Métodos básicos de conteo

08.02.202107.03.2021 Anthonny Arias-García2 comentarios

Al estudiar la probabilidad de que ocurra un evento se requiere saber con certeza la cantidad de elementos involucrados en dicho evento, por ejemplo: si lanzamos una moneda, ¿cuántas caras tiene la moneda? Si lanzamos un dado, ¿cuántas caras tiene el dado? Si queremos ganar la lotería nacional, ¿cuántos boletos posibles hay? Si queremos pescar un pez dorado en un riachuelo, ¿cuántos peces dorados hay en el riachuelo? ¿Cuántos peces hay de otros colores?

Contar de cuantas formas pudiera ocurrir un evento es tan sencillo como contar con los dedos como por ejemplo lanzar un dado de 6 caras, sin embargo, hay ocasiones en las que la cantidad es muy grande y los dedos de las manos no alcanzan, así que debemos usar los dedos de los pies (jaja, chiste malo).

Hablando seriamente, podemos encontrar eventos con tantos casos que debemos desarrollar métodos que nos permitan contar con precisión todos los casos posibles, por ejemplo, si en los boletos de la lotería nacional se pueden escoger seis números de treinta, ¿cuántos boletos posibles hay?

Dependiendo del evento que estemos estudiando, el método que se usa para contar los posibles casos puede contarse directamente, pero cuando los problemas son más complejos, es necesario sentar una base para abordarlos, así que veremos a continuación los casos que sientan la base para los métodos básicos de conteo.

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El método del producto

Este método que se basa en multiplicar la cantidad de elementos de un conjunto por la cantidad de elementos del otro conjunto se conoce como el método del producto y formalmente, diremos que si evento se puede desglosar de forma secuencial en dos partes, si hay $n_1$ elementos para la primera secuencia y $n_2$ elementos para la segunda secuencia, entonces el evento puede ocurrir de $n_1 \cdot n_2$ formas posibles.

Veamos como aplicar este método de conteo con algunos ejemplos, que si bien pueden resultar bastante intuitivos, formalizar el método permitirá abordar problemas más complejos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Consideremos el producto cartesiano de dos conjuntos, particularmente consideremos el producto cartesiano de los conjuntos $A = \{ 1,2,3,4,5,6,7 \}$ y $\{ 1,2,3,4 \}$ , es decir, $\{ (a,b) : a \in A, b \in B \}$ . Este conjunto alberga todas las posibles parejas de elementos de $A$ con elemento de $B$ , ¿Cuántos elementos tiene este producto cartesiano?

Pudiéramos contar uno a uno todos los elementos, empezando por el $(1,1)$ , $(2,1)$ , $(3,1)$ y así sucesivamente, sin embargo, podemos también ilustrar estos dos conjuntos en el plano cartesiano para contar con mayor facilidad.

Observando esta ilustración, no hace falta contar todos los puntos pues observando que estos formar un rectángulo, podemos multiplicar base por altura, para determinar que podemos emparejar los elementos de $A$ con los elementos de $B$ de $7 \cdot 4 = 28$ formas posibles. Notemos que de esta forma podemos contar los elementos de cualquier producto cartesiano.

Ejemplo 2

Una vez ilustrado este ejemplo, sentamos la base para estudiar problemas más complejos de conteo. Por ejemplo, supongamos que usted está organizando un evento de caridad y debe identificar el asiento de cada uno de los asistentes, sabiendo que hay cinco filas A, B, C, D, E y 37 puestos por cada fila. ¿Cuántas etiquetas se deben imprimir?

Básicamente, lo que queremos saber es de cuantas formas podemos emparejar los elementos del conjunto $\{ A, B, C, D, E \}$ y los elementos del conjunto $\{ 1,2,3, \ldots , 37 \}$ . Entonces, si el primer conjunto tiene cinco elementos y el segundo tiene treinta y siete, podemos concluir que se deben imprimir $5 \cdot 37 = 185$ etiquetas.

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Ejemplo 3

Estableciendo este método, supongamos que una pequeña empresa fabrica adornos imantados para refrigeradores con forma de libélula, mariposa y escarabajo, que posteriormente son pintados de distintos colores: azul, verde, naranja, amarillo y rojo. ¿Cuántos tipos de adornos imantados fabrica esta empresa?

Lo que queremos saber es de cuantas formas podemos emparejar los elementos del conjunto {libélula, mariposa, escarabajo} y los elementos del conjunto {azul, verde, naranja, amarillo, rojo}. Entonces, si el primer conjunto tiene tres elementos y el segundo tiene cinco, podemos concluir que se deben imprimir $3 \cdot 5 = 15$ tipos de adornos.

Nota: El método del producto se puede generalizar pues si evento se puede desglosar en una secuencia de $k$ partes, si hay $n_1$ elementos para la primera secuencia, $n_2$ elementos para la segunda secuencia y así de forma sucesiva, $n_k$ elementos para la $k$ -ésima secuencia, entonces el evento puede ocurrir de $n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k$ formas posibles.

Ejemplo 4

Un bit es una unidad básica de información sobre un estado lógico con únicamente dos valores, generalmente representados por un cero (0) o un uno (1), aunque pueden pueden también representar positivo (+) y negativo (-), encendido y apagado, verdadero y falso, etc.

La ventaja del uso de los bits como unidades de información, es que se pueden concatenar para generar cadenas de información mucho más complejas como las Direcciones IP (Internet Protocol Address) que son cuatro cadenas de ocho bits usadas para identificar cada dispositivo del mundo conectado a internet. Es por esto que al observar el módem que permite a su computadora conectarse a internet, este enciende y apaga la luz de conexión reiteradas veces.

Entonces, sabiendo lo que es un bit y lo que es una Dirección IP, ¿cuántas Direcciones IP posibles se pueden asignar? Empecemos por determinar cuantas cadenas de 8 bits distintas podemos contar. Básicamente tenemos un evento que se puede desglosar en ocho secuencias y donde cada una tiene dos elementos, entonces, contamos $2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2 = 2^8 = 256$ cadenas distintas de ocho bits.

