Excedente de los Consumidores y de los Productores – Caso lineal

06.12.202007.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Al estudiar el mercado, es notorio que los productores siempre querrán vender a un precio elevado y los consumidores siempre querrán comprar a un precio bajo. El punto de equilibrio del mercado permite establecer un consenso entre las dos partes, sin embargo, ¿qué tanto beneficia este consenso a las partes?

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Excedente de los Consumidores

Suponga que usted va al supermercado con el objetivo de comprar un producto y que cuando lo va a pagar, recibe la grata sorpresa de que está más barato de lo que usted pensaba, esta situación tiene una interpretación formal. Si observamos la recta de demanda de un determinado artículo, podemos notar que si se fija el precio de cada unidad en $p_1$ Perolitos (Ps.), los consumidores estarán dispuestos a comprar $q_1$ unidades de dicho artículo.

Sin embargo, una vez que se ha fijado el punto de equilibrio $(q_0,p_0)$ Ps., podemos notar que aquellos consumidores que están dispuestos a comprar $q_1$ unidades cuando el precio se había fijado en $p_1$ Ps., ahora comprarán las mismas $q_1$ unidades pagando cada unidad en un menor precio de $p_0$ Ps.

De esta forma, si un consumidor pensaba gastar $p_1 \cdot q_1$ Ps. (precio por unidad multiplicado por la cantidad adquirida), una vez que se ha fijado el precio de equilibrio, gastará $p_0 \cdot q_1$ Ps. Esto genera un beneficio para los consumidores, y a partir de este hecho surge la siguiente pregunta: ¿es posible cuantificar este beneficio?

Para responder a esta pregunta, supongamos que la cantidad de unidades que los consumidores piensan comprar no es fija sino que es una gama representada por un rango de unidades comprendidas entre ninguna unidad y la cantidad $q_0$ , fijada por el punto de equilibrio. El gasto que pagarían originalmente, está representado por el área que está debajo de la recta de demanda de la siguiente forma,

Pero como al final los consumidores están pagando un precio de $p_0$ Ps. por cada unidad, el beneficio generado al fijar el equilibrio, está representado por el área que está debajo de la recta de demanda y por encima del precio de equilibrio de la siguiente forma,

El área que representa el beneficio para los consumidores una vez que se ha fijado el precio de equilibrio se llama Excedente de los Consumidores o Superávit de los Consumidores, y lo podemos medir calculando el área del triángulo que genera la recta de demanda, la recta del precio de equilibrio y el Eje P.

Recordemos que el área de un triángulo se calcula multiplicando la longitud de la base por la longitud de la altura, dividido entre dos. La longitud de la base está dada por $q_0$ y si llamamos $D$ al punto de intersección de la recta de demanda con el Eje P, su altura está dada por $D - p_0$ .

Por lo tanto calculamos el excedente de los consumidores planteando la siguiente fórmula:

$E.C. \ = \ \frac{q_0 \cdot (D - p_0)}{2}$

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Excedente de los Productores

Suponga que usted es productor de un artículo pero luego de estudiar los costos y un posible precio de venta para recibir unos ingresos aceptables, recibe la grata sorpresa de que puede fijar un precio por encima de lo que usted pensaba, esta situación tiene una interpretación formal. Si observamos la recta de oferta de un determinado artículo, podemos notar que los productores estarán dispuestos a ofertar $q_1$ unidades de dicho artículo si se fija el precio de cada unidad en $p_1$ Perolitos (Ps.),

Sin embargo, una vez que se ha fijado el punto de equilibrio $(q_0,p_0)$ Ps., podemos notar que aquellos productores que están dispuestos a ofertar $q_1$ unidades cuando el precio se había fijado en $p_1$ Ps., ahora ofertarán las mismas $q_1$ unidades vendiendo cada unidad en un mayor precio de $p_0$ Ps.

De esta forma, si un productor pensaba recibir $p_1 \cdot q_1$ Ps. (precio por unidad multiplicado por la cantidad adquirida), una vez que se ha fijado el precio de equilibrio, recibir $p_0 \cdot q_1$ Ps. Esto genera un beneficio para los productores, y a partir de este hecho surge la siguiente pregunta: ¿es posible cuantificar este beneficio?

