Memes Matemáticos – Diciembre 2020

04.01.202112.04.2021 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

La popularidad de un meme refleja la forma en que la sociedad comprende un hecho y las matemáticas no se escapan de esto, pues la comunidad matemática en las redes sociales ha aumentado su presencia en los últimos meses. Llegamos (con vida) al final del infame año 2020 y traemos para ti una compilación de los mejores memes matemáticos de Diciembre 2020.

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¿Por qué los matemáticos fallan las pruebas de Coeficiente Intelectual?

Hay situaciones que tienen una solución simple, pero algunas personas sobre dimensionan los problemas. Este es el caso de esta sencilla secuencia numérica, tal como lo expone el usuario u/MostCharmingChicken. En la imagen se puede leer:

Descanso de matemáticas!
1,3,5,7,…
¿Qué número sigue?

217341, porque si
$f(x)=\frac{18111}{2} x^4 - 90555 x^3$
$+ \frac{633885}{2} x^2 - 452773x + 217331$
entonces:

$f(1)=1$
$f(2)=3$
$f(3)=5$
$f(4)=7$
$f(5)=217341$

+C

Uno de los memes más repetidos en las matemáticas, es el que nos recuerda que debemos sumar $C$ después de calcular la integrales, esto se debe a que al calcular la integral de una función, estamos calculando toda la familia de antiderivadas. El usuario u/SalazarRED, nos trae este meme (de antaño, memísticamente hablando).

$\int aspiri \ dn = aspirin + C$

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Nadie puede escribir ξ

Si bien muchos de nosotros sufrimos durante los estudios de educación primaria para que nuestra escritura fuera más que garabatos con tediosas lecciones de caligrafía, pocos son los que en el ámbito de las matemáticas, logran escribir de una forma agradable a la vista, la letra ξ (Xi) del alfabeto griego.

Nueva contraseña
Sgdk178&_2oS
débil

Nueva contraseña
ξ
Fuerte

La opinión de los demás

Si bien es cierto que ninguna opinión es inválida y todos tienen derecho a expresarse, hay cosas que dice la gente que no tiene sentido alguno. Esto es lo que expone el usuario u/FaGa_44. En la imagen se puede leer

«Debes que respetar la opinión de los demás»

La opinión de los demás

$3^3 = 6$

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La calculadora de los teléfonos

Si bien hoy en día se pueden encontrar potentes calculadoras navegando en la red o como aplicaciones para los celulares. Las calculadoras nativas de los teléfonos que inicialmente parecen calculadoras bodegueras, su rango de operaciones puede ampliarse cuando se posiciona el teléfono de forma horizontal. Esto es lo que expone el usuario u/officiallyaninja. En la imagen se puede leer:

Las calculadoras en los teléfonos son como

El cero no es un número natural

Si desean generar una discusión aireada cuando estén hablando con un grupo de matemáticos, pregunten si el cero es un número natural. Si bien, considerar el cero como un número natural puede facilitar con grandiosidad las demostraciones matemáticas, este usualmente no se considera como natural por la forma en que está definido. Esto es lo que expone el usuario u/12_Semitones, asociando esta situación a una escena icónica del universo de Star Wars. En la imagen se puede leer:

Primer Panel

$\mathbb{N}$

Tú estás en el Concejo de los Enteros, pero no de podemos otorgar el título de Número Natural.

Segundo Panel

$0$

¿Qué? ¡Esto es indignante! ¡No es justo!

El principal argumento que se usa para excluir al cero de los números naturales es que los números naturales se usan para contar, y el cero no denota ninguna cantidad. El usuario u/12_Semitones, también hace referencia a esta discusión. En la imagen se puede leer:

En la izquierda de la imagen

En la derecha de la imagen

Una persona diciendo que cero no es un número porque es la ausencia de una cantidad no es una cantidad.

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Integrar por Partes

Al calcular la integral de una función, uno de los métodos más potentes es el Método de Integración por Partes y en muchas ocasiones ocurre que al aplicar el método, la integral resultante también requiere que se aplique nuevamente el método. Esto es lo que expone el usuario u/Focal-Point1.

