Categoría: Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Exactas y No Exactas

Anthonny Arias-García1 comentario
  1. Diferencial Exacto
  2. Ecuaciones Exactas
    1. Teorema (Criterio para un Diferencial Exacto)
    2. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
  3. Ecuaciones No Exactas
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 3

Diferencial Exacto

Consideremos una función definida en varias variables expresada de la forma z=f(x,y) y supongamos que sus derivadas parciales son continuas en una región R del plano XY. Definimos su diferencial como

dz = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy

Particularmente, si la variable z permanece constante, su diferencial será igual a cero, entonces estará expresado de la siguiente forma:

0 = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy

Tomando en cuenta el diferencial de z y su particularidad cuando z=c, decimos que una expresión de la forma M(x,y) dx + N(x,y)dy es un diferencial exacto en una región R del plano XY si corresponde con el diferencial de una función f(x,y), es decir, tal que

M(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x} \ \text{ y } \ N(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y}

También pudiera interesarte

Ecuaciones Exactas

Los diferenciales exactos sientan una base para definir una nueva clasificación para las ecuaciones diferenciales. Formalmente, si consideramos una ecuación diferencial ordinaria expresada de la forma

M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0

Diremos que esta es una Ecuación Exacta si M(x,y) dx + N(x,y)dy es un diferencial exacto.

A continuación veremos un criterio que nos indicará las condiciones que deben cumplir las funciones M y N para que estas definan un diferencial exacto.

Teorema (Criterio para un Diferencial Exacto)

Sean M(x,y) y N(x,y) dos funciones continuas con derivadas parciales continuas en un una región R una región rectangular en el plano XY en su interior, entonces una condición necesaria y suficiente para que M(x,y) dx + N(x,y)dy sea un diferencial exacto es

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}

Estableciendo este criterio, veamos ahora que si consideramos una ecuación diferencial expresada de la forma M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0 entonces podemos seguir un procedimiento que nos permitirá calcular la solución de ésta.

En los siguientes ejemplos ilustraremos como calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales, usando indistintamente la notación M_y para \frac{\partial M}{\partial y} y N_x para \frac{\partial N}{\partial x} pues así facilitamos la escritura.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria

(2x + 3)dx + (13y - 4)dy = 0

Antes de empezar a calcular la solución de esta ecuación, debemos verificar si ésta es una ecuación exacta pues de otra forma no podemos aplicar el procedimiento. Para esto identificamos las funciones M y N; y posteriormente calculamos sus derivadas parciales M_y y N_x.

M(x,y) = 2x+3 \; \Rightarrow \; M_y(x,y) = 0
N(x,y) = 13y-4 \; \Rightarrow \; N_x(x,y) = 0

Ambas derivadas parciales son iguales a cero, es decir, M_y = N_x. Esta conclusión desata una serie de implicaciones como sigue: (2x + 3)dx + (13y - 4)dy es un diferencial exacto, entonces, la ecuación diferencial planteada es exacta, entonces, las funciones M y N corresponden a los elementos del diferencial de una función, entonces,

\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3 \ \text{ y } \ \frac{\partial f}{\partial y} = 13y - 4

Nuestro propósito será el de determinar cual es la función f(x,y) que define este diferencial, y ya que contamos con sus derivas parciales procedemos a integrar una de ellas.

Si consideramos \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3 e integramos esta función respecto a la variable x, obtenemos la función f(x,y) de la siguiente manera:

\int \frac{\partial f}{\partial x} dx = \int (2x + 3) dx \Rightarrow f(x,y) = x^2 + 3x + g(y)

Notemos que al ser f(x,y) una función que depende de x y de y, al calcular la integral de esta respecto a x, la variable y se comporta como una constante, entonces g(y) será nuestra constante de integración.

Para determinar la función g(y), calculamos la derivada de f(x,y) = x^2 + 3x + g(y) respecto a la variable y para obtener que

\frac{\partial f}{\partial y} = g'(y)

Pero si tomamos en cuenta que la ecuación diferencial es exacta, entonces N(x,y) corresponde con el elemento \frac{\partial f}{\partial y} del diferencial de f(x,y), es decir, \frac{\partial f}{\partial y} = 13y - 4. Entonces a partir de este hecho y la última igualdad, tenemos

g'(y) = 13y - 4

Entonces integramos g'(y) respecto a la variable y para obtener

g(y) = \frac{13}{2}y^2 - 4y

Sustituimos g(y) y concluimos que la función f está definida como

f(x,y) = x^2 + 3x + \frac{13}{2}y^2 - 4y

Y recordando que la ecuación diferencial está definida a partir del diferencial de f(x,y) cuando esta función permanece constante, entonces la solución general de nuestra ecuación diferencial viene dada por

x^2 + 3x + \frac{13}{2}y^2 - 4y = c

Nota: Pudiéramos calcular la solución de la ecuación planteada usando el método de las variables separables, pero para efectos didácticos, consideramos una ecuación sencilla para explicar el presente método.

Ejemplo 2

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria

(1 + x^2y^3)dx + (x^3y^2)dy = 0

Antes de empezar a calcular la solución de esta ecuación, debemos verificar si ésta es una ecuación exacta pues de otra forma no podemos aplicar el procedimiento. Para esto identificamos las funciones M y N y; posteriormente calculamos sus derivadas parciales: M_y y N_x. Entonces:

M(x,y) = 1 + x^2y^3 \; \Rightarrow \; M_y(x,y) = 3x^2y^2
N(x,y) = x^3y^2 \; \Rightarrow \; N_x(x,y) = 3x^2y^2

Ambas derivadas parciales son iguales a 3x^2y^2, es decir, M_y = N_x. Esta conclusión desata una serie de implicaciones como sigue: (1 + x^2y^3)dx + (x^3y^2)dy es un diferencial exacto, entonces, la ecuación diferencial planteada es exacta, entonces, las funciones M y N corresponden a los elementos del diferencial de una función, entonces,

\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + x^2y^3 \ \text{ y } \ \frac{\partial f}{\partial y} = x^3y^2

Nuestro propósito será el de determinar cual es la función f(x,y) que define este diferencial, y ya que contamos con sus derivadas parciales procedemos a integrar una de ellas.