Para responder a esta pregunta, supongamos que la cantidad de unidades que los productores piensan ofertar no es fija sino que es una gama representada por un rango de unidades comprendidas entre ninguna unidad y la cantidad $q_0$ , fijada por el punto de equilibrio. Los ingresos que recibirían originalmente, están representado por el área que está debajo de la recta de oferta de la siguiente forma,

Pero como al final los productores están vendiendo a un precio de $p_0$ Ps. por cada unidad, el beneficio generado al fijar el equilibrio, está representado por el área que está debajo del precio de equilibrio y por encima de la recta de oferta de la siguiente forma,

El área que representa el beneficio para los productores una vez que se ha fijado el precio de equilibrio se llama Excedente de los Productores o Superávit de los Productores, y lo podemos medir calculando el área del triángulo que genera la recta de oferta, la recta del precio de equilibrio y el Eje P.

Recordemos que el área de un triángulo se calcula multiplicando la longitud de la base por la longitud de la altura, dividido entre dos. La longitud de la base está dada por $q_0$ y si llamamos $O$ al punto de intersección de la recta de demanda con el Eje P, su altura está dada por $p_0 - O$ .

Por lo tanto calculamos el excedente de los productores planteando la siguiente fórmula:

$E.P. \ = \ \frac{q_0 \cdot (p_0 - O)}{2}$

Consideremos en los siguientes ejemplos cómo calcular el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes considerando la curva de demanda y la curva de oferta del mercado.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la ecuación de demanda $p = -\frac{67}{100}q +126$ y la ecuación de oferta $p = \frac{13}{25}q +36$ , calcule el punto de equilibrio del mercado; posteriormente calcule el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes.

Para calcular el punto de equilibrio del mercado debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable $q$ .

$-\frac{67}{100}q +126 = \frac{13}{25}q+36$

$\Rightarrow \ -\frac{67}{100}q - \frac{13}{25}q = 36-126$

$\Rightarrow \ -\frac{119}{100}q = -90$

$\Rightarrow \ q = \frac{9000}{119}$

Una vez calculado el valor de $q$ , lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de $p$ . Sustituyamos entonces el valor $q=\frac{9000}{119}$ en la ecuación de demanda.

$p = \ -\frac{67}{100} \cdot \left( \frac{9000}{119} \right) + 126$

$= \ -\frac{6030}{119} + 126$

$= \ \frac{8964}{119}$

Por lo tanto, el punto de equilibrio del mercado $\left( \frac{9000}{119} , \frac{8964}{119} \right)$ . Grafiquemos ahora el punto de equilibrio del mercado e identifiquemos las áreas que definen los excedentes.

Excedente de los Consumidores y de los Productores | totumat.com

Calculamos el Excedente de los Consumidores:

$\frac{q_0 \cdot (D - p_0)}{2} = \frac{ \frac{9000}{119} \cdot \left( 126 - \frac{8964}{119} \right)}{2} = \frac{27135000}{14161} \approx 1916.18$

Calculamos el Excedente de los Fabricantes:

$\frac{q_0 \cdot (p_0 - O)}{2} = \frac{ \frac{9000}{119} \cdot \left( \frac{8964}{119} - 36 \right)}{2} = \frac{21060000}{14161} \approx 1487.18$

Ejemplo 2

Considerando la ecuación de demanda $p = -\frac{9}{10}q +104$ y la ecuación de oferta $p = \frac{27}{100}q +46$ , calcule el punto de equilibrio del mercado; posteriormente calcule el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes.

Para calcular el punto de equilibrio del mercado debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable $q$ .

$-\frac{9}{10}q +104 = \frac{27}{100}q+46$

$\Rightarrow \ -\frac{9}{10}q -\frac{27}{100}q = 46-104$

$\Rightarrow \ -\frac{117}{100}q = -58$

$\Rightarrow \ q = \frac{5800}{117}$

Una vez calculado el valor de $q$ , lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de $p$ . Sustituyamos entonces el valor $q=\frac{5800}{117}$ en la ecuación de demanda.

$p = \ -\frac{9}{10} \cdot \left( \frac{5800}{117} \right) + 104$

$= \ -\frac{580}{13} + 104$

$= \ \frac{772}{13}$

Por lo tanto, el punto de equilibrio del mercado $\left( \frac{5800}{117} , \frac{772}{13} \right)$ . Grafiquemos ahora el punto de equilibrio del mercado e identifiquemos las áreas que definen los excedentes.

