Inecuaciones (1 de 2)

¿Qué es una desigualdad?

Al estudiar la Ley de Tricotomía en los números reales, pudimos establecer tres tipos de relaciones entre un par de números reales, con las ecuaciones estudiamos la relación que existe cuando dos números eran iguales. Ahora, ¿qué relación tendrán cuando dos números no son iguales? Cuando dos números no iguales, podemos decir que estos son desiguales. Veamos entonces los tipos de desigualdad que podemos encontrar:

La desigualdad mayor que se denota con el símbolo > y relaciona dos números reales determinando cual es mayor que el otro. Por ejemplo:
10 > 8, esto se lee diez es mayor que ocho.
3 > -9, esto se lee tres es mayor que menos nueve.

La desigualdad mayor o igual que se denota con el símbolo \geq y relaciona dos números reales determinando cual es mayor que el otro pero también dejando la posibilidad de que sean iguales. Por ejemplo:
7 \geq 4, esto se lee siete es mayor o igual que cuatro.
3 \geq 3, eso se lee tres es mayor o igual que tres.

La desigualdad menor que se denota con el símbolo < y relaciona dos números reales determinando cual es menor que el otro. Por ejemplo:
2 < 5, esto se lee dos es menor que 5.
-13 < 0, esto se lee menos trece es menor que cero.

La desigualdad menor o igual que se denota con el símbolo \leq y relaciona dos números reales determinando cual es menor que el otro pero también dejando la posibilidad de que sean iguales. Por ejemplo:
11 \leq 20, esto se lee diez es menor o igual que veinte.
6 \leq 6, eso se lee seis es menor o igual que seis.

Conociendo los tipos de desigualdades y viendo que podemos establecer relaciones entre números reales, vamos más allá y establecer relaciones entre números que no conocemos, para esto planteamos inecuaciones.

¿Qué son las inecuaciones?

Suponga que usted va al supermercado a comprar queso pero debe comprar menos de un kilo porque el dinero no le alcanza, la persona que vende el queso le corta un trozo que pesa un tercio de kilo pero a usted le gustaría un poco más. ¿Cuánto más queso debería cortar de modo que sea menos de un kilo?

Esta situación se puede plantear como una ecuación de la siguiente manera:

un tercio más equis es menor que uno

Podemos tantear la situación para determinar cual es el valor de x que satisface esta desigualdad, sin embargo, podemos desarrollar un método para determinar este valor mediante las operaciones entre números reales tal como lo hicimos cuando calculamos la solución de ecuaciones.

Partiendo del hecho que \frac{1}{3} + x < 1 es equivalente a x + \frac{1}{3} < 1, la operación que primero se nos viene a la mente es pasar el un tercio restado al otro lado de la desigualdad, recordando que en realidad lo que está pasando es que estamos restando un tercio en ambos lados de la ecuación, pero, ¿se mantiene la desigualdad si restamos un número real en ambos lados la ecuación?

La respuesta es sí. Pues si usted tiene un kilo de queso en una nevera y un tercio de kilo en un plato, hay menos queso en el plato que en la nevera; y si de ambos toma un tercio, en la nevera aún habrá más que en el plato. Entonces,

x + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} < 1 - \frac{1}{3} \Rightarrow x + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} < 1 - \frac{1}{3}  \Rightarrow x  < \frac{2}{3}

Esto quiere decir que la persona que vende el queso debe cortar menos de dos tercios de kilo para que su pedido no se pase de un kilo. Nos damos cuenta que no es un único número el que satisface esta condición, así que todos los números que satisfacen esta inecuación son aquellos que se encuentran en el conjunto \{ x \in R : x < \frac{2}{3} \}, este conjunto lo representaremos gráficamente en la recta real de la siguiente manera:

Notemos que para hallar el valor de x hicimos un procedimiento muy parecido al que usamos con las ecuaciones. En general el procedimiento será el mismo pero cuando multiplicamos en ambos lados de una inecuación hay que tomar en cuenta ciertas consideraciones.