Si consideramos \frac{\partial f}{\partial y} = x^3y^2 e integramos esta función respecto a la variable y, obtenemos la función f(x,y) de la siguiente manera:

\int \frac{\partial f}{\partial y} dy = \int x^3y^2 dy \Rightarrow f(x,y) = \frac{x^3y^3}{3} + h(x)

Notemos que al ser f(x,y) una función que depende de x y de y, al calcular la integral de esta respecto a y, la variable x se comporta como una constante, entonces h(x) será nuestra constante de integración.

Para determinar la función h(x), calculamos la derivada de f(x,y) = \frac{x^3y^3}{3} + h(x) respecto a la variable x para obtener que

\frac{\partial f}{\partial x} = x^2y^3 + h'(x)

Pero si tomamos en cuenta que la ecuación diferencial es exacta, entonces M(x,y) corresponde con el elemento \frac{\partial f}{\partial x} del diferencial de f(x,y), es decir, \frac{\partial f}{\partial x} = 1 + x^2y^3. Entonces a partir de este hecho y la última igualdad, tenemos

1 + x^2y^3 = x^2y^3 + h'(x) \Rightarrow h'(x) = 1

Entonces integramos h'(x) respecto a la variable x para obtener

h(x) = x

Sustituimos h(x) y concluimos que la función f está definida como

f(x,y) = \frac{x^3y^3}{3} + x

Y recordando que la ecuación diferencial está definida a partir del diferencial de f(x,y) cuando esta función permanece constante, entonces la solución general de nuestra ecuación diferencial viene dada por

\frac{x^3y^3}{3} + x = c

Si te ha parecido útil la información que hemos presentado en totumat y quieres ayudar a mantener este sitio en línea puedes mirar nuestros anuncios publicitarios o donar dinero a través de PayPal.

Ecuaciones No Exactas

Si bien el criterio para un diferencial exacto determina condiciones, no garantiza que todas las ecuaciones sean exactas pues, es posible toparse con ecuaciones diferenciales de la forma

M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0 \text{ tal que } M_y \neq N_x

En este caso decimos que es una ecuación no exacta pues no se cumple la condición del criterio para un diferencial exacto. Sin embargo, es posible definir un factor \mu(x,y) análogo al factor integrante que definimos para las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden, la idea ahora es que al multiplicar este factor por cada uno de los sumandos de nuestra ecuación, obtenemos una ecuación exacta

\mu(x,y)M(x,y) dx + \mu(x,y)N(x,y)dy = 0

Definimos este nuevo factor integrante de la siguiente manera:

  • Si \frac{M_y - N_x}{N} es una función que depende únicamente de la variable x, entonces el factor integrante está definido como \mu(x) = \textit{\huge e}^{\int \frac{M_y - N_x}{N}dx}
  • Si \frac{N_x - M_y}{M} es una función que depende únicamente de la variable y, entonces el factor integrante está definido como \mu(y) = \textit{\huge e}^{\int \frac{N_x - M_y}{M} dy}

Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales.

Ejemplos

Ejemplo 3

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria

(y+1)dx + (6x-1)dy=0

Antes de empezar a calcular la solución de esta ecuación, debemos verificar si ésta es una ecuación exacta pues de otra forma no podemos aplicar el procedimiento. Para esto identificamos las funciones M y N; y posteriormente calculamos sus derivadas parciales M_y y N_x.

M(x,y) = y+1 \; \Rightarrow \; M_y(x,y) = 1
N(x,y) = 6x-1 \; \Rightarrow \; N_x(x,y) = 6

Ambas derivadas parciales son distintas, concluimos que esta ecuación diferencial es no exacta, por lo tanto debemos definir el factor integrante que nos permita reducir la ecuación diferencial a una ecuación no exacta. Si consideramos la siguiente expresión

\frac{M_y - N_x}{N} = \frac{1 - 6}{6x-1}

Esta es una expresión que depende únicamente de la variable x, entonces definimos el factor integrante a partir de ella, de la siguiente forma

\mu(y)

\; = \; \textit{\huge e}^{\int \frac{-5}{6x-1} dy}

\; = \; \textit{\huge e}^{-\frac{5}{6}\ln(6x-1)}

\; = \; (6x-1)^{\frac{-5}{6}}

Ahora multiplicamos cada uno de los sumandos de la ecuación diferencial no exacta por el factor integrante

(6x-1)^{-\frac{5}{6}}(y+1)dx + (6x-1)^{\frac{1}{6}}dy = 0

Así, esta ecuación es exacta y podemos garantizar que M_y = N_x. Esta conclusión desata una serie de implicaciones como sigue: ((6x-1)^{-\frac{5}{6}}(y+1)dx + (6x-1)^{\frac{1}{6}}dy es un diferencial exacto, entonces, la ecuación diferencial planteada es exacta, entonces, las funciones M y N corresponden a los elementos del diferencial de una función, entonces,

\frac{\partial f}{\partial x} = (6x-1)^{-\frac{5}{6}}(y+1) \ \text{ y } \ \frac{\partial f}{\partial y} = (6x-1)^{\frac{1}{6}}

Nuestro propósito será el de determinar cual es la función f(x,y) que define este diferencial, y ya que contamos con sus derivadas parciales procedemos a integrar una de ellas.

