Al estudiar la Ley de Tricotomía en los números reales, pudimos establecer tres tipos de relaciones entre un par de números reales, con las ecuaciones estudiamos la relación que existe cuando dos números eran iguales. Ahora, ¿qué relación existe cuando dos números no son iguales? Cuando dos números no iguales, podemos decir que estos son desiguales. Veamos entonces los tipos de desigualdad que podemos encontrar:

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Tipos de Desigualdades

Mayor que

La desigualdad mayor que se denota con el símbolo $>$ y relaciona dos números reales indicando que el primero es mayor que el segundo. Por ejemplo:

$10 > 8$ , se lee diez es mayor que ocho.
$3 > -9$ , se lee tres es mayor que menos nueve.
$-5 > -16$ , se lee menos quince es mayor que menos dieciséis.

Mayor o igual que

La desigualdad mayor o igual que se denota con el símbolo $\geq$ y relaciona dos números reales indicando que el primero es mayor que el segundo pero también dejando la posibilidad de que sean iguales. Por ejemplo:

$7 \geq 4$ , se lee siete es mayor o igual que cuatro.
$10 \geq -7$ , se lee diez es mayor o igual que menos siete.
$-1 \geq -4$ , se lee menos uno es mayor o igual que menos cuatro.
$3 \geq 3$ , se lee tres es mayor o igual que tres.
$-8 \geq -8$ , se lee menos ocho es mayor o igual que menos ocho.

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Menor que

La desigualdad menor que se denota con el símbolo $<$ y relaciona dos números reales indicando que el primero es menor que el segundo. Por ejemplo:

$2 < 5$ , se lee dos es menor que 5.
$-13 < 0$ , se lee menos trece es menor que cero.
$-6 < -2$ , se lee menos seis es menor que menos dos.

Menor o igual que

La desigualdad menor o igual que se denota con el símbolo $\leq$ y relaciona dos números reales indicando que el primero es menor que el segundo pero también dejando la posibilidad de que sean iguales. Por ejemplo:

$11 \leq 20$ , se lee diez es menor o igual que veinte.
$-3 \leq 14$ , se lee menos tres es menor o igual que catorce.
$-22 \leq -9$ , se lee menos veintidós es menor o igual que menos nueve.
$6 \leq 6$ , se lee seis es menor o igual que seis.
$-10 \leq -10$ , se lee menos diez es menor o igual que menos diez.

Conociendo los tipos de desigualdades y viendo que podemos establecer relaciones entre números reales, podemos ir más allá y establecer relaciones entre números representados con una incógnita, esto lo haremos planteando inecuaciones.

Ejercicios Propuestos de Ecuaciones e Inecuaciones

02.10.202001.08.2023 Anthonny Arias-García1 comentario

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Ecuaciones Lineales

Calcule el valor de x que satisface las siguientes ecuaciones, haciendo paso a paso cada una de las operaciones.

$x + 6 = 9$
$x - 9 = 6$
$7x + 1 = 10$
$5x - 4 = 5$

$2 + 1x = 3$
$7 - 6x = 10$
$3 + 1x = 8$
$2 - 8x = 9$

$1 + 1x = 8 + 8x$
$2 - 8x = 2 + 2x$

Ecuaciones con Valor Absoluto

Calcule los valores de x que satisfacen las siguientes ecuaciones con valor absoluto, haciendo paso a paso cada una de las operaciones.

$| x + 9 | = 7$
$| x - 9 | = 4$
$| 8x + 1 | = 5$
$| 5x - 10 | = 2$

$| 3 + 5x | = 7$
$| 5 - 4x | = 7$
$| 7 - 4x | = 5x$
$| -7 + 4x | = -7x$

$| 3 + 8x | = 8 + 4x$
$| 5 - 9x | = 10 + 10x$

Inecuaciones Lineales

Calcule los valores de x que satisfacen las siguientes ecuaciones, expresando la solución gráficamente en la recta real y de forma compresiva como intervalos, haciendo paso a paso cada una de las operaciones.

