La Ecuación de Oferta

Suponga que usted es un productor de tomates y provee a un supermercado semanalmente, y ve que un kilo de tomates tiene un precio de 200 Ps, considerando los costos de producción, le parece que este precio es generoso para usted por lo que decide proveer al supermercado con 40 kilos de tomate. La semana siguiente vuelve al supermercado y ve que un kilo de tomates tiene un precio de 100 Ps, considerando que está en la mitad del precio de la semana anterior, usted decide proveer al supermercado con 30 kilos de tomate.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

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Esta situación se presenta de forma general, pues al considerar el precio de un artículo, los productores proveerán más unidades del artículo cuando el precio es alto y proveerán menos unidades del artículo cuando el precio es bajo, esto se conoce como la oferta de un artículo. Entonces, si bien podemos intuir que la oferta de un artículo aumenta a medida que el precio del artículo aumenta, nuestro propósito será el de determinar la forma cuantificable de esta relación.

Para esto, definimos un plano cartesiano cuyos ejes están definidos por la variable precio, denotada por p y la variable cantidad, denotada por q; para mantener la simplicidad de los modelos, consideraremos una economía simple, es decir, tal que las variables p y q sólo pueden tener valores positivos. De esta forma, nos ubicaremos sólo en el primer cuadrante del plano cartesiano.

Curva de Oferta | totumat.com

Veamos en los siguientes ejemplos, cómo conociendo la oferta y el precio de un artículo en un momento dado, podemos definir rectas que describen de forma general la oferta del artículo.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que la oferta semanal de zanahoria una pequeña tienda de verduras de la ciudad es de 10 kilos cuando el precio es de 20 Ps. por kilo, y de 7 kilos cuando el precio es de 15 Ps. por kilo. ¿Cuál es la ecuación general de la recta que define la relación entre el precio y la oferta? ¿Cuál será la cantidad ofertada si fija el precio en 17.5 Ps.?

Debemos considerar que si la oferta es de 10 kilos cuando el precio es de 20 Ps., podemos representar esta información como un punto (p,q) el plano cartesiano donde q=10 y p=20, es decir, el punto (10,20); de igual forma, si la oferta es de 7 kilos cuando el precio es de 15 Ps., podemos representar esta información con el punto (7,15).

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por estos dos usando la ecuación punto-punto. Entonces, si P_1 = (10,20) y P_2 = (7,15) son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

m = \ \frac{p_2 - p_1}{q_2 - q_1}
= \ \frac{15 - 20}{7 - 10}
= \ \frac{5}{3}

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto P_1

\ (p - p_1) = m \cdot (q - q_1)
\Rightarrow \ (p - 20) = \frac{5}{3} \cdot (q - 10)
\Rightarrow \ p - 20 = \frac{5}{3} \cdot q - \frac{50}{3}
\Rightarrow \ p = \frac{5}{3} \cdot q - \frac{50}{3} + 20
\Rightarrow \ p = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{10}{3}

La recta que pasa por los puntos P_1 y P_2 es llamada la Ecuación de oferta de zanahoria. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente positiva y su gráfica será una recta creciente.

Curva de Oferta | totumat.com

Para determinar cual será la cantidad ofertada si se fija el precio en 17.5 Ps. debemos considerar la ecuación de oferta y sustituir el valor p= 17.5 en ella, posteriormente se despeja la variable q, de la siguiente forma

\Rightarrow \ 17.5 = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{10}{3}
\Rightarrow \ -\frac{5}{3} \cdot q = -17.5 + \frac{10}{3}
\Rightarrow \ -\frac{5}{3} \cdot q = -\frac{85}{6}
\Rightarrow \ q = \frac{ \ -\frac{85}{6} \ }{ -\frac{5}{3}}
\Rightarrow \ q = \frac{17}{2}
\Rightarrow \ q = 8.5

Por lo tanto, la oferta de zanahoria será de 8,5 kilos semanales si se fija el precio en 17.5 Ps.

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Ejemplo 2

Suponga que la oferta mensual de zapatos para dama en una zapatería es de 120 pares cuando el precio es de 100 Ps. por par, y de 80 pares cuando el precio es de 65 Ps. por par. ¿Cuál es la ecuación general de la recta que define la relación entre el precio y la oferta? ¿Cuál será la cantidad ofertada si fija el precio en 90 Ps.?

Debemos considerar que si la oferta es de 120 pares cuando el precio es de 100 Ps., podemos representar esta información con el punto (120,100); de igual forma, si la oferta es de 80 pares cuando el precio es de 65 Ps., podemos representar esta información con el punto (80,65).

