anular una de las dos variables. Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de este tipo de sistemas de ecuaciones.

Ejemplos: Ecuación General de la Recta

Ejemplo 6

Calcule el punto de intersección entre las rectas l_1 : 2 x + 2 y - 1 = 0 y l_2 : - 2 x + y + 4 = 0.

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

l_1 : \ 2 x + 2 y - 1 = 0
l_2 : \ - 2 x + y + 4 = 0

En este caso particular, podemos notar que en una ecuación está la expresión 2x y en la otra, la expresión -2x, por lo tanto, podemos sumar ambas ecuaciones para obtener que

Considerando la ecuación resultante, podemos despejar la variable y, y así obtener el valor y_0 de nuestro punto de intersección.

0x + 3y + 3 = 0

\Rightarrow \ 3y + 3 = 0

\Rightarrow \ 3y = -3

\Rightarrow \ y = -\frac{3}{3}

\Rightarrow \ y = - 1

De esta forma, podemos concluir que el valor de la coordenada en el Eje Y del punto de intersección es y=-1 y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el valor de x. Sustituyamos el valor de y=-1 en l_1:

2 x + 2 (-1) - 1 = 0

\Rightarrow \ 2x - 2 - 1 = 0

\Rightarrow \ 2x - 3 = 0

\Rightarrow \ 2x = 3

\Rightarrow \ x = \frac{3}{2}

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas l_1 y l_2 es P_0 = \left( \frac{3}{2}, -1 \right) y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Anuncios
Anuncios
Anuncios

Ejemplo 7

Calcule el punto de intersección entre las rectas l_1 : 3 x - 5 y + 2 = 0 y l_2 : x + y - 2 = 0.

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

l_1 : \ 3 x - 5 y + 2 = 0
l_2 : \ x + y - 2 = 0

En el caso anterior pudimos anular con relativa sencillez la variable x pero en este caso particular, podemos notar que si multiplicamos la segunda ecuación por 5 obtenemos

l_1 : \ 3 x - 5 y + 2 = 0
l_2 : \ 5x + 5y - 10 = 0

Ahora, podemos notar que en una ecuación está la expresión -5y y en la otra, la expresión 5y, por lo tanto, podemos sumar ambas ecuaciones para obtener que

Considerando la ecuación resultante, podemos despejar la variable x, y así obtener el valor x_0 de nuestro punto de intersección.

8x + 0y - 8 = 0

\Rightarrow \ 8x - 8 = 0

\Rightarrow \ 8y = 8

\Rightarrow \ y = \frac{8}{8}

\Rightarrow \ y = 1

De esta forma, podemos concluir que el valor de la coordenada en el Eje X del punto de intersección es x=1 y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el valor de y. Sustituyamos el valor de x=1 en l_1:

3 (1) - 5 y + 2 = 0

\Rightarrow \ 3 - 5y + 2 = 0

\Rightarrow \ -5x + 5 = 0

\Rightarrow \ -5x = -5

\Rightarrow \ x = \frac{-5}{-5}

\Rightarrow \ x = 1

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas l_1 y l_2 es P_0 = \left( 1, 1 \right) y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 8

Calcule el punto de intersección entre las rectas l_1 : 6 x - 5 y + 4 = 0 y l_2 : 4 x + 3 y - 5 = 0.

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

l_1 : \ 6 x - 5 y + 4 = 0
l_2 : \ 4 x + 3 y - 5 = 0

En este caso debemos notar que las variables están acompañadas por distintos coeficientes, así que no basta con multiplicar sólo una ecuación para anular términos. Debemos entonces, multiplicar ambas ecuaciones por números que nos ayuden a anular sumandos. Multipliquemos la primera ecuación por 4 y la segunda ecuación por -6.

l_1 : \ 24 x - 20 y + 16 = 0
l_2 : \ -24 x - 18 y + 30 = 0

Ahora, podemos notar que en una ecuación está la expresión 24x y en la otra, la expresión -24y, por lo tanto, podemos sumar ambas ecuaciones para obtener que

Considerando la ecuación resultante, podemos despejar la variable x, y así obtener el valor x_0 de nuestro punto de intersección.

