¿Cuál es la «naturaleza» de los números naturales?

Los números naturales son aquellos que aprendemos de forma natural contando los dedos de nuestras manos, caramelos, platos en una mesa, pelotas en una caja, billetes, etc; es decir, todos los números que podamos usar para representar una cantidad de objetos.

Empezando por el 1, definimos cada uno de los siguientes términos como el anterior, sumándole 1. Denotaremos el conjunto de los números naturales con con el símbolo $\mathbb{N}$ y lo definiremos extensivamente de la siguiente manera:

$\mathbb{N} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,\ldots\}$

Este conjunto continúa de manera indefinida sumando siempre 1 al número anterior, es por eso que usamos tres puntos suspensivos al definirlo de forma extensiva. También será posible representar este conjunto gráficamente, disponiendo cada elemento de forma ordenada en una recta, así

Representación gráfica de los números naturales. Una línea recta con números demarcados de forma perpendicular. | totuma.com

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Operaciones entre números naturales

La suma de números naturales

Es posible definir operaciones entre números naturales, de forma intuitiva, un número natural representa una cantidad de objetos, entonces usaremos la suma para representar la cantidad de total de objetos que tendríamos al juntar distintos grupos de objetos. Por ejemplo, si se tiene una bolsa con tres objetos y otra bolsa con nueve objetos; y se guarda el contenido de ambas en una caja, se tendrá un total de doce objetos en la caja.

En general si se tienen dos números naturales, se pueden sumar y obtener otro número natural. La suma se denotará con el signo «+» y se lee más. Además, podemos establecer una relación entre la suma de dos números naturales y otro número natural a través de una igualdad usando el signo «=» que se lee igual que o igual a. Retomando el último ejemplo, podemos decir que

$3 + 9 = 12$
tres más nueve es igual a doce

El producto entre números naturales

Por otra parte si se tiene una cantidad de objetos y esta cantidad se repite un número de veces, entonces el producto (o multiplicación) nos representará la cantidad total de objetos que se obtendrá al agruparlos todos. Por ejemplo, si se tienen tres paquetes de caramelos y cada paquete tiene diez caramelos, en total se tendrán treinta caramelos.

En general si se tienen dos números naturales, se pueden multiplicar y obtener otro número natural. El producto se denotará con el signo » $\cdot$ » (en algunos casos se usa « $\times$ «) y se lee por. A cada uno de los términos involucrados en un producto los llamaremos factores. Retomando el último ejemplo, podemos decir que

$3 \cdot 10 = 30$
tres por diez es igual a treinta

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Conjunto cerrado respecto a una operación

Decimos que un conjunto es cerrado respecto a la suma, si al efectuar la suma entre dos elementos del conjunto, el resultado estará contenido en el conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es cerrado respecto a la suma, pues al sumar dos números naturales, el resultado es un número natural.

Decimos que un conjunto es cerrado respecto al producto, si al efectuar el producto entre dos elementos del conjunto, el resultado estará contenido en el conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es cerrado respecto al producto, pues al multiplicar dos números naturales, el resultado es un número natural.

De forma genera, diremos que un conjunto es cerrado respecto a una operación, si al efectuar dicha operación entre dos elementos del conjunto, el resultado estará contenido en el conjunto.

La resta de números naturales

Un número natural representa una cantidad de objetos, entonces usaremos la resta para representar la cantidad de total de objetos que tendríamos al juntar retirar una cantidad de objetos de un conjunto de objetos. Por ejemplo, si se tiene una bolsa con quince objetos y de esta bolsa se retiran seis objetos; dentro de la bolsa, habrá un total de nueve objetos.

En ocasiones, si se tienen dos números naturales, se pueden restar y obtener otro número natural. La resta se denotará con el signo «-» y se lee menos. Además, podemos establecer una relación entre la resta de dos números naturales y otro número natural a través de una igualdad usando el signo «=» que se lee igual que o igual a. Retomando el último ejemplo, podemos decir que

$15 - 6 = 9$
quince menos seis es igual a nueve

Sin embargo, el conjunto de los números naturales no es cerrado respecto a la resta, pues la resta de dos números naturales no siempre resulta en otro número natural. Por ejemplo, ¿cuál es el resultado de restar siete menos siete? ¿Cuál es el resultado de restar cinco menos veinte?