Primer Panel

Yo (Moe) integrando por partes (botando a Barney del bar.)

Segundo Panel

Yo (sacudiéndome las manos)

Tercer Panel

Otro método de integración por partes (Barney otra vez en el bar)

¿Convertir a pi en un racional?

Dividir cualquier número real distinto de cero entre él mismo, da el número uno como resultado. Esto es lo que expone el usuario u/sewingshark. En la imagen se puede leer:

$\frac{\pi}{\pi}$

$\pi$ : me estás pidiendo que sea racional.

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La derivada de la función exponencial

Al definir las reglas para calcular derivadas, podemos notar que la derivada de la función exponencial $\textit{\large e}^x$ es exactamente ella misma. Sin embargo, al calcular derivadas parciales, la situación puede cambiar pues dependiendo de la variable, esta derivada puede ser igual a cero. Esto es lo que exponen los usuarios u/12_Semitones y u/TheXray02, respectivamente.

Llegamos al 2021… ¿Qué puede salir mal?

Hay un dicho que no me gusta porque tiende a desalentar a los estudiantes de matemáticas infundiendo temor sobre el cálculo de integrales, pero lo citaré para presentar el contexto de este meme, dice así: «deriva el que sabe, integra el que puede». Si bien es mero prejuicio contra las hermosas integrales, este meme que presenta el usuario u/12_Semitones lo resume todo pues nos muestra como cambiar ligeramente la función que estamos integrando, puede complicar nuestros cálculos.

¿Crees que se nos escapó un meme? ¡Comparte tu mejor meme en los comentarios!

Funciones Cuadráticas

02.01.202107.12.2022 Anthonny Arias-García1 comentario

Una vez que hemos definido las transformaciones de funciones elementales, podemos considerar la función cuadrática para sentar la base de un tipo de funciones que se generan a partir de ellas, conocidas la forma canónica de la función cuadrática, expresadas de la siguiente forma

$f(x) = (px + q)^2 + r, \ p \neq 0$

Estas expresiones pueden expandirse para definir la forma general de la ecuación cuadrática, de la siguiente forma

$f(x) = ax^2 + bx + c, \ a \neq 0$

En general, estas funciones son llamadas Funciones Cuadráticas y notemos que esta expresión es la misma que define a las ecuaciones cuadráticas. La gráfica de esta función se conoce como parábola y su forma depende de los coeficientes $a$ , $b$ y $c$ .

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Concavidad de la función cuadrática

Gráficamente, diremos que una parábola es convexa (o cóncava hacia arriba), si la apertura de esta apunta hacia arriba, es decir, si tiene la forma $\cup$ ; por otra parte, diremos que una parábola es cóncava (o cóncava hacia abajo), si la apertura de esta apunta hacia abajo, es decir, si tiene la forma $\cap$ .

Considerando la función $f(x) = ax^2 + bx + c$ , diremos que $a$ es el coeficiente principal y la concavidad de esta función estará definida de la siguiente forma:

Si $a > 0$ entonces la función cuadrática es convexa.
Si $a < 0$ entonces la función cuadrática es cóncava.

Concavidad de la función cuadrática | totumat.com

Vértice de la función cuadrática

Diremos que el máximo de una función es un punto $x_0$ tal que $f(x_0) > f(x)$ para todo valor de $x$ en el conjunto de los números reales, análogamente, iremos que el mínimo de una función es un punto $x_0$ tal que $f(x_0) < f(x)$ para todo valor de $x$ en el conjunto de los números reales. Estos puntos se conocen como extremos de una función.

Habiendo determinado la concavidad de una función cuadrática, podemos notar que esta alcanza un extremo de la siguiente forma:

Si la función cuadrática es convexa, entonces ésta alcanza un mínimo.
Si la función cuadrática es cóncava, entonces ésta alcanza un máximo.

Al extremo de una función cuadrática se le conoce como el vértice y es posible calcular las coordenadas que definen a este punto considerando la forma canónica pues notando que el vértice de la función cuadrática $f(x)=x^2$ se encuentra en el punto $(0,0)$ .