Si consideramos \frac{\partial f}{\partial y} = (6x-1)^{\frac{1}{6}} e integramos esta función respecto a la variable y, obtenemos la función f(x,y) de la siguiente manera:

\int \frac{\partial f}{\partial y} dy = \int (6x-1)^{\frac{1}{6}} dy \Rightarrow f(x,y) = (6x-1)^{\frac{1}{6}} y + h(x)

Notemos que al ser f(x,y) una función que depende de x y de y, al calcular la integral de esta respecto a y, la variable x se comporta como una constante, entonces h(x) será nuestra constante de integración.

Para determinar la función h(x), calculamos la derivada de f(x,y) = (6x-1)^{\frac{1}{6}} y + h(x) respecto a la variable x para obtener que

\frac{\partial f}{\partial x} = (6x-1)^{-\frac{5}{6}} y + h'(x)

Pero si tomamos en cuenta que la ecuación diferencial es exacta, entonces M(x,y) corresponde con el elemento \frac{\partial f}{\partial x} del diferencial de f(x,y), es decir, \frac{\partial f}{\partial x} = (6x-1)^{-\frac{5}{6}}(y+1). Entonces a partir de este hecho y la última igualdad, tenemos

(6x-1)^{-\frac{5}{6}}(y+1) = (6x-1)^{-\frac{5}{6}}y + h'(x) \Rightarrow h'(x) = (6x-1)^{-\frac{5}{6}}

Entonces integramos h'(x) respecto a la variable x para obtener

h(x) = (6x-1)^{\frac{1}{6}}

Sustituimos h(x) y concluimos que la función f está definida como

f(x,y) = (6x-1)^{\frac{1}{6}} y + (6x-1)^{\frac{1}{6}}

Y recordando que la ecuación diferencial está definida a partir del diferencial de f(x,y) cuando esta función permanece constante, entonces la solución general de nuestra ecuación diferencial viene dada por

(6x-1)^{\frac{1}{6}} \left( y + 1 \right) = c

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales De Primer Orden

Anthonny Arias-García7 comentarios
  1. Definición
    1. El Factor Integrante
    2. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
      3. Ejemplo 3

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de variables separables representan sólo una pequeña porción en el universo de las ecuaciones diferenciales, es por esto que debemos generalizar nuestras definiciones paso a paso para poder abordar ecuaciones diferenciales menos triviales.

También pudiera interesarte

Definición

Entonces, definimos las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales como aquellas que se expresan de la siguiente forma

a_1(x)y' + a_0(x)y = g(x)

Diremos que una ecuación diferencial ordinaria lineal es homogénea si g(x)=0, por otra parte, diremos que es no-homogénea si g(x) \neq 0. Podemos notar que toda ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea es de variables separables pues

\displaystyle a_1(x) \frac{dy}{dx} + a_0(x)y = 0 \Rightarrow a_1(x) \frac{dy}{dx} = - a_0(x)y \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{a_0(x)}{a_1(x)} \cdot y

Sabiendo esto, en esta sección descartaremos las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas y nos enfocaremos en el caso en que éstas sean no-homogéneas.

Antes de explicar el procedimiento para calcular la solución de este tipo de ecuaciones, debemos tener claros algunos elementos: Diremos que una ecuación diferencial ordinaria lineal está expresada en su forma estándar si el coeficiente que multiplica a la derivada de mayor orden involucrada en la ecuación es exactamente igual a uno, es decir, que está expresada de la siguiente forma

y' + P(x) y = f(x)

Y decimos que estandarizar una ecuación diferencial ordinaria lineal es reescribirla en su forma estándar.

El Factor Integrante

El procedimiento que usaremos para calcular la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no-homogéneas se basa en encontrar factor tal que al multiplicarlo por cada sumando de la ecuación, ésta se reduce a una ecuación homogénea. A este factor lo llamaremos factor integrante y lo definimos como

\rho(x) = \textit{\huge e}^{\int P(x)dx}

Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales.

Si te ha parecido útil la información que hemos presentado en totumat y quieres ayudar a mantener este sitio en línea puedes mirar nuestros anuncios publicitarios o donar dinero a través de PayPal.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea:

5y' - 20y = 30

Lo primero que debemos notar es que esta ecuación no está expresada en su forma estándar así que aún no podemos identificar la función P(x) para definir nuestro factor integrante, para estandarizarla debemos dividir cada uno de sus sumandos por 5 para obtener

y' - 4y = 6

Una vez estandarizada, podemos concluir que P(x)=-4, así que nuestro factor integrante es

\rho(x) = \textit{\huge e}^{\int -4dx} = \textit{\huge e}^{-4x}

Ahora multiplicamos cada uno de los sumandos de nuestra ecuación estandarizada por el factor integrante

\textit{\huge e}^{-4x} y' + \textit{\huge e}^{-4x} (- 4y) = \textit{\huge e}^{-4x} 6

Notando que la suma expresada en el lado izquierdo de la ecuación es justamente de la derivada del producto \textit{\huge e}^{-4x} \cdot y, así que podemos reescribir la ecuación de la siguiente forma:

Expresados ambos elementos de la ecuación de esta forma, calculamos la integral de ambas expresiones respecto a la variable x tal como se ha planteado al calcular la solución de ecuaciones diferenciales de variables separables.