0x - 38y + 36 = 0

\Rightarrow \ -38y + 36 = 0

\Rightarrow \ -38y = -36

\Rightarrow \ y = \frac{38}{36}

\Rightarrow \ y = \frac{19}{18}

De esta forma, podemos concluir que el valor de la coordenada en el Eje Y del punto de intersección es y = \frac{19}{18} y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el valor de x. Sustituyamos el valor de y = \frac{19}{18} en l_2:

4 x + 3 \left( \frac{19}{18} \right) - 5 = 0

\Rightarrow \ 4 x + \frac{19}{6} - 5 = 0

\Rightarrow \ 4 x - \frac{11}{6} = 0

\Rightarrow \ 4 x = \frac{11}{6}

\Rightarrow \ x = \frac{11}{24}

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas l_1 y l_2 es P_0 = \left(\frac{11}{24},\frac{19}{18}\right) y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.


Rectas paralelas y rectas perpendiculares

Al considerar dos rectas l_1 : y = m_1 x + b_1 y l_2 : y = m_2 x + b_2 podemos establecer dos tipos de interacciones entre ellas, recordando que las rectas en realidad definen conjuntos en el plano cartesiano, consideremos los dos casos posibles:

Anuncios

Rectas Paralelas

Diremos que dos rectas son paralelas si no tienen ningún elemento en común, es decir, la intersección entre ambas es el conjunto vacío. Al considerar las ecuaciones que las definen, diremos que dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales, es decir, m_1 = m_2. Gráficamente, tenemos que:

rectas paralelas | totumat.com
dos rectas que nunca se encuentran

Rectas que se cortan

Por otra parte, diremos que dos rectas se intersectan (en algunos textos se dice intersecan, sin embargo, al hablar de las rectas como de conjuntos usaremos la palabra intersectan) si tienen exactamente un elemento en común, es decir, la intersección entre ambas es un solo punto. Al considerar las ecuaciones que las definen, diremos que dos rectas se intersectan si sus pendientes son diferentes, es decir, m_1 \neq m_2. Gráficamente, tenemos que:

rectas que se cortan | totumat.com
dos rectas que se encuentran una sola vez

Rectas Perpendiculares

Más aún, diremos que dos rectas que se intersectan son perpendiculares si éstas forman un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados. Al considerar las ecuaciones que las definen, diremos que dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1, es decir, m_1 \cdot m_2 = -1. Gráficamente, tenemos que:

Rectas Perpendiculares | totumat.com
dos rectas que se encuentran perpendicularmente

Considerando este tipo de interacciones, veamos algunos ejemplos en los que la información de una recta puede ser usada para calcular la ecuación de otra sabiendo como se relacionan estas dos.

Anuncios

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la ecuación de la recta l_1 que pasa por el punto P_0 = (1,4) y es paralela al la recta l_2 : y = -2x -2

Al observar la ecuación de la recta l_1 podemos identificar inmediatamente su pendiente que es m_2 = -2, entonces, al ser l_1 y l_2 rectas paralelas, la pendiente m_1 = m_2 = -2.

Luego, al aplicar la ecuación punto-pendiente, tenemos que calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,4) y tiene pendiente m_1 = -2.