Sabiendo que las Direcciones IP tienen cuatro cadenas de ocho bits, entonces, tenemos un evento que se puede desglosar en cuatro secuencias y donde cada una tiene doscientos cincuenta y seis elementos, entonces, contamos $256 \cdot 256 \cdot 256 \cdot 256 = 256^4 = 4 \ 294 \ 697 \ 296$ cadenas distintas de ocho bits.

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El método de la suma

Este método que se basa en sumar la cantidad de elementos de un conjunto con la cantidad de elementos del otro conjunto se conoce como el método de la suma y formalmente, diremos que si un evento se puede desglosar en dos partes y que este ocurre sólo en una de las partes, si hay $n_1$ casos para la primera parte y $n_2$ casos para la segunda parte, entonces el evento puede ocurrir de $n_1 + n_2$ formas posibles.

En términos del cardinal de un conjunto finito, esto es, la cantidad de elementos en el conjunto. Considerando dos conjuntos disjuntos, es decir, que no tienen elementos en común, entonces el cardinal de la unión de estos dos conjuntos es la suma de sus cardinales. Formalmente, si $A$ y $B$ son conjuntos tales $A \cap B = \varnothing$ , entonces

$|A \cup B| = |A| + |B|$

Donde, las barras $| \ * \ |$ denotan el cardinal del conjunto.

Veamos como aplicar este método de conteo con algunos ejemplos, que si bien pueden resultar bastante intuitivos, formalizar el método permitirá abordar problemas más complejos.

Ejemplos

Ejemplo 5

Suponga que usted está presidiendo una reunión de condominio, se cuentan con limitados recursos y sólo puede atenderse uno de dos problemas importantes: restaurar el asfaltado de los estacionamientos o restauración de los depósitos de basura; para el primer problema hay 4 licitaciones y para el segundo problema hay 9 licitaciones. Contar todos los casos posibles es muy sencillo, pues simplemente debemos sumar los casos posibles, entonces contamos $4+9=13$ casos posibles.

Nota: Si bien estos métodos presentan soluciones bastante intuitivas, sientan la base para situaciones que requieren la combinación de métodos conteo.

Ejemplo 6

Suponga que usted está organizando un evento de caridad y debe identificar el asiento de cada uno de los asistentes, sabiendo que se deben imprimir etiquetas personalizadas los 2 representantes de cada una de las 7 asociaciones que colaboran con el evento caritativo y además, seis filas A, B, C, D, E, F y 20 puestos por cada fila. ¿Cuántas etiquetas se deben imprimir?

Desglosamos el conteo en dos partes, contando primero las etiquetas personalizadas, que en este caso serían $2 \cdot 7 = 14$ etiquetas y por otra parte, lo que queremos saber es de cuantas formas podemos emparejar los elementos del conjunto $\{ A,B,C,D,E,F \}$ y los elementos del conjunto $\{ 1,2,3, \ldots , 20 \}$ . Entonces, si el primer conjunto tiene seis elementos y el segundo veinte, podemos concluir que se deben imprimir $6 \cdot 20 = 120$ etiquetas.

Por lo tanto, se deben imprimir un total de $14 + 120 = 134$ etiquetas.

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El método de la resta

El método de la resta, también conocido como el Principio de Inclusión-Exclusión, generaliza el método de la suma, y se basa en sumar la cantidad de elementos de un conjunto con la cantidad de elementos del otro conjunto, notando que si estos conjuntos tienen elementos en común estaríamos contando los elementos comunes dos veces, por lo tanto, restamos esa cuenta adicional.

Formalmente, diremos que si un evento se puede desglosar en dos partes y que ambas partes tienen casos comunes, si hay $n_1$ casos para la primera parte y $n_2$ casos para la segunda parte, entonces el evento puede ocurrir de $n_1 + n_2$ formas posibles, menos la cantidad de casos comunes.

En términos del cardinal de un conjunto finito, esto es, la cantidad de elementos en el conjunto. Considerando dos conjuntos con elementos comunes $A$ y $B$ , entonces

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Donde, las barras $| \ * \ |$ denotan el cardinal del conjunto.

Ejemplos

Ejemplo 7

Suponga que usted está organizando un evento de caridad y debe identificar el asiento de cada uno de los asistentes, sabiendo que se deben imprimir etiquetas personalizadas para los 2 delegaciones que colaboran con el evento caritativo, la primera delegación cuenta con 10 personas y la segunda con 13, pero se sabe que 4 personas pertenecen a ambas delegaciones. ¿Cuántas etiquetas se deben imprimir?

Para la primera delegación se deberían imprimir 10 etiquetas y para la segunda delegación se deberían imprimir 13 etiquetas. Sin embargo, debemos considerar que 4 personas están en ambas delegaciones, si se imprimen estas 4 etiquetas en el lote de la primera delegación y estas mismas 4 etiquetas en el lote de la segunda de legación, se estarían imprimiendo 4 etiquetas de más. Así, estas se imprimen sólo una vez que para evitar imprimir las mismas etiquetas dos veces.

En conclusión, se deben imprimir $10 + 13 - 4 = 23 - 4 = 19$ etiquetas.

Ejemplo 8

Suponga que usted está administrando una red de información de una empresa con un Dominio IP que fija las primeras tres cadenas de bits, y debe determinar cuantas Direcciones IP hay disponibles para los dispositivos del personal administrativo, sabiendo que las direcciones asignadas para estos son las que empiezan 0000 o que terminan en 11.

Contemos la cantidad de direcciones que empiezan en 0000. En vista de que los primeros cuatro bits de estas cadenas están fijos, los restantes cuatro bits varían entre cero y uno, de esta forma, aplicando el método del producto, concluimos que hay $2^4 = 16$ direcciones que cumplen con esta condición.

