El Valor Absoluto

¿Qué es una distancia?

En ocasiones, al trabajar con problemas de matemáticas avanzados, más allá de obtener valores, es necesario medir la magnitud de estos, pues su interpretación en el problema que se esté describiendo puede indicar resultados importantes. Para esto definimos el valor absoluto de la siguiente forma:

Si a es un número real, entonces el valor absoluto de a se define como la distancia que hay entre éste número y el número cero, se denota por |a| y formalmente se expresa así:

Particularmente, si consideramos el número 3, como éste es un número positivo entonces tenemos que 3>0, por lo tanto |3|=3. Por otra parte si consideramos el número -2, como este es un número negativo entonces tenemos que -2<0, por lo tanto |-2|=-(-2)=2.

Ecuaciones con Valor Absoluto

Suponga que se plantea una situación que se puede describir con la siguiente ecuación: |x| = 5 , ¿qué números cumplen con dicha ecuación? Sabemos que |5|=5 pero también sabemos que |-5|=5, entonces la solución de la ecuación viene dada por el conjunto \{-5,5\} pues es el conjunto de todos los valores que satisfacen la ecuación.

Formalmente, la solución de una ecuación de la forma |x| = a viene dada por la siguiente equivalencia:

En general, al considerar una ecuación de la forma |ax+b|=c hallaremos los valores que la satisfacen planteando la siguiente equivalencia:

ecuación lineal con valor absoluto

Consideremos ahora algunos ejemplos en los que se calcula la solución de este tipo de ecuaciones.

Ejemplo 1

|x+4|=1

x+4=1 \Rightarrow x = 1-4 \Rightarrow x =-3
ó
x+4=-1 \Rightarrow x = -1-4 \Rightarrow x =-5

Por lo tanto, la solución de esta inecuación está viene dada por el conjunto \{-3,-5\}.

Ejemplo 2

|-x+5|=9

-x+5=9 \Rightarrow -x = 9-5 \Rightarrow -x = 4 \Rightarrow x = -4
ó
-x+5=-9 \Rightarrow -x = -9-5 \Rightarrow -x = -14 \Rightarrow x = 14

Por lo tanto, la solución de esta inecuación está viene dada por el conjunto \{-4,14\}.

Ejemplo 3

|6x-10|=5

5x-10=5 \Rightarrow 6x=5+10 \Rightarrow 6x=15 \Rightarrow x=\frac{15}{6}
ó
6x-10=-5 \Rightarrow 6x=-5+10 \Rightarrow 6x=5 \Rightarrow x=\frac{5}{6}

Por lo tanto, la solución de esta inecuación está viene dada por el conjunto \left\{ \frac{5}{2} , \frac{5}{6} \right\}.

Ejemplo 4

|2x+7|=-12

Esta ecuación no tiene solución, ya que por definición el valor absoluto de un número siempre adquiere valores positivos. Entonces no existe ningún valor de x que satisfaga esta igualdad. Básicamente, la pregunta es: ¿Cuándo un número positivo es negativo? La respuesta es: Nunca.


El Método de Ruffini

Una vez que hemos definido la división entre polinomios, si consideramos particularmente un polinomio P(x) de grado n y un polinomio Q(x)=(x-r) de grado uno, presentaremos un método alternativo para podemos calcular la división entre estos dos polinomios, es decir, una división de la forma

\frac{P(x)}{(x-r)}

Utilizando un método alternativo conocido como el Método de Ruffini. Debido a que el caso general puede resultar engorroso de exponer, lo explicaremos con algunos ejemplos.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Sean P(x)=4x^3+x^2-3x+5 y Q(x)=(x-1) dos polinomios, para calcular la división \frac{P(x)}{Q(x)} consideramos la raíz del polinomio Q(x), es decir, r=1 y de separados por una línea, consideramos también los coeficientes del polinomio P(x) y los disponemos así:

El Método de Ruffini | totumat.com
El primer coeficiente de P(x) se pone debajo de la línea horizontal

Multiplicamos el primer coeficiente del polinomio P(x) por r=1, el resultado lo sumamos al segundo coeficiente y lo disponemos así:

El Método de Ruffini | totumat.com
uno por cuatro es igual a cuatro, cuatro más uno es igual a cinco.

