La Ecuación de Oferta

28.10.202007.12.2022 Anthonny Arias García2 comentarios

Suponga que usted es un productor de tomates y provee a un supermercado semanalmente, y ve que un kilo de tomates tiene un precio de $200$ Ps, considerando los costos de producción, le parece que este precio es generoso para usted por lo que decide proveer al supermercado con $40$ kilos de tomate. La semana siguiente vuelve al supermercado y ve que un kilo de tomates tiene un precio de $100$ Ps, considerando que está en la mitad del precio de la semana anterior, usted decide proveer al supermercado con $30$ kilos de tomate.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

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Esta situación se presenta de forma general, pues al considerar el precio de un artículo, los productores proveerán más unidades del artículo cuando el precio es alto y proveerán menos unidades del artículo cuando el precio es bajo, esto se conoce como la oferta de un artículo. Entonces, si bien podemos intuir que la oferta de un artículo aumenta a medida que el precio del artículo aumenta, nuestro propósito será el de determinar la forma cuantificable de esta relación.

Para esto, definimos un plano cartesiano cuyos ejes están definidos por la variable precio, denotada por $p$ y la variable cantidad, denotada por $q$ ; para mantener la simplicidad de los modelos, consideraremos una economía simple, es decir, tal que las variables $p$ y $q$ sólo pueden tener valores positivos. De esta forma, nos ubicaremos sólo en el primer cuadrante del plano cartesiano.

Veamos en los siguientes ejemplos, cómo conociendo la oferta y el precio de un artículo en un momento dado, podemos definir rectas que describen de forma general la oferta del artículo.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que la oferta semanal de zanahoria una pequeña tienda de verduras de la ciudad es de $10$ kilos cuando el precio es de $20$ Ps. por kilo, y de $7$ kilos cuando el precio es de $15$ Ps. por kilo. ¿Cuál es la ecuación general de la recta que define la relación entre el precio y la oferta? ¿Cuál será la cantidad ofertada si fija el precio en $17.5$ Ps.?

Debemos considerar que si la oferta es de $10$ kilos cuando el precio es de $20$ Ps., podemos representar esta información como un punto $(p,q)$ el plano cartesiano donde $q=10$ y $p=20$ , es decir, el punto $(10,20)$ ; de igual forma, si la oferta es de $7$ kilos cuando el precio es de $15$ Ps., podemos representar esta información con el punto $(7,15)$ .

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por estos dos usando la ecuación punto-punto. Entonces, si $P_1 = (10,20)$ y $P_2 = (7,15)$ son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

$m = \ \frac{p_2 - p_1}{q_2 - q_1}$
$= \ \frac{15 - 20}{7 - 10}$
$= \ \frac{5}{3}$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$\ (p - p_1) = m \cdot (q - q_1)$
$\Rightarrow \ (p - 20) = \frac{5}{3} \cdot (q - 10)$
$\Rightarrow \ p - 20 = \frac{5}{3} \cdot q - \frac{50}{3}$
$\Rightarrow \ p = \frac{5}{3} \cdot q - \frac{50}{3} + 20$
$\Rightarrow \ p = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{10}{3}$

La recta que pasa por los puntos $P_1$ y $P_2$ es llamada la Ecuación de oferta de zanahoria. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente positiva y su gráfica será una recta creciente.

Para determinar cual será la cantidad ofertada si se fija el precio en $17.5$ Ps. debemos considerar la ecuación de oferta y sustituir el valor $p= 17.5$ en ella, posteriormente se despeja la variable $q$ , de la siguiente forma

$\Rightarrow \ 17.5 = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{10}{3}$
$\Rightarrow \ -\frac{5}{3} \cdot q = -17.5 + \frac{10}{3}$
$\Rightarrow \ -\frac{5}{3} \cdot q = -\frac{85}{6}$
$\Rightarrow \ q = \frac{ \ -\frac{85}{6} \ }{ -\frac{5}{3}}$
$\Rightarrow \ q = \frac{17}{2}$
$\Rightarrow \ q = 8.5$

Por lo tanto, la oferta de zanahoria será de $8,5$ kilos semanales si se fija el precio en $17.5$ Ps.