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por estos dos usando la ecuación punto-punto. Entonces, si P_1 = (120,100) y P_2 = (80,65) son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

m = \ \frac{p_2 - p_1}{q_2 - q_1}
= \ \frac{65 - 100}{80 - 120}
= \ \frac{7}{8}

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto P_1

\ (p - p_1) = m \cdot (q - q_1)
\Rightarrow \ (p - 65) = \frac{7}{8} \cdot (q - 80)
\Rightarrow \ p - 65 = \frac{7}{8} \cdot q - 70
\Rightarrow \ p = \frac{7}{8} \cdot q -70 + 65
\Rightarrow \ p = \frac{7}{8} \cdot q - 5

La recta que pasa por los puntos P_1 y P_2 es llamada la Ecuación de oferta de zapatos para dama. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente negativa y su gráfica será una recta decreciente.

Curva de Oferta | totumat.com

Para determinar cuál será la cantidad ofertada si se fija el precio en 90 Ps. debemos considerar la ecuación de oferta y sustituir el valor p = 90 en ella, posteriormente se despeja la variable q, de la siguiente forma

\Rightarrow \ 90 = \frac{7}{8} \cdot q - 5
\Rightarrow \ -\frac{7}{8} \cdot q = -90 - 5
\Rightarrow \ -\frac{7}{8} \cdot q = -95
\Rightarrow \ q = \frac{ \ -95 \ }{-\frac{7}{8}}
\Rightarrow \ q = \frac{760}{7}
\Rightarrow \ q \approx 108.57

Por lo tanto, la oferta de zapatos para damas será de aproximadamente 109 pares mensuales si se fija el precio en 90 Ps.


Debemos notar que en ambos ejemplos, las rectas que definen la oferta tienen pendiente positiva y en consecuencia, son rectas crecientes. Entonces concluimos que de forma general, si m > 0, cualquier ecuación de oferta tiene la forma

p = m \cdot q + b

Ecuación de Demanda | totumat.com

La Ecuación de Demanda

Suponga que usted va al supermercado a comprar víveres semanalmente, y ve que un kilo de tomates tiene un precio de 200 Ps., le parece costoso pero decide llevar un kilo pues los necesita para cocinar. La semana siguiente vuelve al supermercado y ve que un kilo de tomates tiene un precio de 100 Ps, considerando que está en la mitad del precio de la semana anterior, usted decide llevar tres kilos.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

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Esta situación se presenta de forma general, pues al considerar el precio de un artículo, los consumidores comprarán menos unidades del artículo cuando el precio es alto y comprarán más unidades del artículo cuando el precio es bajo, esto se conoce como la demanda de un artículo. Entonces, si bien podemos intuir que la demanda de un artículo disminuye a medida que el precio del artículo aumenta, nuestro propósito será el de determinar la forma cuantificable esta relación.

Para esto, definimos un plano cartesiano cuyos ejes están definidos por la variable precio, denotada por p y la variable cantidad, denotada por q; para mantener la simplicidad de los modelos, consideraremos una economía simple, es decir, tal que las variables p y q sólo pueden tener valores positivos. De esta forma, nos ubicaremos sólo en el primer cuadrante del plano cartesiano.

Curva de Demanda | totumat.com

Veamos en los siguientes ejemplos, cómo conociendo la demanda y el precio de un artículo en un momento determinado, podemos definir rectas que describen de forma general la demanda del artículo.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que la demanda diaria de zanahoria en una pequeña tienda de verduras de la ciudad es de 1 kilo cuando el precio es de 20 Ps. por kilo, y de 4 kilos cuando el precio es de 15 Ps. por kilo. ¿Cuál es la ecuación general de la recta que define la relación entre el precio y la demanda? ¿Cuál será la cantidad demandada si fija el precio en 17.5 Ps.?

Debemos considerar que si la demanda es de 1 kilo cuando el precio es de 20 Ps., podemos representar esta información como un punto (p,q) el plano cartesiano donde q=1 y p=20, es decir, el punto (1,20); de igual forma, si la demanda es de 4 kilos cuando el precio es de 15 Ps., podemos representar esta información con el punto (4,15).