Contemos la cantidad de direcciones que terminan en 11. En vista de que los dos últimos bits de estas cadenas está fijos, los restantes seis bits varían entre cero y uno, de esta forma, aplicando el método del producto, concluimos que hay $2^6 = 64$ direcciones que cumplen con esta condición.

Debemos tomar en cuenta que estamos contando dos veces las direcciones que empiezan en 0000 y terminan en 11 al mismo tiempo, entonces contemos estas direcciones para restarlas al final. En vista de que los primeros cuatro bits y el último bit de estas cadenas está fijos, los restantes 2 bits varían entre cero y uno, de esta forma, aplicando el método del producto, concluimos que hay $2^2 = 4$ direcciones que cumplen con esta condición.

De esta forma, concluimos que la cantidad de Direcciones IP disponibles para los dispositivos del personal administrativo son $16 + 64 - 4 = 76$

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El método de la división

El método de la división permite contar los elementos de un conjunto, ignorando leves diferencias entre un elemento y otro. La idea básicamente consiste en hacer un conteo aplicando los métodos conocidos y posteriormente, combinar aquellos elementos que no presentan mayor diferencia.

Supongamos que al considerar las formas llevar a cabo un evento, este se puede llevar a cabo siguiendo uno de los procedimientos del conjunto $A = \{ a_1,a_2, \ldots a_m \}$ , pero a su vez, este se puede llevar a cabo siguiendo uno los procedimientos del conjunto $B = \{ b_1,b_2, \ldots b_n \}$ . Si para cada procedimiento $b_i$ , existen exactamente $k$ procedimientos de $A$ que coinciden con $b_i$ , entonces el total de formas en las que se puede llevar a cabo el evento es igual a $\frac{m}{k}$ .

En términos del cardinal de un conjunto finito, esto es, la cantidad de elementos en el conjunto. Considerando un conjunto $A$ que es igual a la unión de $n$ conjuntos ${ A_1, A_2, \ldots, A_n }$ , donde $A_i \cap A_j$ para $i \neq j$ . Si $|A_i| = k$ entonces

$n = \frac{|A|}{k}$

Donde, las barras $| \ * \ |$ denotan el cardinal del conjunto.

Otra forma de presentar este método consiste en considerar dos conjuntos finitos $A$ y $B$ , y una función $f : A \to B$ tal que para todo elemento $b$ de $B$ existen exactamente ${ a_1, a_2, \ldots, a_k }$ valores de $A$ tales que $f(a_i) = b$ para todo $i=1, \ldots k$ . Entonces,

$|B| = \frac{|A|}{k}$

Nota: Haciendo la analogía con las funciones inyectivas, también conocidas como funciones $1-1$ . Decimos que la función es $k-1$ pues corresponde a $k$ elementos de $A$ con un único elemento de $B$ y viceversa.

Ejemplos

Ejemplo 9

Suponga que usted está armando un circuito de entrenamiento con únicamente cuatro obstáculos distintos: una valla (V), una ría (R), un muro de 1 metro (M1) y un muro de 2 metros (M2). Considerando que dos circuitos son equivalentes si uno se obtiene rotando el otro, por ejemplo, el circuito V-R-M1-M2 es equivalente al circuito M1-M2-V-R. ¿Cuántos circuitos distintos se pueden crear?

Para fijar el primer obstáculo, podemos considerar cualquier de las cuatro opciones. Para el segundo, ya hemos fijado uno anteriormente, así que debemos considerar sólo las tres opciones restantes. Para el tercero, ya hemos fijado dos anteriormente, así que debemos considerar sólo las dos opciones restantes. Para el cuarto, ya hemos fijado tres, así que consideramos el que queda que es sólo una opción.

Entonces, aplicando el método del producto, podemos contar $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ circuitos distintos. Pero debemos notar que para cada arreglo, hay cuatro circuitos equivalentes, por lo que concluimos que sólo hay $\frac{24}{4} = 6$ circuitos distintos.

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Diagramas de Árbol

Existen eventos que ocurren de forma secuencial en los que se pueden contar todos los casos posibles con mayor facilidad haciendo una ilustración, como es el caso de los diagramas de árbol en los que se cuentan todos los casos posibles de forma exhaustiva, pues partiendo de un nodo originario (la raíz del diagrama) podemos dibujar aristas (ramas del diagrama) hasta otros nodos, de los cuales se generan otras ramas. De esta forma, se representan todos los casos posibles del evento en cuestión.

Aunque los diagramas de árbol se pueden aprovechar con mayor profundidad desarrollando la Teoría de Grafos, nos limitaremos en esta ocasión con algunos ejemplos básicos para entender la forma en que se usan para los métodos de conteo.

Ejemplos

Ejemplo 10

Considerando cadenas de bits, ¿cuántas cadenas de tres bits diferentes se pueden contar?

Estas cadenas se pueden contar usando el método del producto, pero para efectos didácticos, veamos como se aborda este problema si se usa un diagrama de árbol.

Empezamos contando todas las cadenas que empiezan con $0$ , para esto dibujamos una rama desde la raíz del diagrama que llega hasta $0$ .

A partir de este nodo, parten dos nodos uno con $0$ y otro con $1$ .

A partir de estos nodos, parten a su vez, dos nodos uno con $0$ y otro con $1$ . De esta forma, obtenemos todas las cadenas de bits que empiezan con $0$ .

A partir de este nodo, parten dos nodos uno con $0$ y otro con $1$ .

Hacemos un procedimiento análogo para determinar todas las cadenas de bits que empiezan con $1$ , para esto dibujamos una rama desde la raíz del diagrama que llega hasta $1$ .

A partir de estos nodos, parten a su vez, dos nodos uno con $0$ y otro con $1$ . De esta forma, obtenemos todas las cadenas de bits que empiezan con $0$ .