Calculamos el Excedente de los Consumidores:

$\frac{q_0 \cdot (D - p_0)}{2} = \frac{ \frac{5800}{117} \cdot \left( 104 - \frac{772}{13} \right)}{2} = \frac{1682000}{1521} \approx 1105.85$

Calculamos el Excedente de los Fabricantes:

$\frac{q_0 \cdot (p_0 - O)}{2} = \frac{ \frac{5800}{117} \cdot \left( \frac{772}{13} - 46 \right)}{2} = \frac{168200}{507} \approx 331.76$

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Ejemplo 3

Considerando la ecuación de demanda $p = -\frac{12}{25}q +171$ y la ecuación de oferta $p = \frac{3}{50}q +36$ , calcule el punto de equilibrio del mercado; posteriormente calcule el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes.

Para calcular el punto de equilibrio del mercado debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable $q$ .

$-\frac{12}{25}q +171 = \frac{3}{50}q+36$

$\Rightarrow \ -\frac{12}{25}q -\frac{3}{50}q = 36-171$

$\Rightarrow \ -\frac{27}{50}q = -135$

$\Rightarrow \ q = 250$

Una vez calculado el valor de $q$ , lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de $p$ . Sustituyamos entonces el valor $q=250$ en la ecuación de demanda.

$p = \ -\frac{12}{25} \cdot \left( 250 \right) + 171$

$= \ -120 + 171$

$= \ 51$

Por lo tanto, el punto de equilibrio del mercado $\left( 250 , 51 \right)$ . Grafiquemos ahora el punto de equilibrio del mercado e identifiquemos las áreas que definen los excedentes.

Calculamos el Excedente de los Consumidores:

$\frac{q_0 \cdot (D - p_0)}{2} = \frac{ 250 \cdot \left( 171 - 51 \right)}{2} = 15000$

Calculamos el Excedente de los Fabricantes:

$\frac{q_0 \cdot (p_0 - O)}{2} = \frac{ 250 \cdot \left( 51 - 36 \right)}{2} = 1875$

Ejemplo 4

Considerando la ecuación de demanda $p = -\frac{1}{10}q +115$ y la ecuación de oferta $p = \frac{87}{100}q +11$ , calcule el punto de equilibrio del mercado; posteriormente calcule el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes.

Para calcular el punto de equilibrio del mercado debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable $q$ .

$-\frac{1}{10}q +115 = \frac{87}{100}q+11$

$\Rightarrow \ -\frac{1}{10}q -\frac{87}{100}q = 11-115$

$\Rightarrow \ -\frac{97}{100}q = -104$

$\Rightarrow \ q = \frac{10400}{97}$

Una vez calculado el valor de $q$ , lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de $p$ . Sustituyamos entonces el valor $q=\frac{10400}{97}$ en la ecuación de demanda.

$p = \ -\frac{1}{10} \cdot \left( \frac{10400}{97} \right) + 115$

$= \ -\frac{1040}{97} + 115$

$= \ \frac{10115}{97}$

Por lo tanto, el punto de equilibrio del mercado $\left( \frac{10400}{97} , \frac{10115}{97} \right)$ . Grafiquemos ahora el punto de equilibrio del mercado e identifiquemos las áreas que definen los excedentes.

Calculamos el Excedente de los Consumidores:

$\frac{q_0 \cdot (D - p_0)}{2} = \frac{ \frac{10400}{97} \cdot \left( 115 - \frac{10115}{97} \right)}{2} = \frac{5408000}{9409} \approx 574.77$

Calculamos el Excedente de los Fabricantes:

$\frac{q_0 \cdot (p_0 - O)}{2} = \frac{ \frac{10400}{97} \cdot \left( \frac{10115}{97} - 11 \right)}{2} = \frac{47049600}{9409} \approx 5000.49$

Memes Matemáticos – Noviembre 2020

01.12.202012.04.2021 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

La popularidad de un meme refleja la forma en que la sociedad comprende un hecho y las matemáticas no se escapan de esto, pues la comunidad matemática en las redes sociales ha aumentado su presencia en los últimos meses. Ha finalizado el mes de Noviembre del infame año 2020 y traemos para ti una compilación de los mejores memes matemáticos.