$x + 6 < 5$
$x + 1 < 7$
$x - 2 > 4$
$x - 3 > 8$

$11 - x \geq 54$
$25 - x \geq 12$
$32 - x \leq 71$
$41 - x \leq 96$

$2x + 6 < 15$
$8x + 1 < 27$
$32 - 5x \leq -71$
$41 - 6x \leq -96$

$25 < x + 102 < 300$
$45 < x + 65 < 78$
$78 \geq x + 45 > -255$
$12 \geq x + 20 > -39$

$45 < -x + 10 \leq 50$
$10 < -x + 2 \leq 21$
$-78 \geq 2x + 45 \geq -255$
$-12 \geq 5x + 20 \geq -39$

$45 \leq 4 - 3x \leq 50$
$10 \leq 5 - 5x \leq 21$

Inecuaciones con Valor Abosluto

$|x + 3| < 8$
$|x + 2| < 4$
$|x - 7| > 1+x$
$|x - 6| > 5-x$

$|41 - x| \geq x+96$
$|32 - x| \geq x-71$
$|25 - x| \leq 12x+4$
$|11 - x| \leq 54x+3$

$|6x + 3| < 88+45x$
$|10x + 2| > 74+13x$
$|25 - 7x| \leq 12x-12$
$|11 - 8x| \geq 23x-54$

Inecuaciones de grado mayor que dos

Calcule los valores de $x$ que satisfacen las siguientes ecuaciones, expresando la solución gráficamente en la recta real, de forma comprensiva y como intervalos, haciendo paso a paso cada una de las operaciones. Factorice los polinomios utilizando el método que sea más adecuado.

$x \left(x + 9\right) > 0$
$\left(x - 5\right) \left(x - 1\right) \leq 0$
$x \left(x - 4\right) \left(x + 4\right) < 0$
$\left(x - 5\right) \left(x - 3\right) \left(x + 5\right) > 0$

$\left(x - 4\right) \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 5\right) > 0$
$\left(x - 2\right) \left(x + 7\right) \left(x + 9\right)^{2} \geq 0$
$x^{2} - 9 x < 0$
$x^{2} - 5 x + 4 > 0$

$x^{3} - x^{2} - 20 x < 0$
$x^{3} - 12 x^{2} - x + 252 \geq 0$
$x^{4} + x^{3} - 24 x^{2} + 36 x \geq 0$
$x^{4} - 11 x^{3} - x^{2} + 275 x - 600 \leq 0$

Aplicaciones a la Economía

Utilidad

Una charcutería produce carne de res para el cual el costo variable por unidad es de 14 Ps. y el costo fijo de 67782 Ps. Cada unidad tiene un precio de venta de 92 Ps. Determine el número de artículos que deben venderse para obtener una utilidad de 66936 Ps.
Una panadería produce pan canilla para el cual el costo variable por unidad es de 29 Ps. y el costo fijo de 68046 Ps. Cada unidad tiene un precio de venta de 43 Ps. Determine el número de artículos que deben venderse para obtener una utilidad de 50077 Ps.
Una Fábrica de Cerámica produce porcelanato para el cual el costo variable por unidad es de 19 Ps. y el costo fijo de 63023 Ps. Cada unidad tiene un precio de venta de 63 Ps. Determine el número de artículos que deben venderse para obtener una utilidad de 83250 Ps.
Una confitería produce chupetas de cereza para el cual el costo variable por unidad es de 21 Ps. y el costo fijo de 98393 Ps. Cada unidad tiene un precio de venta de 33 Ps. Determine el número de artículos que deben venderse para obtener una utilidad de 90355 Ps.