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Ejemplo 2

Suponga que la oferta mensual de zapatos para dama en una zapatería es de $120$ pares cuando el precio es de $100$ Ps. por par, y de $80$ pares cuando el precio es de $65$ Ps. por par. ¿Cuál es la ecuación general de la recta que define la relación entre el precio y la oferta? ¿Cuál será la cantidad ofertada si fija el precio en $90$ Ps.?

Debemos considerar que si la oferta es de $120$ pares cuando el precio es de $100$ Ps., podemos representar esta información con el punto $(120,100)$ ; de igual forma, si la oferta es de $80$ pares cuando el precio es de $65$ Ps., podemos representar esta información con el punto $(80,65)$ .

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por estos dos usando la ecuación punto-punto. Entonces, si $P_1 = (120,100)$ y $P_2 = (80,65)$ son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

$m = \ \frac{p_2 - p_1}{q_2 - q_1}$
$= \ \frac{65 - 100}{80 - 120}$
$= \ \frac{7}{8}$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$\ (p - p_1) = m \cdot (q - q_1)$
$\Rightarrow \ (p - 65) = \frac{7}{8} \cdot (q - 80)$
$\Rightarrow \ p - 65 = \frac{7}{8} \cdot q - 70$
$\Rightarrow \ p = \frac{7}{8} \cdot q -70 + 65$
$\Rightarrow \ p = \frac{7}{8} \cdot q - 5$

La recta que pasa por los puntos $P_1$ y $P_2$ es llamada la Ecuación de oferta de zapatos para dama. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente negativa y su gráfica será una recta decreciente.

Para determinar cuál será la cantidad ofertada si se fija el precio en $90$ Ps. debemos considerar la ecuación de oferta y sustituir el valor $p = 90$ en ella, posteriormente se despeja la variable $q$ , de la siguiente forma

$\Rightarrow \ 90 = \frac{7}{8} \cdot q - 5$
$\Rightarrow \ -\frac{7}{8} \cdot q = -90 - 5$
$\Rightarrow \ -\frac{7}{8} \cdot q = -95$
$\Rightarrow \ q = \frac{ \ -95 \ }{-\frac{7}{8}}$
$\Rightarrow \ q = \frac{760}{7}$
$\Rightarrow \ q \approx 108.57$

Por lo tanto, la oferta de zapatos para damas será de aproximadamente $109$ pares mensuales si se fija el precio en $90$ Ps.

Debemos notar que en ambos ejemplos, las rectas que definen la oferta tienen pendiente positiva y en consecuencia, son rectas crecientes. Entonces concluimos que de forma general, si $m > 0$ , cualquier ecuación de oferta tiene la forma

$p = m \cdot q + b$

La Ecuación de Demanda

27.10.202007.12.2022 Anthonny Arias García16 comentarios

Suponga que usted va al supermercado a comprar víveres semanalmente, y ve que un kilo de tomates tiene un precio de $200$ Ps., le parece costoso pero decide llevar un kilo pues los necesita para cocinar. La semana siguiente vuelve al supermercado y ve que un kilo de tomates tiene un precio de $100$ Ps, considerando que está en la mitad del precio de la semana anterior, usted decide llevar tres kilos.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

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Esta situación se presenta de forma general, pues al considerar el precio de un artículo, los consumidores comprarán menos unidades del artículo cuando el precio es alto y comprarán más unidades del artículo cuando el precio es bajo, esto se conoce como la demanda de un artículo. Entonces, si bien podemos intuir que la demanda de un artículo disminuye a medida que el precio del artículo aumenta, nuestro propósito será el de determinar la forma cuantificable esta relación.

Veamos en los siguientes ejemplos, cómo conociendo la demanda y el precio de un artículo en un momento determinado, podemos definir rectas que describen de forma general la demanda del artículo.

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