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VERDAD + DIOS = VIDA

La ecuación «VERDAD + DIOS = VIDA» devela una curiosa realidad cuando se aplican las reglas de despeje tal como lo expone u/Karun_Singh. En la imagen se puede leer:

VI A ALGUIEN CON UNA CAMISETA QUE DICE:

VERDAD + DIOS = VIDA

ESPERO QUE SE SE HAYAN DADO CUENTA QUE DE AHÍ SIGUE…

VERDAD = VIDA – DIOS
DIOS = VIDA – VERDAD

SERIAMENTE, SAQUEN LAS CUENTAS, GENTE.

No es un primo ni un número compuesto

Hemos visto que los números naturales primos son aquellos que son divisibles únicamente por ellos mismos y el número 1; más aún, aquellos números naturales que no son primos se llaman compuestos, pues se pueden descomponer en factores primos. El número 1 no es ni un número primo ni un número compuesto. Eso es lo que expone u/ethannnnnnnnnnnnnn, en la imagen se puede leer:

1 a los números primos:

Yo guío a otros a tesoros que no puedo poseer.

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¿Épsilon menor o igual que cero?

En el principio de este año 2020 se viralizó una broma en la que se invadiría el Área 51, muchos de los memes hacían alusión a las cosas misteriosas que se encontrarían dentro de ella. Ya estamos finalizando el año 2020 y aún se viralizan los memes sobre el Área 51.

Generalmente las demostraciones que se hacen en el Análisis Matemático requieren acotar conjuntos, para esto se considera un número tan pequeño como se requiera y se expresa como $\varepsilon > 0$ . Es por eso que resulta extraño encontrar un $\varepsilon \leq 0$ . Eso es lo que expone u/yonatanmx. en la imagen se puede leer:

Yo, huyendo del Área 51 con un épsilon menor o igual que cero.

Talla 2A

Al estudiar las ecuaciones cuadráticas, se define una fórmula que permite calcular las soluciones de estas y esta expresa en su denominador la expresión 2a. A esto hace referencia la usuaria de twitter @velosarahptorr pero además a la talla de brasier, en el tweet se puede leer:

La fórmula cuadrática sería como:

The quadratic formula be like

-b ± √(b^2-4ac) pic.twitter.com/iOzFX75Vd3
— sarahtonin (@velosarahptorr) November 10, 2020

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¡TRIVIAL!

Los autores de libros avanzados en matemáticas tienden a ahorrar tiempo de lectura a los que acuden a sus libros simplificando largas demostraciones con frases como «la demostración se deja al lector», sin embargo, la palabra más genera recuerdos a los matemáticos es «trivial». El usuario u/Tornado547, titula la siguiente imagen con lo que en realidad pensamos cuando usamos esta palabra

Cuando no tienes ganas de hacer álgebra

When you don’t feel like doing algebra

Dona = Taza

El chiste más repetido cuando se habla de Topología siempre será el de la dona y la taza, aunque esto no los hace menos divertidos. En esta ocasión, u/WorldOfPayne hace referencia a esta famosa escena de la serie The Office, donde se puede leer:

Primer Panel

La corporación necesita que tú identifiques las diferencias entre esta imagen (la de la izquierda, una taza) y esta imagen (la de la derecha, una dona).

Segundo Panel

Topólogo:

Son la misma imagen.

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6÷2(1+2)

En este año 2020 se viralizó la operación 6÷2(1+2), aunque ya el año pasado se había viralizado en la forma 8÷2(2+2) y aunque ya hemos explicado el problema con este tipo de expresiones. Los físicos proponen una salida rápida tal como la que expone u/succjaw, donde se puede leer:

Problema Viral Matemático

6÷2(1+2)=

Matemáticos:

¿ES LA RESPUESTA 1 O 9? ¡NO PUEDO RESPONDERLO!

Físicos

Sólo toma el promedio. Es 5.

Dividir en la calculadora

Las calculadoras son herramientas potentes, sin embargo, si no sabemos usarlas nos podemos topar con situaciones como estas. Es por esto que de forma irónica se elogia el resultado que es inútil para nuestro propósito.

$851 \div 351 = \dfrac{851}{351}$

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¿Así que te gustan las ecuaciones con dibujitos?