La división entre números naturales

Un número natural representa una cantidad de objetos, entonces usaremos la división para representar la forma equitativa en que podemos repartir esta cantidad de objetos. Por ejemplo, si se tienen dieciocho objetos y estos se guardan de forma equitativa en tres cajas; dentro de cada caja, habrá un total de seis objetos en cada caja.

En ocasiones, si se tienen dos números naturales, se pueden dividir y obtener otro número natural. La resta se denotará con el signo «÷» y se lee dividido entre. Además, podemos establecer una relación entre la división de dos números naturales y otro número natural a través de una igualdad usando el signo «=» que se lee igual que o igual a. Retomando el último ejemplo, podemos decir que

$18 \div 6 = 3$
dieciocho dividido entre seis es igual a tres

Sin embargo, el conjunto de los números naturales no es cerrado respecto a la división, pues la división de dos números naturales no siempre resulta en otro número natural. Por ejemplo, ¿cuál es el resultado de dividir uno menos dos? ¿Cuál es el resultado de restar trece entre cuatro?

Hemos visto que el conjunto de los números naturales no es cerrado respecto a la resta ni a la división, entonces, es necesario definir un nuevo conjunto que sea cerrado respecto a la resta.

Operaciones entre conjuntos

28.10.201911.12.2022 Anthonny Arias-García2 comentarios

Al considerar dos conjuntos $A$ y $B$ , son diversas las operaciones que se pueden definir sobre ellos dos. Sin embargo, todas se basan en las operaciones de unión, intersección y el complemento. A continuación estudiaremos de forma concisa cada una de estas operaciones apoyándonos en Diagramas de Venn y usando conjuntos numéricos.

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Unión de Conjuntos

Dados dos conjuntos $A$ y $B$ , definiremos la unión de estos dos conjuntos como un nuevo conjunto que contiene todos los elementos de $A$ junto con todos los elementos de $B$ y la denotaremos por $A \cup B$ . Si consideramos un elemento $c$ del conjunto $A \cup B$ entonces $c$ pertenece a $A$ o pertenece a $B$ .

Los Diagramas de Venn nos ayudan a expresar visualmente los conjuntos para entender algunas ideas, usualmente se usan círculos para representar conjuntos contenidos en un universo rectangular. A continuación, usaremos un Diagrama de Venn para expresar visualmente la unión entre dos conjuntos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Dentro de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales, la unión del conjunto de todos los estudiantes que miden menos de un metro con cincuenta centímetros con el conjunto de todos los estudiantes que miden más o incluso un metro con cincuenta centímetros es el conjunto de todos los estudiantes de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales.

Ejemplo 2

La unión del conjunto $\{1,2,3,4\}$ con el conjunto $\{5,6,7\}$ es el conjunto $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ , es decir,

$\{1,2,3,4\} \cup \{5,6,7\} = \{1,2,3,4,5,6,7\}$

Ejemplo 3

La unión del conjunto $\{3,4,5,6,7,8\}$ con el conjunto $\{5,6,7,8,9,10,11\}$ es el conjunto $\{3,4,5,6,7,8,9,10,11\}$ , es decir,

$\{3,4,5,6,7,8\} \cup \{5,6,7,8,9,10,11\} = \{3,4,5,6,7,8,9,10,11\}$

Notemos que aunque hay elementos comunes en ambos conjuntos, estos sólo se cuentan una vez en la unión de los dos conjuntos.

Intersección de Conjuntos

Por otra parte si consideramos nuevamente dos conjuntos $A$ y $B$ , definiremos la intersección entre estos dos conjuntos como un nuevo conjunto que contiene todos los elementos que están en $A$ y que están en $B$ al mismo tiempo, y lo denotaremos por $A \cap B$ . Si consideramos un elemento $c$ de $A \cap B$ entonces $c$ pertenece a $A$ y pertenece a $B$ al mismo tiempo. En el siguiente Diagrama de Venn, la intersección de los conjuntos queda representada por el área donde las líneas se cruzan.