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por estos dos usando la ecuación punto-punto. Entonces, si P_1 = (1,20) y P_2 = (4,15) son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

m = \ \frac{p_2 - p_1}{q_2 - q_1}
= \ \frac{15 - 20}{4 - 1}
= \ -\frac{5}{3}

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto P_1

\ (p - p_1) = m \cdot (q - q_1)
\Rightarrow \ (p - 20) = -\frac{5}{3} \cdot (q - 1)
\Rightarrow \ p - 20 = -\frac{5}{3} \cdot q + \frac{5}{3}
\Rightarrow \ p = -\frac{5}{3} \cdot q + \frac{5}{3} + 20
\Rightarrow \ p = -\frac{5}{3} \cdot q + \frac{65}{3}

La recta que pasa por los puntos P_1 y P_2 es llamada la Ecuación de Demanda de zanahoria. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente negativa y su gráfica será una recta decreciente.

Curva de Demanda | totumat.com

Para determinar cuál será la cantidad demandada si se fija el precio en 17.5 Ps. debemos considerar la ecuación de demanda y sustituir el valor p= 17.5 en ella, posteriormente se despeja la variable q, de la siguiente forma

\Rightarrow \ 17.5 = -\frac{5}{3} \cdot q + \frac{65}{3}
\Rightarrow \ \frac{5}{3} \cdot q = -17.5 + \frac{65}{3}
\Rightarrow \ \frac{5}{3} \cdot q = \frac{25}{6}
\Rightarrow \ q = \frac{ \ \frac{25}{6} \ }{\frac{5}{3}}
\Rightarrow \ q = \frac{5}{2}
\Rightarrow \ q = 2.5

Por lo tanto, la demanda de zanahoria será de 2,5 kilos diarios si se fija el precio en 17.5 Ps.

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Ejemplo 2

Suponga que la demanda mensual de zapatos para dama en una zapatería es de 97 pares cuando el precio es de 100 Ps. por par, y de 141 pares cuando el precio es de 65 Ps. por par. ¿Cuál es la ecuación general de la recta que define la relación entre el precio y la demanda? ¿Cuál será la cantidad demandada si fija el precio en 90 Ps.?

Debemos considerar que si la demanda es de 97 pares cuando el precio es de 100 Ps., podemos representar esta información con el punto (97,100); de igual forma, si la demanda es de 141 pares cuando el precio es de 65 Ps., podemos representar esta información con el punto (141,65).

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por estos dos usando la ecuación punto-punto. Entonces, si P_1 = (97,100) y P_2 = (141,65) son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

m = \ \frac{p_2 - p_1}{q_2 - q_1}
= \ \frac{65 - 100}{141 - 97}
= \ -\frac{35}{44}

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto P_1

\ (p - p_1) = m \cdot (q - q_1)
\Rightarrow \ (p - 65) = -\frac{35}{44} \cdot (q - 141)
\Rightarrow \ p - 65 = -\frac{35}{44} \cdot q + \frac{4935}{44}
\Rightarrow \ p = -\frac{35}{44} \cdot q + \frac{4935}{44} + 65
\Rightarrow \ p = -\frac{35}{44} \cdot q + \frac{7795}{44}

La recta que pasa por los puntos P_1 y P_2 es llamada la Ecuación de Demanda de zapatos para dama. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente negativa y su gráfica será una recta decreciente.

Curva de Demanda | totumat.com

Para determinar cual será la cantidad demandada si se fija el precio en 90 Ps. debemos considerar la ecuación de demanda y sustituir el valor p = 90 en ella, posteriormente se despeja la variable q, de la siguiente forma

\Rightarrow \ 90 = -\frac{35}{44} \cdot q + \frac{7795}{44}
\Rightarrow \ \frac{35}{44} \cdot q = -90 + \frac{7795}{44}
\Rightarrow \ \frac{35}{44} \cdot q = \frac{3835}{44}
\Rightarrow \ q = \frac{ \ \frac{3835}{44} \ }{\frac{35}{44}}
\Rightarrow \ q = \frac{767}{7}
\Rightarrow \ q \approx 109.57

Por lo tanto, la demanda de zapatos para damas será de aproximadamente 110 pares mensuales si se fija el precio en 90 Ps.


Debemos notar que en ambos ejemplos, las rectas que definen la demanda tienen pendiente negativa y en consecuencia, son rectas decrecientes. Entonces concluimos que de forma general, si m > 0, cualquier ecuación de demanda tiene la forma

p = -m \cdot q + b


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Ejercicios propuestos por los usuarios de totumat

Ejercicio 1

¿Me podrían ayudar a resolver el siguiente problema?