(y - y_0) = m_1 \cdot (x - x_0)
\Rightarrow \ (y - 4) = -2 \cdot (x - 1)
\Rightarrow \ y - 4 = -2x - 1
\Rightarrow \ y = -2x + 3

Concluimos entonces que la ecuación de la recta l_1 es y = -2x + 3 y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

x= 0 \Rightarrow \ y = -2(0) + 3 \Rightarrow \ y = 3

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es (0,3)

y= 0 \Rightarrow \ 0 = -2x + 3 \Rightarrow \ 2x = 3 \Rightarrow \ x = \frac{3}{2}

Es decir, el punto de corte con el Eje X es \left( \frac{3}{2},0 \right)

Rectas paralelas y rectas que se cortan | totumat.com

Ejemplo 2

Calcule la ecuación de la recta l_1 que pasa por el punto P_0 = (2,-3) y es perpendicular a la recta l_2 : y = 3x + 1

Al observar la ecuación de la recta l_2 podemos identificar inmediatamente su pendiente que es m_2 = 3, entonces, al ser l_1 y l_2 rectas perpendiculares, tenemos que el producto de las pendientes m_1 \cdot m_2 = -1. Sabiendo esto, despejamos la pendiente que estamos buscando:

m_1 \cdot 3 = -1 \Rightarrow \ m_1 = -\frac{1}{3}

Luego, al aplicar la ecuación punto-pendiente, tenemos que calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,-3) y tiene pendiente m_1 = 3.

(y - y_0) = m_1 \cdot (x - x_0)
\Rightarrow \ (y - (-3)) = -\frac{1}{3} \cdot (x - 2)
\Rightarrow \ y + 3 = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}
\Rightarrow \ y = -\frac{1}{3}x - \frac{7}{3}

Concluimos entonces que la ecuación de la recta l_1 es y = -\frac{1}{3}x - \frac{7}{3} y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

x= 0 \Rightarrow \ y = -\frac{1}{3}(0) - \frac{7}{3} \Rightarrow \ y = - \frac{7}{3}

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es \left( 0 , - \frac{7}{3} \right)

y= 0 \Rightarrow \ 0 = -\frac{1}{3}x - \frac{7}{3} \Rightarrow \ \frac{1}{3}x = - \frac{7}{3} \Rightarrow \ x = - 7

Es decir, el punto de corte con el Eje X es \left( -7 , 0 \right)

Rectas paralelas y rectas que se cortan | totumat.com

La Ecuación General de la Recta

  1. La Ecuación General de la Recta
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
  2. Cómo graficar rectas en el plano cartesiano
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 3
      2. Ejemplo 4
      3. Ejemplo 5

Al definir las rectas, hemos dicho que la ecuación canónica de la recta permite expresar de forma analítica, cualquier recta en el plano cartesiano, sin embargo, hay un tipo de rectas que no se puede expresar de esta forma.

Para entender esto, veamos la ecuación punto-punto y estudiemos dos casos que nos interesarán de forma particular. Si consideramos dos puntos en el plano cartesiano, digamos P_1 = (x_1,y_1) y P_2 = (x_2,y_2), dependiendo de los valores de valores que estos tengan en el Eje X y eje Y, se pudieran presentar los siguientes casos:

  • Si y_2 = y_1, entonces la pendiente m queda expresada de la forma \frac{0}{r}, donde r es un número real distinto de cero.
  • Si x_2 = x_1, entonces la pendiente m queda expresada de la forma \frac{r}{0}, donde r es un número real distinto de cero.

De esta forma, podemos notar que en el primer caso, la pendiente es nula y; en el segundo caso, la pendiente no está definida, pues la división entre cero no está definida. Entonces, ¿cómo definimos las rectas que pasan a través de estos puntos?

También pudiera interesarte

Anuncios

La Ecuación General de la Recta

Es necesario recurrir a una ecuación que permita abarcar de forma general, todas las rectas en el plano cartesiano. esto lo haremos definiendo la recta no como una ecuación explícita, sino como una ecuación implícita. Es decir, no como una variable (y) que depende explícitamente de otra variable (x), sino como una relación entre ambas variables.

Entonces, si a, b y c son números reales tal que a y b no son iguales a cero al mismo tiempo, definimos La Ecuación General La Recta como una relación entre dos variables x y y a través de una igualdad de la siguiente forma:

ax + by + c = 0

De esta forma, podemos cubrir lo dos casos que hemos expuestos ya que,

  • Si a = 0, entonces la ecuación general de la recta será de la forma y=r para algún número real r, es decir, todos los puntos de esta recta tendrán la misma coordenada en el Eje Y y su gráfica será una recta totalmente horizontal.
  • Si b = 0 , entonces la ecuación general de la recta será de la forma x=r para algún número real r, es decir, todos los puntos de esta recta tendrán la misma coordenada en el Eje X y su gráfica será una recta totalmente vertical.