Al transformar esta función, podemos concluir que la expresión $(px + q)^2 + r$ traslada a la función $x^2$ en $-\frac{q}{p}$ unidades en el Eje X y en $r$ unidades en el Eje Y. Particularmente, el vértice estará trasladado hasta el punto $\left( -\frac{q}{p} , r \right)$ .

Vértice de la función cuadrática | totumat.com

Veamos como a partir de este hecho, podemos calcular las coordenadas del vértice de una función cuadrática expresada en su forma general.

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Coordenada del vértice en el Eje X

Expandiendo la forma canónica podemos obtener la forma general de la función cuadrática y así, establecer una igualdad entre los coeficientes correspondientes, como sigue

Si la coordenada en el Eje X del vértice está denotada por $V_x$ , entonces podemos plantear el siguiente sistemas de ecuaciones.

$a = p^2$

$b = 2pq$

$V_x = -\frac{q}{p}$

A partir de la segunda ecuación podemos despejar $q$ para obtener que $q=\frac{b}{2p}$ y sustituyendo este valor de $q$ en la tercera ecuación, tenemos que

$V_x \ = \ -\frac{q}{p}$

$\ = \ -\frac{ \ \frac{b}{2p} \ }{p}$

$\ = \ -\dfrac{ \ b \ }{2p^2}$

Entonces, considerando esta última igualdad y que $a = p^2$ , concluimos que la coordenada en el Eje X de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ es

$V_x = -\dfrac{ \ b \ }{2a}$

Coordenada del vértice en el Eje Y

Para calcular la coordenada en el Eje Y del vértice, basta con evaluar la función $f(x) = ax^2 + bx + c$ en $V_x = -\dfrac{ \ b \ }{2a}$ .

$f \left( V_x \right) \ = \ a\left( V_x \right)^2 + b \left( V_x \right) + c$

$\ = \ a\left( -\dfrac{ \ b \ }{2a} \right)^2 + b \left( -\dfrac{ \ b \ }{2a} \right) + c$

$\ = \ a \dfrac{ \ b^2 \ }{4a^2} - \dfrac{ \ b^2 \ }{2a} + c$

$\ = \ \dfrac{ \ b^2 \ }{4a} - \dfrac{ \ b^2 \ }{2a} + c$

$\ = \ \dfrac{ \ b^2 \ }{4a} - \dfrac{ \ 2b^2 \ }{4a} + \frac{4ac}{4a}$

$\ = \ \dfrac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a}$

$\ = \ \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a}$

De esta forma, concluimos que la coordenada en el Eje Y de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ es

$V_y = \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a}$

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Eje de Simetría de la Función Cuadrática

Una de las características que más destaca al observar la gráfica de una función cuadrática, es decir, una parábola, es que esta crece de forma simétrica respecto a un eje, a este eje lo llamamos eje de simetría y una vez que hemos calculado el vértice de una función cuadrática, definimos este eje como la recta vertical definida por la siguiente ecuación:

$x = V_x$

Eje de Simetría de la Función Cuadrática | totumat.com

Puntos de Corte de la Función Cuadrática

Con el Eje Y

Para calcular el punto de corte con el Eje Y, basta con evaluar la función en el punto $x=0$ , es decir, calcular la imagen $f(0) = a(0)^2 + b(0) + c$ .

Puntos de Corte de la Función Cuadrática | totumat.com

Con el Eje X

Si bien una función cuadrática definida en todos los números reales tendrá un punto de corte con el Eje Y, no siempre podemos garantizar que esta tenga un punto de corte en el Eje X. Veamos a continuación los tres casos posibles que podemos encontrar al estudiar los puntos de corte con el Eje X.

Para calcular los puntos de corte con el Eje X, debemos calcular los valores de $x$ para los cuales $f(x) = 0$ , es decir, para los cuales se satisface la ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ . Para determinar la solución de esta ecuación definimos su discriminante como la expresión $b^2-4 \cdot a \cdot c$ y éste número nos determina la cantidad de puntos de corte con el Eje X, de la siguiente manera:

Si $b^2-4 \cdot a \cdot c > 0$ , entonces existen dos puntos de corte.
Si $b^2-4 \cdot a \cdot c = 0$ , entonces existe sólo un punto de corte.
Si $b^2-4 \cdot a \cdot c < 0$ , entonces no tiene puntos de corte.