El equilibrio de mercado para un producto ocurre cuando se fabrican 13500 unidades a un precio de $45 por unidad, El fabricante no hace oferta de unidades con precio $10 y los consumidores no demandan unidades con precio $200.

  • Obtener la ecuación de demanda si se supone lineal.
  • Determinar el precio por unidad cuando se demandan 5000 unidades.

Gracias,
Mary.

Respuesta:

Lo primero que debemos hacer al abordar problemas de este tipo es identificar cuales son los elementos que se presentan para reescribirlos en lenguaje matemático. Estos son:

  • El punto de equilibrio: (13500,45).
  • El fabricante no ofrece cuando el precio es de $10: Este es el punto (0,10).
  • Los consumidores no demandan cuando el precio es de $200: Este es el punto (0,200).

Como se supone que la demanda es lineal, debemos calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0,10) y (13500,45). Para esto aplicamos la ecuación punto-punto:

(p - 200) = \frac{45-200}{13500-0} \cdot (q - 0)

\Rightarrow p - 200 = -\frac{155}{13500} \cdot q

\Rightarrow p = -\frac{155}{13500} \cdot q + 200

Esta última ecuación es la ecuación lineal de demanda y para determinar el precio por unidad cuando se demandan 5000 unidades, basta con sustituir q=5000 en la ecuación, esto es:

p = -\frac{155}{13500} \cdot (5000) + 200 = 142,5926

Ejercicio 2

Hola, ¿me podría ayudar con este ejercicio? Obtengo como resultado

q = p/-2

No sé si estoy resolviéndolo bien.

El enunciado del ejercicio es el siguiente: Cuando el precio de los relojes es de $1000 dólares, no hay demanda alguna; cuando es gratuito en el mercado se demandan 500 relojes; ¿Cuál es la ecuación de la demanda? Grafique y explique; ¿cuál es el precio techo que se puede vender en el mercado?

Muchas gracias.

Respuesta:

Lo primero que debemos hacer al abordar problemas de este tipo es identificar cuales son los elementos que se presentan para reescribirlos en lenguaje matemático. Estos son:

  • Cuando el precio de los relojes es de $1000 dólares, no hay demanda alguna: Este es el punto (0,1000).
  • Cuando es gratuito en el mercado se demandan 500 relojes: Este es el punto (500,0).

Como se supone que la demanda es lineal, debemos calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0,1000) y (500,0). Para esto aplicamos la ecuación punto-punto:

(p - 1000) = \frac{0-1000}{500-0} \cdot (q - 0)

\Rightarrow p - 1000 = -\frac{1000}{500} \cdot q

\Rightarrow p = -2 \cdot q + 1000

Posteriormente, podemos hacer un despeje para expresar esta ecuación como q en función de p, para obtener la siguiente ecuación:

q = -\frac{1}{2} \cdot p + 500

Esta última ecuación se puede apreciar gráficamente:

Curva de Demanda | totumat.com

Distancia entre dos puntos

En esta sección desarrollaremos un método que nos permitirá calcular la distancia entre dos puntos del plano cartesiano basándonos en el Teorema de Pitágoras. Y aunque es un teorema famoso, es necesario que veamos qué es lo que se establece en este teorema para precisar ideas.

Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo de 90 grados. Decimos que sus catetos son los lados adyacentes a este ángulo y la hipotenusa será el lado opuesto a dicho ángulo. Este teorema nos dice que si usted tiene un triángulo rectángulo, entonces el cuadrado de la hipotenusa será igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Entonces, si un cateto mide a, otro cateto mide b y la hipotenusa mide c, tendremos que:

c^2 = a^2 + b^2

Con este resultado podemos decir que si tenemos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4, entonces 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25. Si la hipotenusa es c, tendremos que c^2=25. Es decir, la hipotenusa será un número que multiplicado por él mismo nos da 25 como resultado, este será el número 5 pues 5^2=5\cdot 5 = 25. Por lo tanto la hipotenusa de este triángulo mide 5.