Hay gente siente adversidad hacia las matemáticas pero estas se pueden adaptar para que estas sean más agradables a la vista. ¿Puedes calcular la solución de esos dos problemas matemáticos? Normalmente estas imágenes vienen acompañadas con un texto que dice cosas como «sólo para genios», pero en el caso de la segunda imagen, pienso que el texto «98% de la gente no puede resolver esto 😂» es un porcentaje muy generoso para la población en general.

98% de la gente no puede resolver esto 😂

¿Crees que se nos escapó un meme? ¡Comparte tu mejor meme en los comentarios!

La Notación Científica

30.11.202029.01.2021 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

¡Cuenta rápido! ¿Cuántos ceros hay en el siguiente número entero?

$3870 0000 0000 0000 0000 0000$

¡Cuenta más rápido! ¿Cuántos ceros hay en el siguiente número decimal?

$0,00 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0419$

¿Cuánto demoraste en contar todos estos ceros? Yo ni los conté. Es claro que los números que hemos expuesto son demasiado largos como para determinar a simple vista que tan grandes o que tan pequeños son. Es por esto que debemos definir una nueva forma de reescribir este tipo de números de forma que sea más fácil identificarlos.

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Abreviar números usando múltiplos de 10

Una forma de abreviar este tipo de números consiste en notar que todo número se puede descomponer en unidades, decenas, centenas, unidades de mil, etc; usaremos este hecho para corresponder cada componente con un múltiplo de 10. Ilustremos esta idea considerando directamente los múltiplos de $10$ .

$10 = \ 1 \cdot 10$
$100 = \ 1 \cdot 10^2$
$1000 = \ 1 \cdot 10^3$
$10000 = \ 1 \cdot 10^4$
$\vdots$
$1\underbrace{0 \ldots 0}_{n-ceros} = \ 1 \cdot 10^n$

Intuitivamente, lo que está ocurriendo es que al considerar un número, al multiplicar por $10$ , estamos moviendo la coma que separa la parte decimal hacia la derecha. Por ejemplo, si consideramos el número $123000$ , notamos que hay tres ceros después de la cadena de dígitos $123$ , entonces podemos abreviar los ceros de este número reescribiéndolo como

$123 \cdot 10^{3}$

De igual forma, podemos notar que la parte decimal de todo número también se puede descomponer en unidades, decenas, centenas, unidades de mil, etc; usaremos este hecho para corresponder cada componente con un múltiplo inverso de 10. Ilustremos esta idea considerando directamente los múltiplos inversos de $10$ .

$0,1 = \ 1 \cdot 10^{-1}$
$0,01 = \ 1 \cdot 10^{-2}$
$0,001 = \ 1 \cdot 10^{-3}$
$0,0001 = \ 1 \cdot 10^{-4}$
$\vdots$
$0,\underbrace{0 \ldots 0}_{n-ceros}1 = \ 1 \cdot 10^{-n}$

Intuitivamente, lo que está ocurriendo es que al considerar un número, al multiplicar por $10^{-1}$ , estamos moviendo la coma que separa la parte decimal hacia la izquierda. Por ejemplo, si consideramos el número $0,0000074$ , notamos que hay cinco ceros entre la coma y $74$ , entonces podemos abreviar los ceros de este número reescribiéndolo como

$0,74 \cdot 10^{-5}$

La Notación Científica

Partiendo de estos principios, definimos la notación científica como una forma de reescribir cualquier número multiplicándolo por múltiplos o múltiplos inversos de 10 para dejar sólo un dígito para su parte entera.

Para ilustrar esta idea, consideremos en los siguientes ejemplos algunos números y veamos la técnica para reescribirlos en notación científica.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Reescriba el número $4084$ en notación científica indicando el procedimiento paso a paso. Considerando que la parte decimal de todo número entero es igual a cero, podemos escribir este número como $4084,0$ , entonces

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10$ y así obtener,

$408,4 \cdot 10$

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10$ y así obtener,

$40,84 \cdot 10^{2}$

Finalmente movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10$ y así obtener el número 4084 expresado en notación científica de la siguiente forma:

$4,084 \cdot 10^{3}$

Notemos que al multiplicar $4,084 \cdot 10^{3}$ obtenemos el número original, $4084$ .