A partir del discriminante podemos definir una fórmula conocida como el Método del Discriminante que permite calcular los valores de $x$ que satisfacen la ecuación cuadrática, de la siguiente forma:

$\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Análisis de Equilibrio de la Utilidad

21.12.202007.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Suponga que usted inició un negocio fabricando y vendiendo tapabocas. Habiendo estudiando los costos y los ingresos generados, ¿qué tanto ha valido la pena este negocio? Es decir, una vez que ha hecho una inversión, ¿ha generado dinero adicional o tiene menos dinero del que tenía antes de iniciar el negocio?

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Una vez que se ha vendido una unidad de un artículo, debemos estudiar la cantidad de dinero que se ha ganado una vez que hemos descontado los costos de producción, a esta ganancia se le conoce como utilidad y de forma general, la ganancia generada por la producción y venta de todas las unidades de un artículo se conoce como utilidad total, esta se calcula restando los costos totales de los ingresos totales. Formalmente, si identificamos los ingresos totales con la variable $I$ , los costos totales con la variable $C$ y la utilidad total con la variable $I$ , entonces podemos definir la siguiente ecuación:

$U = I - C$

A partir de la Ley de Tricotomía de los números reales, podemos estudiando esta ecuación para analizar el equilibrio entre los ingresos y los costos estableciendo tres casos:

Si $U < 0$ , esto quiere decir que los costos totales de producción exceden los ingresos totales obtenidos por las ventas, en este caso decimos que existe una pérdida.
Si $U > 0$ , esto quiere decir que los ingresos totales obtenidos por las ventas exceden los costos totales de producción, en este caso decimos que existe una ganancia, aunque también podemos decir que existe una utilidad.
Si $U = 0$ , esto quiere decir que los ingresos totales obtenidos por las ventas son iguales a los costos totales de producción, en este caso decimos que existe un equilibrio.

Si consideramos el plano cartesiano, ubicando la cantidad de unidades del artículo ( $q$ ) en el eje horizontal y la cantidad de dinero ( $p$ ) en el eje vertical; establecemos una interpretación gráfica de estos casos señalando que existe una pérdida cuando la curva de costos está por encima de la curva de ingresos, existe una ganancia cuando la curva de ingresos están por encima de la curva de costos y particularmente al punto donde ambas curvas se cortan, lo llamamos punto de equilibrio de la utilidad.

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El área roja representa la región de pérdida, es decir, cuando la utilidad es negativa y el área azul representa la región de ganancia, es decir, cuando la utilidad es positiva.

Veamos en los siguientes ejemplos, cómo analizar el equilibrio de las utilidades calculando el punto de equilibrio una vez que ya contamos con las ecuaciones lineales de costos totales e ingresos totales.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la ecuación lineal de costos totales $p = \frac{3}{10}q +40$ y la ecuación lineal de ingresos totales $p = \frac{6}{5}q$ , calcule el punto de equilibrio de la utilidad e indique cual es la cantidad mínima de unidades que debe ser vendida para obtener una ganancia.

Para calcular el punto de equilibrio de la utilidad debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable $q$ .

$\frac{3}{10}q +40 = \frac{6}{5}q$
$\Rightarrow \ \frac{3}{10}q -\frac{6}{5}q = 0-40$
$\Rightarrow \ -\frac{9}{10}q = -40$
$\Rightarrow \ q = \frac{400}{9}$

Una vez calculado el valor de $q$ , lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de $p$ . Sustituyamos entonces el valor $q=\frac{400}{9}$ en la ecuación de demanda.

$p = \ \frac{3}{10} \cdot \left( \frac{400}{9} \right) + 40$
$= \ \frac{40}{3} + 40$
$= \ \frac{160}{3}$

Por lo tanto, el punto de equilibrio de la utilidad es $\left( \frac{400}{9} , \frac{160}{3} \right)$ . Grafiquemos ahora este punto de equilibrio identifiquemos las áreas que definen las pérdidas y las ganancias.