Suponga que usted y un compañero de clases van a desayunar en un cafetín, ese día ninguno de los dos llevó dinero y la señora que atiende les fió porque ustedes dos son buenas personas, usted pide 4 empanadas y su compañero pide 2 empanadas. ¿cuál de los dos tiene más empanadas? Usted tiene más empanadas. Si cada empanada cuesta 20 perolitos, entonces usted debe 80 perolitos y su compañero debe 40 perolitos, ¿cuál de los dos debe más dinero? Esta situación se representa de la siguiente manera:

2 < 4  \Longleftrightarrow (-20) \cdot 2 > (-20) \cdot 4  \Longleftrightarrow  -40 > -80

Esto lo que representa es que pese a que su compañero obtuvo menos empanadas que usted, al final su deuda (-80) es más grande que la de su compañero (-40), pues la de él está más cercana al cero de lo que está su deuda.

Nota: Perolitos es la moneda oficial de totumat.

Lo que debemos notar es que si multiplicamos por un número negativo en ambos lados de una inecuación, cambia el sentido de la desigualdad. Formalmente, si consideramos a, b y c números reales, donde c es un número negativo, entonces:

a > b \Longleftrightarrow a \cdot c < b \cdot c

a \geq b \Longleftrightarrow a \cdot c \leq b \cdot c

a < b \Longleftrightarrow a \cdot c > b \cdot c

a \leq b \Longleftrightarrow a \cdot c \geq b \cdot c

En general una inecuación será una inecuación que se expresa de la siguiente forma:

A continuación veremos algunos ejemplos de inecuaciones en las cuales debemos hallar el valor de x y también veremos como expresar la solución:

Ejemplo 1 2 + 8x < 6

2 + 8x < 6
\Longleftrightarrow 8x + 2 - 2 < 6 - 2
\Longleftrightarrow 8x + 2 - 2 < 4
\Longleftrightarrow 8x + 0 < 4
\Longleftrightarrow 8x < 4
\Longleftrightarrow \frac{8}{8}x < \frac{4}{8}
\Longleftrightarrow 1 \cdot x < \frac{1}{2}
\Longleftrightarrow x < \frac{1}{2}

solución: \{ x \in R : x < \frac{1}{2} \}

todos los números menores que un medio

Ejemplo 2 1 + 3x \leq 7

1 + 3x \leq 7
\Longleftrightarrow 3x \leq 7 - 1
\Longleftrightarrow 3x \leq 6
\Longleftrightarrow x \leq \frac{6}{3}
\Longleftrightarrow x \leq 2

solución: \{ x \in R : x \leq 2 \}

todos los números menores o iguales que dos

Note que en la representación gráfica de esta solución hemos usado un corchete ] en vez de un paréntesis, esto es para denotar que el número dos está incluido en nuestra solución pues ésta viene dada por todos los números menos o iguales que dos.

Ejemplo 3 \frac{5}{3} - 5x > \frac{2}{3}

\frac{5}{3} - 5x > \frac{2}{3}
\Longleftrightarrow - 5x > \frac{2}{3} - \frac{5}{3}
\Longleftrightarrow - 5x > - \frac{3}{3}
\Longleftrightarrow  - 5x > -1
\Longleftrightarrow \frac{-5}{-5}x < \frac{-1}{-5} (Cambia el sentido de la desigualdad)
\Longleftrightarrow x < 1

solución: \{ x \in R : x < 1 \}

todos los números menores que uno

Ejemplo 4 5x - 3 \geq 12

5x - 3 \geq 12
\Longleftrightarrow 5x \geq 12 + 3
\Longleftrightarrow 5x \geq 15
\Longleftrightarrow x \geq \frac{15}{5}
\Longleftrightarrow  x \geq 3

solución: \{ x \in R : x \geq 3 \}

todos los números mayores o iguales que tres

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