Multiplicamos el resultado de esta suma por r=1 y el resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

El Método de Ruffini | totumat.com
uno por cinco es igual a cinco, menos tres más cinco es igual a dos

Multiplicamos el resultado de esta suma por r=1 y el resultado lo sumamos al término independiente.

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uno por dos es igual a dos, cinco más dos es igual a siete

Los primeros tres números generados por debajo la línea horizontal corresponden a los coeficientes del polinomio C(x) (que será un grado menor que P(x)) y el último número corresponde al resto de la división. De esta forma, podemos expresar el polinomio P(x) de la siguiente forma:

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Ejemplo 2

Sea P(x)=x^4 - 15x^2 + 10x + 24 y Q(x)=(x-2) dos polinomios, para calcular la división \frac{P(x)}{Q(x)} consideramos la raíz del polinomio Q(x), es decir, r=2 y de separados por una línea, consideramos también los coeficientes del polinomio P(x) y los disponemos así:

El Método de Ruffini | totumat.com

Multiplicamos el primer coeficiente del polinomio P(x) por r=2, el resultado lo sumamos al segundo coeficiente y lo disponemos así:

El Método de Ruffini | totumat.com

Multiplicamos el resultado de esta suma por r=2 y el resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

El Método de Ruffini | totumat.com

Multiplicamos el resultado de esta suma por r=2 y el resultado lo sumamos al cuarto coeficiente.

El Método de Ruffini | totumat.com

Multiplicamos el resultado de esta suma por r=2 y el resultado lo sumamos al término independiente.

El Método de Ruffini | totumat.com

Los primeros cuatro números generados por debajo la línea horizontal corresponden al polinomio C(x) (que será de un grado menor que P(x)) y el último número corresponde al resto de la división, que en este caso es igual a cero, por lo tanto la división es exacta. De esta forma, podemos expresar el polinomio P(x) de la siguiente forma:

Notemos que si al dividir un polinomio P(x) por un polimonio Q(x)=(x-r), la división es exacta, se concluye inmediatamente que r es una raíz del polinomio P(x), por lo tanto es posible usar el Método de Ruffini para hallar las raíces enteras de un polinomio P(x) dividiendo a este por polinomios de la forma (x-r) y verificado para cuales casos esta división es exacta.

Ejemplo 3

Sea P(x)=x^4 + x^3 -x^2 -2x- 2 latex y Q(x)=x+\sqrt{2}, dos polinomios, para calcular la división \frac{P(x)}{Q(x)} consideramos la raíz del polinomio Q(x), es decir, r=-\sqrt{2} y de separados por una línea, consideramos también los coeficientes del polinomio P(x) y los disponemos así:

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Multiplicamos el primer coeficiente del polinomio P(x) por r=-\sqrt{2} y el resultado lo sumamos al segundo coeficiente.

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Multiplicamos el resultado de esta suma por r=-\sqrt{2} y obtenemos -\sqrt{2} \cdot (1-\sqrt{2}) = -\sqrt{2} + 2, este resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

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Multiplicamos el resultado de esta suma por r=-\sqrt{2} y obtenemos -\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2} + 1) = 2 - \sqrt{2}, este resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

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Multiplicamos el resultado de esta suma por r=-\sqrt{2} y obtenemos -\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2}) = 2, este resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

El Método de Ruffini | totumat.com

Los primeros cuatro números generados por debajo la línea horizontal corresponden al polinomio C(x) (que será de un grado menor que P(x)) y el último número corresponde al resto de la división, que en este caso es igual a cero, por lo tanto la división es exacta. De esta forma, podemos expresar el polinomio P(x) de la siguiente forma:

P(x) = \left[ x^3+ (1-\sqrt{2})x^2+ (-\sqrt{2} + 1)x -\sqrt{2} \right] \cdot(x+\sqrt{2})

De esta última expresión podemos concluir que r=2 es una raíz del polinomio P(x).