Ejemplo 2

Considerando la ecuación lineal de costos totales $p = 6q +60$ y la ecuación lineal de ingresos totales $p = 11q$ , calcule el punto de equilibrio de la utilidad e indique cual es la cantidad mínima de unidades que debe ser vendida para obtener una ganancia.

Para calcular el punto de equilibrio de la utilidad debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable $q$ .

$6q +60 = 11q+0$
$\Rightarrow \ 6q -11q = 0-60$
$\Rightarrow \ -5q = -60$
$\Rightarrow \ q = 12$

Una vez calculado el valor de $q$ , lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de $p$ . Sustituyamos entonces el valor $q=12$ en la ecuación de demanda.

$p = \ 6 \cdot \left( 12 \right) + 60$
$= \ 72 + 60$
$= \ 132$

Por lo tanto, el punto de equilibrio de la utilidad es $\left( 12 , 132 \right)$ . Grafiquemos ahora este punto de equilibrio identifiquemos las áreas que definen las pérdidas y las ganancias.

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Ejemplo 3

Considerando la ecuación lineal de costos totales $p = 20q +50$ y la ecuación lineal de ingresos totales $p = 26q$ , calcule el punto de equilibrio de la utilidad e indique cual es la cantidad mínima de unidades que debe ser vendida para obtener una ganancia.

Para calcular el punto de equilibrio de la utilidad debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable $q$ .

$20q +50 = 26q$
$\Rightarrow \ 20q -26q = 0-50$
$\Rightarrow \ -6q = -50$
$\Rightarrow \ q = \frac{25}{3}$

Una vez calculado el valor de $q$ , lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de $p$ . Sustituyamos entonces el valor $q=\frac{25}{3}$ en la ecuación de demanda.

$p = \ 20 \cdot \left( \frac{25}{3} \right) + 50$
$= \ \frac{500}{3} + 50$
$= \ \frac{650}{3}$

Por lo tanto, el punto de equilibrio de la utilidad es $\left( \frac{25}{3} , \frac{650}{3} \right)$ . Grafiquemos ahora este punto de equilibrio identifiquemos las áreas que definen las pérdidas y las ganancias.

Ecuación Lineal de Ingresos Totales

21.12.202007.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Suponga que usted quiere iniciar un negocio fabricando tapabocas para su venta. Una vez que ha fabricado los tapabocas, usted fija el precio de venta de cada tapabocas en 100 Ps. De esta forma, si usted vende un tapabocas, habrá recibido un total de 100 Ps.; si usted vende dos tapabocas, habrá recibido un total de 200 Ps.; si usted vende tres tapabocas, habrá recibido un total de 300 Ps.; y de forma sucesiva, si vende $q$ tapabocas, habrá recibido un total de $100 \cdot q$ Ps.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

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La cantidad de dinero recibida por la venta de todas las unidades producidas de un artículo se conoce como ingreso total y de forma general, el ingreso se calcula multiplicando el precio por las cantidades vendidas. Formalmente, si identificamos el precio del artículo con la variable $p$ , las cantidades vendidas con la variable $q$ y el ingreso total con la variable $I$ , entonces podemos definir la siguiente ecuación:

$I = p \cdot q$

Aunque el precio de un artículo puede variar dependiendo de la cantidad que se oferte de esta, podemos estudiar la relación que guardan la cantidad de unidades vendidas de un artículo con el ingreso total y para esto definimos un plano cartesiano cuyos ejes están definidos por el ingreso total, $I$ ; y las cantidades producidas del bien, $q$ .

Establecemos una interpretación gráfica de estas relaciones notando que a medida que aumentan las cantidades vendidas, también aumenta el ingreso total. Particularmente, si el precio de un artículo es constante, el ingreso estará representado por una recta.

Ecuación Lineal de Ingresos Totales | totumat.com

A la ecuación de la recta de ingresos totales también se le conoce como la ecuación lineal de ingresos totales. Veamos en los siguientes ejemplos, cómo podemos usar la información sobre el precio un artículo para definir la ecuación lineal de ingresos totales.

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