\int \frac{d}{dx} \left( \textit{\huge e}^{-4x} y \right) \ dx = \int \textit{\huge e}^{-4x} 6 \ dx \Rightarrow \textit{\huge e}^{-4x} y = \frac{\textit{\huge e}^{-4x}}{-4} 6 + C

Finalmente, despejamos y para obtener la solución general de la ecuación diferencial.

y = -\frac{3}{2} + C\textit{\huge e}^{4x}

Ejemplo 2

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea:

2x^2y' + 4xy = 7x^4

Lo primero que debemos notar es que esta ecuación no está expresada en su forma estándar así que aún no podemos identificar la función P(x) para definir nuestro factor integrante, para estandarizarla debemos dividir cada uno de sus sumandos por 2x^2 para obtener

y' + \frac{2}{x}y = \frac{7}{2}x^2

Una vez estandarizada, podemos concluir que P(x) = \frac{2}{x}, así que nuestro factor integrante es

\rho(x) = \textit{\huge e}^{\int \frac{2}{x} dx} = \textit{\huge e}^{2\ln(x)} = x^2

Ahora multiplicamos cada uno de los sumandos de nuestra ecuación estandarizada por el factor integrante

x^2 \cdot y' + x^2 \cdot \frac{2}{x} y = x^2 \cdot \frac{7}{2}x^2

Cuyos sumandos podemos simplificar de la siguiente forma:

x^2 \cdot y' + 2x \cdot y = \frac{7}{2}x^4

Notando que la suma expresada en el lado izquierdo de la ecuación es justamente de la derivada del producto x^2 \cdot y, así que podemos reescribir la ecuación de la siguiente forma:

Expresados ambos elementos de la ecuación de esta forma, calculamos la integral de ambas expresiones respecto a la variable x tal como se ha planteado al calcular la solución de ecuaciones diferenciales de variables separables.

\int \frac{d}{dx}\left( x^2 y \right) dx = \int \frac{7}{2}x^4 dx \Rightarrow x^2 y = \frac{7}{10}x^5 + C

Finalmente, despejamos y para obtener la solución general de la ecuación diferencial.

y = \frac{7}{10}x^3 + \frac{C}{x^2}

Ejemplo 3

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea con el problema de valor inicial indicado:

6x^3y' - 2x^2y = 4x - 6, \ y(1) = 1

Lo primero que debemos notar es que esta ecuación no está expresada en su forma estándar así que aún no podemos identificar la función P(x) para definir nuestro factor integrante, para estandarizarla debemos dividir cada uno de sus sumandos por 6x^3 para obtener

y' - \frac{1}{3x}y = \frac{2}{3x^2} - \frac{1}{x^3}

Una vez estandarizada, podemos concluir que P(x) = - \frac{1}{3x}, así que nuestro factor integrante es

\rho(x) = \textit{\huge e}^{\int - \frac{1}{3x} dx} = \textit{\huge e}^{-\frac{1}{3}\ln(x)} = x^{-\frac{1}{3}}

Ahora multiplicamos cada uno de los sumandos de nuestra ecuación estandarizada por el factor integrante

x^{-\frac{1}{3}} \cdot y' - x^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{3x}y = x^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{2}{3x^2} - x^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{x^3}

Cuyos sumandos podemos simplificar de la siguiente forma:

x^{-\frac{1}{3}} \cdot y' - \frac{1}{3} x^{-\frac{4}{3}} y = \frac{2}{3}x^{-\frac{7}{3}} - x^{-\frac{10}{3}}

Notando que la suma expresada en el lado izquierdo de la ecuación es justamente de la derivada del producto x^{-\frac{1}{3}} \cdot y, así que podemos reescribir la ecuación de la siguiente forma:

Expresados ambos elementos de la ecuación de esta forma, calculamos la integral de ambas expresiones respecto a la variable x tal como se ha planteado al calcular la solución de ecuaciones diferenciales de variables separables.

\int \frac{d}{dx}\left( x^{-\frac{1}{3}} \cdot y \right) dx = \int \left( \frac{2}{3}x^{-\frac{7}{3}} - x^{-\frac{10}{3}} \right) \ dx

\Rightarrow \ x^{-\frac{1}{3}} \cdot y = -\frac{1}{2}x^{-\frac{4}{3}} + \frac{3}{7} x^{-\frac{7}{3}} + C

Finalmente, despejamos y para obtener la solución general de la ecuación diferencial.

y = -\frac{1}{2x} + \frac{3}{7x^2} + C x^{\frac{1}{3}}

Una vez que hemos calculado la solución general de esta ecuación diferencial, debemos encontrar la solución particular que cumple con el problema de valor inicial. Para esto, sustituimos los valores x=1 y y=1 en la solución general para posteriormente despejar C

y = -\frac{1}{2x} + \frac{3}{7x^2} + C x^{\frac{1}{3}}

\; \Rightarrow \; 1 = -\frac{1}{2(1)} + \frac{3}{7(1)^2} + C (1)^{\frac{1}{3}}
\; \Rightarrow \; 1 = -\frac{1}{2} + \frac{3}{7} + C
\; \Rightarrow \; 1 + \frac{1}{2} - \frac{3}{7} = C
\; \Rightarrow \; \frac{15}{14} = C
\; \Rightarrow \; C = \frac{15}{14}

De esta forma, concluimos que la solución que satisface el problema de valor inicial y(1)=1 es

y =-\frac{1}{2x} + \frac{3}{7x^2} + \frac{15}{14} x^{\frac{1}{3}}

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Variables Separables

Anthonny Arias-García10 comentarios
  1. Definición
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
      3. Ejemplo 3
      4. Ejemplo 4

Consideraremos ecuaciones que se caracterizan porque podemos separar las variables, es decir, que se pueden dejar todas las expresiones que involucran una variable de un lado de la ecuación y a todas las expresiones que involucran la otra variable del otro lado de la ecuación.

También pudiera interesarte

Definición

Formalmente, diremos que una ecuación diferencial es de variables separables si se expresa de la siguiente forma:

\displaystyle \frac{dy}{dx} = g(x) \cdot h(y)

Veamos con algunos ejemplos la técnica para calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales.