Ejemplo 2

Reescriba el número $83295$ en notación científica indicando el procedimiento paso a paso. Considerando que la parte decimal de todo número entero es igual a cero, podemos escribir este número como $83295,0$ .

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10$ y así obtener,

$8329,5 \cdot 10$

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10$ y así obtener,

$832,95 \cdot 10^{2}$

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10$ y así obtener,

$83,295 \cdot 10^{3}$

Finalmente movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10$ y así obtener el número 83295 expresado en notación científica de la siguiente forma:

$8,3295 \cdot 10^{4}$

Notemos que al multiplicar $8.3295 \cdot 10^{4}$ , obtenemos el número original, $latex 83295$ .

Ejemplo 3

Reescriba el número $1334621$ en notación científica indicando el procedimiento paso a paso. Considerando que la parte decimal de todo número entero es igual a cero, podemos escribir este número como $1334621,0$ , entonces

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10$ y así obtener,

$133462,1 \cdot 10$

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10$ y así obtener,

$13346,21 \cdot 10^{2}$

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10$ y así obtener,

$1334,621 \cdot 10^{3}$

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10$ y así obtener,

$133,4621 \cdot 10^{4}$

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10$ y así obtener,

$13,34621 \cdot 10^{5}$

Finalmente, movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10$ y así obtener el número 1334621 expresado en notación científica de la siguiente forma:

$1,334621 \cdot 10^{6}$

Notemos que al multiplicar $1,334621 \cdot 10^{6}$ obtenemos el número original, $1334621$ .

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Ejemplo 4

Reescriba el número $0,004167$ en notación científica indicando el procedimiento paso a paso.

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$0,04167 \cdot 10^{-1}$

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$0,4167 \cdot 10^{-2}$

Finalmente, movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$4,167 \cdot 10^{-3}$

Notemos que al multiplicar $4,167 \cdot 10^{-3}$ obtenemos el número original, $0,004167$ .

Ejemplo 5

Reescriba el número $0,00058016$ en notación científica indicando el procedimiento paso a paso.

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$0,0058016 \cdot 10^{-1}$

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$0,058016 \cdot 10^{-2}$

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$0,58016 \cdot 10^{-3}$

Finalmente, movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$5,8016 \cdot 10^{-4}$

Notemos que al multiplicar $5,8016 \cdot 10^{-4}$ obtenemos el número original, $0,00058016$ .

Ejemplo 6

Reescriba el número $0,00000082935$ en notación científica indicando el procedimiento paso a paso.

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$0,0000082935 \cdot 10^{-1}$

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$0,000082935 \cdot 10^{-2}$

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$0,00082935 \cdot 10^{-3}$

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$0,0082935 \cdot 10^{-4}$

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$0,082935 \cdot 10^{-5}$

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$0,82935 \cdot 10^{-6}$

Finalmente, movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$8,2935 \cdot 10^{-7}$

Notemos que al multiplicar $8,2935 \cdot 10^{-7}$ obtenemos el número original, $0,00000082935$ .

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Los números que hemos considerado en los ejemplos no pudieran no necesitar se reescritos en notación científica, sin embargo, en la práctica son muy necesarios para poder agilizar la comprensión de la información. Hay ejemplos notables de la notación científica, por ejemplo,

De acuerdo con Wikipedia, una de las siete magnitudes físicas fundamentales del Sistema Internacional de Unidades es el mol y es la unidad con que se mide la cantidad de sustancia. Particularmente, la Constante de Avogadro o a veces referida como el Número de Avogadro es el número de partículas constituyentes (usualmente átomos o moléculas) que se encuentran en la cantidad de sustancia de un mol, este es aproximadamente

$6,022 \cdot 10^{-23}$

Un gúgol es uno de los números grandes con nombre propio, su nombre en inglés es googol y de ahí se derivó el nombre de la empresa cibernética google. Este número se escribe como un $1$ seguido de $100$ ceros, de aquí la necesidad de escribirlo con notación científica de la siguiente forma,

$1 \cdot 10^{100}$

La Notación Científica en las Calculadoras

Debido a lo limitadas que son las pantallas de las calculadoras y también por comodidad, estas presentarán los números muy grandes o los muy pequeños usando notación científica, sin embargo, dependiendo del modelo de la calculadora puede usarse la notación e-N o E-N en vez de $\times 10^{n}$ . Veamos algunos ejemplos para entender esto,

En una calculadora, el número 4.49496e-29 representa $4,49496 \cdot 10^{-29}$ .
En una calculadora, el número 8.112E-7 representa $8,112 \cdot 10^{-7}$ .
En una calculadora, el número 3.87e23 representa $3,87 \cdot 10^{23}$ .
En una calculadora, el número 9.6301E200 representa $9,6301 \cdot 10^{200}$ .