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Calcular raíces enteras de un polinomio utilizando el Método de Ruffini

¿Cómo hallar las raíces enteras de un polinomio utilizando el Método de Ruffini? Consideremos un polinomio de grado n que cuenta con n raíces, entonces éste se puede factorizar de la forma

Polinomio factorizado de Grado n | totumat.com
Factorizar un polinomio a partir de sus raíces.

Podemos notar que cuando aplicamos la propiedad distributiva entre todos estos productos, el término independiente del polinomio resultante será igual al producto de todas las raíces. Por ejemplo, si consideramos P(x) = (x+2)(x+3), éste se puede expandir como P(x) = x^2 +5x + 6. Tomando en cuenta este hecho, pudiéramos decir que al considerar un polinomio de la forma

Polinomio de Grado n | totumat.com

los divisores del término independiente a_0 serán las posibles raíces de éste polinomio.

Sabiendo esto, podemos aplicar el Método de Ruffini para hallar las raíces de un polinomio P(x), simplemente dividiendo por (x-r), donde r es uno de los divisores de su término independiente y verificando si esta división es exacta. Para tener más clara esta idea, consideremos los siguientes ejemplos.

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Ejemplos

Ejemplo 4

Sea P(x)=x^3+4x^2-x-4, consideremos los divisores del término independiente que este caso son \pm 1, \pm 2, \pm 4. Tomemos el primero de estos divisores que es +1 y apliquemos el Método de Ruffini:

El Método de Ruffini | totumat.com

Como el resto de la división es cero, concluimos que 1 es una raíz del polinomio P(x). Pudiera ser que 1 también sea una raíz del último polinomio generado, entonces verificamos si 1 es también raíz de este polinomio:

El Método de Ruffini | totumat.com

Como el resto de esta última división es distinto de cero, descartamos que 1 pueda ser raíz del último polinomio generado, por lo tanto borramos lo escrito y continuamos verificando cuales son las raíces. El siguiente número que usaremos será -1

El Método de Ruffini | totumat.com

Como el resto de esta última división es cero, concluimos que -1 es una raíz del polinomio P(x). Pudiera ser que -1 también sea una raíz del último polinomio generado, sin embargo, antes de verificar nuevamente si -1 es raíz del nuevo polinomio podemos notar a simple vista que -4 es una raíz, ya que

El Método de Ruffini | totumat.com

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio P(x) son 1, -1 y 4. Además, podemos factorizar este polinomio de la siguiente forma:

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Ejemplo 5

Sea P(x)=x^4 - 9x^2 + 4x + 12, consideramos los divisores del término independiente que este caso son \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6 y \pm 12; y aplicamos el Método de Ruffini:

El Método de Ruffini | totumat.com

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio P(x) son -1, 2, 2 y -3. Notamos que el número dos se repite dos veces, en este caso decimos que es una raíz de multiplicidad igual a dos. Además, podemos factorizarlo de la siguiente forma:

Ejemplo 6

Sea P(x)=3x^4 -48x^3 + 288x^2 - 768x - 768. Notamos que el coeficiente principal de este polinomio es igual a tres, es por esto que lo más conveniente es sacarlo como factor común para obtener P(x)=3(x^4 -16x^3 + 96x^2 - 256x + 256) consideramos los divisores del término independiente que este caso son \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64, \pm 128 y \pm 256; y aplicamos el Método de Ruffini:

El Método de Ruffini | totumat.com

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio P(x) son 4, 4, 4 y 4. Notamos que el número cuatro se repite cuatro veces, en este caso decimos que es una raíz de multiplicidad igual a cuatro. Además, podemos factorizarlo de la siguiente forma:

En estos últimos ejemplos, desarrollamos el Método de Ruffini sobre las raíces directamente, pero hay que tomar en cuenta que se deben considerar todas las posibles raíces verificando con cada una que el resto sea igual a cero, preferiblemente en el orden en que éstas se presentan.


Ejemplos propuestos por los usuarios de totumat

Factorización Polinomios

¿Qué es factorizar?