Precio

Una tienda de deportes produce zapatos para correr y planea vender una nueva gama a las tiendas minoristas. El costo para ellos será de 11 Ps. por unidad. Para mayor comodidad del minorista, la tienda de deportes fijará el precio de cada unidad de zapatos para correr previamente. ¿Qué cantidad debe fijarse de modo que el minorista pueda reducir este precio en un 2% durante una venta y aún obtener una ganancia de 68% sobre el costo?
Una compañía de telefónica produce teléfonos Android y planea vender una nueva gama a las tiendas minoristas. El costo para ellos será de 19 Ps. por unidad. Para mayor comodidad del minorista, la compañía de telefónica fijará el precio de cada unidad de teléfonos Android previamente. ¿Qué cantidad debe fijarse de modo que el minorista pueda reducir este precio en un 5% durante una venta y aún obtener una ganancia de 99% sobre el costo?
Una tienda de electrodomésticos produce licuadoras y planea vender una nueva gama a las tiendas minoristas. El costo para ellos será de 36 Ps. por unidad. Para mayor comodidad del minorista, la tienda de electrodomésticos fijará el precio de cada unidad de licuadoras previamente. ¿Qué cantidad debe fijarse de modo que el minorista pueda reducir este precio en un 27% durante una venta y aún obtener una ganancia de 78% sobre el costo?
Una confitería produce caramelos de anís y planea vender una nueva gama a las tiendas minoristas. El costo para ellos será de 31 Ps. por unidad. Para mayor comodidad del minorista, la confitería fijará el precio de cada unidad de caramelos de anís previamente. ¿Qué cantidad debe fijarse de modo que el minorista pueda reducir este precio en un 33% durante una venta y aún obtener una ganancia de 51% sobre el costo?

Inversión

Se invirtió un total de 14205 en acciones de dos compañías, A y B. Al final del primer año, A y B tuvieron rendimientos de 10% y 2%, respectivamente, sobre las inversiones originales. ¿Cuál fue la cantidad original asignada a cada empresa, si la utilidad total fue de 486 Ps.?
Se invirtió un total de 34120 en acciones de dos compañías, A y B. Al final del primer año, A y B tuvieron rendimientos de 10% y 9%, respectivamente, sobre las inversiones originales. ¿Cuál fue la cantidad original asignada a cada empresa, si la utilidad total fue de 321 Ps.?
Se invirtió un total de 28526 en acciones de dos compañías, A y B. Al final del primer año, A y B tuvieron rendimientos de 3% y 6%, respectivamente, sobre las inversiones originales. ¿Cuál fue la cantidad original asignada a cada empresa, si la utilidad total fue de 801 Ps.?
Se invirtió un total de 30472 en acciones de dos compañías, A y B. Al final del primer año, A y B tuvieron rendimientos de 6% y 1%, respectivamente, sobre las inversiones originales. ¿Cuál fue la cantidad original asignada a cada empresa, si la utilidad total fue de 155 Ps.?

Inecuaciones Polinómicas y la Tabla de Análisis de Signos

05.12.201908.01.2023 Anthonny Arias-García4 comentarios

Para calcular la solución de una inecuación lineal basta con usar las técnicas despeje que normalmente se usan para calcular una ecuación lineal, y como resultado, generalmente obtenemos un conjunto infinito de número.

Para calcular la solución de una inecuación cuadrática, factorizamos el polinomio cuadrático y recurrimos a la Ley de los Signos, para analizar los dos casos posibles a partir del signo de cada factor involucrado.

Para calcular la solución de una inecuación polinómica, también recurriremos a la factorización de polinomios, sin embargo, el análisis de cada caso puede ser engorroso pues a medida que aumentan los factores, también aumentan los casos. Es por esto, que recurriremos a una herramienta que nos permita analizar el signo del polinomio de una forma global.

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¿Qué es una inecuación polinómica?

Una inecuación polinómica, es una inecuación que involucra a una una potencia de la variable $x$ . Formalmente, si consideramos un conjunto de $n$ números reales $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_2, a_1, a_0$ , definimos una inecuación polinómica como una inecuación que se puede expresar de la siguiente forma:

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 > 0$

Donde « $>$ » representa cualquier desigualdad $>$ , $\geq$ , $<$ ó $\leq$ .

Si definimos $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ , entonces podemos expresar una inecuación polinómica de la siguiente forma:

$P(x) > 0$

La Tabla de Análisis de Signos

La técnica que usaremos para calcular la solución de este tipo de inecuaciones, consiste en calcular las raíces del polinomio $P(x)$ , factorizarlo a partir de sus raíces y posteriormente, analizar el signo de cada factor a lo largo de cada número real, es decir, para qué valores de $x$ cada factor es positivo o negativo.

En los siguientes ejemplos explicaremos cómo usar una Tabla de Análisis de Signos o simplemente Tabla de Signos (coloquialmente conocida como el método del cementerio o método de las cruces) para calcular la solución de inecuaciones polinómicas.