Ejemplos

Ejemplo 1

Consideremos la ecuación y-y'=0, lo primero que debemos hacer es reescribir y' como un cociente de diferenciales \frac{dy}{dx}, de esta forma, reescribimos la ecuación de la siguiente manera

\displaystyle y - \frac{dy}{dx} = 0

Haciendo un abuso de la notación, trabajaremos con los diferenciales de x y de y como si estos fueran factores reales, de esta forma podemos separar las variables de la siguiente forma

\displaystyle \frac{dy}{dx} = y

\displaystyle \Rightarrow \; dy = y \ dx

\displaystyle \Rightarrow \; \frac{dy}{y} = dx

Notamos que todas las expresiones que involucran a y están del lado izquierdo de la ecuación y todas las expresiones que involucran a x están del lado derecho de la ecuación. Así, lo siguiente que haremos será integrar ambos lados de la ecuación

\displaystyle \int \frac{dy}{y} = \int dx

Al calcular ambas integrales, generamos dos constantes provenientes de dos familias distintas de antiderivadas, sin embargo ambas son agrupadas en una constante C del lado derecho de la ecuación. Una vez calculadas las integrales, procedemos a despejar la variable y para obtener la función que estamos buscando.

\displaystyle \ln(y) = x + C

\displaystyle \Rightarrow \; \textit{\Large e}^{\ln(y)} = \textit{\Large e}^{x + C}

\displaystyle \Rightarrow \; y = \textit{\Large e}^x\textit{\Large e}^C

\displaystyle \Rightarrow \; y = C \textit{\Large e}^x

En este último paso, al ser \textit{\Large e}^C una constante real, la reescribimos como C para facilitar su escritura.

Observación: No hemos considerado el valor absoluto en el logaritmo al calcular la integral de \frac{1}{y} pues recordando que y debe estar definida en el mayor intervalo que la contenga, consideramos convenientemente un intervalo en el que podemos prescindir del valor absoluto.

Ejemplo 2

Consideremos la ecuación 2x^6y' + 9x^8y^4 = 0, lo primero que debemos hacer es reescribir y' como un cociente de diferenciales \frac{dy}{dx}, de esta forma, reescribimos la ecuación de la siguiente manera

\displaystyle 2x^6\frac{dy}{dx} + 9x^8y^4 = 0

Haciendo un abuso de la notación, trabajaremos con los diferenciales de x y de y como si estos fueran factores reales, de esta forma podemos separar las variables de la siguiente forma

\displaystyle 2x^6\frac{dy}{dx} + 9x^8y^4 = 0

\displaystyle \Rightarrow \; 2x^6\frac{dy}{dx} = -9x^8y^4

\displaystyle \Rightarrow \; 2x^6dy = -9x^8y^4dx

\displaystyle \Rightarrow \; \frac{dy}{y^4} = \frac{-9x^8dx}{2x^6}

Notamos que todas las expresiones que involucran a y están del lado izquierdo de la ecuación y todas las expresiones que involucran a x están del lado derecho de la ecuación. Así, lo siguiente que haremos será integrar ambos lados de la ecuación

\displaystyle \int \frac{dy}{y^4} = \int -\frac{9x^2dx}{2}

Al calcular ambas integrales, generamos dos constantes provenientes de dos familias distintas de antiderivadas, sin embargo ambas son agrupadas en una constante C del lado derecho de la ecuación. Una vez calculadas las integrales, procedemos a despejar la variable y para obtener la función que estamos buscando.

\displaystyle \Rightarrow \; -\frac{1}{3y^3} = -\frac{9}{6} x^3 + C

\displaystyle \Rightarrow \; \frac{1}{3y^3} = \frac{3}{2} x^3 + C

\displaystyle \Rightarrow \; 3y^3 = \frac{1}{\frac{3}{2} x^3 + C}

\displaystyle \Rightarrow \; y^3 = \frac{1}{3\frac{3}{2} x^3 + C}

\displaystyle \Rightarrow \; y = \sqrt[3]{\frac{1}{\frac{9}{2} x^3 + C}}

Ejemplo 3

Consideremos la ecuación y' - x \textit{\Large e}^{x} = 0 con valor inicial y(0)=3, lo primero que debemos hacer es reescribir y' como un cociente de diferenciales \frac{dy}{dx}, de esta forma, reescribimos la ecuación de la siguiente manera

\displaystyle \frac{dy}{dx} - x \textit{\Large e}^{x} = 0

Haciendo un abuso de la notación, trabajaremos con los diferenciales de x y de y como si estos fueran factores reales, de esta forma podemos separar las variables de la siguiente forma

\displaystyle \frac{dy}{dx} = x \textit{\Large e}^{x} \; \Rightarrow \; dy = x \textit{\Large e}^{x} \ dx

Notamos que todas las expresiones que involucran a y están del lado izquierdo de la ecuación y todas las expresiones que involucran a x están del lado derecho de la ecuación. Así, lo siguiente que haremos será integrar ambos lados de la ecuación

\displaystyle \int dy = \int x \textit{\Large e}^{x} \ dx

Al calcular ambas integrales, generamos dos constantes provenientes de dos familias distintas de antiderivadas, sin embargo ambas son agrupadas en una constante C del lado derecho de la ecuación. Una vez calculadas las integrales, procedemos a despejar la variable y para obtener la función que estamos buscando.