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Consideremos ahora dos puntos en el plano P_1 = (x_1,y_1) y P_2 = (x_2,y_2), denotamos la distancia entre estos dos como d(P_1,P_2) y la ilustramos a continuación

Pero, ¿cómo calculamos la distancia entre estos dos puntos? Lo primero que debemos notar es que estos definen un triángulo rectángulo y además, la medida de los catetos está definida por la diferencia entre x_1 y x_2; y la diferencia entre y_1 y y_2, tal como sigue

Tomando esto en cuenta, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras, pues la distancia d(P_1,P_2) es la medida de la hipotenusa. Entonces, tenemos que \textit{el cuadrado de la hipotenusa será igual a la suma de los cuadrados de los catetos}, es decir,

d(P_1,P_2)^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2

Finalmente, podemos aplicar la raíz cuadrada en ambos lados de esta última ecuación para obtener una fórmula para el valor de la distancia entre los puntos P_1 = (x_1,y_1) y P_2 = (x_2,y_2).

d(P_1,P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Aunque pareciera engorrosa, veamos en los siguientes ejemplos como aplicar esta fórmula.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando los puntos P_1 = (1,4) y P_2 = (5,1), grafique ambos puntos y calcule la distancia entre ellos dos.

Calculamos la distancia entre estos dos puntos aplicando la fórmula para la distancia

d(P_1,P_2) \ = \ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\ = \ \sqrt{(5 - 1)^2 + (4 - 1)^2}
\ = \ \sqrt{(4)^2 + (3)^2}
\ = \ \sqrt{16 + 9}
\ = \ \sqrt{25}
\ = \ 5

Por lo tanto, concluimos que la distancia entre los dos puntos dados es igual a 5.

Ejemplo 2

Considerando los puntos P_1 = (2,-2) y P_2 = (-2,-4), grafique ambos puntos y calcule la distancia entre ellos dos.

Calculamos la distancia entre estos dos puntos aplicando la fórmula para la distancia

d(P_1,P_2) \ = \ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\ = \ \sqrt{(-2 - 2)^2 + (-4 - (-2))^2}
\ = \ \sqrt{(-2 - 2)^2 + (-4 + 2)^2}
\ = \ \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2}
\ = \ \sqrt{16 + 4}
\ = \ \sqrt{20}
\ \approx \ 4.4721

Por lo tanto, concluimos que la distancia entre los dos puntos dados es aproximadamente 4.4721.

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Ejemplo 3

Considerando los puntos P_1 = (-1,1) y P_2 = (2,-3), grafique ambos puntos y calcule la distancia entre ellos dos.

Calculamos la distancia entre estos dos puntos aplicando la fórmula para la distancia

d(P_1,P_2) \ = \ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\ = \ \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-3 - 1)^2}
\ = \ \sqrt{(2 + 1)^2 + (-3 - 1)^2}
\ = \ \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}
\ = \ \sqrt{9 + 16}
\ = \ \sqrt{25}
\ = \ 5

Por lo tanto, concluimos que la distancia entre los dos puntos dados es igual a 5.

Ejemplo 4

Considerando los puntos P_1 = (3,4) y P_2 = (-2,-1), grafique ambos puntos y calcule la distancia entre ellos dos.

Calculamos la distancia entre estos dos puntos aplicando la fórmula para la distancia

d(P_1,P_2) \ = \ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\ = \ \sqrt{(-2 - 3)^2 + (-1 - 4)^2}
\ = \ \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2}
\ = \ \sqrt{25 + 25}
\ = \ \sqrt{50}
\ \approx \ 7.0710

Por lo tanto, concluimos que la distancia entre los dos puntos dados es aproximadamente 7.0710.


Ejercicios Propuestos de Rectas

Sean P_1=(0,5), P_2=(-2,0), P_3=(5,1), P_4=(-6,2), P_5=(4,-8), P_6=(-1,-7), P_7=(1,9) y P_8=(-6,-3) puntos del plano cartesiano.

Ecuación Punto-Pendiente

Calcule la ecuación general de la recta que pasa por el punto indicado y tiene pendiente m; grafíquela.

  1. P_1 y m=2, llámela l_1.
  2. P_2 y m=2, llámela l_2.
  3. P_3 y m=2, llámela l_3.
  4. P_4 y m=2, llámela l_4.
  5. P_5 y m=-\frac{1}{2}, llámela l_5.
  6. P_6 y m=-\frac{1}{2}, llámela l_6.
  7. P_7 y m=-\frac{1}{2}, llámela l_7.
  8. P_8 y m=-\frac{1}{2}, llámela l_8.
  9. P_8 y m=3, llámela l_9.
  10. P_7 y m=4, llámela l_{10}.
  11. P_6 y m=5, llámela l_{11}.
  12. P_5 y m=6, llámela l_{12}.
  13. P_4 y m=-\frac{1}{9}, llámela l_{13}.
  14. P_3 y m=-\frac{2}{8}, llámela l_{14}.
  15. P_2 y m=-\frac{3}{7}, llámela l_{15}.
  16. P_1 y m=-\frac{4}{6}, llámela l_{16}.