Si consideramos el producto entre números reales, llamamos factor a cada uno de estos números involucrados en ducho producto. Por ejemplo, si consideramos el producto a \cdot b, diremos que a y b son los factores que representan este producto. Estos números reales pueden venir definidos por un número desconocido, por ejemplo si consideramos el producto (x+2) \cdot (x+7) entonces (x+2) y (x+7) serán los factores que representan este producto.

Factorizar (o factorización) es el proceso de reescribir una expresión como un producto de factores. Por ejemplo, si consideramos la expresión 3x + 3x^2 , podemos notar que 3x es un factor común en ambos sumandos y aplicando la propiedad distributiva podemos expresarla como 3x \cdot (1+x), es decir, la reescribimos como un producto de dos factores 3x y 1+x. Si una expresión se reescribe como el producto de factores, diremos que esta ha sido factorizada.

Todo número real se puede expresar como el producto de dos factores, pues si consideramos cualquier número real a, entonces a = 1 \cdot a, decimos que este es el caso trivial pero cuando consideremos factorizar una expresión, obviaremos este caso pues no representa particular interés para lo que pretendemos desarrollar.

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Relación entre las raíces de un polinomio y su factorización

Considerando un polinomio P(x) de grado n, si sus raíces son \{ x_1, x_2, x_3,\ldots,x_n \} y su coeficiente principal es igual a k, entonces el polinomio P(x) se puede factorizar de la siguiente forma:

Polinomio factorizado de Grado n | totumat.com
Factorizar un polinomio a partir de sus raíces.

Una forma general para factorizar un polinomio es hallando las raíces y aplicando el resultado antes visto, por lo tanto es necesario desarrollar métodos que permitan para hallar las raíces de un polinomio. Es decir, hallar los valores de x para los cuales se cumple la ecuación P(x)=0. Vemos en los siguientes ejemplos, como factorizar algunos polinomios sabiendo cuales son sus raíces.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si las raíces del polinomio P(x)=x^2-2x+1 son x_1=1 y x_2=-1, éste se puede factorizar de la siguiente manera:

P(x) = (x-1) \cdot (x+1)

Ejemplo 2

Si las raíces del polinomio P(x)=x^2+5x+6 son x_1=-2 y x_2=-3, éste se puede factorizar de la siguiente manera:

P(x) = (x+2) \cdot (x+3)

Ejemplo 3

Si las raíces del polinomio P(x)=5x^2-15x-140 son x_1=-4 y x_2=7, éste se puede factorizar de la siguiente manera:

P(x) = 5 \cdot (x+4) \cdot (x-7)

Ejemplo 4

Si las raíces del polinomio P(x)=3x^3+51x^2+186x-240 son x_1=1, x_2=-8 y x_3=10, éste se puede factorizar de la siguiente manera:

P(x) = 3 \cdot (x-1) \cdot (x+8) \cdot (x+10)

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Observando los ejemplos expuestos, consideremos de forma particular los polinomios cuadráticos, pues podemos notar que si P(x)=ax^2+bx+c es un polinomio cuadrático, entonces la ecuación P(x)=ax^2+bx+c=0 es justamente una ecuación cuadrática. En otras palabras, estamos diciendo que podemos determinar las raíces de un polinomio cuadrático utilizando el método del discriminante, y más aún, factorizarlo a partir de sus raíces.

Retomemos algunos ejemplos para explicar este hecho, tomando en cuenta que el método del discriminante establece que los valores de que x que satisfacen la ecuación ax^2+bx+c=0 están expresados de la siguiente forma:

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Ejemplos – Factorizar polinomios cuadráticos

Ejemplo 5

Factorice el polinomio P(x)=x^2+5x+6 a partir de sus raíces. Debemos notar que a=1, b=5 y c=6. Entonces,

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2-4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}

= \dfrac{-5 \pm \sqrt{25-24}}{2}

= \dfrac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}

= \dfrac{-5 \pm 1}{2}

Luego,

x_1 = \dfrac{-5 + 1}{2}

= \dfrac{-4}{2}

= -2

x_2 = \dfrac{-5 - 1}{2}

= \dfrac{-6}{2}

= -3

Así, podemos factorizar el polinomio de la siguiente forma:

Ejemplo 6

Factorice el polinomio P(x) = 5x^2-15x-50=0 a partir de sus raíces. Debemos notar que a=5, b=-15 y c=-50. Entonces,