Entonces, la cantidad de cadenas de bits que se pueden formar con tres bits es igual a la cantidad de nodos que al final no tienen ramificaciones adicionales, es decir, $8$ . Notemos además, que en este diagrama se pueden identificar visualmente todas las cadenas de bits, por ejemplo, la cadena $010$ se ve de la siguiente forma:

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Ejemplo 11

Aunque el ejemplo anterior se pudo haber resulto de forma más simple recurriendo al método del producto, consideremos otro ejemplo en que el método del producto no es el mejor método para abordarlo. ¿cuántas cadenas de cuatro bits diferentes no tienen dos ceros consecutivos?

Para esto construimos un diagrama de árbol pero al construir una rama, si un nodo es $0$ , no se continúa construyendo la rama que dirige hacia otro cero.

Entonces, la cantidad de cadenas de bits que se pueden formar con cuatro bits que no tengan dos ceros consecutivos es igual a la cantidad de nodos que al final no tienen ramificaciones adicionales, es decir, $8$ .

Ejemplo 12

En un torneo de «Piedra, Papel o Tijera», la final se disputa entre dos personas y el ganador será el que gane dos de tres partidas. Los organizadores deben contar todos los casos posibles para determinar el tiempo máximo que durará la final del torneo. ¿Cuántas partidas posibles pueden ocurrir?

Identifiquemos a cada jugador como el jugador Azul (A) y el jugador Rojo (R), entonces, construimos un diagrama de árbol de la siguiente manera:

Por lo tanto, concluimos que la cantidad de partidas posibles es $6$ .

Ángulos, Grados y Radianes

05.02.202102.04.2021 Anthonny Arias-García2 comentarios

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones que existen entre los lados y los ángulos de un triángulo. Los resultados que se generan a partir de estas se pueden generalizar para estudiar otro tipo de figuras geométricas y sus aplicaciones en la vida real tienen un amplio espectro, principalmente en la construcción, el arte y el diseño.

Antes de estudiar las relaciones que se pueden establecer en la trigonometría, es necesario definir algunas figuras geométricas y elementos para formalizar estas relaciones con mayor precisión.

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Circunferencias

Fijando un punto en el plano que llamaremos centro y una distancia que llamaremos radio, definimos una circunferencia como el conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia del centro

Al estudiar las circunferencias podemos definir elementos que la componen para posteriormente, estudiar las relaciones entre estos elementos.

El arco de la circunferencia, son todos los puntos de la circunferencia, usualmente se denota con la letra $C$ .
Una cuerda es un segmento de recta cuyos extremos forman parte de la circunferencia.
El diámetro es la medida del segmento más grande formado por dos puntos de la circunferencia, usualmente se denota con la letra $d$ .
El radio es la medida que hay desde el centro hasta el arco de la circunferencia, usualmente se denota con la letra $r$ .

Partes de una circunferencia: Arco, Cuerda, Diámetro y Radio | totumat.com

La relación más importante que podemos encontrar entre los elementos de una circunferencia es entre la medida o longitud del arco de la circunferencia (C) y el diámetro (d), pues sea cual sea la circunferencia la proporción entre estos dos elementos siempre es la misma. Entonces, el cociente de $C$ entre $d$ se denota con un número especial llamado pi de la siguiente forma

$\pi = \frac{C}{d}$

Debemos notar además, que el diámetro de una circunferencia es el doble del radio, entonces, podemos establecer una relación entre la longitud de arco de la circunferencia y el radio, sustituyendo $d = 2r$ y despejando $C$ de la ecuación planteada al definir a $\pi = \frac{C}{2r}$ para obtener que

$C = 2 \pi \cdot r$

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Ángulos

Si consideramos dos segmentos de recta con un extremo común, decimos que estos forman un ángulo y al punto en común de estos segmentos lo llamamos vértice del ángulo; es posible medir la amplitud del ángulo que estos forman recurriendo a algunas figuras geométricas.

Grados

Podemos usar las circunferencias para medir ángulos y es que si seccionamos una circunferencia en $360$ partes, podemos corresponder cada ángulo con cada una de estas secciones para poder definir un patrón de medida que llamaremos grados.

Círculo con todos los ángulos de 15 en 15 | totumat.com

Veamos la ilustración de algunos ángulos para entender esta idea con mayor claridad.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Un ángulo con una amplitud de 45 grados, que se denota como $45^{\circ}$ , estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de 45 grados en una circunferencia | totumat.com

Ejemplo 2

Un ángulo con una amplitud de 109 grados, que se denota como $109^{\circ}$ , estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de 109 grados en una circunferencia | totumat.com

Ejemplo 3

Un ángulo con una amplitud de 26 grados, que se denota como $26^{\circ}$ , estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de 26 grados en una circunferencia | totumat.com

Ejemplo 4

Un ángulo con una amplitud de 285 grados, que se denota como $285^{\circ}$ , estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de 285 grados en una circunferencia | totumat.com

En este último caso, notemos que hemos considerado exactamente el espacio entre ellos dos, si no que más bien hemos fijado uno de los segmentos y hemos medido la amplitud del ángulo en sentido anti horario, pues este será el estándar para la medición de ángulos.

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Radianes

Habiendo establecido una relación entre una circunferencia y los ángulos, consideremos de forma particular una circunferencia de radio $r=1$ , entonces podemos expresar la longitud de arco de esta circunferencia de la forma

$C = 2 \pi$

Un ángulo de 180 grados, puede presentarse como un segmento de circunferencia tomado de una mitad de dicha circunferencia, ilustrado de la siguiente forma:

Semicírculo, mitad de una circunferencia | totumat.com

Si llamamos $S$ a la longitud de este segmento de circunferencia, podemos calcular su medida tomando en cuenta que si el segmento representa la mitad de la circunferencia y que la longitud de arco de la circunferencia es $C = 2 \pi$ , entonces basta con dividir por dos en ambos lados de la igualdad para obtener que

$S = \frac{2\pi}{2} = \pi$

Por otra parte, un ángulo de 90 grados, puede presentarse como un segmento de circunferencia tomado de un cuarto de dicha circunferencia, ilustrado de la siguiente forma:

cuarto de una circunferencia | totumat.com

$S = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

Más aún, un ángulo de 45 grados, puede presentarse como un segmento de circunferencia tomado de un octavo de dicha circunferencia, ilustrado de la siguiente forma:

octavo de una circunferencia | totumat.com

$S = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$

Entonces, podemos establecer una relación entre estos ángulos y el número $\pi$ , de forma que $180^{\circ}$ está correspondido con $\pi$ , $90^{\circ}$ está correspondido con $\frac{\pi}{2}$ y $45^{\circ}$ está correspondido con $\frac{\pi}{4}$ e incluso, un ángulo de $360^{\circ}$ está correspondido con $2 \pi$ . Así que vale la pena preguntarse, ¿será posible corresponder cualquier ángulo con una proporción de $\pi$ ?