Ejemplos

Ejemplo 4

Dentro de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales, la intersección del conjunto de todos los estudiantes de sexo masculino con el conjunto de todos los estudiantes que tienen un promedio de calificaciones de 10 puntos es el conjunto de todos los estudiantes de sexo masculino con un promedio de calificaciones de 10 puntos en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales.

Ejemplo 5

La intersección del conjunto $\{1,2,3,4,5,6\}$ con el conjunto $\{5,6,7,8,9,10,11\}$ es el conjunto $\{5,6\}$ , es decir,

$\{1,2,3,4,5,6\} \cap \{5,6,7,8,9,10,11\} = \{5,6\}$

Ejemplo 6

La intersección del conjunto $\{1,2,3,4\}$ con el conjunto $\{5,6,7\}$ es un conjunto que no tiene elementos y que llamaremos el conjunto vacío, lo denotaremos de la siguiente forma

$\{1,2,3,4\} \cup \{5,6,7\} = \varnothing$

Complemento de un Conjunto

Diremos que el Universo (conjunto universal) es el contexto donde están definidos nuestros conjuntos, en él estarán contenidos todos los conjuntos de nuestro estudio. Por ejemplo, podemos considerar un conjunto $A$ igual a $\{2,4,6\}$ en el universo $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ .

Sentando base en esto, si consideramos un conjunto $A$ , definiremos el Complemento de $A$ como un conjunto especial que está definido como todos los elementos que no están en $A$ y lo denotaremos por $A^{c}$ . Si consideramos un elemento $c$ de $A^{c}$ entonces $c$ no está en $A$ . En el siguiente Diagrama de Venn, representaremos este conjunto

Ejemplos

Ejemplo 7

Dentro de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales, el complemento del conjunto de las personas que miden más o incluso un metro con ochenta centímetros es el conjunto de las personas que miden menos de un metro con ochenta centímetros.

Ejemplo 8

En el universo $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}$ , el complemento del conjunto $\{1,2,3,4,5,6\}$ es el conjunto $\{7,8,9,10,11\}$ , es decir,

$\{1,2,3,4,5,6\}^{c} = \{7,8,9,10,11\}$

Ejemplo 9

En el universo $\{5,6,7,8,9\}$ , el complemento del conjunto $\{5,6,7,8,9\}$ es un conjunto que no tiene elementos y que llamaremos el conjunto vacío, lo denotaremos de la siguiente forma, es decir,

$\{5,6,7,8,9\}^{c} = \varnothing$

Nota: De forma general, diremos que $U^{c} = \varnothing$ y que $\varnothing^{c} = U$ .

Diferencia de Conjuntos

Considerando las operaciones entre conjuntos, pudiéramos asociar la unión de conjuntos como una suma, entonces, ¿se podrá definir una operación parecida a la resta? Dados dos conjuntos $A$ y $B$ , definiremos la diferencia del conjunto $A$ menos el conjunto $B$ como un nuevo conjunto que contiene todos los elementos que están en $A$ y que no están en $B$ ; y la denotaremos por $A / B$ latex ó $A - B$ . Si consideramos un elemento $c$ de $A / B$ latex entonces $c$ pertenece a $A$ y no pertenece a $B$ . En el siguiente Diagrama de Venn, representaremos este conjunto

Ejemplos

Ejemplo 1

Dentro de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales, la diferencia de todos los estudiantes que tienen un promedio de calificaciones de 10 menos todas las estudiantes de sexo femenino es igual a todos los estudiantes de sexo masculino que tienen un promedio de calificaciones de 10.