La tabla de análisis de signos está basada en el Teorema de Sturm, que en términos llanos, permite determinar la cantidad de raíces de un polinomio en un intervalo a partir de la cantidad de veces que varía el signo de dicho polinomio en dicho intervalo.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad:

$x^3 + 2x^2 - x - 2 > 0$

El primero paso será calcular las raíces del polinomio $P(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2$ , Esto lo haremos usando el Método de Ruffini de la siguiente forma:

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio $P(x)$ son $x_1=1$ , $x_2=-1$ y $x_3=-2$ .

A partir de dichas raíces, podemos factorizar el polinomio como sigue:

$P(x) = (x-1)(x-(-1))(x-(-2)) = (x-1)(x+1)(x+2)$

Nuestro propósito será el de determinar el signo de cada uno de los factores involucrados entre los intervalos $(-\infty,-2)$ , $(-2,-1)$ , $(-1,1)$ y $(1,+\infty)$ . Para esto disponemos en la recta real cada una de las raíces del polinomio, $-\infty$ y $+\infty$ de forma ordenada:

Construcción de una Tabla de Signos | totumat.com

Debajo de cada una de las raíces del polinomio, $-\infty$ y $+\infty$ se trazan rectas verticales; y además se trazan cuatro renglones, siendo uno para cada factor y uno adicional para el polinomio $P(x)$ :

En estos renglones se disponen los factores $(x-1)$ , $(x+1)$ , $(x+2)$ y el polinomio $P(x)$ , de la siguiente forma:

Ubicamos en la tabla valor de $x$ para el cual se anula el primer factor, es decir, el valor de $x$ para el cual $x-1 = 0$ . Este valor es $1$ y concluimos lo siguiente:

Para los valores de $x$ menores que $1$ , el factor $(x-1)$ es negativo.
Para los valores de $x$ mayores que $1$ , el factor $(x-1)$ es positivo.

Ubicamos en la tabla valor de $x$ para el cual se anula el segundo factor, es decir, el valor de $x$ para el cual $x+1 = 0$ . Este valor es $-1$ y concluimos lo siguiente:

Para los valores de $x$ menores que $-1$ , el factor $(x-1)$ es negativo.
Para los valores de $x$ mayores que $-1$ , el factor $(x-1)$ es positivo.

Ubicamos en la tabla valor de $x$ para el cual se anula el tercer factor, es decir, el valor de $x$ para el cual $x+2 = 0$ . Este valor es $-2$ y concluimos lo siguiente:

Para los valores de $x$ menores que $-2$ , el factor $(x-1)$ es negativo.
Para los valores de $x$ mayores que $-2$ , el factor $(x-1)$ es positivo.

Para cada intervalo $(-\infty,-2)$ , $(-2,-1)$ , $(-1,1)$ y $(1,+\infty)$ el signo de $P(X)$ está definido por el producto de los factores $(x-1)$ , $(x+1)$ y $(x+2)$ . De esta forma, multiplicamos los signos de los factores de cada columna:

En la primera columna $(-) \cdot (-) \cdot (-) = -$
En la segunda columna $(-) \cdot (-) \cdot (+) = +$
En la tercera columna $(-) \cdot (+) \cdot (+) = -$
En la cuarta columna $(+) \cdot (+) \cdot (+) = +$

Por lo tanto, nuestra Tabla de Análisis de Signos queda expresada de la siguiente forma:

Finalmente, concluimos que la desigualdad planteada en $x^3 + 2x^2 - x - 2 > 0$ se satisface para los valores de $x$ que pertenecen al intervalo $(-2,-1)$ o al intervalo $(1,+\infty)$ , entonces la solución general de la inecuación está definida por la siguiente unión de intervalo:

$(-2,-1) \cup (1,+\infty)$

Ejemplo 2

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad:

$-2x^3 - 10x^2 + 4x + 48 \leq 0$

Lo primero que debemos notar es que podemos sacar $-2$ como un factor en el polinomio $P(x) = -2x^3 - 10x^2 + 4x + 48$ . De esta forma, obtenemos la siguiente expresión:

$-2 \cdot (x^3 + 5x^2 - 2x - 24) \leq 0$

El siguiente paso será calcular las raíces del polinomio $x^3 + 5x^2 - 2x - 24$ , Esto lo haremos usando el Método de Ruffini, como sigue:

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio $P(x)$ son $x_1=2$ , $x_2=-3$ y $x_3=-4$ .