Consideremos dos ejemplos que ilustren precisamente estos dos casos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P_1 = (1,2) y P_2 = (-3,2).

Podemos abordar este caso notando inmediatamente que la coordenada en el Eje Y es la misma para ambos puntos, que es 2. Sin embargo, veamos qué ocurre si aplicamos la ecuación punto-punto calculando previamente la pendiente.

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
= \frac{2 - 2}{-3 - 1}
= \frac{0}{-4}
= 0

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto P_1

(y - y_2) = m \cdot (x - x_2)
\Rightarrow \ (y - 2) = 0 \cdot (x - 1)
\Rightarrow \ y - 2 = 0
\Rightarrow \ y = 2

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es y = 2 y para determinar su gráfica, simplemente trazamos una recta por todos los puntos de la forma (x,2).

Anuncios
Anuncios
Anuncios

Ejemplo 2

Calcule la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P_1 = (-1,5) y P_2 = (-1,-2).

Podemos abordar este caso notando inmediatamente que la coordenada en el Eje X es la misma para ambos puntos, que es -1. Sin embargo, veamos qué ocurre si aplicamos la ecuación punto-punto.

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
= \frac{-2 - 5}{-1 - (-1)}
= \frac{-7}{0}

Pero la división por cero no está definida, así que debemos considerar la ecuación punto-punto para notar que

\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}
\Rightarrow \ x - x_1 = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} (x_2 - x_1)
\Rightarrow \ (x - (-1)) = \frac{y - 5}{-2 - 5} (-1 - (-1))
\Rightarrow \ x + 1 = \frac{y - 5}{-7} ( 0 )
\Rightarrow \ x + 1 = 0
\Rightarrow \ x = - 1

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es x = -1 y para determinar su gráfica, simplemente trazamos una recta por todos los puntos de la forma (-1,y).


Anuncios
Anuncios
Anuncios

Cómo graficar rectas en el plano cartesiano

Si contamos la ecuación general de una recta, podemos graficarla simplemente calculando los puntos de intersección de esta con los ejes y posteriormente trazar la recta que pasa a través de estos dos. Veamos en los siguientes ejemplos cómo hacer esto.

Ejemplos

Ejemplo 3

Grafique la recta definida por la siguiente ecuación general x + y - 1 = 0.

Para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

Si x= 0 \Rightarrow \ (0) + y - 1 = 0
\Rightarrow \ y = 1

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es (0,1)

Si y = 0 \Rightarrow \ x + (0) - 1 = 0
\Rightarrow \ x = 1

Es decir, el punto de corte con el Eje X es (1,0)

Anuncios
Anuncios
Anuncios

Ejemplo 4

Grafique la recta definida por la siguiente ecuación general 2x - 3y + 4 = 0

Para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

Si x= 0 \Rightarrow \ 2(0) - 3 y + 4 = 0
\Rightarrow \ -3y = -4
\Rightarrow \ y = \frac{-4}{-3}
\Rightarrow \ y = \frac{4}{3}

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es \left( 0, \frac{4}{3} \right)

Si y = 0 \Rightarrow \ 2x - 3(0) + 4 = 0
\Rightarrow \ 2x = -4
\Rightarrow \ x = \frac{-4}{2}
\Rightarrow \ x = -2

Es decir, el punto de corte con el Eje X es (-2,0)

Anuncios
Anuncios
Anuncios

Ejemplo 5

Grafique la recta definida por la siguiente ecuación general 5x - y - 1 = 0

Para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

Si x= 0 \Rightarrow \ 5(0) - y - 1 = 0
\Rightarrow \ - y = 1
\Rightarrow \ y = - 1