Punto de Intersección

Basado en los resultados del ejercicio anterior. Verifique si las siguientes rectas son paralelas o no. En caso de intersectarse, verifique si son perpendiculares, calcule el punto de intersección y grafíquelo.

  1. l_1 y l_2
  2. l_3 y l_4
  3. l_5 y l_6
  4. l_7 y l_8
  5. l_9 y l_{10}
  6. l_{11} y l_{12}
  7. l_{13} y l_{14}
  8. l_{15} y l_{16}
  9. l_1 y l_5
  10. l_2 y l_6
  11. l_3 y l_7
  12. l_4 y l_8
  13. l_9 y l_{13}
  14. l_{10} y l_{14}
  15. l_{11} y l_{15}
  16. l_{12} y l_{16}

Paralelismo y Perpendicularidad

Basado en los resultados del ejercicio anterior. Calcule la ecuación general de la recta que cumple con las condiciones dadas y grafíquela.

  1. Pasa por P_1, es paralela a l_5
  2. Pasa por P_2, es paralela a l_6
  3. Pasa por P_3, es paralela a l_7
  4. Pasa por P_4, es paralela a l_8
  5. Pasa por P_5, es paralela a l_9
  6. Pasa por P_6, es paralela a l_{10}
  7. Pasa por P_7, es paralela a l_{11}
  8. Pasa por P_8, es paralela a l_{12}
  9. Pasa por P_1, es perpendicular a l_{13}
  10. Pasa por P_2, es perpendicular a l_{14}
  11. Pasa por P_3, es perpendicular a l_{15}
  12. Pasa por P_4, es perpendicular a l_{16}
  13. Pasa por P_5, es perpendicular a l_{1}
  14. Pasa por P_6, es perpendicular a l_{2}
  15. Pasa por P_7, es perpendicular a l_{3}
  16. Pasa por P_8, es perpendicular a l_{4}

Ecuación Punto-Punto

Calcule la ecuación general de la recta que pasa por los siguientes puntos y grafíquela.

  1. P_1 y P_2, llámela l_1.
  2. P_2 y P_3, llámela l_2.
  3. P_3 y P_4, llámela l_3.
  4. P_4 y P_5, llámela l_4.
  5. P_5 y P_6, llámela l_5.
  6. P_6 y P_7, llámela l_6.
  7. P_8 y P_9, llámela l_7.
  8. P_9 y P_{10}, llámela l_8.
  9. P_1 y P_3, llámela l_9.
  10. P_2 y P_4, llámela l_{10}.
  11. P_5 y P_7, llámela l_{11}.
  12. P_6 y P_8, llámela l_{12}.
  13. P_1 y P_5, llámela l_{13}.
  14. P_2 y P_6, llámela l_{14}.
  15. P_3 y P_7, llámela l_{15}.
  16. P_4 y P_8, llámela l_{16}.

Punto de Intersección

Basado en los resultados del ejercicio anterior. Verifique si las siguientes rectas son paralelas o no. En caso de intersectarse, verifique si son perpendiculares, calcule el punto de intersección y grafíquelo.

  1. l_1 y l_2
  2. l_3 y l_4
  3. l_5 y l_6
  4. l_7 y l_8
  5. l_9 y l_{10}
  6. l_{11} y l_{12}
  7. l_{13} y l_{14}
  8. l_{15} y l_{16}
  9. l_1 y l_3
  10. l_2 y l_4
  11. l_5 y l_7
  12. l_6 y l_8
  13. l_9 y l_{11}
  14. l_{10} y l_{12}
  15. l_{13} y l_{15}
  16. l_{14} y l_{16}

Resta de Matrices

Sean A y B dos matrices de tamaño m \times n, definimos la resta A-B como una nueva matriz donde cada elemento ij de esta nueva matriz, está definido como la resta del elemento ij de la matriz A menos el elemento ij de la matriz B. Formalmente,

[A+B]_{ij} = [A]_{ij} - [B]_{ij}

O escrito de forma exhaustiva, tenemos que

Debemos tomar en cuenta que al restar la matriz B, cada uno de los elementos de esta matriz es multiplicado por -1. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 2 \times2 calcule la suma indicada.

Ejemplo 6

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 4 \times 2 calcule la suma indicada.

Ejemplo 7

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 1 \times 4 calcule la suma indicada.

Ejemplo 8

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 3 \times 1 calcule la suma indicada.