A partir de dichas raíces, podemos factorizar el polinomio como sigue:

$P(x) = -2(x-2)(x-(-3))(x-(-4)) = -2(x-2)(x+3)(x+4)$

Nuestro propósito será el de determinar el signo de cada uno de los factores involucrados entre los intervalos $(-\infty,-4]$ , $[-4,-3]$ , $[-3,2]$ y $[2,+\infty]$ . Para esto disponemos en la recta real cada una de las raíces del polinomio, $-\infty$ y $+\infty$ de forma ordenada.

Es importante tomar en cuenta que $-2$ es un factor negativo constante, así, nuestra tabla de análisis de signo quedará expresada de la siguiente forma:

Finalmente, concluimos que la desigualdad planteada en la inecuación $-2x^3 - 10x^2 + 4x + 48 \leq 0$ se satisface para los valores de $x$ que pertenecen al intervalo $[-4,-3]$ o al intervalo $[2,+\infty)$ , entonces la solución general de la ecuación es:

$[-4,-3] \cup [2,+\infty)$

Memes relacionados

Cuando le llamas «Tabla de Análisis de Signos» en vez de «el método del cementerio».

Inecuaciones con Valor Absoluto, caso: «menor que»

03.12.201907.01.2023 Anthonny Arias-García5 comentarios

Caso: «Menor que»
1. Ejemplos

Caso: «Menor que»

Al definir el valor absoluto de un número real, hemos visto que es igual a la distancia entre dicho número y el número cero. Partiendo de esta definición, pudimos definir ecuaciones que involucran el valor absoluto de una variable.

De forma que si queremos determinar todos los números que cuya distancia entre cuya distancia a cero es igual a $4$ , entonces planteamos la siguiente ecuación: $|x| = 4$ y finalmente, determinamos que estos números son $4$ y $-4$ .

Pero, ¿y si queremos determinar todos los números cuya distancia a cero es menor que $4$ ? Para dar respuesta a esta pregunta, podemos plantear la siguiente inecuación:

$|x| < 4$

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Entonces, ¿qué números satisfacen dicha inecuación? Podemos tantear las respuestas, por ejemplo: el número $5$ no la satisface, pues $|5|=5$ y $5$ no es menor que $4$ . Así podemos probar con los números $6$ , $7$ u $8$ pero ninguno de estos números satisface la inecuación.

Sin embargo, si consideramos $3$ , $2$ , $1$ o $0$ podemos ver que estos números sí satisfacen la inecuación y en general pudiéramos decir que cualquier número menor que $4$ satisface la inecuación pero, ¿será correcta esta afirmación?

La respuesta es no, pues si consideramos $-5$ , $-6$ o $-8$ entonces estos números tampoco satisfacen la inecuación. Sin embargo, si consideramos $-3$ , $-2$ o $-1$ , estos números sí satisfacen la inecuación.

Razonando de esta forma, podemos concluir que cualquier número que sea menor que $4$ y mayor que $-4$ al mismo tiempo, satisface la inecuación $|x| < 4$ . Gráficamente, podemos representar todos estos números en la recta real de la siguiente forma:

Nota: al representar gráficamente los números menores que $4$ , los hemos dibujado de color azul con sentido noreste. Por otra parte, al representar gráficamente los números mayores que $-4$ , los hemos dibujado de color azul con sentido noroeste.

De esta forma, podemos distinguir con claridad cuál es la intersección entre estos dos intervalos.

En general, diremos que al considerar una inecuación de la forma $|x| < a$ , donde $a$ es un número real; la solución viene dada por todos los números que son menores que $a$ y todos los números que son mayores que $a$ al mismo tiempo, formalmente se puede calcular la solución planteando la siguiente equivalencia:

$\Large \left| x \right| < a \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} x < a \\ \text{y} \\ x > -a \end{array} } \right.$