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La respuesta es sí, pues dado un ángulo $\alpha$ , partimos de la siguientes correspondencias: si $180$ está correspondido con $\pi$ y $\alpha$ estará correspondido con un valor $x$ . Esto quiere decir que sus proporciones son las mismas, es decir,

$\frac{180}{\alpha} = \frac{\pi}{x}$

Y a partir de esta ecuación, podemos despejar la incógnita $x$ para obtener que

$x = \frac{\alpha}{180} \cdot \pi$

Al valor de $x$ correspondido con el ángulo $\alpha$ se conoce como radián y de esta forma, definimos un nuevo patrón de medida para ángulos en función de $\pi$ que llamaremos radianes y que podemos corresponder con cada medida en grados. En la siguiente tabla, definimos los ángulos más comunes.

Equivalencia de ángulos desde 15 grados hasta 180 grados.

Tabla de Conversión de Grados a Radianes | totumat.com

Equivalencia de ángulos desde 195 grados hasta 360 grados.

Veamos la ilustración de algunos ángulos para entender esta idea con mayor claridad.

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Ejemplos

Ejemplo 5

Un ángulo con una amplitud de $\frac{\pi}{4}$ radianes es equivalente a $45^{\circ}$ , estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de pi cuartos radianes en una circunferencia | totumat.com

Ejemplo 6

Un ángulo con una amplitud de $5\frac{\pi}{6}$ radianes es equivalente a $150^{\circ}$ , estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de cinco pi sextos radianes en una circunferencia | totumat.com

Ejemplo 7

Un ángulo con una amplitud de $5\frac{\pi}{36}$ radianes es equivalente a $25^{\circ}$ , estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de cinco pi treinta y seisavos radianes en una circunferencia | totumat.com

Ejemplo 8

Un ángulo con una amplitud de $191\frac{\pi}{180}$ radianes es equivalente a $191^{\circ}$ , estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de siento noventa y uno pi ciento ochentavos radianes en una circunferencia | totumat.com

Memes Matemáticos – Enero 2021

03.02.202112.04.2021 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

La popularidad de un meme refleja la forma en que la sociedad comprende un hecho y las matemáticas no se escapan de esto, pues la comunidad matemática en las redes sociales ha aumentado su presencia en los últimos meses. El mes de Enero del año 2020 duró aproximadamente 75 días, pero el mes de Enero del año 2021 duró alrededor de dos semanas y de este breve mes, traemos para ti una compilación de los mejores memes matemáticos.

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¿Pi es igual a 4?

Las demostraciones matemáticas son rigurosas y no admiten ambigüedades, sin embargo, en ocasiones podemos toparnos con un argumento que pareciera ser tan lógico como para constituir una demostración, pues como decía mi profesor de Geometría Métrica Plana: «un dibujo no es una demostración». En esta ocasión, el usuario u/Mercurial_Rhombus presenta un secuencia de pasos que pareciera indicar que la longitud de arco de un cuadrado es igual a longitud de arco de una circunferencia. En la imagen se puede leer:

Dibuje un círculo de diámetro 1.
Dibuje un cuadrado circunscrito, este tendrá perímetro igual a 4.
Remueva las esquinas del cuadrado. El perímetro seguirá siendo 4.
Remueva más esquinas. El perímetro seguirá siendo 4.
Repita hasta el infinito.
$\pi = 4$ .

¿Algún problema, Arquímedes?

Tomando en cuenta que $\pi$ está definido como la división del perímetro del triángulo entre la longitud del arco que define la circunferencia, esta persona concluye que $\pi = 4$ . Esta pseudo demostración generó una discusión en reddit pues no pareciera haber falla en esta lógica. Sin embargo, la realidad es que el cálculo infinitesimal no se debe tomar tan a la ligera.

Si bien, el área de la figura que se está generando se asemeja el área de la circunferencia, no ocurre lo mismo con la longitud de arco, pues el área de la figura generada siempre será una especie de sierra y cuando sumamos la longitud de estos pequeños segmentos (así sea una suma infinita de longitudes infinitamente pequeñas), el área será igual a 4. Sin embargo, una circunferencia no tiene estas sierras, pues es una figura totalmente suave por lo tanto, esta estimación presenta una holgura muy amplia.

Vectores normales

Cuando consideramos vectores en el espacio cartesiano, siempre será interesante estudiar su posición respecto a otros objetos en el espacio. Resulta de particular interés estudiar su perpendicularidad respecto a otros objetos, en este caso se habla de vectores normales. Esto es lo que expone el usuario u/vreawillsaveyou, en la imagen se puede leer

Cuando tu amigo te pregunta como luce un vector normal de un plano.

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«El título también»

Leer un libro de matemáticas puede resultar abrumador por la cantidad de demostraciones que en ellos se presentan, es por esto que los autores siempre ahorrarán tiempo y espacio, enunciando demostraciones como «esto es trivial», «es obvio» o la menos favorita «la demostración se deja como ejercicio para lector» (esto ocurre con las que no son obvias ni triviales). Esto es lo que expone el usuario u/BlacInTime19, donde podemos leer

El meme se deja como un ejercicio para el lector.