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es \left( 0, -1 \right)

Si y = 0 \Rightarrow \ 5x - (0) - 1 = 0
\Rightarrow \ 5x = 1
\Rightarrow \ x = \frac{1}{5}

Es decir, el punto de corte con el Eje X es \left( \frac{1}{5} , 0 \right)


Ecuación Punto-Punto

  1. Ejemplos
    1. Ejemplo 1
    2. Ejemplo 2
    3. Ejemplo 3

Sabemos que la pendiente de una recta determina el ángulo de inclinación de esta respecto al Eje X, sin embargo, la pendiente de la recta describe mucho más, y es que ésta determina la forma en que crece la variable y en relación a la variable x.

Formalmente, al considerar una recta pasa por los puntos P_1 = (x_1,y_1) y P_2 = (x_2,y_2) podemos calcular la pendiente de esta recta como el cociente del incremento en y entre el incremento en x y para esto usamos la siguiente fórmula:

m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Partiendo del hecho de que a través de dos puntos en el plano pasa una única recta, será posible determinar la ecuación que define dicha recta a partir de dos puntos P_1 = (x_1,y_1) y P_2 = (x_2,y_2) planteando la siguiente fórnula:

\dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1}

A esta ecuación la llamaremos ecuación punto-punto. A partir de esta igualdad y de la forma que hemos definido la pendiente con dos puntos, podemos deducir la ecuación punto-pendiente con un simple despeje y determinar la ecuación que define la recta usando cualquiera de las dos ecuaciones siguientes:

(y - y_1) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1)
ó
\ (y - y_2) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_2)

Veamos entonces con algunos ejemplos como determinar la ecuación de una recta contando con dos puntos de ella.

También pudiera interesarte

Anuncios

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos P_1 = (2,2) y P_2 = (3,3).

Empezamos calculando el valor de la pendiente,

m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

=  \dfrac{3 - 2}{3 - 2}

= \dfrac{1}{1}

= 1

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto P_1

(y - y_1) = m \cdot (x - x_1)

\Rightarrow \ (y - 2) = 1 \cdot (x - 2)

\Rightarrow \ y - 2 = x - 2

\Rightarrow \ y = x

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es y=x, que es precisamente la recta identidad y su gráfica es la siguiente:

Ejemplo 2

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos P_1 = (-4,1) y P_2 = (3,-1).

Empezamos calculando el valor de la pendiente,

m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

= \dfrac{-1 - 1}{3 - (-4)}

= \dfrac{-2}{7}

= -\dfrac{2}{7}

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto P_2

(y - y_2) = m \cdot (x - x_2)

\Rightarrow \ \big( y - (-1) \big) = -\frac{2}{7} \cdot (x - 3)

\Rightarrow \ y + 1 = -\frac{2}{7}x + \frac{6}{7}

\Rightarrow \ y = -\frac{2}{7}x - \frac{1}{7}

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es y = -\frac{2}{7}x - \frac{1}{7} y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

x= 0 \Rightarrow \ y = -\frac{2}{7}(0) - \frac{1}{7} \Rightarrow \ y = -\frac{1}{7}

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es \left( 0,-\frac{1}{7} \right)

y= 0 \Rightarrow \ 0 = -\frac{2}{7}x - \frac{1}{7} \Rightarrow \ \frac{2}{7}x = -\frac{1}{7} \Rightarrow \ x = -\frac{1}{2}

Es decir, el punto de corte con el Eje X es \left( -\frac{1}{2} , 0 \right)

Anuncios
Anuncios
Anuncios

Ejemplo 3

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos P_1 = (-2,-2) y P_2 = (5,1).