\displaystyle y = x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} + C

Una vez que hemos calculado la solución general de esta ecuación diferencial, debemos encontrar la solución particular que cumple con el problema de valor inicial. Para esto, sustituimos los valores x=0 y y=3 en la solución general para posteriormente despejar C

\displaystyle y = x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} + C

\displaystyle \Rightarrow \; 3 = 0 \cdot \textit{\Large e}^{0} - \textit{\Large e}^{0} + C

\displaystyle \Rightarrow \; 3 = 0 - 1 + C

\displaystyle \Rightarrow \; 3 + 1 = C

\displaystyle \Rightarrow \; C = 4

De esta forma, concluimos que la solución que satisface el problema de valor inicial y(0)=3 es

\displaystyle y = x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} + 4

Ejemplo 4

Consideremos la ecuación 3xy' - 5y = 0 con valor inicial y(1)=2, lo primero que debemos hacer es reescribir y' como un cociente de diferenciales \frac{dy}{dx}, de esta forma, reescribimos la ecuación de la siguiente manera

\displaystyle 3x\frac{dy}{dx} - 5y = 0

Haciendo un abuso de la notación, trabajaremos con los diferenciales de x y de y como si estos fueran factores reales, de esta forma podemos separar las variables de la siguiente forma

\displaystyle 3x\frac{dy}{dx} = 5y

\displaystyle \Rightarrow \; 3x \ dy = 5y \ dx

\displaystyle \Rightarrow \; \frac{dy}{y} = \frac{5dx}{3x}

Notamos que todas las expresiones que involucran a y están del lado izquierdo de la ecuación y todas las expresiones que involucran a x están del lado derecho de la ecuación. Así, lo siguiente que haremos será integrar ambos lados de la ecuación

\displaystyle \int \frac{dy}{y} = \int \frac{5dx}{3x}

Al calcular ambas integrales, generamos dos constantes provenientes de dos familias distintas de antiderivadas, sin embargo ambas son agrupadas en una constante C del lado derecho de la ecuación. Una vez calculadas las integrales, procedemos a despejar la variable y para obtener la función que estamos buscando.

\displaystyle \ln(y) = \frac{5}{3} \ln(x) + C

\displaystyle \Rightarrow \; \textit{\Large e}^{\ln(y)} = \textit{\Large e}^{\frac{5}{3} \ln(x) + C}

\displaystyle \Rightarrow \; y = C x^{\frac{5}{3}}

Una vez que hemos calculado la solución general de esta ecuación diferencial, debemos encontrar la solución particular que cumple con el problema de valor inicial. Para esto, sustituimos los valores x=1 y y=2 en la solución general para posteriormente despejar C

\displaystyle y = C \cdot x^{\frac{5}{3}}

\displaystyle \Rightarrow \; 2 = C \cdot 1^{\frac{5}{3}}

\displaystyle \Rightarrow \; 2 = C \cdot 1

\displaystyle \Rightarrow \; C = 2

De esta forma, concluimos que la solución que satisface el problema de valor inicial y(1)=2 es

\displaystyle y = 2 x^{\frac{5}{3}}

Ecuaciones Diferenciales | totumat.com

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

El conjunto de todas las ecuaciones diferenciales es bastante amplio, es por esto que empezaremos su estudio desarrollando algunas de las técnicas para calcular la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, así que empecemos por definir este tipo de ecuaciones. Formalmente diremos que este tipo de ecuaciones se expresa de la siguiente forma

F(x,y,y')=0

Antes de abordar las técnicas básicas para calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales, veamos algunos ejemplos para aprender a identificarlas.

Ejemplos

Ejemplo 1

La ecuación diferencial y-y'=0 involucra sólo una variable independiente y la derivada de mayor orden involucrada es de primer orden, por lo tanto, concluimos que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

Ejemplo 2

La ecuación diferencial 2x^6y' + 9x^8y^4 = 0 involucra sólo una variable independiente y la derivada de mayor orden involucrada es de primer orden, por lo tanto, concluimos que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

Ejemplo 3

La ecuación diferencial 5y' - 20y = 30 involucra sólo una variable independiente y la derivada de mayor orden involucrada es de primer orden, por lo tanto, concluimos que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

Ejemplo 4

La ecuación diferencial 2x^2y' + 4xy = 7x^4 involucra sólo una variable independiente y la derivada de mayor orden involucrada es de primer orden, por lo tanto, concluimos que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

Ejemplo 5

La ecuación diferencial 6 y' \textit{\Large e}^{x} - 8y = \textit{\Large e}^{2x} involucra sólo una variable independiente y la derivada de mayor orden involucrada es de primer orden, por lo tanto, concluimos que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

Anthonny Arias-García2 comentarios
  1. Definición
  2. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
      3. Ejemplo 3
  3. Solución de una Ecuación Diferencial
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
      3. Ejemplo 3
      4. Ejemplo 4
  4. Problemas de Valor Inicial
    1. Teorema (de Existencia y Unicidad)
    2. Ejemplos
      1. Ejemplo 5
      2. Ejemplo 6
      3. Ejemplo 7
      4. Ejemplo 8

Definición

Definimos una ecuación diferencial como una expresión matemática que establece una relación entre una o más variables independientes; una o más variables dependientes; y las derivadas de estas variables dependientes a través de una igualdad.

También pudiera interesarte

Formalmente, considerando una variable independiente x y una variable que dependiente y, diremos que la siguiente expresión es una Ecuación Diferencial:

F \left( x,y,y',y'', \dots ,y^{(n)} \right)=0

De forma particular, si consideramos la siguiente relación

y - y' = 0

diremos que ésta es una ecuación diferencial.

Nuestro propósito será el de determinar qué función y es la que satisface esta igualdad y en este ejemplo, a simple vista podemos notar que y=\textit{\Large e}^x es una solución de esta ecuación diferencial pues \textit{\Large e}^x - \left( \textit{\Large e}^x \right)' = 0.

El estudio de las ecuaciones diferenciales tiene su base en el desarrollo de distintas técnicas para hallar la solución de distintas ecuaciones diferenciales y para esto debemos clasificarlas.

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de tres formas: Por tipo, por linealidad y por orden.

Por tipo: Si la ecuación diferencial involucra derivadas respecto a sólo una variable independiente, diremos que la ecuación diferencial es ordinaria. En otro caso, diremos que es una ecuación diferencial parcial.