Sistemas de Ecuaciones Lineales – Gauss-Jordan

23.11.202007.12.2022 Anthonny Arias-García3 comentarios

Una vez que hemos planteado un sistema de ecuaciones lineales con $n$ ecuaciones y $n$ incógnitas de forma matricial, es decir, de la siguiente forma:

Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com

Podemos establecer un método que nos permite calcular la solución de un sistema de ecuaciones lineales usando las operaciones elementales por filas para reducir la matriz a una matriz escalonada reducida, pero a su vez, con las mismas operaciones transformar la matriz de términos independientes en la solución que estamos buscando.

Formalmente, si $A$ es una matriz cuadrada no-singular, es decir, tal que su determinante es distinto de cero. Podemos usar el Método de Eliminación de Gauss-Jordan para calcular la solución del sistema de ecuaciones ampliando la matriz $A$ adosando la matriz de términos independientes $C$ a su lado derecho, de la siguiente forma:

Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de sistemas de ecuaciones lineales usando este método.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando el sistemas de ecuaciones con $2$ ecuaciones y $3$ incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ para verificar que éste sea diferente de cero,

Habiendo verificado que el determinante de la matriz $A$ es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz $C$ en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz $A$ .

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: $x = -\frac{3}{16}$ , $y = \frac{43}{48}$ .

Ejemplo 2

Considerando el sistemas de ecuaciones con $2$ ecuaciones y $3$ incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ para verificar que éste sea diferente de cero,

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: $x = -\frac{1}{17}$ , $y = -\frac{94}{85}$ .

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Ejemplo 3

Considerando el sistemas de ecuaciones con $3$ ecuaciones y $4$ incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ para verificar que éste sea diferente de cero,

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: $x = \frac{111}{85}$ , $y = \frac{22}{17}$ , $z = -\frac{16}{85}$ .

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Ejemplo 4

Considerando el sistemas de ecuaciones con $3$ ecuaciones y $4$ incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ para verificar que éste sea diferente de cero,

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan permite calcular la solución de un sistema de ecuaciones lineales usando las operaciones elementales por filas para reducir la matriz a una matriz escalonada reducida, pero a su vez, con las mismas operaciones transformar la matriz identidad en la inversa que estamos buscando.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: $x = -\frac{50}{169}$ , $y = \frac{32}{169}$ , $z = -\frac{85}{169}$ .

Nota: Queda de parte del lector verificar que los valores calculados son en efecto, la solución de los sistemas de ecuaciones planteados. Para esto debe sustituir los valores en cada una de las ecuaciones y verificar que se cumple la igualdad.

Cálculo de Matriz Inversa – Gauss-Jordan

22.11.202007.12.2022 Anthonny Arias-García2 comentarios

A continuación veremos un método que nos permite calcular la inversa de una matriz usando las operaciones elementales por filas para reducir la matriz a una matriz escalonada reducida, pero a su vez, con las mismas operaciones transformar la matriz identidad en la inversa que estamos buscando.

Formalmente, si $A$ es una matriz cuadrada no-singular, es decir, tal que su determinante es distinto de cero. Podemos usar el Método de Eliminación de Gauss-Jordan (ó Método de Eliminación Gaussiana) para calcular su inversa ampliando la matriz $A$ adosando la matriz identidad a su lado derecho, de la siguiente forma:

Cálculo de Matriz Inversa Gauss-Jordan | totumat.com

Veamos algunos ejemplos para entender como se calcula la matriz inversa desarrollando este procedimiento.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la matriz de tamaño $2 \times 2$ . Calcule la matriz inversa usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ para verificar que éste sea diferente de cero,

Habiendo verificado que el determinante de la matriz $A$ es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz identidad de lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz $A$ .