Empezamos calculando el valor de la pendiente,

m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

= \dfrac{5 - (-2)}{1 - (-2)}

= \dfrac{7}{3}

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto P_1

(y - y_1) = m \cdot (x - x_1)

\Rightarrow \ (y - (-2)) = \frac{7}{3} \cdot (x - (-2))

\Rightarrow \ y + 2 = \frac{7}{3} \cdot (x + 2)

\Rightarrow \ y + 2 = \frac{7}{3} x + \frac{14}{3}

\Rightarrow \ y = \frac{7}{3} x + \frac{8}{3}

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es y = \frac{7}{3} x + \frac{8}{3} y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

x= 0 \Rightarrow \ y = \frac{7}{3} (0) + \frac{8}{3} \Rightarrow \ y = \frac{8}{3}

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es \left( 0,\frac{8}{3} \right)

y= 0 \Rightarrow \ 0 = \frac{7}{3} x + \frac{8}{3} \Rightarrow \ -\frac{7}{3}x = \frac{8}{3} \Rightarrow \ x = -\frac{8}{7}

Es decir, el punto de corte con el Eje X es \left( -\frac{8}{7} , 0 \right)


Ecuación Punto-Pendiente

  1. Ejemplos
    1. Ejemplo 1
    2. Ejemplo 2
    3. Ejemplo 3

Al graficar una recta, basta contar con saber por qué punto pasa y saber cual es su ángulo de inclinación. Es posible hacer esta analogía cuando queremos determinar la ecuación que la define, entonces si una recta pasa por un punto (x_0, y_0) y su pendiente es m, podemos determinar la ecuación que la define planteando la siguiente fórmula:

(y - y_0) = m \cdot (x - x_0)

A esta fórmula la llamaremos ecuación punto-pendiente. A partir de esta igualdad, podemos determinar la ecuación canónica simplemente despejando la variable y. Veamos entonces con algunos ejemplos como determinar la ecuación de una recta contando con estos dos elementos.

También pudiera interesarte

Anuncios

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,1) y tiene pendiente m=1.

(y - y_0) = m \cdot (x - x_0)

\Rightarrow (y - 1) = 1 \cdot (x - 1)

\Rightarrow y - 1 = x - 1

\Rightarrow y = x

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es y=x, que es precisamente la recta identidad y su gráfica es la siguiente:

Ejemplo 2

Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,2) y tiene pendiente m=3.

(y - y_0) = m \cdot (x - x_0)

\Rightarrow \  (y - 2) = 3 \cdot (x - 5)

\Rightarrow \  y - 2 = 3x - 15

\Rightarrow \  y = 3x - 13

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es y = 3x - 13 y para determinar su gráfica, en vez de calcular todos los puntos por donde ésta pasa, podemos simplemente considerar dos puntos ya que por cualquier par de puntos pasa una única recta.

Particularmente consideraremos los puntos de corte de la recta con los ejes, es decir, los puntos de la forma (x,0) y (0,y). Entonces,

x= 0 \Rightarrow y = 3(0) - 13 \Rightarrow  y = - 13

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es (0,-13)

y= 0 \Rightarrow 0 = 3x - 13 \Rightarrow -3x = - 13 \Rightarrow x = \frac{13}{3}

Es decir, el punto de corte con el Eje X es \left( \frac{13}{3},0 \right)

Anuncios
Anuncios
Anuncios

Ejemplo 3

Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,-1) y tiene pendiente m=-2.

(y - y_0) = m \cdot (x - x_0)

\Rightarrow \ (y - (-1)) = -2 \cdot (x - 2)

\Rightarrow \ y + 1 = -2x + 4

\Rightarrow \ y = -2x + 3

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es y = -2x + 3 y para determinar su gráfica, en vez de calcular todos los puntos por donde ésta pasa, podemos simplemente considerar dos puntos ya que por cualquier par de puntos pasa una única recta.

Particularmente consideraremos los puntos de corte de la recta con los ejes, es decir, los puntos de la forma (x,0) y (0,y). Entonces,

x= 0 \Rightarrow y = -2(0) + 3 \Rightarrow y = 3

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es (0,3)

y= 0 \Rightarrow 0 = -2x + 3 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}

Es decir, el punto de corte con el Eje X es \left( \frac{3}{2},0 \right)