Por linealidad: Una ecuación diferencial es lineal si ésta es lineal respecto a la variable dependiente y sus derivadas.

Por orden: El orden de una ecuación diferencial viene dada por la derivada de mayor orden que se encuentre involucrada en ésta.

A medida que aprendamos las técnicas para calcular soluciones de ecuaciones diferenciales, veremos otras formas de clasificarlas, por ahora consideremos algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales para determinar la clasificación que hemos visto.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la ecuación diferencial y - y' = 0 , entonces

  • Es ordinaria pues si consideramos y'=\frac{dy}{dx}, notamos que ésta sólo involucra la derivada de sólo una variable independiente.
  • Es lineal ya que el exponente de y y y' es exactamente igual a uno.
  • Es de primer orden porque la derivada de mayor orden es de primer orden.

Por lo tanto es una Ecuación Diferencial Ordinaria lineal de primer orden.

Ejemplo 2

Si consideramos la ecuación diferencial 3xy''' + 2x^4y^3 = 6x^3 , entonces

  • Es ordinaria pues ésta sólo involucra una variable independiente.
  • No es lineal ya que la variable dependiente y está elevada al cubo.
  • Es de tercer orden porque la derivada de mayor orden es de tercer orden.

Por lo tanto es una Ecuación Diferencial Ordinaria no lineal de tercer orden.

Ejemplo 3

Si consideramos la ecuación diferencial 5 \frac{\partial y}{\partial x } + 9 \frac{\partial y}{\partial z } = 6x^3y - 7z^5, entonces

  • Es parcial pues ésta involucra las derivadas respecto a más de una variable independiente.
  • Es lineal ya que el exponente de y, \frac{\partial y}{\partial x } y \frac{\partial y}{\partial z } es exactamente igual a uno.
  • Es de primer orden porque la derivada de mayor orden es de primer orden.

Por lo tanto es una Ecuación Diferencial Parcial lineal de primer orden.

Nota: Todas las ecuaciones diferenciales que consideraremos mientras estudiemos los aspectos básicos, serán Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, es por esto que siempre consideraremos y' = \frac{dy}{dx}, salvo que se indique otra variable dependiente u otra variable independiente.

Si te ha parecido útil la información que hemos presentado en totumat y quieres ayudar a mantener este sitio en línea puedes mirar nuestros anuncios publicitarios o donar dinero a través de PayPal.

Solución de una Ecuación Diferencial

Si consideramos la ecuación diferencial

F \left( x,y,y',y'', \ldots ,y^{(n)} \right)=0

Diremos que una función y_0 definida en un intervalo I con n derivadas continuas en el intervalo I es la solución de esta ecuación diferencial de n-ésimo orden, si esta satisface la igualdad planteada, es decir, tal que

F \left( x,y_0,y_0',y_0'', \ldots ,y_0^{(n)} \right)=0

Consideremos algunos ejemplos para que ilustrar esta idea con mayor claridad.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria y - y' = 0

La función y_0 = \textit{\Large e}^{x} es una solución de esta ecuación diferencial, pues

\displaystyle \textit{\Large e}^{x} - \left( \textit{\Large e}^{x} \right)' = \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} = 0

Diremos que esta es una solución particular pues debemos notar que y_0 no es la única solución, si consideramos y_1 = 3 \textit{\Large e}^{x}, esta también es una solución particular, ya que

\displaystyle 3\textit{\Large e}^{x} - \left( 3\textit{\Large e}^{x} \right)' = 3\textit{\Large e}^{x} - 3\textit{\Large e}^{x} = 0

De forma general, si consideramos y = C \cdot \textit{\Large e}^{x} para cualquier constante real C diremos que este tipo de solución es una solución general de la ecuación diferencial.

Ejemplo 2

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria xy' - 2y = 0

La función y_0 = x^2 es una solución de esta ecuación diferencial, pues

\displaystyle x(x^2)' - 2(x^2) = x(2x) - 2x^2 = x^2 - x^2 = 0

Diremos que esta es una solución particular pues debemos notar que y_0 no es la única solución, si consideramosy_1 = -5x^2, esta también es una solución particular, ya que

\displaystyle x(-5x^2)' - 2(-5x^2) = x(-10x) +10x^2 = -10x^2 + 10x^2 = 0

De forma general, si consideramos y = C \cdot x^2 para cualquier constante real C diremos que esta es la solución general de la ecuación diferencial.

Ejemplo 3

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria y' - x \textit{\Large e}^{x} = 0.

La función y_0 = x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} es una solución de esta ecuación diferencial, pues

\displaystyle \left( x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} \right)' - x \textit{\Large e}^{x} = \left( \textit{\Large e}^{x} + x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} \right) - x\textit{\Large e}^{x} = 0

Diremos que esta es una solución particular pues debemos notar que y_0 no es la única solución, si consideramos y_1 = x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} + 1, esta también es una solución particular, ya que

\displaystyle \left( x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} + 1 \right)' - x \textit{\Large e}^{x} = \left( \textit{\Large e}^{x} + x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} \right) - x\textit{\Large e}^{x} = 0

De forma general, si consideramos x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} + C para cualquier constante real Cdiremos que esta es la solución general de la ecuación diferencial.

Ejemplo 4

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria xy' + y = 0

La función y_0 = \frac{1}{x} es una solución de esta, pues

\displaystyle x\left( \frac{1}{x} \right)' + \frac{1}{x} = x\left(-\frac{1}{x^2} \right) + \frac{1}{x} = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} = 0

Diremos que esta es una solución particular pues debemos notar que la pena notar que y_0 no es la única solución, si consideramos y_1 = \frac{2}{x}, esta también es una solución particular, ya que

\displaystyle x\left( \frac{2}{x} \right)' + \frac{2}{x} = x\left( -\frac{2}{x^2} \right) + \frac{2}{x} = - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} = 0

De forma general, si consideramos \frac{C}{x} para cualquier constante real C diremos que esta es la solución general de la ecuación diferencial.