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}

= \dfrac{3 \pm \sqrt{9+40}}{2}

= \dfrac{3 \pm \sqrt{49}}{2}

= \dfrac{3 \pm 7}{2}

Luego,

x_1 = \dfrac{3 + 7}{2}

= \dfrac{10}{2}

= 5

x_2 = \dfrac{3 - 7}{2}

= \dfrac{-4}{2}

= -2

Así, podemos factorizar el polinomio de la siguiente forma:


Existen diversas formar de factorizar polinomios y el método del discriminante es una de ellas, y aunque se limita de forma particular a los polinomios cuadráticos, servirá de apoyo para otros métodos de factorización de polinomios.

Raíz de un polinomio

Al estudiar polinomios, estamos estudiando variables y potencias de variables, sin embargo, el poder de los polinomios se magnifica al considerar valores reales para estas variables, pues a través de ellos podemos determinar información valiosa en distintos campos de las ciencias.

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Evaluar polinomios

Diremos que evaluar un polinomio P(x) en un número real b es sustituir la variable x por el número b, esta sustitución la denotaremos P(b). De esta forma, si P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 es un polinomio, entonces evaluamos éste polinomio en b de la siguiente forma:

Evaluar polinomio en b | totumat.com

Posteriormente se pueden efectuar las operaciones para obtener como resultado un número real, veamos en los siguientes ejemplos como evaluar polinomios:

Ejemplos

Ejemplo 1

Al evaluar el polinomio P(x)= 3x+2 en b=3 obtenemos el siguiente resultado:

P(3)= 3 \cdot 3+2=6+2=8

Ejemplo 2

Al evaluar el polinomio Q(x)=5x^2+2x+7 en b=-2 obtenemos el siguiente resultado:

Q(-2)=5 \cdot (-2)^2+2 \cdot (-2)+7=5 \cdot 4 -4+7 = 20+3=23

Ejemplo 3

Al evaluar el polinomio R(x)= -8x^6 + x^5 + x^3 - 4x +3 en b=1 obtenemos el siguiente resultado:

R(1)= -8(1)^6 + (1)^5 + (1)^3 - 4(1) +3 = -4

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Raíces de un polinomio

Nos interesarán algunos casos muy particulares al evaluar polinomios, definimos la raíz de un polinomio P(x) como un número real r tal que al evaluarlo en dicho polinomio, el resultado es igual a cero, es decir, una raíz de un polinomio es un número real r que satisface la siguiente ecuación:

Raíz de un polinomio | totumat.com
r es la raíz del polinomio p

Para entender mejor esta idea, veamos algunos ejemplos de raíces de polinomios.

Ejemplos

Ejemplo 4

Si consideramos P(x)= x^2-4,

  • r=1 no es una raíz del polinomio pues
    P(1)=1-4=-3,
  • r=2 sí es una raíz del polinomio pues
    P(2)=(2)^2-4=4-4=0,
  • r=-2 sí es una raíz del polinomio pues
    P(-2)=(-2)^2-4=4-4=0.

Ejemplo 5

Si consideramos P(x)=x^2+2x+1,

  • r=3 no es una raíz del polinomio pues
    P(3)= 3)^2+2(3)+1=9+6+4=19,
  • r=-1 sí es una raíz del polinomio pues
    P(x)=(-1)^2+2(-1)+4=1-2+1=0.

Ejemplo 6

Si consideramos P(x)=x^4+x^2+16,

  • r=1 no es una raíz del polinomio pues
    P(1)=(1)^4+(1)^2+16=1+1+16=18
  • r=-1 tampoco es una raíz del polinomio pues
    P(-1)=(-1)^4+(-1)^2+16=1+1+16=18.

De hecho, este polinomio no tiene raíces pues notemos que x^4, x^2 y 16 son números positivos, por lo tanto su suma siempre será distinta de cero.

Observación: Diremos que n es un número par si éste es un múltiplo de 2, es decir, que n=2k para algún número natural k. Entonces, si n es un número par, a partir de la ley de los signos para el producto podemos concluir que x^n siempre será un número positivo.

