Axiomas Algebraicos de los Números Reales

Entre los números reales podemos hacer todas las operaciones que ya hemos aprendido al definir los números naturales, enteros y racionales, estas operaciones son: suma, resta, multiplicación y división. Pero, al presentarse los números reales como un contexto más general, es necesario formalizar la forma en que podemos efectuar estas operaciones.

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Axiomas Algebraicos

Los Axiomas Algebraicos de los Números Reales usualmente se conocen como propiedades de los números reales y para enunciarlos, consideremos $a$ , $b$ y $c$ números reales.

Axiomas para la suma

El conjunto de los números reales es cerrado bajo la suma: $a+b$ es un número real.
Propiedad conmutativa: $a + b = b + a$
Propiedad asociativa: $a + (b + c) = (a + b)+c$
Elemento neutro: Existe un único número que llamaremos cero denotado por 0, tal que $a + 0 = 0 + a = a$
Opuesto aditivo: Para todo número real a, existe un número real -a tal que al sumarlos, obtenemos como resultado el número 0, es decir, $a + (-a) = (-a) + a = 0$

Veamos ahora que existe cierta dualidad entre la suma y el producto, pues hay propiedades parecidas pero en el contexto del producto como se presentan a continuación:

Axiomas para el producto

El conjunto de los números reales es cerrado bajo el producto: $a \cdot b$ es un número real.
Propiedad conmutativa: $a \cdot b = b \cdot a$
Propiedad asociativa: $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$
Elemento neutro: Existe un único número que llamaremos uno denotado por 1, tal que $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$
Inverso multiplicativo: Para todo número real $a \neq 0$ , existe un número real $a^{-1}$ tal que al multiplicarlos, obtenemos como resultado el número 1, es decir, $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1$
Elemento nulo: Existe un único número que llamaremos cero denotado por 0, tal que $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$

Finalmente, veamos una propiedad que involucra la suma y la multiplicación al mismo tiempo.

Propiedad Distributiva

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Si consideramos esta igualdad en el sentido de izquierda a derecha, podemos notar que hemos distribuimos el factor en una suma.

Sin embargo, en el sentido de derecha a izquierda, podemos notar que al ser $a$ un factor común en ambos sumandos, haremos algo que se conoce como sacar el factor común, es decir,

$a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$

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Axiomas de Orden

Existen otros axiomas que cohesionan con mayor fuerza el conjunto de los números reales, particularmente, Ley de Tricotomía define una parte de los Axiomas de Orden de los números reales estableciendo una relación entre dos números reales.

Ley de Tricotomía

Formalmente, si $a$ y $b$ son números reales, entonces se cumple sólo una de las siguientes:

1.- a es igual a b, es decir, $a = b$ . Gráficamente tenemos que a y b se encuentran en el mismo punto de la recta real.

a es igual a b

2.- a es menor que b, es decir, $a < b$ . Gráficamente tenemos que a se encuentra a la izquierda de b de la recta real.

a es menor que b

3.- a es mayor que b, es decir, $a > b$ . Gráficamente tenemos que a se encuentra a la derecha de b de la recta real.

a es mayor que b

Números positivos y números negativos

Las relaciones entre cualquier número real y el número cero son muy particulares, pues el cero de cierta forma parte la recta real en dos partes, a una parte la llamaremos el Conjunto de los Reales Positivos y a la otra parte la llamaremos El Conjunto de los Reales Negativos. Entonces si $a$ es un número real, tendremos que:

Si $a > 0$ , diremos que $a$ es un número positivo.
Si $a < 0$ , diremos que $a$ es un número negativo.

Gráficamente, diremos que los números positivos están a la derecha del cero y los números negativos están a la izquierda del cero. Entonces, al trazar la recta real, siempre indicaremos con una flecha el sentido en el que se encuentran los números positivos.

Transitividad

Consideremos tres números reales $a$ , $b$ y $c$ . Si $a$ es menor que $b$ y a su vez, $b$ es menor que $c$ , podemos asegurar que $a$ es menor que $c$ , es decir,

$a < b$ y $b < c$ , entonces $a < c$

Orden de la suma

Consideremos tres números reales $a$ , $b$ y $c$ . Si $a$ es menor que $b$ y sumamos $c$ a $a$ y a $b$ , entonces se preserva el orden de estas sumas, es decir,

$a < b$ , entonces $a +c < b + c$

Orden del producto

Consideremos tres números reales $a$ , $b$ y $c$ . Si $a$ es menor que $b$ y multiplicamos por un número positivo $c$ a $a$ y a $b$ , entonces se preserva el orden de la suma, es decir,

$a < b$ y $c > 0$ , entonces $a +c < b + c$

9 comentarios en “Axiomas Algebraicos de los Números Reales”

El producto notable – totumat dice:

29.02.2020 a las 3:00 pm

[…] producto notable es un caso particular de la propiedad distributiva que nos da como resultado el trinomio cuadrado perfecto y establece que, si y son dos números […]

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Función Inversa – totumat dice:

25.01.2020 a las 6:08 am

[…] como una nueva operación entre funciones y ésta tendrá propiedades tal como lo tienen las propiedades de suma, resta, multiplicación y división. Si consideramos , y funciones, veamos cuales son […]

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