Tres reglas

La recta real es una de las figuras geométricas básicas que nos permite estudiar de forma visual las interacciones entre los números reales, y posteriormente, el plano cartesiano y el espacio cartesiano nos facilitan el estudio de funciones con una y dos variables. Sin embargo, a medida que agregamos variables, debemos recurrir a espacios n-dimensionales y es aquí donde empieza a fallar nuestra imaginación, pues nuestro cerebro está adaptado sólo a reconocer visualmente espacios tridimensionales. Esto es lo que expone el usuario u/slaf42, en la imagen se puede leer:

Primer panel:

3 reglas:

No desear la muerte
No enamoramientos
No traer muertos a la vida

Segundo Panel:

Persona: «Quisiera poder visualizar espacios n-dimensionales para $n >3$ «.

Genio (con molestia): «Hay 4 reglas».

r/mathmemes - Studying manifolds got me like...

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-1/12

La Hipótesis de Riemann ha generado mucha discusión en la comunidad matemática, pero también ha generado mucha confusión entre aquellos que están aprendiendo. Básicamente, se ha definido la Función Zeta de Riemann para números complejos con parte real mayor que uno, de la siguiente forma:

$\xi (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$

El problema que se plantea es el de calcular las raíces de esta función, es decir, los valores para los cuales $\xi (s) = 0$ . Al considerar esta función, notemos que el caso que $s=-1$ , esta función se puede reescribir como la sumatoria

$\sum_{n=1}^{\infty} n$

Sin embargo, al considerar la función como regla de correspondencia (no como la suma de todos los números naturales) a través de método de convergencia, esta corresponde a $s=-1$ con $-\frac{1}{12}$ . Esta confusión para los nuevos estudiantes de matemáticas es la que expone el usuario u/5UJAN, pues podemos ver en la siguiente imagen que

La operación en el pizarrón es igual a $-\frac{1}{12}$ , pero la persona que está al frente del pizarrón no sabe la respuesta así que voltea a ver si alguno de sus compañeros le puede ayudar.

Uno de sus compañeros le muestra la sumatoria $\sum_{n=1}^{\infty} n$ , así que la persona que está frente al pizarrón responde con $\infty$ .

La distancia entre dos puntos

Calcular la distancia entre dos puntos es una herramienta potente que se puede generalizar para espacios n-dimensionales, sin embargo, al observar dos puntos la distancia entre ellos dos puede saltar a la vista, así que usar la fórmula para calcular la distancia es como matar una mosca con un cañón. Esto es lo que expone el usuario u/defntlynot_clp-e46, en la imagen se puede leer

Usar la fórmula de la distancia para calcular la distancia entre $(2,0,0)$ y $(-3,0,0)$ .

En el mismo orden de ideas, este formato de meme se usa para señalar qué es lo que ocurre cuando calculamos la solución de la ecuación cuadrática $x^2 - 1$ usando la Fórmula Cuadrática. En la imagen se puede leer:

Yo, usando $\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ para calcular las raíces de $x^2 -1 = 0$ .

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+C

Uno de los memes más repetidos en las matemáticas, es el que nos recuerda que debemos sumar $C$ después de calcular la integrales, esto se debe a que al calcular la integral de una función, estamos calculando toda la familia de antiderivadas, pero muchos estudiantes olvidan ese elemento después de hacer extensos cálculos. Esto es lo que expone un usuario de Facebook.

May be a meme of ‎text that says '‎Cuando no se te olvido el +C en tu examen de cálculo integral Pero se te olvida el nombre Q8 GDر‎'‎

Ese engreído de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras establece una relación en entre los lados de un triángulo rectángulo, precisamente entre los catetos y la hipotenusa de este. Es por eso que al pensar en Pitágoras, es inevitable pensar en triángulos rectángulos. Esto es lo que exponen los hermanos Jenkins en la siguiente viñeta, donde se puede leer:

«Agh, ahí va ese tal Pitágoras»

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Físicas

Observar experimentos de físicas es muy divertido y sin duda alguna, genera atracción sobre el estudio de la física. Sin embargo, estudiar física requiere de estudios matemáticos avanzados. Esto es lo que se expone en este meme de Facebook.

May be a meme of dog and text that says 'physics math some cool theoryyou don't understand Gaoier @ math math'

La función inversa

Al estudiar las funciones, resulta de interés estudiar la composición de funciones y de forma aún más particular, el estudio de las funciones inversas. Este meme ilustra la composición de funciones de la mejor forma posible.

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Operaciones entre polinomios

16.01.202107.12.2022 Anthonny Arias-García2 comentarios

Podemos definir las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre polinomios como una generalización de las operaciones que hemos definido entre los números reales.

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Suma de polinomios

Para sumar o restar polinomios, recurrimos a la propiedad asociativa de los números reales, pues agrupamos los sumandos que tengan la misma potencia de $x$ como factor, de forma que si consideramos dos polinomios $P(x) = a_m x^m + \ldots + a_1 x + a_0$ y $Q(x) = b_n x^n + \ldots + b_1 x + b_0$ , donde el grado de $P(x)$ es mayor que el grado de $Q(x)$ , es decir, $m \geq n$ ; definimos la suma $P(x)+Q(x)$ de la siguiente forma:

De igual forma, definimos la resta $P(x)-Q(x)$ de la siguiente forma:

Notando que si el grado de $P(x)$ es estrictamente mayor que el grado de $Q(x)$ , entonces completamos el polinomio $Q(x)$ con coeficientes ceros, es decir, $b_i = 0$ para todo $i > n$ .

Veamos con algunos ejemplos como efectuar la suma de polinomios.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando los polinomios $P(x) = 3x^2 - 5x + 2$ y $Q(x) = 7x + 1$ , calcule la suma $P(x) + Q(x)$ .

Por lo tanto, $P(x) + Q(x) = 3 x^2 + 2x + 3$ .