Ejemplo 2

La diferencia del conjunto ${1,2,3,4,5,6}$ menos el conjunto $\{4,5,6,7,8,9,10,11\}$ es el conjunto $\{1,2,3\}$ , es decir,

$\{1,2,3,4,5,6\} / \{5,6,7,8,9,10,11\} = \{1,2,3\}$

Ejemplo 3

La diferencia del conjunto $\{1,2,3,4\}$ menos el conjunto $\{8,9,10\}$ es el conjunto $\{1,2,3,4\}$ , es decir,

$\{1,2,3,4\} / \{8,9,10\} = \{1,2,3\}$

Conjuntos

27.10.201928.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

¿Qué es un conjunto?

Un Conjunto es una agrupación de objetos de cualquier índole. Por ejemplo: El conjunto de los días de la semana, el conjunto de los meses de un año, el conjunto de los colores del arcoiris, el conjunto de los números que puedo contar con los dedos de una mano, el conjunto de carros en concesionario, el conjunto de los alumnos inscritos en una institución, el conjunto de gatos en una casa o el conjunto de granos de arena en una playa.

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Generalmente consideraremos conjuntos cuyos objetos posean una característica en común. Por ejemplo,

Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes Sábado, Domingo
rojo, naranja, amarillo, verde, azul, indigo, violeta
1,2,3,4,5
Alumnos inscritos en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales
Carros en un concesionario, tales que sean azules

Note que en el último ejemplo, primero definimos el objeto (los carros) y después describimos la característica común que tienen todos los elementos del conjunto (que sean azules).

Notación matemática de un conjunto

Podemos describir a los conjuntos de dos formas:

Extensivamente: nombrando todos los elementos del conjunto.
Comprensivamente: indicando cuales son los elementos y al menos una propiedad común que tengan todos los elementos del conjunto.

La notación que usaremos para escribir los conjuntos será encerrando sus elementos o describiendo su propiedad común entre llaves entre llaves $\{ \ \ \ \}$ . Por ejemplo,

Podemos definir el conjunto de todos los números pares extensivamente de la siguiente forma:

$\displaystyle \{ 2,4,6,8,10, 12, \ldots\}$

Por otra parte, también podemos definir este mismo conjunto comprensivamente de la siguiente forma:

$\displaystyle \{ 2n : n \in \mathbb{N} \}$

Los dos puntos $:$ se leen tal que y así, este último conjunto se lee El conjunto de los números de la forma $2 \cdot n$ tales que $n$ es un número natural.

Usualmente denotaremos los conjuntos con letras mayúsculas tales como $A, B, C, D, \ldots$ ; a cada objeto perteneciente al conjunto lo llamaremos elemento del conjunto y los denotaremos con letras minúsculas tales como $a, b, c, d, \ldots$ . Para denotar que un elemento $a$ está en un conjunto $A$ escribimos,

$\displaystyle a \in A$

Esto se lee $a$ pertenece al conjunto $A$ .

Subconjuntos

Un subconjunto de un conjunto es una agrupación de elementos que pertenece a un conjunto de elementos. Por ejemplo:

El conjunto de carros azules en un concesionario, es un subconjunto del conjunto de carros en un concesionario.
El conjunto de los alumnos menores de edad inscritos en una universidad, es un subconjunto del conjunto de alumnos en una universidad.
El conjunto de gatos negros en un albergue de mascotas, es un subconjunto del conjunto de gatos en un albergue de mascotas.

Para denotar que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, escribimos

$\displaystyle A \subset B$

Esto se lee «A está contenido en B» y en el siguiente Diagrama de Venn representamos un conjunto contenido dentro de otro.

Un círculo pequeño A rayado con rojo, dentro de un círculo más grande B rayado con azul. | totumat.com

Ejemplos

Ejemplo 1

El conjunto formado por los días sábado y domingo, es un subconjunto del conjunto de los días de la semana, es decir,

{Sábado, Domingo} $\subset$ {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo}

Ejemplo 2

El conjunto de los números $\{1,2,3,4\}$ es un subconjunto del conjunto $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ , es decir,

$\{1,2,3,4\} \subset \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$

Ejemplo 3

El conjunto de los alumnos de alto promedio Inscritos en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales es un subconjunto de los Alumnos inscritos en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales.

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Categoría: Sistemas Numéricos

Números Naturales

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