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Notamos que hay polinomios que tienen raíces y otros que no, entonces nos preguntamos, ¿habrá una forma general para determinar las raíces de un polinomio? La respuesta es no, sin embargo, podemos hacernos una idea de cuántas raíces debería tener un polinomio, y es que si consideramos un polinomio P(x) de grado n, entonces éste tendrá a lo sumo n raíces, es decir, puede ser que no tenga ninguna, que tenga una, dos, tres, etcétera, pero no más de n raíces.

Debido a la íntima relación que guardan los polinomios y las ecuaciones a través de sus raíces, podremos definir poderosas herramientas que nos permitan hallar la solución de distintas ecuaciones con relativa facilidad, esto, siempre que tengamos claras las propiedades de las operaciones de suma y multiplicación definidas para los números reales.


Polinomios

Notemos que al considerar ecuaciones cuadráticas, éstas difieren de las ecuaciones lineales porque encontramos que la incógnita x aparece multiplicada por ella misma. Estudiaremos una herramienta que nos permite ver qué ocurre cuando en una ecuación encontramos productos entre incógnitas, en otras palabras, cuando encontramos potencias de una incógnita.

Una potencia de un número a es la cantidad de veces que a es multiplicado por sí mismo, entonces si multiplicamos a \cdot a \cdot ... \cdot a n veces, lo expresamos con a^n y decimos que es la n-ésima potencia de a, a n lo llamamos exponente de a.

Si decimos que x es un número real que puede adquirir cualquier valor, entonces decimos que ésta es una variable real y si consideramos a_0, a_1, a_2, ..., a_{n-1}, a_n un conjunto de n números reales dados. Definiremos un polinomio P(x) con la siguiente expresión:

Polinomio de Grado n | totumat.com

A los números a_0, a_1, a_2, ..., a_{n-1}, a_n los llamaremos coeficientes del polinomio, donde a_n será el coeficiente principal y a_0 será el término independiente. A n lo llamaremos el grado del polinomio y será el mayor de los exponentes involucrados en la expresión.

Notemos que el coeficiente principal del polinomio es el coeficiente que multiplica a la x con la mayor potencia. A un polinomio de grado dos, lo llamaremos polinomio cuadrático y a un polinomio de grado tres lo llamaremos polinomio cúbico.

Pareciera engorrosa la definición de lo que es un polinomio, pero con varios ejemplos veremos que son simplemente la suma de potencias de x multiplicadas por números reales.

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Ejemplos

Ejemplo 1

P(x)= 3x+2, es un polinomio cuyo grado es 1, tiene coeficiente principal 3 y término independiente 2.

Ejemplo 2

P(x)= 5x^2+2x+7, es un polinomio cuyo grado es 2, tiene coeficiente principal 5 y término independiente 7.

Ejemplo 3

P(x)= 8x^6 + x^5 + x^3 - 4x +3, es un polinomio cuyo grado es 6, tiene coeficiente principal 8 y término independiente 3. Además, podemos notar que faltan las potencias 4 y 2 de x. Esto se debe a que los coeficientes que multiplican a $x^4$ y $x^2$ son iguales a cero, por esta razón no hace falta escribir esos sumandos. Sin embargo podemos completar el polinomio de la siguiente manera:

P(x)= 8x^6 + x^5 + 0x^4 + x^3 + 0x^2 -4x +3

Ejemplo 4

P(x)= 4x^4 - 7x^6 + 14 + 2x^{10} + x^5, es un polinomio cuyo grado es 10, tiene coeficiente principal 2 y término independiente 14. Notemos que la mayor potencia no está de primera, como la suma es conmutativa, nosotros podemos reordenar los sumandos del polinomio de modo que las potencias se escriban en orden decreciente de la siguiente manera:

P(x)= 2x^{10} -7x^6  + x^5 + 4x^4 + 14


Definir polinomios nos proveerá maleabilidad sobre distintas expresiones matemáticas, que de momento no comprenderemos. Entender como está definido un polinomio y saber identificar sus elementos nos permitirá desarrollar herramientas sofisticadas para análisis complejos.