Ejemplo 2

Considerando los polinomios $P(x) = 4x^6 + x^4 - 2x^2 + 9x + 12$ y $Q(x) = 3x^6 - 8x^5 + 4x^4 + x - 3$ , calcule la suma $P(x) + Q(x)$ .

Por lo tanto, $P(x) + Q(x) = 7x^6 + 8x^5 - 5x^4 - 2x^2 + 10x + 15$ .

Ejemplo 3

Considerando los polinomios $P(x) = 6x^3 + 7x^2 - 4$ y $Q(x) = 2x + 3$ , calcule la resta $P(x) - Q(x)$ .

Por lo tanto, $P(x) - Q(x) = 6x^3 + 7x^2 - 2x - 7$ .

Ejemplo 4

Considerando los polinomios $P(x) = -12x^6 + 3x^5 + 3x^4 - x^2 + 8x + 5$ y $Q(x) = x^6 + 5x^5 + 2x^4 - 4x^3 - 10x^2 - x$ , calcule la resta $P(x) - Q(x)$ .

Por lo tanto, $P(x) - Q(x) = 11x^6 - 2x^5 + x^4 + 4x^3 + 9x^2 + 9x + 5$ .

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Producto de polinomios

Para multiplicar polinomios, recurrimos a la propiedad distributiva de los números reales, de forma que si consideramos dos polinomios $P(x) = a_m x^m + \ldots + a_1 x + a_0$ y $Q(x) = b_n x^n + \ldots + b_1 x + b_0$ , podemos definir el producto de estos dos polinomios distribuyendo los productos de la siguiente forma

Producto o Multiplicación de Polinomios | totumat.com

Una vez que se ha expandido este producto, lo podemos expresar como una sumatoria de la siguiente manera:

$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_i b_j x^{i+j}$

Este procedimiento pudiera resultar extenso y la notación del caso general pareciera engorrosa, sin embargo, efectuar el producto de polinomios no es más que la aplicación de la propiedad distributiva para los números reales y la posterior aplicación de las propiedades de las potencias para sumar los exponentes.

Veamos en los siguientes ejemplos como calcular algunos productos entre polinomios.

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Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando los polinomios $P(x) = 4 x + 3$ y $Q(x) = - 10 x - 4$ . Calcule el producto $P(x) \cdot Q(X)$ , es decir,

$\left( 4 x + 3 \right) \cdot \left( - 10 x - 4 \right)$

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

Por lo tanto el producto de los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ es igual a

$- 40 x^{2} - 46 x - 12$

Ejemplo 6

Considerando los polinomios $P(x) = 6 x^{2} - 8 x + 2$ y $Q(x) = x^{2} + 5 x + 6$ . Calcule el producto $P(x) \cdot Q(X)$ , es decir,

$\left( 6 x^{2} - 8 x + 2 \right) \cdot \left( x^{2} + 5 x + 6 \right)$

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

Por lo tanto el producto de los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ es igual a

$6 x^{4} + 22 x^{3} - 2 x^{2} - 38 x + 12$

Ejemplo 7

Considerando los polinomios $P(x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ y $Q(x) = - 9 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x + 7$ . Calcule el producto $P(x) \cdot Q(X)$ , es decir,

$\left( 3 x^{2} - 6 x + 6 \right) \cdot \left( - 9 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x + 7 \right)$

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

Por lo tanto el producto de los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ es igual a

$- 27 x^{5} + 39 x^{4} - 12 x^{3} - 33 x^{2} - 18 x + 42$

Ejemplo 9

Considerando los polinomios $P(x) = - 4 x^{3} + x^{2} - 2 x + 2$ y $Q(x) = 9 x^{2} - x + 4$ . Calcule el producto $P(x) \cdot Q(X)$ , es decir,

$\left( - 4 x^{3} + x^{2} - 2 x + 2 \right) \cdot \left( 9 x^{2} - x + 4 \right)$

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

Por lo tanto el producto de los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ es igual a

$- 36 x^{5} + 13 x^{4} - 35 x^{3} + 24 x^{2} - 10 x + 8$

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División de polinomios

Para definir la división entre polinomios, debemos hacer algunas observaciones sobre división entre números reales pues considerando $p$ y $q$ dos números enteros, al dividir $p$ entre $q$ , buscamos un número tal que al multiplicarlo por $q$ el resultado sea exactamente $p$ , es decir, un número entero $c$ tal que

$p = c \cdot q$

En este caso, decimos que la división es exacta. Sin embargo, si no podemos encontrar este número, buscamos un número tal que al multiplicarlo por $q$ , el resultado sea mayor de los enteros menores que $p$ , es decir, un número entero $c$ tal que

$p = c \cdot q + r$

Donde $0 < r < a$ . Esta propiedad se conoce como el algoritmo de la división. Al número $r$ lo llamaremos el resto de la división y se puede calcular como $r = p - c \cdot q$ . Además notemos que si la división es exacta, entonces el resto de la división es igual a cero, es decir, $r=0$ . Veamos en los siguientes ejemplos como expresar algunas divisiones usando el algoritmo de la división.

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Ejemplos

Ejemplo 9

Si dividimos $8$ entre $4$ , entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por $4$ el resultado sea o que está cerca de $8$ , particularmente el número que estamos buscando es $2$ pues $2 \cdot 4 = 8$ y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a $8 - 8 = 0$ , esto lo expresamos de la siguiente forma:

División de Números Enteros | totumat.com

Por lo tanto decimos que $8 = 2 \cdot 4 + 0$ . En este caso el resto es igual a cero, por lo tanto, decimos que la división es exacta.

Ejemplo 10

Si dividimos $13$ entre $5$ , entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por $5$ el resultado sea o que está cerca de $13$ , particularmente el número que estamos buscando es $2$ pues $2 \cdot 5 = 10$ y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a $13 - 10 = 3$ , esto lo expresamos de la siguiente forma:

Por lo tanto decimos que $13 = 2 \cdot 5 + 3$ . En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.