Tomando en cuenta los ejemplos expuestos, las soluciones de los primeros ejemplos están definidas para todos los números reales, sin embargo, esto no ocurre al considerar las soluciones de xy' + y = 0 pues particularmente, la función y_0 = \frac{1}{x} no está definida cuando x=0. En este último caso, los intervalos (-\infty,0) y (0,+\infty) son los intervalos más grandes donde la solución está definida.

Entonces, es importante mencionar que al calcular la solución de una ecuación diferencial, por definición, esta debe estar definida en intervalos, es por esto que siempre consideraremos el mayor intervalo donde la solución y sus derivadas están definidas.

Si te ha parecido útil la información que hemos presentado en totumat y quieres ayudar a mantener este sitio en línea puedes mirar nuestros anuncios publicitarios o donar dinero a través de PayPal.

Problemas de Valor Inicial

Hay ecuaciones diferenciales cuya solución está condicionada sobre un punto, este tipo de condiciones es llamado problemas de condición inicial. Formalmente, diremos que la ecuación diferencial tiene un problema de valor inicial si la solución debe cumplir con la condición y(x_0) = y_0. Sin embargo, ¿cómo sabemos que en efecto podemos encontrar la solución de una ecuación que cumpla con esa condición? A continuación veremos un teorema que nos permitirá determinar si una ecuación diferencial con un problema de valor inicial tiene solución.

Teorema (de Existencia y Unicidad)

Considerando una ecuación diferencial de la forma \frac{dy}{dx} = f(x,y) y R una región rectangular en el plano XY que contiene al punto (x_0,y_0) en su interior, definida por

a \leq x \leq b \ \text{ y } \ c \leq y \leq d

Si f(x,y) y \frac{\partial f}{\partial y} son funciones continuas en la región R, entonces existe un intervalo I_0 centrado en x_0 contenido en [a,b] y una única función y(x), definida en el intervalo I_0 que es solución del problema de valor inicial y(x_0) = y_0.

Las ecuaciones diferenciales que consideraremos de aquí en adelante cumplirán con las condiciones del Teorema de Existencia y Unicidad salvo que se diga lo contrario, sin embargo, siempre es importante verificar que se cumplan las condiciones antes de empezar a calcular la solución de una ecuación diferencial.

Ejemplos

Ejemplo 5

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria y - y' = 0 con problema de valor inicial y(0)=1, esta ecuación cumple con las condiciones del teorema de existencia y unicidad, pues

y' = y \Rightarrow \frac{dy}{dx} = f(x,y) = y \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y} = 1

Así, f(x,y) y \frac{\partial f}{\partial y} son funciones continuas en cualquier región R del plano XY, existe un intervalo I_0 centrado en x_0 = 0 y una única función y(x), definida en el intervalo I_0 que es solución de la ecuación diferencial con problema de valor inicial y(0) = 1.

Particularmente la función y = \textit{\Large e}^{x} es una solución de esta ecuación diferencial que satisface la condición dada por el valor inicial, pues

y(0) = \textit{\Large e}^{0} = 1

Ejemplo 6

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria xy' - 2y = 0 con problema de valor inicial y(2)=4, esta ecuación cumple con las condiciones del teorema de existencia y unicidad, pues

xy' - 2y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = f(x,y) = \frac{2y}{x} \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2}{x}

Así, considerando que x_0=2, f(x,y) y \frac{\partial f}{\partial y} son funciones continuas en cualquier región R del plano XY tal que 0 < x < b (b > 2), existe un intervalo I_0 centrado en x_0 = 2 y una única función y(x), definida en el intervalo I_0 que es solución de la ecuación diferencial con problema de valor inicial y(2) = 4.

Particularmente la función y = x^2 es una solución de esta ecuación diferencial que satisface la condición dada por el valor inicial, pues

y(2) = (2)^2 = 4

Si te ha parecido útil la información que hemos presentado en totumat y quieres ayudar a mantener este sitio en línea puedes mirar nuestros anuncios publicitarios o donar dinero a través de PayPal.

Ejemplo 7

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria y' - x \textit{\Large e}^{x} = 0 con problema de valor inicial y(1)=0, esta ecuación cumple con las condiciones del teorema de existencia y unicidad, pues

y' - x \textit{\Large e}^{x} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = f(x,y) = x \textit{\Large e}^{x} \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y} = 0

Así, f(x,y) y \frac{\partial f}{\partial y} son funciones continuas en cualquier región R del plano XY, existe un intervalo I_0 centrado en x_0 = 1 y una única función y(x), definida en el intervalo I_0 que es solución de la ecuación diferencial con problema de valor inicial y(1) = 0.

Particularmente la función y = x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} es una solución de esta ecuación diferencial que satisface la condición dada por el valor inicial, pues

y(0) = (1) \textit{\Large e}^{1} - \textit{\Large e}^{1} = 0

Ejemplo 8

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria xy' + y = 0 con problema de valor inicial y(1)=1, esta ecuación cumple con las condiciones del teorema de existencia y unicidad, pues

xy' + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = f(x,y) = -\frac{y}{x} \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{1}{x}

Así, considerando que x_0=1, f(x,y) y \frac{\partial f}{\partial y} son funciones continuas en cualquier región R del plano XY tal que 0 < x < b (b > 1), existe un intervalo I_0 centrado en x_0 = 1 y una única función y(x), definida en el intervalo I_0 que es solución de la ecuación diferencial con problema de valor inicial y(1) = 1.

Particularmente la función y = \frac{1}{x} es una solución de esta ecuación diferencial que satisface la condición dada por el valor inicial, pues

y(1) = \frac{1}{1} = 1