Ejemplo 11

Si dividimos $21$ entre $4$ , entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por $4$ el resultado sea o que está cerca de $21$ , particularmente el número que estamos buscando es $5$ pues $5 \cdot 4 = 20$ y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a $21 - 20 = 1$ , esto lo expresamos de la siguiente forma:

Por lo tanto decimos que $21 = 5 \cdot 4 + 1$ . En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.

Ejemplo 12

Si dividimos $21$ entre $7$ , entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por $7$ el resultado sea o que está cerca de $21$ , particularmente el número que estamos buscando es $3$ pues $3 \cdot 7 = 21$ y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a $21 - 21 = 1$ , esto lo expresamos de la siguiente forma:

Por lo tanto decimos que $21 = 3 \cdot 7 + 0$ . En este caso el resto es igual a cero, por lo tanto, decimos que la división es exacta.

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El algoritmo de la división se puede generalizar al operar entre polinomios. De modo que si consideramos $P(x)$ y $Q(x)$ dos polinomios tales que el grado de $Q(x)$ es menor o igual que el grado de $P(x)$ , al dividir $P(x)$ entre $Q(x)$ , buscamos un polinomio tal que al multiplicarlo por $Q(x)$ el resultado sea exactamente $P(x)$ , es decir, un polinomio $C(x)$ tal que

$P(x) = C(x) \cdot Q(x)$

En este caso, decimos que la división es exacta. Sin embargo, si no podemos encontrar este polinomio, buscamos un polinomio tal que al multiplicarlo por $Q(x)$ el polinomio resultante tenga el mismo grado que $P(x)$ y que el grado del polinomio que define el resto sea menor que el grado de $Q(x)$ , es decir, un polinomio $C(x)$ tal que

$P(x) = C(x) \cdot Q(x) + R(x)$

Donde $gr\left( R(x) \right) < gr\left( Q(x) \right) \leq gr\left( P(x) \right)$ . Además notemos que si la división es exacta, entonces el resto de la división es igual a cero, es decir, $R(x) = 0$ . Veamos en los siguientes ejemplos el método para dividir polinomios y además, como expresar estas divisiones usando el algoritmo de la división.

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Ejemplos

Ejemplo 13

Si dividimos el polinomio $P(x) = x^2 + x + 3$ entre el polinomio $Q(x) = x + 1$ , entonces los escribimos de la siguiente forma

El siguiente paso será buscar un polinomio tal que al multiplicarlo por el primer sumando del polinomio $Q(x) = x + 1$ el resultado sea exactamente igual al primer sumando del polinomio $P(x) = x^2 + x + 3$ , en este caso el polinomio que estamos buscando es $x$ y lo escribimos de la siguiente forma

El siguiente paso será multiplicar el polinomio $Q(x) = x + 1$ por $x$ y el resultado se lo restamos al polinomio $P(x) = x^2 + x + 3$ de la siguiente forma

Notamos que el grado del polinomio en el resto es menor que el grado del polinomio $Q(x)$ , Por lo tanto, concluimos que

$x^2 + x + 3 = x \cdot (x+1) + 3$

Ejemplo 14

Si dividimos el polinomio $P(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2$ entre el polinomio $Q(x) = 2x^2 + x - 1$ , entonces completamos los polinomios incompletos y los escribimos de la siguiente forma

El siguiente paso será buscar un polinomio tal que al multiplicarlo por el primer sumando del polinomio $Q(x) = 2x^2 + x - 1$ el resultado sea exactamente igual al primer sumando del polinomio $P(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2$ , en este caso el polinomio que estamos buscando es $4x$ y lo escribimos de la siguiente forma

El siguiente paso será multiplicar el polinomio $Q(x) = 2x^2 + x - 1$ por $x$ y el resultado se lo restamos al polinomio $P(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2$ de la siguiente forma

Notamos que el grado del polinomio en el resto es menor que el grado del polinomio $Q(x)$ , por lo tanto, el siguiente paso será buscar un polinomio tal que al multiplicarlo por el primer sumando del polinomio $Q(x) = 2x^2 + x - 1$ el resultado sea exactamente igual al primer sumando del polinomio en el resto, de decir, el polinomio $-10x^2 + 4x$ .

En este caso el polinomio que estamos buscando es $-5$ y lo multiplicamos por el polinomio $Q(x) = 2x^2 + x - 1$ ; el resultado se lo restamos al polinomio $-10x^2 + 4x$ de la siguiente forma

Notamos que el grado del polinomio en el resto es menor que el grado del polinomio $Q(x)$ , Por lo tanto, concluimos que

$8x^3 - 6x^2 - 2 = (4x-5) \cdot (2x^2 + x - 1) + 9x-7$

Memes Matemáticos – Diciembre 2020

04.01.202112.04.2021 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

La popularidad de un meme refleja la forma en que la sociedad comprende un hecho y las matemáticas no se escapan de esto, pues la comunidad matemática en las redes sociales ha aumentado su presencia en los últimos meses. Llegamos (con vida) al final del infame año 2020 y traemos para ti una compilación de los mejores memes matemáticos de Diciembre 2020.

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Descanso de matemáticas!
1,3,5,7,…
¿Qué número sigue?

217341, porque si
$f(x)=\frac{18111}{2} x^4 - 90555 x^3$
$+ \frac{633885}{2} x^2 - 452773x + 217331$
entonces:

$f(1)=1$
$f(2)=3$
$f(3)=5$
$f(4)=7$
$f(5)=217341$

+C

Uno de los memes más repetidos en las matemáticas, es el que nos recuerda que debemos sumar $C$ después de calcular la integrales, esto se debe a que al calcular la integral de una función, estamos calculando toda la familia de antiderivadas. El usuario u/SalazarRED, nos trae este meme (de antaño, memísticamente hablando).

$\int aspiri \ dn = aspirin + C$

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Primer Panel

$\mathbb{N}$

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Segundo Panel

$0$

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En la izquierda de la imagen

En la derecha de la imagen

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Segundo Panel

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¿Convertir a pi en un racional?

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